Руководство по математике созданное евклидом это

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до нас античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны нам только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.

Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом^[1]. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых — Пьера Рамуса^[2], Федериго Коммандино^[3], Христофа Шлюсселя (Клавиуса)^[4] и Савилия.

«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. По количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рождён для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением»^[5].

Краткий обзор содержания[]

В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, I def. 2 — второе определение первой книги.

Первая книга[]

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I def. 1-7) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия — длина без ширины.
3. Края же линии — точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности — линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, и Давид Гильберт начинает «Основания геометрии»^[6] так:

Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем

За определениями Евклид приводит постулаты (I post. 1-5):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы (I ax. 1-9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)
5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)
6. (И половины одного и того же равны между собой.)
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. (И две прямые не содержат пространства.)

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. I post. 4 и 5 в ряде списков выступают как I ax. 10 и 11 соответственно.

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так I prop. 2 предлагает «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует I post. 3 в неожиданно узком смысле.

При доказательстве I prop. 4, выражающего признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I prop. аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, постулат I post. 4 теперь принято доказывать, как это сделал впервые Хр. Вольф^[7], у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности^[8].

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

Обзор содержания книг II—XIII[]

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.

X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки науки^[9][10] показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:

• Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
• Книги V—VI и XII — Евдокс Книдский.
• Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э.
• Книги X и XIII — Теэтет Афинский.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.

Манускрипты и издания «Начал»[]

Греческий текст «Начал»[]

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896—1897 и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.^[11]

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, из них самые известные:

• MS D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford
• MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканский манускрипт)

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (IX век и далее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом (T. L. Heath).^[12]

Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых сейчас IX—XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный — концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, напр., сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принес в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 Пейрар (F. Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.

Латинский текст «Начал»[]

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде.
Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным М.  Фолькертсом^[13]. В этом каталоге манускрипты разделены на след. группы:

1. Так называемая «Геометрия Боэция» (в действительности трактат Боэцию не принадлежит). Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, напр., линия — объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т. д. Язык не испытал влияния арабского, поэтому считается, что геометрия Боэция — прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга
2. Геометрия Аделарда (Adelard) составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как Adelard II, содержит все 15 книг «Начал» Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорить об этом нужно с осторожностью. Характерная черта — наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII—IX и XI—XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего XII века шла работа по улучшению доказательств.
3. Геометрия Кампано (Campanus) — комплекс рукописей 13-15 вв. В этой версии «Начала» весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, в котором, однако присутствуют арабские термины (напр., параллелепипед назван belmaui). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор «Начал», и ученик Сократа философ Евклид Мегарский.

Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом^[14]. Первое печатное издание «Начал»^[15] было осуществлено Эрхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) в Венеции в 1482 и оно воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание, которое не копируют первое, было осуществлено Бартоломео Замберти 1505. Из предисловия известно, что Замберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Замберти^[16]. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция^[17], которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

Русские переводы[]

Первое издание «Начал» на русском языке произошло в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя».^[18] Перевод выполнил И. П. Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона (Henry Fargwarson).^[19] Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто, возможно, в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого французского издания «Начал» А. Такэ (A. Tacquet).^[18] Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

• 1769 год: перевод Н. Г. Курганова «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения».
• 1784 год: перевод П. И. Суворова и В. Н. Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году). Перевели преподаватели указанного корпуса, магистры Оксфордского университета В. Н. Никитин^[20] и П. И. Суворов^[21].

Практически полностью (кроме 10-й книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Ф. И. Петрушевского^[22]: книги 1-6 и 11-13 в 1819 году, книги 7-9 в 1835 году^[23]. В 1880 году вышел перевод М. Е. Ващенко-Захарченко (см. в Викитеке). Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840—1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища^[24].

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовско́го.

Всемирное распространение[]

На китайском языке первые 6 книг «Начал» издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). Полный перевод, выполненный А.Вайли, вышел с хвалебным предисловием Цзэн Гофаня, написанным в 1865 году.

Тексты «Начал»[]

В сети доступны следующие манускрипты и печатные издания «Начал»:

• Папирус из Oxyrhynchus.
• Византийский манускрипт D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford на www.rarebookroom.org и www.claymath.org (с перев. на англ.).
• Geometria Boetii  (лат.) по изд.: M. Folkerts. Ein neuer Text des Euclides Latinus. Faksimiledruck der Handschrift Lüneburg D 4o 48, f.13-17v Hildesheim: Dr. H. A. Gerstenberg, 1970.
• Первое печатное издание «Начал» Евклида. Э. Ратдольт, 1482 г.  (лат.)
• Издание 1558, в котором сравниваются издания Ратдольда и Замберти  (лат.)
• Elementi Euclide. Traduzione di Niccolò Tartaglia  (итал.), 1543
• Euclid. Elements. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath)
• Эвклидовых начал восемь книг в перев. Ф. Петрушевского. Книги 1-6, 11-12. (1819)
• Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949-51.

• Книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru
• Книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru
• Книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru

См. также[]

• Абсолютная геометрия
• Аксиома
• Алгоритм Евклида
• Евклидова геометрия
• Евклидово пространство
• Неевклидова геометрия
• Пятый постулат

Литература[]

• Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: 1948. — С. 296-328.
• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: 1958. — № 11. — С. 351-363.
• Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: 1948. — С. 217-295.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. (см. ISBN )

• Рыбников К. Русские издания «Начал» Евклида. Успехи математических наук, 1941, № 9, стр. 318—321.

Ссылки[]

• Thomas L. Heath The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary.
• Euclid’s Elements in the middle ages, by M. Folkerts. Каталог средневековых латинских манускриптов.
• Early editions of Euclid’s Elements, by Charles Thomas-Stanford. Каталог ранних изданий Евклида.

Примечания[]

Шаблон:Математика в Древней Греции

---

Википедия Начала Евклида адрес Викисловарь — адрес Викицитатник — адрес Викиучебник — адрес Викитека — адрес Викиновости — адрес Викиверситет — адрес Викигид — адрес

Выделить Начала Евклида и найти в: Вокруг света Евклида адрес Академик Евклида/ru/ru/ адрес Астронет адрес Элементы Евклида+&search адрес Научная Россия Евклида&mode=2&sort=2 адрес Кругосвет Евклида&results_per_page=10 адрес Научная Сеть Традиция — адрес Циклопедия — адрес Викизнание — Евклида адрес

Google Bing Yahoo Яндекс Mail.ru Рамблер Нигма.РФ Спутник Google Scholar Апорт Онлайн-переводчик Архив Интернета Научно-популярные фильмы на Яндексе Документальные фильмы

Список ru-вики Вики-сайты на русском языке Список крупных русскоязычных википроектов Каталог wiki-сайтов Русскоязычные wiki-проекты Викизнание:Каталог wiki-сайтов Научно-популярные сайты в Интернете Лучшие научные сайты на нашем портале Лучшие научно-популярные сайты Каталог научно-познавательных сайтов НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

---

• Страница 0 — краткая статья
• Страница 1 — энциклопедическая статья
• Разное — на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
• Прошу вносить вашу информацию в «Начала Евклида 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:[]

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. Считается вершиной античной геометрии и античной математики вообще, итогом её трёхсотлетнего развития и основой для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до современности античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.

Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев сохранился текст Прокла, являющийся важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В нём Прокл даёт краткое изложение истории греческой математики (так называемый «Евдемов каталог геометров»), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах. Среди древних комментаторов — Папп Александрийский; основные комментаторы эпохи Возрождения — Пьер де ла Рамэ, Федериго Коммандино, Христоф Шлюссель (Клавиуса) и Генри Савиль.

«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени, высокий интеллектуальный уровень произведения и его фундаментальная значимость для науки в целом отмечается ключевыми учёными современности. Книга переведена на множество языков мира, по количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.

В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2» — второе определение первой книги.

Первая книга

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1—7) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν— букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия — длина без ширины.
3. Края же линии — точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности — линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, в частности, таков подход в «Основаниях геометрии» Гильберта.

Постулаты Евклида

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

Прокл (V в. н. э.)

За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 1—9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)
5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)
6. (И половины одного и того же равны между собой.)
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. (И две прямые не содержат пространства.)

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. Постулаты 4—5 (I, Постулаты, 4—5) в ряде списков выступают как аксиомы (I, Аксиомы, 10—11).

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них (I, Предложения, 2) предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат (I, Постулаты, 3) в неожиданно узком смысле.

При доказательстве четвёртой теоремы (I, Предложения, 4), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах.

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

Книги II—XIII

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Евклид в качестве чисел рассматривает исключительно натуральные числа; для него «Число есть совокупность единиц». Здесь излагаются теория делимости и пропорций, доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, строятся чётные совершенные числа. Евклид доказывает также формулу для суммы геометрической прогрессии.

