Задача
1.
Руководство фирмы может
обратиться в шесть туристических агентств с просьбой об организации для своих
сотрудников трех различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3
заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной
заявки. Какова вероятность того, что заявки получат агентства с наибольшим
оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает.
Решение.
Предположим для простоты
рассуждений, что заявки, получаемые агентствами разные по своей
содержательности, а значит и вместимости в них некоторого перечня услуг. В этом
случае поставленную выше задачу можно переформулировать на язык комбинаторики и
задачу изложить в следующем аспекте: пусть имеется 6 мест и 3 элемента (все они
отличаются друг от друга), необходимо определить число комбинаций которыми
можно распределить 3 элемента по 6 местам при этом в каждом из мест должно
находится не более одного элемента.
Из элементов теории
комбинаторики это число определяется как
=
n – количество
ячеек
m – количество
элементов
В нашем случае это число
равно (n=6, m=3) = = 120
Итак, общее количество
возможных комбинаций 120.
Теперь ответим на второй
вопрос решаемой задачи. Для этого пронумеруем агентства от 1 до 6. Будем
считать, что номер агентства соответствует объему оборота (условно). Тогда, для
исследуемой проблемы нас интересуют агентства с номерами 4, 5 и 6. Заявки,
поручаемые руководством фирмы можно так же пронумеровать от 1 до 6, что будет
соответствовать затребованным объемам услуг. Поскольку заявки разные, то из
данных номеров можно составить некоторое поле комбинаций. Составим комбинации,
куда входят цифры 1, 2, 3 и 4: 123, 124, 234, 314. Составим комбинации с
наличием цифры 5: 152, 153, 154, 253, 254, 354. Составим комбинации с наличием цифры
6: 126, 136, 146, 156, 236, 246, 256, 346, 356, 456. Совершенно очевидно, что
заявки из 1 партии составленных комбинаций можно разместить по номерам 4, 5 и 6
n*3! раз, где n – число элементов партии
(в нашем случае n=4); для 2 партии это число равно n*4 при
n = 6; для 3 партии – n1*2+n2,
где n1 – число комбинаций, исключающих цифру 5, n2 –
число комбинаций, куда эта цифра входит (n1=6, n2=4).
Итак, общее число благоприятных исходов равно N = 24+24+16 = 64.
Классическое определение
вероятности:
P =
M – общее
число исходов. (M = )
Соответственно, согласно
классическому определению вероятности, значение этой величины равно:
P = (отношение благоприятствующих событий к общему
числу событий). Заметим, что данное число относится к той ситуации, когда
безразлично попадание заявок в тур. фирмы. Если рассматривать вариант с
распределением соответствующим объему заявки и обороту агентства, то это число
уже будет другое. Для рассматриваемой ситуации расположение заявок по
агентствам иное. Получается, что номера заявок в триаде чисел должны
располагаться в порядке возрастания, т.е. 123, 234 и т.д. Распишем эту комбинацию:
123, 134, 145, 156, 234, 235, 236, 245, 256, 345, 356, 456. Это комбинация,
которая удовлетворяет принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму
она попадает и распределение идет в порядке возрастания номера. Таким образом,
благоприятное число исходов N =
12, а вероятность такого события равна p=0.1.
Ответ: всего существует 120
различных способов, вероятность получения заявок агентствами с наибольшим
оборотом P = (при «хаотичном» распределении заявок) и p=0.1, если заявки попадают в агентства по
принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму она попадает и
распределение идет в порядке возрастания номера.
Задача
2.
Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных
корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной
работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма
получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится
к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит
оба заказа?
Решение.
Обозначим события:
А — «Получение консультационной работы в корпорации А»;
В — «Получение консультационной работы в корпорации В».
События А и В — зависимые, так как событие В зависит
от того, произойдет или нет событие А. По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие B) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей. Отсюда получим
Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.
Ответ:
искомая вероятность равна 0.405.
Задача 3.
Вероятность
наступления страхового случая равна
0.002. Какова вероятность того, что из 400 застрахованных предъявят иск:
а) 2 человека, б) не более 2 человек?
Решение.
Обозначим
вероятность наступления страхового случая p.
Искомая
вероятность ввиду большого числа испытаний и малой вероятности p определится
из формулы Пуассона:
а)
P(X=2) = ,
где = np = 400*0.002 = 0.8
P(X=2) = = 0.32*0.449 0.144
б) P(X2) = Pn,0
+ Pn,1 + Pn,2
Pn,0
= Pn,1 = Pn,2 =
P(X2) = 0.449+0.144+0.8*0.449 = 0.9522
Ответ:
искомые вероятности равны для случая а) 0.144 и для случая б) 0.9522.
Задача
4.
Для того, чтобы проверить
точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами
аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие
компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5 % ошибок. Для
проверки аудитор случайно отбирает 5 входящих документов. Составьте ряд
распределения случайной величины Х, равной числу ошибок, выявленных аудитором.
Найдите числовые характеристики этого распределения: математическое ожидание M(X); дисперсию
D(X); функцию распределения FX(x), постройте график функции распределения.
Найдите закон распределения случайной величины Y = |X|+1 и математическое ожидание M(Y).
Решение.
В
качестве случайной величины в задаче выступает X, которая равна числу
выявленных ошибок. Данная величина допускает ряд целых значений от 0 до 5.
Вероятность того, что в каком-либо на удачу выбранном отчете будет выявлена
ошибка, равна 0.05. Вероятность
противоположного события, т.е. такого, что ошибки не обнаружат, равна 0.95. Все
5 испытаний независимы, т.е. появление ошибки в одном из отчетов никак не
скажется на наличие или отсутствие таковой в остальных.
Очевидно, что случайная величина Х подчиняется
биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=5 и р = 0.05.
Итак, по условию задачи: n = 5; р = 0.05;
q = 0.95; X = т
Для того, чтобы построить
ряд распределения, необходимо вычислить вероятности событий, при которых
случайная величина принимает конкретное значение и затем свести все данные в
таблицу.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле
Бернулли
P(X=m) = Pn,m = pmqn-m = pmqn-m
Подставляя данные для расчетов, находим
P(X=0) = q5 = 0.955 = 0.7737809375
P(X=1) = 5*0.05*0.954 =
0.2036265625
P(X=2) = 10*0.052*0.953
= 0.021434375
P(X=3) = 10*0.053*0.952
= 0.001128125
P(X=4) = 5*0.054*0.95 =
0.0000296875
P(X=5) = 0.055 =
0.0000003125
Заметим, что полученный ряд нормируется на единицу (сумма
всех членов ряда равна 1), а значит вероятности подсчитаны верно.
Основные формулы
для вычислений характеристик дискретной величины:
Математическое
ожидание M(X) = *pi
Дисперсия:
Функция
распределения:
Составляем таблицу и вычисляем основные характеристики, а
так же приводим график функции распределения:
Замечание: при построении графика 0 значение функции
соответствует X?0 и далее функция ступенчато нарастает, приближаясь к 1.
Построим теперь
закон распределения новой случайной величины Y=|X|+1.
Эти два события (|X| и 1) в общем случае
взаимонезависимы, поэтому для того, чтобы составить закон распределения |X|+1
величины необходимо складывать, а соответствующие им вероятности умножать. Заметим
при этом, что вероятность того что случайная величина принимает постоянное
значение равна 1
Имеем:
Заметим, что согласно свойству
математического ожидания, значения, вычисленные формально M(X) = *pi совпадают со свойством, которое
заключается в том, что математическое ожидание суммы, равно сумме
математических ожиданий. Причем мат. ожидание константы равно самой
постоянной.
Задача 5.
Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет
вид
Найдите нормирующую константу,
математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение, функцию распределения,
дисперсию, вероятность того, что наблюдаемое значение X попадет в интервал [0;2].
Решение.
Нормирующую константу найдем
исходя из определения плотности и функции распределения. А именно:
(x)dx = 1, отсюда
= 1 x[-1;3]
C =
Функцию распределения ищем в
виде:
F(x) = (x+1)2dx =
Математическое ожидание:
M(x) = (x+1)2dx = (x+1)2dx = +
+ x[-1;3]
M(x) = 0.234375
+ 0.21875 + 0.05859375 = 0.51171875
Дисперсия:
D(x) = (x+1)2dx – [M(x)]2
= (48,8+40) + 0,109375 — 0,2618560791015625 = 0,8881439208984375
Среднеквадратичное отклонение:
= = 0.942
Найдем вероятность того, что Х
попадает в интервал [0;2].
P = (x+1)2dx = x[0;2]
P = 0.1015625
Задача
6.