X книга — классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, объём параллелепипеда и призмы, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания. Здесь доказывается, например, теорема о том, что объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой.

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Евклид нигде в книге не ссылается на других греческих математиков, хотя несомненно опирается на их результаты. Историки науки показали, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:

• Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
• Книги V—VI и XII — труды Евдокса Книдского.
• Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев. По мнению Ван дер Вардена, это самая древняя по содержанию часть «Начал», восходящая к V веку до н. э.
• Книги X и XIII — труды Теэтета Афинского.

Вопрос о том, содержат ли «Начала» какие-либо результаты самого Евклида или автор занимался только систематизацией и унификацией накопленных знаний, является предметом дискуссий. Есть предположение, что алгоритм построения правильного 15-угольника разработан Евклидом; вероятно, он же произвёл отбор и окончательную формулировку аксиом и постулатов.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.

Манускрипты и издания

Греческий текст «Начал»

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896—1897 и содержит формулировку одного из утверждений второй книги с рисунком (II, Предложения, 5).

Папирус из Оксиринха

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, два самых известных из них хранятся Бодлианской библиотеке и Ватиканской апостольской библиотеке (двухтомный Ватиканский манускрипт).

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (датируемых IX веком и позднее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом (англ. Thomas Little Heath)). Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых современными исследователями IX—XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный — концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, например, сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принёс в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 годами под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого языка в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар (фр. François Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашёл три манускрипта в Риме и среди них важнейший — двухтомный ватиканский манускрипт.

Латинский текст «Начал»

Манускрипт из Люнебурга, ок. 1200 года, передающий геометрию Боэция

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным Фолькертсом (нем. Menso Folkerts), разделившим манускрипты на следующие группы:

1. Так называемая «Геометрия Боэция» (в действительности трактат Боэцию не принадлежит). Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, например, линия — объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т. д. Язык не испытал влияния арабского, поэтому считается, что геометрия Боэция — прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга.
2. «Геометрия» Аделарда составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как «Adelard II», содержит все 15 книг «Начал» Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорить об этом нужно с осторожностью. Характерная черта — наличие доказательств, причём в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII—IX и XI—XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего XII века шла работа по улучшению доказательств.
3. «Геометрия» Кампануса— комплекс рукописей XIII—XV веков. В этой версии «Начала» весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, в котором, однако присутствуют арабские термины (например, параллелепипед назван «belmaui»).

   

   Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор «Начал», и ученик Сократа философ Евклид Мегарский. Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом (англ. Charles Thomas—Stanford). Первое печатное издание «Начал» было осуществлено Эрхардом Ратдольтом в Венеции в 1482 году и воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание не копировало первое, было осуществлено Бартоломео Дзамберти в 1505 году. Из предисловия известно, что Дзамберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

   

   В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Дзамберти. Этот взгляд имел вполне твёрдую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция, которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

   Русские переводы

   

   Первое издание «Начал» на русском языке издано в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя». Перевод выполнил Иван Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона. Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто, возможно, в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого французского издания «Начал» Такэ (фр. André Tacquet). Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

   • 1769 год: перевод Курганова «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения»;
   • 1784 год: перевод Прохора Суворова и Василия Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году).

Практически полностью (кроме X книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Фомы Петрушевского: книги 1—6 и 11—13 в 1819 году, книги 7—9 в 1835 году. В 1880 году вышел перевод Ващенко-Захарченко. Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840—1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища.

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949—1951 годах, перевод с греческого и комментарии — Дмитрия Мордухай-Болтовско́го.

Всемирное распространение

На китайском языке первые 6 книг «Начал» издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583‑1610 годы). Полный перевод, выполненный британским миссионером Уайли (англ. Alexander Wylie), вышел с хвалебным предисловием Цзэн Гофаня, написанным в 1865 году.

From Wikipedia, the free encyclopedia

Elements

Title page of Sir Henry Billingsley’s first English version of Euclid’s Elements, 1570. Billingsley erroneously attributed the original work to Euclid of Megara.
Author	Euclid
Language	Ancient Greek
Subject	Euclidean geometry, elementary number theory, incommensurable lines
Genre	Mathematics
Publication date	c. 300 BC
Pages	13 books

The Elements (Greek: Στοιχεῖα Stoikheîa) is a mathematical treatise consisting of 13 books attributed to the ancient Greek mathematician Euclid in Alexandria, Ptolemaic Egypt c. 300 BC. It is a collection of definitions, postulates, propositions (theorems and constructions), and mathematical proofs of the propositions. The books cover plane and solid Euclidean geometry, elementary number theory, and incommensurable lines. Elements is the oldest extant large-scale deductive treatment of mathematics. It has proven instrumental in the development of logic and modern science, and its logical rigor was not surpassed until the 19th century.

Euclid’s Elements has been referred to as the most successful^[a][b] and influential^[c] textbook ever written. It was one of the very earliest mathematical works to be printed after the invention of the printing press and has been estimated to be second only to the Bible in the number of editions published since the first printing in 1482,^[1] the number reaching well over one thousand.^[d] For centuries, when the quadrivium was included in the curriculum of all university students, knowledge of at least part of Euclid’s Elements was required of all students. Not until the 20th century, by which time its content was universally taught through other school textbooks, did it cease to be considered something all educated people had read.^{[citation needed]}

History[edit]

Basis in earlier work[edit]

Scholars believe that the Elements is largely a compilation of propositions based on books by earlier Greek mathematicians.^[3]

Proclus (412–485 AD), a Greek mathematician who lived around seven centuries after Euclid, wrote in his commentary on the Elements: «Euclid, who put together the Elements, collecting many of Eudoxus’ theorems, perfecting many of Theaetetus’, and also bringing to irrefragable demonstration the things which were only somewhat loosely proved by his predecessors».

Pythagoras (c. 570–495 BC) was probably the source for most of books I and II, Hippocrates of Chios (c. 470–410 BC, not the better known Hippocrates of Kos) for book III, and Eudoxus of Cnidus (c. 408–355 BC) for book V, while books IV, VI, XI, and XII probably came from other Pythagorean or Athenian mathematicians.^[4] The Elements may have been based on an earlier textbook by Hippocrates of Chios, who also may have originated the use of letters to refer to figures.^[5] Other similar works are also reported to have been written by Theudius of Magnesia, Leon, and Hermotimus of Colophon.^[6][7]

Transmission of the text[edit]

In the 4th century AD, Theon of Alexandria produced an edition of Euclid which was so widely used that it became the only surviving source until François Peyrard’s 1808 discovery at the Vatican of a manuscript not derived from Theon’s. This manuscript, the Heiberg manuscript, is from a Byzantine workshop around 900 and is the basis of modern editions.^[8] Papyrus Oxyrhynchus 29 is a tiny fragment of an even older manuscript, but only contains the statement of one proposition.

Although Euclid was known to Cicero, for instance, no record exists of the text having been translated into Latin prior to Boethius in the fifth or sixth century.^[2] The Arabs received the Elements from the Byzantines around 760; this version was translated into Arabic under Harun al Rashid (c. 800).^[2] The Byzantine scholar Arethas commissioned the copying of one of the extant Greek manuscripts of Euclid in the late ninth century.^[9] Although known in Byzantium, the Elements was lost to Western Europe until about 1120, when the English monk Adelard of Bath translated it into Latin from an Arabic translation.^[e] A relatively recent discovery was made of a Greek-to-Latin translation from the 12th century at Palermo, Sicily. The name of the translator is not known other than he was an anonymous medical student from Salerno who was visiting Palermo in order to translate the Almagest to Latin. The Euclid manuscript is extant and quite complete.^[11]

The first printed edition appeared in 1482 (based on Campanus of Novara’s 1260 edition),^[12] and since then it has been translated into many languages and published in about a thousand different editions. Theon’s Greek edition was recovered in 1533^{[citation needed]}. In 1570, John Dee provided a widely respected «Mathematical Preface», along with copious notes and supplementary material, to the first English edition by Henry Billingsley.

Copies of the Greek text still exist, some of which can be found in the Vatican Library and the Bodleian Library in Oxford. The manuscripts available are of variable quality, and invariably incomplete. By careful analysis of the translations and originals, hypotheses have been made about the contents of the original text (copies of which are no longer available).

Ancient texts which refer to the Elements itself, and to other mathematical theories that were current at the time it was written, are also important in this process. Such analyses are conducted by J. L. Heiberg and Sir Thomas Little Heath in their editions of the text.

Also of importance are the scholia, or annotations to the text. These additions, which often distinguished themselves from the main text (depending on the manuscript), gradually accumulated over time as opinions varied upon what was worthy of explanation or further study.

Influence[edit]

The Elements is still considered a masterpiece in the application of logic to mathematics. In historical context, it has proven enormously influential in many areas of science. Scientists Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei, Albert Einstein and Sir Isaac Newton were all influenced by the Elements, and applied their knowledge of it to their work.^[13][14] Mathematicians and philosophers, such as Thomas Hobbes, Baruch Spinoza, Alfred North Whitehead, and Bertrand Russell, have attempted to create their own foundational «Elements» for their respective disciplines, by adopting the axiomatized deductive structures that Euclid’s work introduced.