По таблице распределения
двумерной случайной величины найдите частные законы распределения случайных
величин X и Y, математические ожидания M(XY), M(X), M(Y);
дисперсии D(XY), D(X), D(Y),
вычислите корреляционный момент K(XY), коэффициент корреляции r(XY).
Решение
Для того, чтобы найти частные законы распределения, поступим
следующим образом: перепишем таблицу еще раз:
X
Y
1
3
5
0
0.1
0
0
2
0.2
0.3
0.1
4
0
0.1
0.2
При этом сумма
вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.
Зная закон распределения
двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих.
Действительно, событие Х = х1 представляется собой
сумму несовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),…, (X = x1, Y = ym), поэтому р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym) (в правой части находится сумма
вероятностей, стоящих в строке, соответствующей Х = х1). Так же можно найти
вероятности остальных возможных значений Х. Для определения
вероятностей возможных значений Y
нужно
сложить вероятности, стоящие в столбце таблицы, соответствующей Y = yj.
Ряд
распределения для X:
X
0
2
4
P
0.1
0.6
0.3
Ряд
распределения для Y:
Y
1
3
5
P
0.3
0.4
0.3
Найдем
математические ожидания:
M(XY) = M(X)*M(Y)
M(X) = 2.5, M(Y) = 3, M(XY) = 7.5
Найдем
дисперсии:
D(XY) = D(X)D(Y)
D(X) = 1.45, D(Y) = 2.4, D(XY) = 3,48
Корреляционный
момент:
K(XY) = — M(x))(yj
– M(y)))
K(XY) = ( x1 – M(x))* * (yj
– M(y))) + ( x2 – M(x))* * (yj
– M(y))) + ( x3 – M(x))* * (yj
– M(y))) = -2.5*(-0.2+0)
-0.5*(-0.4+0.2)+1.5*0.4=0.5+0.01+0.6=1,11
K(XY) = 1.11
Коэффициент
корреляции:
r(XY) = = 0.595
Задача 7.
Для
оценки деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности
были проведены выборочные бизнес обследования. Данные о показателях деловой
активности были получены в баллах: 6, 8, 8, 13, 10, 16, 10, 18, 10, 13, 13, 16,
10, 13, 16, 13, 16, 10, 13, 18.
Постройте ряд распределения предприятий по
данным деловой активности, начертите полигон распределения и определите средний
бал деловой активности предприятий, дисперсию, среднеквадратическое отклонение
и коэффициент корреляции. Объясните полученные данные.Разбив все данные по предприятиям на шесть
равных интервалов, постройте группированный ряд распределения. С помощью
гистограммы оцените плотность распределения. Проверьте гипотезу о нормальном
распределении выборки с помощью критерия -квадрат при уровне значимости 0.05.
Постройте доверительный интервал (точный или асимптотический) для
математического ожидания с уровнем доверия 0.95.
Решение.
Построим
ряд распределения в порядке возрастания балла деловой активности и вычислим
характеристики:
Ниже
построим полигон распределения
Разбиваем выборку на интервалы:
Длина интервала h = = = 2
Плотность распределения указана
на самой гистограмме в каждом ее столбце.
Проверка гипотезы о нормальном
распределении выборки с помощью критерия 2:
Для того, чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально,
необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое
значение критерия и
по таблице критических точек распределения ,
по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k=n–3 найти
критическую точку .
Если –
то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую
гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по
нормальному закону.
Доверительный интервал для
математического ожидания строим исходя из следующего:
Построим сначала
доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал
взять симметричным относительно ; обозначим половину длины интервала.
Величину нужно выбрать так, чтобы
выполнялось условие
Попытаемся
перейти в левой части этого равенства от случайной величины к случайной величине , распределенной по закону
Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства на положительную величину :
Если иметь в своем
распоряжении таблицу значений интеграла
,
то величину можно найти
обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее
таблицу значений . В этой таблице приведены
значения в зависимости от
доверительной вероятности и числа степеней свободы . Определив по таблице 5 и полагая
мы найдем половину
ширины доверительного интервала и сам интервал
=
= 2.4460
= 2.446* = 3.349
Доверительный интервал будет:
= (9.151; 15,849)
Задача 8.
Имеются данные о возрастном составе
безработных мужчин в России в 1996 году.
Вычислите
ранговый коэффициент корреляции Спирмена,
установите, зависят ли исследуемые величины. Оцените значимость этого
коэффициента. Принять уровень значимости равным 0.01.
Решение.
Перепишем нашу таблицу с
добавлением рангов, причем ранжирование осуществим в порядке возрастания и
определим соответствующие характеристики:
= 1 – 6 *
= —
Связь между признаком Y и
фактором X умеренная и обратная
Оценка
коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Значимость коэффициента
ранговой корреляции Спирмена
По таблице Стьюдента находим tтабл:
tтабл (n-m-1;?/2) =
(5;0.01/2) = 4.032
Поскольку Tнабл < tтабл , то
принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими
словами, коэффициент ранговой корреляции статистически — не значим.
Задача
9.
Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет
следующий вид: в администрации отделения работает 25 женщин и 15 мужчин, а в
число операционистов входит 35 женщин и
25 мужчин. По имеющимся данным постройте таблицу сопряженности и по ней при
уровне значимости = 0.05 проверьте гипотезу о независимости
признаков.
Решение
Таблица сопряженности:
Применим критерий :
= 100 *
+ 2 * + — 1) = 0.174
Критическое значение при уровне
значимости 0.05 равно 3.841. Отсюда заключаем, что гипотеза о независимости
признаков не может быть отвергнута, а это значит, что дискриминации при наборе
персонала по половому признаку отсутствует.
Задача
10.
Компания, выпускающая в продажу
новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной
выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт
остальным. Проверьте на уровне значимости 0.01 гипотезу о том, что, по крайней
мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт кофе.
Решение.
Предпочтение «по крайней мере»
говорит о том, что критическая область будет правосторонней, т.е. ожидаемые
частоты не менее 0.52.
Для проверки гипотезы H0 (p p
0) найдем
величину
U = ( — p0)*/
M = 220, n = 400, p0 = 0.52 q0 =
1 — p0
При этом, конкурирующая
гипотеза H1 (p < p0)
U = (0.55 – 0.52)/ 0.03*20/0.5 1.2
При конкурирующей гипотезе
найдем критическую точку левосторонней критической области.
Ф(Uкр) = = = 0.49
По таблице функции Лапласа
находим Uкр 2.33
Поскольку U > — Uкр, то нет оснований отвергать
гипотезу о том, что, по крайней мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт
кофе.
1. Руководство фирмы может обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников 3 различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не больше одной заявки? Какова вероятность того, что заявки получат агентства с наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает?
2. На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара разбит. Если Вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна вероятность того, что по крайней мере 1 из них будет разбит? Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора.
3. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной, — в 0,30, если политическая ситуация будет нейтральной, и — в 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,6, 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
4. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор случайно отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных аудитором. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что аудитор обнаружит более, чем 1 ошибку.
5. Почтовая компания быстро оценивает объём переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений составляет N кг, то объём переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 160N кг и стандартным отклонением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес почтовых отправлений составит 150 кг, объём переводов в рублях будет находиться в пределах: а) от 21000 до 27000 руб.; б) более 28500 руб.; в) менее 22000 руб.
6. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники:
|
Выручка, у.е. |
0-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600-700 |
|
Число дней |
3 |
5 |
9 |
14 |
8 |
3 |
7. Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, найдите 95%-ный доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца.
8. Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% её потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2000 тыс. чел. и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех её потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Принять уровень значимости a = 0,05.
9. Определите тесноту связи между возрастом самолета (X, лет) и стоимостью его эксплуатации (Y, млн. руб.) по следующим данным:
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Y |
2 |
4 |
5 |
8 |
10 |
Установите значимость коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолета, если его возраст 1,5 года, а уровень значимости принять равным 0,05?
1. Руководство фирмы может
обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих
сотрудников 3 различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3 заявок между 6 агентствами,
если каждое агентство может получить не больше одной заявки?
Какова вероятность того, что заявки получат агентства с
наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку
оно получает?
2. На сахарном заводе один из цехов
производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара
разбит. Если Вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна
вероятность того, что по крайней мере 1 из них будет разбит? Предполагаем
независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности
отбора.
3. Транснациональная компания
обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой
политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых
инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую
предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность
успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в
0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной, — в 0,30,
если политическая ситуация будет нейтральной, и — в 0,10, если политическая
ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также
полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной
политических ситуаций соответственно равны: 0,6, 0,2 и 0,2. Чему равна
вероятность успеха инвестиций?
4. Для того чтобы проверить
точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами
аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие компании при обработке
входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор случайно
отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок,
выявленных аудитором. Найдите числовые характеристики этого распределения.
Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите
вероятность того, что аудитор обнаружит более, чем 1 ошибку.
5. Почтовая компания быстро
оценивает объём переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого
текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений
составляет N кг,
то объём переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по
нормальному закону со средним значением 160N кг и стандартным отклонением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес
почтовых отправлений составит 150 кг, объём переводов в рублях будет находиться
в пределах: а) от 21000 до 27000 руб.; б) более 28500 руб.; в) менее
22000 руб.
6. Постройте гистограмму частот,
найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент
вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники:
|
Выручка, у.е. |
0-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600-700 |
|
Число дней |
3 |
5 |
9 |
14 |
8 |
3 |
7. Менеджер компании, занимающейся
прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля
в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной
бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что
средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным
отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, найдите
95%-ный доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего
парка в течение месяца.
8. Компания по производству
безалкогольных напитков предполагает
выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания
хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% её потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен
на пробу 2000 тыс. чел. и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли
компания отклонить предположение
о том, что только 70% всех её потребителей предпочтут новую модификацию напитка
старой? Принять уровень значимости a = 0,05.
9. Определите тесноту связи
между возрастом самолета (X, лет) и стоимостью
его эксплуатации (Y, млн. руб.) по следующим данным:
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Y |
2 |
4 |
5 |
8 |
10 |
Установите значимость
коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение регрессии и
объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолета, если
его возраст 1,5 года, а уровень
значимости принять равным 0,05?
http://statistica.narod.ru/ind/ms_tv.doc
http://statistica.narod.ru/ind/ms_tv.exe
1.1.Во многих странах
водительское удостоверение
(автомобильные права) имеет шифр,
состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно
общее число возможных номеров
водительских удостоверений, считая,
что число букв русского алфавита,
используемых для составления шифра,
— 26, а буквы занимают первые 3 позиции
шифра? Если шифр состоит только из 6
цифр, то чему в этом случае равно общее
число всех возможных номеров удостоверений,
если: а) цифры в шифре не повторяются;
б) повторяются?
1.2.Сколько существует
способов составления в случайном порядке
списка из 7 кандидатов для выбора на
руководящую должность? Какова вероятность
того, что кандидаты будут расставлены
в списке по возрасту (от меньшего к
большему)?
1.3.Руководство фирмы
выделило отделу рекламы средства
для помещения в печати объявлений о
предлагаемых фирмой товарах и услугах.
По расчетам отдела рекламы выделенных
средств хватит для того, чтобы поместить
объявления только в 15 из 25 городских
газет. Сколько существует способов
случайного отбора газет для помещения
объявлений? Какова вероятность того,
что в число отобранных попадут 15
газет, имеющих наибольший тираж?*
1.4.Менеджер рассматривает
кандидатуры 8 человек, подавших
заявления о приеме на работу. Сколько
существует способов приглашения
кандидатов на собеседование в случайном
порядке? Какова вероятность того,
что они случайно будут приглашены
на собеседование в зависимости от
времени их прихода в офис?*
1.5.На железнодорожной
станции имеется 5 путей. Сколькими
способами можно расставить на них 3
состава? Какова вероятность того, что
составы случайно будут расставлены
на путях в порядке возрастания их
номеров?*
1.6.Покупая карточку
лотереи «Спортлото», игрок должен
зачеркнуть 6 из 49 возможных чисел от 1
до 49. Если при розыгрыше тиража лотереи
он угадает все 6 чисел, то имеет шанс
выиграть значительную сумму денег.
Сколько возможных комбинаций можно
составить из 49 по 6, если порядок чисел
безразличен? Чему равна вероятность
угадать все 6 номеров?*
1.7.Четыре человека случайно
отбираются из 10 согласившихся участвовать
в интервью для выяснения их отношения
к продукции фирмы по производству
продуктов питания. Эти 4 человека
прикрепляются к 4 интервьюерам.
Сколько существует различных способов
составления таких групп? Если выбор
случаен, чему равна вероятность
прикрепления определенного человека
к интервьюеру?*
1.8.Сколькими способами
можно рассадить 5 гостей за круглым
столом? Какова вероятность того, что
гости случайно окажутся рассаженными
по росту?*
1.9.Девять запечатанных
пакетов с предложениями цены на
аренду участков для бурения нефтяных
скважин поступили утром в специальное
агентство утренней почтой. Сколько
существует различных способов очередности
вскрытия конвертов с предложениями
цены? Какова вероятность того, что
конверты случайно окажутся вскрытыми
в зависимости от величины предлагаемой
за аренду участков цены?*
1.10.Фирма нуждается в
организации 4 новых складов. Ее сотрудники
подобрали 8 подходящих одинаково удобных
помещений. Сколько существует способов
отбора 4 помещений из 8 в случайном
порядке? Какова вероятность того, что
в число отобранных попадут 4 помещения,
расположенные в многоэтажных зданиях?*
1.11.Для разгрузки поступивших
товаров менеджеру требуется выделить
6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими
способами можно это сделать, осуществляя
отбор в случайном порядке? Какова
вероятность того, что в число отобранных
войдут самые высокие рабочие?*
1.12.Руководство фирмы
может обратиться в 6 туристических
агентств с просьбой об организации для
своих сотрудников 3 различных туристических
поездок. Сколько существует способов
распределения 3 заявок между 6
агентствами, если каждое агентство
может получить не более одной заявки?
Какова вероятность того, что заявки
получат агентства с наибольшим
оборотом, причем, чем крупнее агентство,
тем крупнее заявку оно получает?*
1.13.Для доступа в компьютерную
сеть оператору необходимо набрать
пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не
знает необходимого кода. Сколько
всевозможных комбинаций он может
составить для набора пароля: а) если
цифры в коде не повторяются; б) если
повторяются? С какой вероятностью можно
открыть замок с первой попытки?*
1.14.Сколько существует
способов составления списка 20 деловых
звонков случайным образом? Какова
вероятность того, что список окажется
составленным в алфавитном порядке?*
1.15.На рынке представлено
8 различных пакетов программ для
бухгалтерии с приблизительно равными
возможностями. Для апробации в своих
филиалах фирма решила отобрать 3 из
них. Сколько существует способов отбора
3 программ из 8, если отбор осуществлен
в случайном порядке? Какова вероятность
того, что среди отобранных случайно
окажутся 3 программы, занимающие
наименьший объем памяти?*
1.16.Выделены крупные суммы
на выполнение 4 крупных правительственных
программ, сулящих исполнителям
высокую прибыль. Сколько существует
способов случайного распределения этих
4 программ между 6 возможными исполнителями?
Какова вероятность того, что средства
на выполнение программ при таком
распределении получат 4 исполнителя,
имеющие наибольшую прибыль, причем
величина выделяемых средств зависит
от величины прибыли исполнителей?*
1.17.Брокерская фирма
предлагает акции различных компаний.
Акции 10 из них продаются по наименьшей
среди имеющихся акций цене и обладают
одинаковой доходностью. Клиент
собирается приобрести акции 3 таких
компаний — по 1 от каждой компании.
Сколько существует способов выбора 3
таких акций из 10, если выбор
осуществляется в случайном порядке?
Какова вероятность того, что в число
случайно отобранных попадут акции,
рост цен на которые будет наибольшим
в следующем году?*
1.18.ФирмыF1,F2,FЗ,F4,F5 предлагают свои условия
по выполнению 3 различных контрактов
С1, С2 и СЗ. Любая фирма может получить
только один контракт. Контракты различны,
т. е. если фирмаF1 получит
контракт С1, то это не то же самое, если
она получит контракт С2. Сколько способов
получения контрактов имеют фирмы? Если
предположить равновозможность заключения
контрактов, чему равна вероятность
того, что фирмаFЗ получит
контракт?*
1.19.По сведениям
геологоразведки 1 из 15 участков земли
по всей вероятности содержит нефть.
Однако компания имеет средства для
бурения только 8 скважин. Сколько способов
отбора 8 различных скважин у компании?
Какова вероятность того, что случайно
отобранные для бурения участки окажутся,
например, самыми северными?*
1.20.На 9 вакантных мест по
определенной специальности претендуют
15 безработных, состоящих на учете в
службе занятости. Сколько возможно
комбинаций выбора 9 из 15 безработных?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Задача
1.
Руководство фирмы может
обратиться в шесть туристических агентств с просьбой об организации для своих
сотрудников трех различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3
заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной
заявки. Какова вероятность того, что заявки получат агентства с наибольшим
оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает.
Решение.
Предположим для простоты
рассуждений, что заявки, получаемые агентствами разные по своей
содержательности, а значит и вместимости в них некоторого перечня услуг. В этом
случае поставленную выше задачу можно переформулировать на язык комбинаторики и
задачу изложить в следующем аспекте: пусть имеется 6 мест и 3 элемента (все они
отличаются друг от друга), необходимо определить число комбинаций которыми
можно распределить 3 элемента по 6 местам при этом в каждом из мест должно
находится не более одного элемента.