The austere beauty of Euclidean geometry has been seen by many in western culture as a glimpse of an otherworldly system of perfection and certainty. Abraham Lincoln kept a copy of Euclid in his saddlebag, and studied it late at night by lamplight; he related that he said to himself, «You never can make a lawyer if you do not understand what demonstrate means; and I left my situation in Springfield, went home to my father’s house, and stayed there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight».^[15][16] Edna St. Vincent Millay wrote in her sonnet «Euclid alone has looked on Beauty bare», «O blinding hour, O holy, terrible day, When first the shaft into his vision shone Of light anatomized!». Albert Einstein recalled a copy of the Elements and a magnetic compass as two gifts that had a great influence on him as a boy, referring to the Euclid as the «holy little geometry book».^[17][18]

The success of the Elements is due primarily to its logical presentation of most of the mathematical knowledge available to Euclid. Much of the material is not original to him, although many of the proofs are his. However, Euclid’s systematic development of his subject, from a small set of axioms to deep results, and the consistency of his approach throughout the Elements, encouraged its use as a textbook for about 2,000 years. The Elements still influences modern geometry books. Furthermore, its logical, axiomatic approach and rigorous proofs remain the cornerstone of mathematics.

In modern mathematics[edit]

One of the most notable influences of Euclid on modern mathematics is the discussion of the parallel postulate. In Book I, Euclid lists five postulates, the fifth of which stipulates

If a line segment intersects two straight lines forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two lines, if extended indefinitely, meet on that side on which the angles sum to less than two right angles.

This postulate plagued mathematicians for centuries due to its apparent complexity compared with the other four postulates. Many attempts were made to prove the fifth postulate based on the other four, but they never succeeded. Eventually in 1829, mathematician Nikolai Lobachevsky published a description of acute geometry (or hyperbolic geometry), a geometry which assumed a different form of the parallel postulate. It is in fact possible to create a valid geometry without the fifth postulate entirely, or with different versions of the fifth postulate (elliptic geometry). If one takes the fifth postulate as a given, the result is Euclidean geometry.^{[citation needed]}

Contents[edit]

• Book 1 contains 5 postulates (including the infamous parallel postulate) and 5 common notions, and covers important topics of plane geometry such as the Pythagorean theorem, equality of angles and areas, parallelism, the sum of the angles in a triangle, and the construction of various geometric figures.
• Book 2 contains a number of lemmas concerning the equality of rectangles and squares, sometimes referred to as «geometric algebra», and concludes with a construction of the golden ratio and a way of constructing a square equal in area to any rectilineal plane figure.
• Book 3 deals with circles and their properties: finding the center, inscribed angles, tangents, the power of a point, Thales’ theorem.
• Book 4 constructs the incircle and circumcircle of a triangle, as well as regular polygons with 4, 5, 6, and 15 sides.
• Book 5, on proportions of magnitudes, gives the highly sophisticated theory of proportion probably developed by Eudoxus, and proves properties such as «alternation» (if a : b :: c : d, then a : c :: b : d).
• Book 6 applies proportions to plane geometry, especially the construction and recognition of similar figures.
• Book 7 deals with elementary number theory: divisibility, prime numbers and their relation to composite numbers, Euclid’s algorithm for finding the greatest common divisor, finding the least common multiple.
• Book 8 deals with the construction and existence of geometric sequences of integers.
• Book 9 applies the results of the preceding two books and gives the infinitude of prime numbers and the construction of all even perfect numbers.
• Book 10 proves the irrationality of the square roots of non-square integers (e.g. ) and classifies the square roots of incommensurable lines into thirteen disjoint categories. Euclid here introduces the term «irrational», which has a different meaning than the modern concept of irrational numbers. He also gives a formula to produce Pythagorean triples.^[19]
• Book 11 generalizes the results of book 6 to solid figures: perpendicularity, parallelism, volumes and similarity of parallelepipeds.
• Book 12 studies the volumes of cones, pyramids, and cylinders in detail by using the method of exhaustion, a precursor to integration, and shows, for example, that the volume of a cone is a third of the volume of the corresponding cylinder. It concludes by showing that the volume of a sphere is proportional to the cube of its radius (in modern language) by approximating its volume by a union of many pyramids.
• Book 13 constructs the five regular Platonic solids inscribed in a sphere and compares the ratios of their edges to the radius of the sphere.