Из элементов теории
комбинаторики это число определяется как
=
n – количество
ячеек
m – количество
элементов
В нашем случае это число
равно (n=6, m=3) = = 120
Итак, общее количество
возможных комбинаций 120.
Теперь ответим на второй
вопрос решаемой задачи. Для этого пронумеруем агентства от 1 до 6. Будем
считать, что номер агентства соответствует объему оборота (условно). Тогда, для
исследуемой проблемы нас интересуют агентства с номерами 4, 5 и 6. Заявки,
поручаемые руководством фирмы можно так же пронумеровать от 1 до 6, что будет
соответствовать затребованным объемам услуг. Поскольку заявки разные, то из
данных номеров можно составить некоторое поле комбинаций. Составим комбинации,
куда входят цифры 1, 2, 3 и 4: 123, 124, 234, 314. Составим комбинации с
наличием цифры 5: 152, 153, 154, 253, 254, 354. Составим комбинации с наличием цифры
6: 126, 136, 146, 156, 236, 246, 256, 346, 356, 456. Совершенно очевидно, что
заявки из 1 партии составленных комбинаций можно разместить по номерам 4, 5 и 6
n*3! раз, где n – число элементов партии
(в нашем случае n=4); для 2 партии это число равно n*4 при
n = 6; для 3 партии – n1*2+n2,
где n1 – число комбинаций, исключающих цифру 5, n2 –
число комбинаций, куда эта цифра входит (n1=6, n2=4).
Итак, общее число благоприятных исходов равно N = 24+24+16 = 64.
Классическое определение
вероятности:
P =
M – общее
число исходов. (M = )
Соответственно, согласно
классическому определению вероятности, значение этой величины равно:
P = (отношение благоприятствующих событий к общему
числу событий). Заметим, что данное число относится к той ситуации, когда
безразлично попадание заявок в тур. фирмы. Если рассматривать вариант с
распределением соответствующим объему заявки и обороту агентства, то это число
уже будет другое. Для рассматриваемой ситуации расположение заявок по
агентствам иное. Получается, что номера заявок в триаде чисел должны
располагаться в порядке возрастания, т.е. 123, 234 и т.д. Распишем эту комбинацию:
123, 134, 145, 156, 234, 235, 236, 245, 256, 345, 356, 456. Это комбинация,
которая удовлетворяет принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму
она попадает и распределение идет в порядке возрастания номера. Таким образом,
благоприятное число исходов N =
12, а вероятность такого события равна p=0.1.
Ответ: всего существует 120
различных способов, вероятность получения заявок агентствами с наибольшим
оборотом P = (при «хаотичном» распределении заявок) и p=0.1, если заявки попадают в агентства по
принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму она попадает и
распределение идет в порядке возрастания номера.
Задача
2.
Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных
корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной
работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма
получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится
к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит
оба заказа?
Решение.
Обозначим события:
А — «Получение консультационной работы в корпорации А»;
В — «Получение консультационной работы в корпорации В».
События А и В — зависимые, так как событие В зависит
от того, произойдет или нет событие А. По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие B) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей. Отсюда получим
Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.
Ответ:
искомая вероятность равна 0.405.
Задача 3.
Вероятность
наступления страхового случая равна
0.002. Какова вероятность того, что из 400 застрахованных предъявят иск:
а) 2 человека, б) не более 2 человек?
Решение.
Обозначим
вероятность наступления страхового случая p.
Искомая
вероятность ввиду большого числа испытаний и малой вероятности p определится
из формулы Пуассона:
а)
P(X=2) = ,
где = np = 400*0.002 = 0.8
P(X=2) = = 0.32*0.449 0.144
б) P(X2) = Pn,0
+ Pn,1 + Pn,2
Pn,0
= Pn,1 = Pn,2 =
P(X2) = 0.449+0.144+0.8*0.449 = 0.9522
Ответ:
искомые вероятности равны для случая а) 0.144 и для случая б) 0.9522.
Задача
4.
Для того, чтобы проверить
точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами
аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие
компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5 % ошибок. Для
проверки аудитор случайно отбирает 5 входящих документов. Составьте ряд
распределения случайной величины Х, равной числу ошибок, выявленных аудитором.
Найдите числовые характеристики этого распределения: математическое ожидание M(X); дисперсию
D(X); функцию распределения FX(x), постройте график функции распределения.
Найдите закон распределения случайной величины Y = |X|+1 и математическое ожидание M(Y).
Решение.
В
качестве случайной величины в задаче выступает X, которая равна числу
выявленных ошибок. Данная величина допускает ряд целых значений от 0 до 5.
Вероятность того, что в каком-либо на удачу выбранном отчете будет выявлена
ошибка, равна 0.05. Вероятность
противоположного события, т.е. такого, что ошибки не обнаружат, равна 0.95. Все
5 испытаний независимы, т.е. появление ошибки в одном из отчетов никак не
скажется на наличие или отсутствие таковой в остальных.
Очевидно, что случайная величина Х подчиняется
биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=5 и р = 0.05.
Итак, по условию задачи: n = 5; р = 0.05;
q = 0.95; X = т
Для того, чтобы построить
ряд распределения, необходимо вычислить вероятности событий, при которых
случайная величина принимает конкретное значение и затем свести все данные в
таблицу.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле
Бернулли
P(X=m) = Pn,m = pmqn-m = pmqn-m
Подставляя данные для расчетов, находим
P(X=0) = q5 = 0.955 = 0.7737809375
P(X=1) = 5*0.05*0.954 =
0.2036265625
P(X=2) = 10*0.052*0.953
= 0.021434375
P(X=3) = 10*0.053*0.952
= 0.001128125
P(X=4) = 5*0.054*0.95 =
0.0000296875
P(X=5) = 0.055 =
0.0000003125
Заметим, что полученный ряд нормируется на единицу (сумма
всех членов ряда равна 1), а значит вероятности подсчитаны верно.
Основные формулы
для вычислений характеристик дискретной величины:
Математическое
ожидание M(X) = *pi
Дисперсия:
Функция
распределения:
Составляем таблицу и вычисляем основные характеристики, а
так же приводим график функции распределения:
Замечание: при построении графика 0 значение функции
соответствует X?0 и далее функция ступенчато нарастает, приближаясь к 1.
Построим теперь
закон распределения новой случайной величины Y=|X|+1.
Эти два события (|X| и 1) в общем случае
взаимонезависимы, поэтому для того, чтобы составить закон распределения |X|+1
величины необходимо складывать, а соответствующие им вероятности умножать. Заметим
при этом, что вероятность того что случайная величина принимает постоянное
значение равна 1
Имеем:
Заметим, что согласно свойству
математического ожидания, значения, вычисленные формально M(X) = *pi совпадают со свойством, которое
заключается в том, что математическое ожидание суммы, равно сумме
математических ожиданий. Причем мат. ожидание константы равно самой
постоянной.
Задача 5.
Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет
вид
Найдите нормирующую константу,
математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение, функцию распределения,
дисперсию, вероятность того, что наблюдаемое значение X попадет в интервал [0;2].
Решение.
Нормирующую константу найдем
исходя из определения плотности и функции распределения. А именно:
(x)dx = 1, отсюда
= 1 x[-1;3]
C =
Функцию распределения ищем в
виде:
F(x) = (x+1)2dx =
Математическое ожидание:
M(x) = (x+1)2dx = (x+1)2dx = +
+ x[-1;3]
M(x) = 0.234375
+ 0.21875 + 0.05859375 = 0.51171875
Дисперсия:
D(x) = (x+1)2dx – [M(x)]2
= (48,8+40) + 0,109375 — 0,2618560791015625 = 0,8881439208984375
Среднеквадратичное отклонение:
= = 0.942
Найдем вероятность того, что Х
попадает в интервал [0;2].
P = (x+1)2dx = x[0;2]
P = 0.1015625
Задача
6.
По таблице распределения
двумерной случайной величины найдите частные законы распределения случайных
величин X и Y, математические ожидания M(XY), M(X), M(Y);
дисперсии D(XY), D(X), D(Y),
вычислите корреляционный момент K(XY), коэффициент корреляции r(XY).
Решение
Для того, чтобы найти частные законы распределения, поступим
следующим образом: перепишем таблицу еще раз:
X
Y
1
3
5
0
0.1
0
0
2
0.2
0.3
0.1
4
0
0.1
0.2
При этом сумма
вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.
Зная закон распределения
двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих.
Действительно, событие Х = х1 представляется собой
сумму несовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),…, (X = x1, Y = ym), поэтому р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym) (в правой части находится сумма
вероятностей, стоящих в строке, соответствующей Х = х1). Так же можно найти
вероятности остальных возможных значений Х. Для определения
вероятностей возможных значений Y
нужно
сложить вероятности, стоящие в столбце таблицы, соответствующей Y = yj.
Ряд
распределения для X:
X
0
2
4
P
0.1
0.6
0.3
Ряд
распределения для Y:
Y
1
3
5
P
0.3
0.4
0.3
Найдем
математические ожидания:
M(XY) = M(X)*M(Y)
M(X) = 2.5, M(Y) = 3, M(XY) = 7.5
Найдем
дисперсии:
D(XY) = D(X)D(Y)
D(X) = 1.45, D(Y) = 2.4, D(XY) = 3,48
Корреляционный
момент:
K(XY) = — M(x))(yj
– M(y)))
K(XY) = ( x1 – M(x))* * (yj
– M(y))) + ( x2 – M(x))* * (yj
– M(y))) + ( x3 – M(x))* * (yj
– M(y))) = -2.5*(-0.2+0)
-0.5*(-0.4+0.2)+1.5*0.4=0.5+0.01+0.6=1,11
K(XY) = 1.11
Коэффициент
корреляции:
r(XY) = = 0.595
Задача 7.
Для
оценки деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности
были проведены выборочные бизнес обследования. Данные о показателях деловой
активности были получены в баллах: 6, 8, 8, 13, 10, 16, 10, 18, 10, 13, 13, 16,
10, 13, 16, 13, 16, 10, 13, 18.
Постройте ряд распределения предприятий по
данным деловой активности, начертите полигон распределения и определите средний
бал деловой активности предприятий, дисперсию, среднеквадратическое отклонение
и коэффициент корреляции. Объясните полученные данные.Разбив все данные по предприятиям на шесть
равных интервалов, постройте группированный ряд распределения. С помощью
гистограммы оцените плотность распределения. Проверьте гипотезу о нормальном
распределении выборки с помощью критерия -квадрат при уровне значимости 0.05.
Постройте доверительный интервал (точный или асимптотический) для
математического ожидания с уровнем доверия 0.95.
Решение.
Построим
ряд распределения в порядке возрастания балла деловой активности и вычислим
характеристики:
Ниже
построим полигон распределения
Разбиваем выборку на интервалы:
Длина интервала h = = = 2
Плотность распределения указана
на самой гистограмме в каждом ее столбце.
Проверка гипотезы о нормальном
распределении выборки с помощью критерия 2:
Для того, чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально,
необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое
значение критерия и
по таблице критических точек распределения ,
по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k=n–3 найти
критическую точку .
Если –
то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую
гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по
нормальному закону.
Доверительный интервал для
математического ожидания строим исходя из следующего:
Построим сначала
доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал
взять симметричным относительно ; обозначим половину длины интервала.
Величину нужно выбрать так, чтобы
выполнялось условие
Попытаемся
перейти в левой части этого равенства от случайной величины к случайной величине , распределенной по закону
Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства на положительную величину :
Если иметь в своем
распоряжении таблицу значений интеграла
,
то величину можно найти
обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее
таблицу значений . В этой таблице приведены
значения в зависимости от
доверительной вероятности и числа степеней свободы . Определив по таблице 5 и полагая
мы найдем половину
ширины доверительного интервала и сам интервал
=
= 2.4460
= 2.446* = 3.349
Доверительный интервал будет:
= (9.151; 15,849)
Задача 8.
Имеются данные о возрастном составе
безработных мужчин в России в 1996 году.
Вычислите
ранговый коэффициент корреляции Спирмена,
установите, зависят ли исследуемые величины. Оцените значимость этого
коэффициента. Принять уровень значимости равным 0.01.
Решение.
Перепишем нашу таблицу с
добавлением рангов, причем ранжирование осуществим в порядке возрастания и
определим соответствующие характеристики:
= 1 – 6 *
= —
Связь между признаком Y и
фактором X умеренная и обратная
Оценка
коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Значимость коэффициента
ранговой корреляции Спирмена
По таблице Стьюдента находим tтабл:
tтабл (n-m-1;?/2) =
(5;0.01/2) = 4.032
Поскольку Tнабл < tтабл , то
принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими
словами, коэффициент ранговой корреляции статистически — не значим.
Задача
9.
Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет
следующий вид: в администрации отделения работает 25 женщин и 15 мужчин, а в
число операционистов входит 35 женщин и
25 мужчин. По имеющимся данным постройте таблицу сопряженности и по ней при
уровне значимости = 0.05 проверьте гипотезу о независимости
признаков.
Решение
Таблица сопряженности:
Применим критерий :
= 100 *
+ 2 * + — 1) = 0.174
Критическое значение при уровне
значимости 0.05 равно 3.841. Отсюда заключаем, что гипотеза о независимости
признаков не может быть отвергнута, а это значит, что дискриминации при наборе
персонала по половому признаку отсутствует.
Задача
10.
Компания, выпускающая в продажу
новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной
выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт
остальным. Проверьте на уровне значимости 0.01 гипотезу о том, что, по крайней
мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт кофе.
Решение.
Предпочтение «по крайней мере»
говорит о том, что критическая область будет правосторонней, т.е. ожидаемые
частоты не менее 0.52.
Для проверки гипотезы H0 (p p
0) найдем
величину
U = ( — p0)*/
M = 220, n = 400, p0 = 0.52 q0 =
1 — p0
При этом, конкурирующая
гипотеза H1 (p < p0)
U = (0.55 – 0.52)/ 0.03*20/0.5 1.2
При конкурирующей гипотезе
найдем критическую точку левосторонней критической области.
Ф(Uкр) = = = 0.49
По таблице функции Лапласа
находим Uкр 2.33
Поскольку U > — Uкр, то нет оснований отвергать
гипотезу о том, что, по крайней мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт
кофе.
22. Варианты самостоятельных работ
2. Найти шестой член разложения
Ответ:
3. Сколькими способами можно составить колонну из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?
Ответ:
4. В шахматном турнире участвуют шесть студентов и три школьника. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьники, если никакие два участника не набрали одинаковое число очков?
Ответ:
5. Сколько делителей у числа 105?
Ответ: Разложим число 105 на простые множители , или по формуле (7.3) получаем
6. На вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары на танец?
Ответ:
7. Сколько ожерелий можно составить из 7 бусинок различных размеров (надо использовать все бусинки)?
Ответ: Т. к. ожерелье остается неизменным при циклических перестановках бусинок и при переворачивании, то можно получить 7!/14=360 видов ожерелий.
ТОП-7 трудовых прав, о которых вы НЕ ЗНАЕТЕ
8. В первой урне находятся 4 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что все шары будут белые.
Ответ:
9. 10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 не будут использованы.
Ответ:
10. Семь различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что книги трехтомника окажутся рядом в возрастающем порядке.
Ответ:
11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равны 0,6, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.
1. Решить уравнение
2. В разложении
Ответ:
3. На плоскости проведены n прямых линий, из которых никакие две не являются параллельными и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?
Ответ:
4. Сколькими способами можно разложить 12 различных марок между тремя мальчиками, если один берёт 6 марок, а остальные – по 3 марки?
Ответ:
5. Сколько делителей у числа 360?
Ответ: Поскольку
6. В избушке на курьих ножках собрались Баба-Яга, Кощей и Леший. У Бабы-Яги есть 4 чашечки, 5 блюдец и 6 чайных ложечки (все чашки, блюдца и ложечки отличаются друг от друга). Сколькими способами она может накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложечку)?
Ответ:
7. Шесть девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут организовать хоровод?
Ответ: Т. к. хоровод остается неизменным при циклических перестановках девушек, то можно получить 6!/6=120 способов.
8. В урне находятся 5 белых и 3 черных шаров, из которой случайно по порядку с возвращением вынимаются 4 шара. Какова вероятность того, что первые два шара будут белые, а последние два черные.
№14.1 — 14.31 ГДЗ Алгебра 11 класс Мерзляк базовый уровень
Ответ:
9. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 вопроса из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответ на все вопросы?
Ответ:
10. Случайным образом выписаны 3 цифры. Найти вероятность того, все цифры различные.
Ответ:
11. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.
1. Решить уравнение
2. Раскрыть скобки в выражении
Ответ:
3. Сколькими способами можно составить шестизначное число, в запись которого входят четыре двойки и две пятёрки?
Ответ:
4. На пять сотрудников университета выделены три путёвки на один курорт. Сколькими способами их можно распределить, если: а) все путёвки в различные санатории; б) все путёвки в один санаторий.
Ответ: а) .
5. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А ели среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т. е. двух королей, двух десяток и т. д.?
Ответ: Получаем размещения с повторениями из 13 карт по 4. Всего .
6. Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов, если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различными)?
Ответ: Осуществляя выбор сверху вниз, получаем
7. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду в составе 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в неё вошло не более 3 юношей?
Ответ:
8. Автобус должен сделать 8 остановок, в котором едут 5 пассажиров. Какова вероятность, что на каждой остановке выйдет не более одного пассажира, если предположить, что каждый пассажир имеет одинаковую вероятность выйти на любой остановке?
Ответ:
9. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос».
Ответ:
10. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.
Ответ:
11. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,6. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.
1. Решить уравнение
2. Найти член разложения
Ответ:
3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ:
4. Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трёх гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ:
5. На призывном пункте находится 15 призывников. Сколькими способами можно поставить в колонну по три человека?
Ответ:
6. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если определенные два человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
Ответ:
7. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ:
8. 8 вариантов контрольной работы случайным образом распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 7 и 8 не будут использованы?
Ответ:
9. В первой урне находятся 5 оранжевых и 4 фиолетовых шара, во второй – 3 оранжевых и 7 фиолетовых шара. Из каждой урны случайным образом вынули по три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.
Ответ:
10. В журнале из 20 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом одинаковую рекламу некоторой фирмы. Какова вероятность, что эта реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой?
Решение: В данной задаче порядок размещения рекламы неважен. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Общее число размещений рекламы в журнале .
11. В ОТК поступают 4 детали. Вероятность того, что деталь бракованная равна 0,1. Проверка производится последовательно до обнаружения бракованной детали. Найти вероятность того, что будут проверены все 4 детали.
1. Уравнение
Ответ:
2. Найти показатель степени бинома
Ответ:
3. На складе имеются 7 ящиков с различными фруктами и 5 ящика с различными овощами. Сколькими способами можно каждой из трёх овощных палаток выдать по одному ящику с фруктами и овощами?
Ответ:
4. Сколькими способами 6 одинаковых монет могут распределить между собой Буратино, лиса Алиса и кот Базилио?
Ответ:
5. В команду должны быть отобраны 4 спортсмена из имеющихся 10. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных спортсмена должны войти в команду?
Ответ:
6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях будет ровно один туз?
Ответ:
7. Пассажирский поезд состоит из четырех багажных вагонов и десяти купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале или конце?
Ответ:
8. Собрание, на котором присутствуют 12 человек, в том числе 7 женщин, выбирают председателя, его первого и второго заместителя. Найти вероятность того, что председатель и его заместители будут женщинами, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.
Ответ:
9. В урне находятся 5 зелёных и 3 жёлтых шара. Из урны случайным образом вынули три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.
Ответ:
10. 10 вариантов контрольной работы распределяется среди случайным образом среди 10 студентов, сидящих в один ряд. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам.
Ответ:
11. Два охотника одновременно и независимо друг от друга стреляют по зайцу. Найти вероятность того, что попадёт только один из охотников, если вероятность попадания для первого охотника равна 0,8, а для второго – 0,7.
Ответ:
1. Уравнение
Ответ:
2. Найти средний член разложения
Ответ:
3. В пространстве даны 7 точек, причем никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти 7 точек?
Ответ:
4. Эллочка Людоедка решила расставить семь различных книг на полке. Сколькими способами она может это сделать, если две наиболее красивые книги (по её мнению) в красном переплёте должны стоять по краям?
Ответ:
5. В первенстве края по футболу участвуют 12 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 3 определенные команды?
Ответ:
6. Сколькими способами декан может раздать 7 поручений 4 студентам?
Ответ:
7. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащее на одной вертикали или горизонтали?
Ответ:
8. Для проведения тестирования группу студентов, состоящую из 18 человек, случайным образом разбивают на две подгруппы из 12 и 6 человек. Какова вероятность, что две подружки, Оля и Тяня, окажутся в одной подгруппе?
Решение: В данной задаче порядок неважен, т. е. не принимается во внимание порядок отбора студентов в группу. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Для того чтобы разбить 18 студентов на две подгруппы достаточно выбрать, например, 12 студентов в одну подгруппу, тогда остальные образуют другую подгруппу. Таким образом, общее число разбиений студентов на две подгруппы будет равно ), либо добавить 4 студентов из 16 ( . В результате, получаем
9. В газете из 16 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом разные объявления. Какова вероятность, что эти объявления будут размещены на страницах, идущих одна за другой?
Ответ:
10. В одной урне 3 зелёных и 4 жёлтых шаров, в другой – 6 зелёных и 2 жёлтых шара. Из каждой урны взяли по два шара. Какова вероятность того, что все шары будут одного цвета?
Ответ:
11. Студент знает 5 вопросов из 12. Какова вероятность того, что он получит зачет, если нужно ответить на все три задаваемых вопроса?
Ответ:
1. Решить уравнение
2. Найти член разложения
Ответ:
3. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?
Ответ:
4. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «парабола»?
Ответ:
5. Труппа состоит из 10 человек. Сколькими способами можно выбирать из неё в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?
Ответ:
6. Сколькими способами Буратино, лиса Алиса и кот Базилио могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет и 2 разных брильянтовых ожерелья?
Ответ:
7. Сколькими способами можно разложить 9 книг по 3 бандеролям по 3 книги в каждой (порядок бандеролей не принимать во внимание)?
Ответ:
8. Для проведения тестирования группу студентов, состоящую из 18 человек, случайным образом разбивают на две подгруппы из 12 и 6 человек. Какова вероятность, что две подружки, Оля и Таня, окажутся в разных подгруппах?
Ответ: Решается аналогично задаче 8 предыдущего варианта
9. Три охотника стреляют по 7 уткам. Каждый из охотников выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все охотники выстрелят по разным уткам.
Ответ:
10. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: м, м, а, а. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «мама».
Ответ:
11. Вероятность боя стеклянной тары при погрузке на автомашины равна 0,03, а при транспортировке – 0,07. Какова вероятность боя стеклянной тары?
Источник: matica.org.ua
Руководство фирмы может обратиться в шесть туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников трех различных туристических поездок
Нужен аспирант или преподаватель, чтобы помочь сделать решение задач по теории вероятности, сроки очень сжатые. Отзовитесь, пожалуйста!
Руководство фирмы может обратиться в шесть туристических агентств с просьбой об организации для своих сотрудников трех различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3 заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной заявки.
Какова вероятно сть того, что заявки получат агентства с наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает. Решение.
Предположим для простоты рассуждений, что заявки, получаемые агентствами разные по своей содержательности, а значит и вместимости в них некоторого перечня услуг. (работа была выполнена специалистами Автор 24) В этом случае поставленную выше задачу можно переформулировать на язык комбинаторики и задачу изложить в следующем аспекте: пусть имеется 6 мест и 3 элемента (все они отличаются друг от друга), необходимо определить число комбинаций которыми можно распределить 3 элемента по 6 местам при этом в каждом из мест должно находится не более одного элемента. Из элементов теории комбинаторики это число определяется как Amn = n!n-m! n – количество ячеек m – количество элементов В нашем случае это число равно (n=6, m=3) Amn = 6!3! = 120 Итак, общее количество возможных комбинаций 120.
Теперь ответим на второй вопрос решаемой задачи. Для этого пронумеруем агентства от 1 до 6. Будем считать, что номер агентства соответствует объему оборота (условно). Тогда, для исследуемой проблемы нас интересуют агентства с номерами 4, 5 и 6. Заявки, поручаемые руководством фирмы можно так же пронумеровать от 1 до 6, что будет соответствовать затребованным объемам услуг.
Поскольку заявки разные, то из данных номеров можно составить некоторое поле комбинаций. Составим комбинации, куда входят цифры 1, 2, 3 и 4: 123, 124, 234, 314. Составим комбинации с наличием цифры 5: 152, 153, 154, 253, 254, 354. Составим комбинации с наличием цифры 6: 126, 136, 146, 156, 236, 246, 256, 346, 356, 456.
Совершенно очевидно, что заявки из 1 партии составленных комбинаций можно разместить по номерам 4, 5 и 6 n*3! раз, где n – число элементов партии (в нашем случае n=4); для 2 партии это число равно n*4 при n = 6; для 3 партии – n1*2+n2, где n1 – число комбинаций, исключающих цифру 5, n2 – число комбинаций, куда эта цифра входит (n1=6, n2=4). Итак, общее число благоприятных исходов равно N = 24+24+16 = 64.
Классическое определение вероятности: P = NM M – общее число исходов. (M = A36) Соответственно, согласно классическому определению вероятности, значение этой величины равно: P = 815 (отношение благоприятствующих событий к общему числу событий). Заметим, что данное число относится к той ситуации, когда безразлично попадание заявок в тур. фирмы.