Summary Contents of Euclid’s Elements

Book	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	Totals
Definitions	23	2	11	7	18	4	22	—	—	16	28	—	—	131
Postulates	5	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	5
Common Notions	5	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	5
Propositions	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

Euclid’s method and style of presentation[edit]

Euclid’s axiomatic approach and constructive methods were widely influential.

Many of Euclid’s propositions were constructive, demonstrating the existence of some figure by detailing the steps he used to construct the object using a compass and straightedge. His constructive approach appears even in his geometry’s postulates, as the first and third postulates stating the existence of a line and circle are constructive. Instead of stating that lines and circles exist per his prior definitions, he states that it is possible to ‘construct’ a line and circle. It also appears that, for him to use a figure in one of his proofs, he needs to construct it in an earlier proposition. For example, he proves the Pythagorean theorem by first inscribing a square on the sides of a right triangle, but only after constructing a square on a given line one proposition earlier.^[21]

As was common in ancient mathematical texts, when a proposition needed proof in several different cases, Euclid often proved only one of them (often the most difficult), leaving the others to the reader. Later editors such as Theon often interpolated their own proofs of these cases.

Euclid’s presentation was limited by the mathematical ideas and notations in common currency in his era, and this causes the treatment to seem awkward to the modern reader in some places. For example, there was no notion of an angle greater than two right angles,^[22] the number 1 was sometimes treated separately from other positive integers, and as multiplication was treated geometrically he did not use the product of more than 3 different numbers. The geometrical treatment of number theory may have been because the alternative would have been the extremely awkward Alexandrian system of numerals.^[23]

The presentation of each result is given in a stylized form, which, although not invented by Euclid, is recognized as typically classical. It has six different parts: First is the ‘enunciation’, which states the result in general terms (i.e., the statement of the proposition). Then comes the ‘setting-out’, which gives the figure and denotes particular geometrical objects by letters. Next comes the ‘definition’ or ‘specification’, which restates the enunciation in terms of the particular figure. Then the ‘construction’ or ‘machinery’ follows. Here, the original figure is extended to forward the proof. Then, the ‘proof’ itself follows. Finally, the ‘conclusion’ connects the proof to the enunciation by stating the specific conclusions drawn in the proof, in the general terms of the enunciation.^[24]

No indication is given of the method of reasoning that led to the result, although the Data does provide instruction about how to approach the types of problems encountered in the first four books of the Elements.^[4] Some scholars have tried to find fault in Euclid’s use of figures in his proofs, accusing him of writing proofs that depended on the specific figures drawn rather than the general underlying logic, especially concerning Proposition II of Book I. However, Euclid’s original proof of this proposition, is general, valid, and does not depend on the figure used as an example to illustrate one given configuration.^[25]

Criticism[edit]

Euclid’s list of axioms in the Elements was not exhaustive, but represented the principles that were the most important. His proofs often invoke axiomatic notions which were not originally presented in his list of axioms. Later editors have interpolated Euclid’s implicit axiomatic assumptions in the list of formal axioms.^[26]

For example, in the first construction of Book 1, Euclid used a premise that was neither postulated nor proved: that two circles with centers at the distance of their radius will intersect in two points.^[27] Later, in the fourth construction, he used superposition (moving the triangles on top of each other) to prove that if two sides and their angles are equal, then they are congruent; during these considerations he uses some properties of superposition, but these properties are not described explicitly in the treatise. If superposition is to be considered a valid method of geometric proof, all of geometry would be full of such proofs. For example, propositions I.2 and I.3 can be proved trivially by using superposition.^[28]

Mathematician and historian W. W. Rouse Ball put the criticisms in perspective, remarking that «the fact that for two thousand years [the Elements] was the usual text-book on the subject raises a strong presumption that it is not unsuitable for that purpose.»^[22]

Apocrypha[edit]

It was not uncommon in ancient times to attribute to celebrated authors works that were not written by them. It is by these means that the apocryphal books XIV and XV of the Elements were sometimes included in the collection.^[29] The spurious Book XIV was probably written by Hypsicles on the basis of a treatise by Apollonius. The book continues Euclid’s comparison of regular solids inscribed in spheres, with the chief result being that the ratio of the surfaces of the dodecahedron and icosahedron inscribed in the same sphere is the same as the ratio of their volumes, the ratio being

The spurious Book XV was probably written, at least in part, by Isidore of Miletus. This book covers topics such as counting the number of edges and solid angles in the regular solids, and finding the measure of dihedral angles of faces that meet at an edge.^[f]