Если рассматривать вариант с распределением соответствующим объему заявки и обороту агентства, то это число уже будет другое. Для рассматриваемой ситуации расположение заявок по агентствам иное. Получается, что номера заявок в триаде чисел должны располагаться в порядке возрастания, т.е. 123, 234 и т.д. Распишем эту комбинацию: 123, 134, 145, 156, 234, 235, 236, 245, 256, 345, 356, 456.
Это комбинация, которая удовлетворяет принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму она попадает и распределение идет в порядке возрастания номера. Таким образом, благоприятное число исходов N = 12, а вероятность такого события равна p=0.1. Решение: всего существует 120 различных способов, вероятность получения заявок агентствами с наибольшим оборотом P = 815 (при «хаотичном» распределении заявок) и p=0.1, если заявки попадают в агентства по принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму она попадает и распределение идет в порядке возрастания номераПосмотреть предложения по расчету стоимости
Источник: author24.ru
комбинаторика
Комбинаторика 1
Найти количество различных вариантов расположения таких пяти символов: Знайдіть кількість різних.
Комбинаторика
Помогите решить задачи. 1. На одной из двух параллельных прямых взято 6 точек, а на другой -.
Комбинаторика
Сколько существует разных 5-значных чисел, у которых 3 цифры равны между собой, а остальные разные.
комбинаторика
На рояле 88 клавиш. Сколько существует аккордов из 6 звуков?
все верно по моему.во втором случае нам нужно выбрать 3 сотрудников из 5 в поездку.все едут в одно и тоже место поэтому порядок отбора не влияет.
от этого решения можно перейти к 1.мы выяснили что можно отобрать 10 вариантов троек сотрудников.а если сказать им ребята выстройтись в ряд я на вас красавцев посмотреть хочу сколькью комбинациями они могут встать? верно 3!=6.отсюда 6*10=60
Спасибо.
А не подскажете, правильно ли я называю эти формулы — размещения без повторений и размещения с повторениями.
Мне одногруппник один сказал, что формула во втором случаем с(5,3) — это сочетания без повторений.
в первом случае формула называется числом размещений из n элементов по k элементов.
во втором называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.
З.Ы. хочешь сказать спасибо жми репутацию
Комбинаторика
1.Составляются слова длины 4 из 32 букв русского алфавита так, что две соседние буквы этих слов.
Комбинаторика
Ребят, помогите, если несложно. Необходимо решить две задачи по ПМ, а именно комбинаторика.
Комбинаторика
Требуется помощь в решении задач. 1. Восемь девочек образовали хоровод. К ним присоединились.
Комбинаторика 2
В течении учений выполнено 20 выстрелов, причем было зарегистрировано 18 попаданий в цель. Найти.
Комбинаторика
Пожалуйста, помогите решить. На школьном вечере 12 девушек и 15 парней . Сколько возможных.
Комбинаторика.
1) Сколько различных пятизначных чисел, больших за 20000, можно составить из цифр 1,2,3,4, если.
Источник: www.cyberforum.ru
Письмо-просьба – один из наиболее распространенных вариантов деловой корреспонденции. В среде предпринимателей такие письма используются тогда, когда представители одной организации обращаются к другой с просьбой о какой-либо услуге. Такие послания могут применяться в совершенно разных ситуациях, например, при потребности получить сведения о продукции, увидеть образцы товара, встретить командировочного, согласовать какие-то действия и т.п.
Предлагаем вашему вниманию для скачивания общий шаблон такого документа:
ФАЙЛЫ
Скачать пустой бланк письма-просьбы .docСкачать образец заполнения письма-просьбы .doc
Правила составления письма-просьбы
Письмо-просьба по понятным причинам не имеет стандартного образца, но, несмотря на это оно является формой официального документа. Именно поэтому при его составлении следует придерживаться определенных норм, установленных правилами делопроизводства и деловой этики. Прежде чем перейти непосредственно к основным правилам его составления, следует отметить, что оно может быть адресовано, как группе лиц (например, менеджерам, сотрудникам бухгалтерского отдела, юристам и т.д.), так и какому-то конкретному адресату.
Как и любой другой документ, данное письмо должно содержать вводную часть, а именно:
- сведения о предприятии-отправителе, высказывающем просьбу и компании, к которой она адресована;
- причину обращения («ввиду задержки», «в связи с получением», «исходя из результатов» и т.д.);
- ссылки на основание («на основании устной договоренности», «на основании проведенных переговоров», «на основании телефонного разговора» и т.д.);
- цель обращения («для решения вопроса», «во избежание конфликта», «с целью устранения нарушений» и т.п.).
Далее следует основная часть, касающаяся непосредственно просьбы. Она должна быть высказана с использованием любой производной формы от глагола «просить» («просим вас», «обращаемся с просьбой» и т.п.), а поскольку такое послание, в любом случае – ходатайство о какой-то услуге, оно должно быть написано в уважительной манере. Хорошо, если просьба будет предварена высказыванием комплимента («зная ваши большие возможности», «восхищаясь вашими организаторскими талантами» и т.п.).
Если в письме содержится сразу несколько просьб, то их нужно указать отдельными пунктами или абзацами.
Негласные правила переписки между организациями гласят о том, что ответ на многоступенчатую просьбу может быть отправлен также одним посланием, с отдельными комментариями по каждому пункту. Следует отметить, что такой вид переписки уменьшает объемы документооборота и значит, сокращает время на прочтение и обработку подобных писем.
Если письмо подразумевает получение ответа в определенный срок, то это необходимо максимально корректно обозначить в тексте послания.
Отправляют и получают письма, как правило, секретари организации (в крупных компаниях этим занимаются целые отделы). После составления или прочтения они передают их для ознакомления руководителю предприятия. Исключения составляют послания, с пометкой «конфиденциально» или «лично в руки» — такие письма передаются непосредственно адресату.
Инструкция по составлению письма-просьбы
Поскольку данное послание является частью корпоративной корреспонденции, то вначале него нужно указать автора, а именно: наименование компании-отправителя, ее фактический адрес и телефон для связи. Затем нужно внести данные об адресате: также название предприятия и конкретного получателя. Далее посередине строки можно сразу обозначить, что это письмо-просьба (но это необязательно).
Следующая часть письма касается непосредственно просьбы. Предварительно, желательно ее обосновать и уже затем высказывать саму суть просьбы. В завершение письмо нужно подписать (лучше, если это сделает руководитель компании или уполномоченное, доверенное лицо), а также поставить дату создания документа.
Как отправить письмо
Письмо можно отравить электронной почтой или через факс – это быстро и удобно, однако консервативное отправка через Почту России позволит солидно и привлекательно оформить письмо. Например, высказать просьбу можно письменно от руки красивым каллиграфическим почерком или же распечатать текст на хорошей, дорогой бумаге.
Внимание к подобным мелочам даст понять адресату, насколько уважительно относится к нему оппонент, а также лишний раз подчеркнет значимость просьбы. Единственное, что следует помнить – письма через обычную почту идут долго, поэтому послание нужно отправлять заранее, чтобы документ вовремя был доставлен получателю.
После отправления письма
Данное послание, как любой другой документ должен быть зарегистрирован в журнале исходящей документации. Точно также получатель письма регистрирует приход корреспонденции. В случае недоразумений, случающихся в деловых отношениях, фиксация факта отправки и получения писем поможет быстро разобраться в ситуации.
Примеры составления писем-просьб с пояснениями
Итак, мы уяснили, что письмо-просьба представляет собой письмо, в котором содержится просьба к получателю. Цель текста – побудить получателя выполнить действие, выгодное отправителю. В письме должна содержаться сформулированная просьба, обоснование ее. Желательно сформулировать прошение так, чтобы обосновать, почему получателю должно быть выгодно выполнить просьбу. Отправитель должен не просто знать правила составления текста, но и учитывать психологические нюансы. Далее рассмотрим конкретные шаблоны-примеры в зависимости от ситуации.
Письмо-просьба о выделении денежных средств
Письмо составляется в том случае, если нужно добиться выделения средств от государства, спонсоров, физических лиц.
Скачать пример письма-просьбы о выделении денежных средств .rtf
От НКО «Помощь пенсионерам»
Депутату Законодательного собрания
Иванову И. И.
Здравствуйте, Иван Иванович. Я представитель некоммерческой организации «Помощь пенсионеров». Мы занимаемся оказанием помощи одиноким пенсионерам: приносим продукты, помогаем в уборке и ремонте.
Наша организация существует уже 5 лет. Ранее с финансированием деятельности мы справлялись сами, однако, в связи с расширением НКО, средств начало не хватать. Деньги нам нужны на аренду помещения, выплату зарплат сотрудникам, покупку оборудования.