Editions[edit]

• 4th century, Theon of Alexandria
• 1460s, Regiomontanus (incomplete)
• 1482, Erhard Ratdolt (Venice), editio princeps (in Latin)^[30][31]
• 1533, editio princeps of the Greek text by Simon Grynäus^[32]
• 1557, by Jean Magnien and Pierre de Montdoré [fr], reviewed by Stephanus Gracilis (only propositions, no full proofs, includes original Greek and the Latin translation)
• 1572, Commandinus Latin edition
• 1574, Christoph Clavius
• 1883–1888, Johan Ludvig Heiberg

Translations[edit]

• 1505, Bartolomeo Zamberti [de] (Latin)
• 1543, Nicolo Tartaglia (Italian)
• 1557, Jean Magnien and Pierre de Montdoré, reviewed by Stephanus Gracilis (Greek to Latin)
• 1558, Johann Scheubel (German)
• 1562, Jacob Kündig (German)
• 1562, Wilhelm Holtzmann (German)
• 1564–1566, Pierre Forcadel [fr] de Béziers (French)
• 1570, Henry Billingsley (English)
• 1572, Commandinus (Latin)
• 1575, Commandinus (Italian)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (Spanish)
• 1594, Typographia Medicea (edition of the Arabic translation of The Recension of Euclid’s «Elements»^[33]
• 1604, Jean Errard [fr] de Bar-le-Duc (French)
• 1606, Jan Pieterszoon Dou (Dutch)
• 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (Chinese)
• 1613, Pietro Cataldi (Italian)
• 1615, Denis Henrion (French)
• 1617, Frans van Schooten (Dutch)
• 1637, L. Carduchi (Spanish)
• 1639, Pierre Hérigone (French)
• 1651, Heinrich Hoffmann (German)
• 1651, Thomas Rudd (English)
• 1660, Isaac Barrow (English)
• 1661, John Leeke and Geo. Serle (English)
• 1663, Domenico Magni (Italian from Latin)
• 1672, Claude François Milliet Dechales (French)
• 1680, Vitale Giordano (Italian)
• 1685, William Halifax (English)
• 1689, Jacob Knesa (Spanish)
• 1690, Vincenzo Viviani (Italian)
• 1694, Ant. Ernst Burkh v. Pirckenstein (German)
• 1695, Claes Jansz Vooght (Dutch)
• 1697, Samuel Reyher (German)
• 1702, Hendrik Coets (Dutch)
• 1705, Charles Scarborough (English)
• 1708, John Keill (English)
• 1714, Chr. Schessler (German)
• 1714, W. Whiston (English)
• 1720s, Jagannatha Samrat (Sanskrit, based on the Arabic translation of Nasir al-Din al-Tusi)^[34]
• 1731, Guido Grandi (abbreviation to Italian)
• 1738, Ivan Satarov (Russian from French)
• 1744, Mårten Strömer (Swedish)
• 1749, Dechales (Italian)
• 1749, Methodios Anthrakitis (Μεθόδιος Ανθρακίτης) (Greek)
• 1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (Danish)
• 1752, Leonardo Ximenes (Italian)
• 1756, Robert Simson (English)
• 1763, Pibo Steenstra (Dutch)
• 1768, Angelo Brunelli (Portuguese)
• 1773, 1781, J. F. Lorenz (German)
• 1780, Baruch Schick of Shklov (Hebrew)^[35]
• 1781, 1788 James Williamson (English)
• 1781, William Austin (English)
• 1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (Russian from Greek)
• 1795, John Playfair (English)
• 1803, H.C. Linderup (Danish)
• 1804, François Peyrard (French). Peyrard discovered in 1808 the Vaticanus Graecus 190, which enables him to provide a first definitive version in 1814–1818
• 1807, Józef Czech (Polish based on Greek, Latin and English editions)
• 1807, J. K. F. Hauff (German)
• 1818, Vincenzo Flauti (Italian)
• 1820, Benjamin of Lesbos (Modern Greek)
• 1826, George Phillips (English)
• 1828, Joh. Josh and Ign. Hoffmann (German)
• 1828, Dionysius Lardner (English)
• 1833, E. S. Unger (German)
• 1833, Thomas Perronet Thompson (English)
• 1836, H. Falk (Swedish)
• 1844, 1845, 1859, P. R. Bråkenhjelm (Swedish)
• 1850, F. A. A. Lundgren (Swedish)
• 1850, H. A. Witt and M. E. Areskong (Swedish)
• 1862, Isaac Todhunter (English)
• 1865, Sámuel Brassai (Hungarian)
• 1873, Masakuni Yamada (Japanese)
• 1880, Vachtchenko-Zakhartchenko (Russian)
• 1897, Thyra Eibe (Danish)
• 1901, Max Simon (German)
• 1907, František Servít (Czech)^[36]
• 1908, Thomas Little Heath (English)
• 1939, R. Catesby Taliaferro (English)
• 1953, 1958, 1975, Evangelos Stamatis (Ευάγγελος Σταµάτης) (Modern Greek)
• 1999, Maja Hudoletnjak Grgić (Book I-VI) (Croatian)^[37]
• 2009, Irineu Bicudo (Portuguese)
• 2019, Ali Sinan Sertöz (Turkish)^[38]
• 2022, Ján Čižmár (Slovak)

Book I Editions[edit]

• 1886, Euclid Book I Hall & Stevens (English)
• 1891,1896, The Harpur Euclid by Edward Langley and Seys Phillips (English)
• 1949, Henry Regnery Company (English)

Currently in print[edit]

• Euclid’s Elements – All thirteen books complete in one volume, Based on Heath’s translation, edited by Dana Densmore, et al. Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
• The Elements: Books I–XIII – Complete and Unabridged, (2006) Translated by Sir Thomas Heath, Barnes & Noble ISBN 0-7607-6312-7.
• The Thirteen Books of Euclid’s Elements, translation and commentaries by Heath, Thomas L. (1956) in three volumes. Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3)
• Plane Geometry (Euclid’s elements Redux) Books I–VI, based on John Casey’s translation, edited by Daniel Callahan, ISBN 978-1977730039
• Euclid’s Elements with Exercises edited by Kathryn Goulding, ISBN 978-0692925942
• Euclid’s Elements: Book 1, A new rendering, 2023, ISBN 978-1732548640

Recreations of Oliver Byrne’s edition currently in print[edit]

• Oliver Byrne’s Elements of Euclid, Art Meets Science, 2022, ISBN 978-1528770439

Free versions[edit]

• Euclid’s Elements Redux, Volume 1, contains books I–III, based on John Casey’s translation.^[39]
• Euclid’s Elements Redux, Volume 2, contains books IV–VIII, based on John Casey’s translation.^[39]

References[edit]

Notes[edit]

Citations[edit]

Sources[edit]

External links[edit]

• Clark University Euclid’s elements
• Multilingual edition of Elementa in the Bibliotheca Polyglotta
• Euclid (1997) [c. 300 BC]. David E. Joyce (ed.). «Elements». Retrieved 2006-08-30. In HTML with Java-based interactive figures.
• Richard Fitzpatrick’s bilingual edition (freely downloadable PDF, typeset in a two-column format with the original Greek beside a modern English translation; also available in print as ISBN 979-8589564587)
• Heath’s English translation (HTML, without the figures, public domain) (accessed February 4, 2010)
  • Heath’s English translation and commentary, with the figures (Google Books): vol. 1, vol. 2, vol. 3, vol. 3 c. 2
• Oliver Byrne’s 1847 edition (also hosted at archive.org)– an unusual version by Oliver Byrne who used color rather than labels such as ABC (scanned page images, public domain)
• Web adapted version of Byrne’s Euclid designed by Nicholas Rougeux
• Video adaptation, animated and explained by Sandy Bultena, contains books I-VII.
• The First Six Books of the Elements by John Casey and Euclid scanned by Project Gutenberg.
• Reading Euclid – a course in how to read Euclid in the original Greek, with English translations and commentaries (HTML with figures)
• Sir Thomas More’s manuscript
• Latin translation by Aethelhard of Bath
• Euclid Elements – The original Greek text Greek HTML
• Clay Mathematics Institute Historical Archive – The thirteen books of Euclid’s Elements copied by Stephen the Clerk for Arethas of Patras, in Constantinople in 888 AD
• Kitāb Taḥrīr uṣūl li-Ūqlīdis Arabic translation of the thirteen books of Euclid’s Elements by Nasīr al-Dīn al-Ṭūsī. Published by Medici Oriental Press(also, Typographia Medicea). Facsimile hosted by Islamic Heritage Project.
• Euclid’s Elements Redux, an open textbook based on the Elements
• 1607 Chinese translations reprinted as part of the Complete Library of the Four Treasuries, or Siku Quanshu.

Буквы:

1

2

3

4

5

6

«Начала» Евклида