На недавнем собрании Правительства президент упомянул о сложном положении пенсионеров, заметил, что ситуацию нужно срочно менять. В связи с этим прошу у вас 200 000 рублей на нужды НКО «Помощь пенсионеров».
С уважением, Петрова А. А.
Пояснение:
Вышеприведенный текст составлен по всем правилам. В нем есть:
- Наименование НКО и пояснение ее деятельности.
- Просьба о деньгах, пояснение их необходимости (деньги нужны на аренду и зарплаты).
- Упоминание о Президенте. Нужно для обоснования выгоды спонсирования для чиновника. В чем заинтересован депутат? В карьерном росте. Помощь организации поможет достигнуть этой цели.
Также указана конкретная сумма средств, в которой нуждается коммерческая организация.
Письмо-просьба о поставке товара
Письмо обычно направляется партнерам компании. В тексте желательно обосновать обоюдную выгоду для обеих компаний.
Скачать пример письма-просьбы о поставке товара .rtf
Начальнику компании «ААА»
Иванову И. И.
От руководителя компании «БББ»
Петрова Б. Б.
Здравствуйте, Иван Иванович. Мы желаем заказать у вашей компании комплект продукции (уточнить). Вашим товаром мы заинтересовались на региональной выставке.
Если вы согласны, просим сообщить условия поставки и удобные для вас сроки. Гарантируем своевременную оплату. Надеемся, это станет началом взаимовыгодного сотрудничества.
Наши контакты: (уточнить).
С уважением, Борис Борисович.
Письмо-просьба о предоставлении скидки
Обычно такие тексты направляются поставщикам компании. К примеру, организация организует выставки. У нее есть поставщик – типография, которая поставляет брошюры, стенды, буклеты и прочее. Стоимость услуг довольно высока. Наступил кризис, и компании стало сложно оплачивать товары типографии. Это вполне может стать повод для того, чтобы попросить скидку.
Скачать пример письма-просьбы о предоставлении скидки .rtf
Начальнику компании «Восток»
Иванову И. И.
От руководителя компании «Запад»
Петрова Б. Б.
Здравствуйте, Иван Иванов. Нашей организации коснулся финансовый кризис. Количество заключенных договоров с нами сократилось на 20%. К сожалению, кризис затронул не только нас, но и наших клиентов. Люди не могут платить за наши услуги в том же объеме, что и ранее. Поэтому мы предоставили скидку на билеты в размере 25%.
В связи со сложной финансовой ситуацией, наша компания просит вас о скидке в размере 15% на оставшиеся полгода сотрудничества по договору.
Мы разослали письма с просьбой о скидке всем нашим поставщикам. Если 20% наших партнеров предоставит нам выгодные условия, наша компания устоит в сложное время и не закроется. Нам уже предоставили скидку арендодатели и телефонная компания.
Мы надеемся сохранить взаимовыгодные отношения с вашей типографией.
С уважением, Борис Петров.
Пояснение:
В письме есть следующие важные пункты:
- Объяснение необходимости скидки.
- Указание точного размера скидки, сроков.
- Косвенное указание, что если типография не предоставит скидку, компания расторгнет контракт.
Текст нужно составить так, чтобы письмо дочитали до конца и согласились на предложенные условия.
Письмо-просьба о снижении арендной платы
Арендная плата «съедает» бюджеты большинства организации. Ее уменьшение позволяет компании продержаться на плаву в сложное время. Письмо следует направлять арендодателю.
Скачать пример письма-просьбы о снижении арендной платы .rtf
Начальнику компании «Плюс»
Иванову П. П.
От руководителя компании «Минус»
Петрова И. И.
Здравствуйте, Петр Петрович. Нашу компанию затронул финансовый кризис. Покупательная способность потребителей уменьшилась, доходы бизнеса уменьшились. В связи с этим просим вас снизить арендную плату на 10%.
За все время нашего сотрудничества мы ни разу не задерживали выплаты. Надеемся, что вы пойдете нам на уступки, и мы сохраним наши деловые отношения. Мы гарантируем своевременную оплату аренды, несмотря на тяжелые финансовые условия.
С уважением, Иван Иванович.
Пояснение:
В письме важно упомянуть то, что прежде компания выполняла свои обязательства в полной мере. Арендодатель должен быть уверен в том, что арендодатель будет и в дальнейшем осуществлять выплаты. Получатель также должен понимать, что если он не согласиться на предложенные условия, арендатор откажется от его услуг.
Письмо-просьба об оплате задолженности
Задолженности крайне часто возникают при взаимодействии между компаниями. Если организация настроена на дальнейшее сотрудничество с контрагентом, у которого образовался долг, направляется письмо-просьба.
Скачать пример письма-просьбы об оплате задолженности .rtf
Начальнику компании «Деньги вот-вот будут»
Иванову И. И.
От руководителя компании «Где деньги»
Сидорова П. П.
Уважаемый Иван Иванович, просим вас погасить задолженность перед нашей компанией в размере 200 000 рублей. Все это время мы продолжали сотрудничество с вами, надеясь на продолжение деловых отношений. Однако сейчас мы вынуждены приостановить предоставление услуг в связи с отсутствием выплат.
Сумма вашего долга составляет 200 000 рублей. Просим оплатить его до 1 марта 2017 года. Если задолженность не будет погашена, мы будем вынуждены решать вопрос в судебном порядке.
С уважением, Петр Петрович.
Пояснение:
В письме обязательно нужно указать следующие пункты:
- Точная сумма долга.
- Дата, до которой нужно выплатить задолженность.
- Меры, которые примет компания, если выплат не поступит.
В тексте можно упомянуть о длительном успешном сотрудничестве с организацией. Это должна быть именно просьба, а не требование. Требование составляется по другому шаблону.
Письмо-просьба об отсрочке платежа поставщику
Организация поставила компании партию продукции, однако не оплатила ее. Образовался долг, но дебитора отсутствуют средства для оплаты. В этом случае имеет смысл составлять письмо-просьбу об отсрочке.
Скачать пример письма-просьбы об отсрочке платежа поставщику .rtf
Начальнику компании «Где деньги»
Сидорову П. П.
От руководителя компании «Деньги вот-вот будут»
Иванова И. И.
Уважаемый Петр Петрович, мы не оплатили долг в размере 200 000 рублей. От своей задолженности мы не уклоняемся, однако сейчас выплаты в полном объеме сделать не можем в связи с тяжелым финансовым состоянием.
На протяжении 2 лет мы поддерживали с вами успешные деловые отношения, не срывали сроков выплат. Сегодня мы просим о рассрочке платежа. Наша компания готова оплатить задолженность в два этапа:
- 100 000 рублей мы внесем до 1 марта 2017 года.
- 100 000 рублей будет внесено до 1 апреля 2017 года.
Обещаем вам своевременное внесение платежей. Спасибо за понимание.
С уважением, Иван Иванович.
Письмо-просьба оплатить за другую организацию
Задолженность компании может быть выплачена другой организацией. Разумеется, юридическое лицо не будет оплачивать доли просто так. Обычно письмо-просьба направляется должнику компании или другому лицу, которое имеет обязательства перед компанией.
Скачать пример письма-просьбы оплатить за другую организацию .rtf
Начальнику компании «Деньги вот-вот будут»
Иванову И. И.
От руководителя компании «Где деньги»
Сидорова П. П.
Уважаемый Иван Иванович, у вас существует долг перед нашей компанией в размере 300 000 рублей. У нашей организации также появился долг перед другой компанией в размере 200 000 рублей. Просим вас оплатить нашу задолженность перед кредитором в размере 200 000 рублей. Взамен мы предоставим вам рассрочку на остаток долга, о которой вы просили ранее. Спасибо за понимание.
С уважением, Петр Петрович.
Письмо-просьба о содействии в решении вопроса
Перед любыми компаниями могут вставать сложные проблемы, с которыми невозможно разобраться без посторонней помощи. Письмо-просьба о содействии может направляться при необходимости, к примеру, проведения мероприятий. Прошение отправляется в коммерческие организации, государственные структуры.
Скачать пример письма-просьбы о содействии в решении вопроса .rtf
Директору компании «ААА»
Петрову Б. Б.
От общественной организации
«Дарим добро»
Уважаемый Борис Борисович, я являюсь представителем общественной организации «Дарим добро». Мы занимаемся организацией и проведением праздников для детей из приюта.
Мы просим вас о помощи в организации поставок питания на праздник. Разумеется, на мероприятии мы упомянем вас и вашу компанию. На празднике будут присутствовать представители законодательного собрания, общественности.
Связаться с нами вы можете по телефону ХХХ
С уважением, Иван Иванович.
Подводя итог
Объединим все правила составления письма-просьбы. Сначала нужно представиться, рассказать о своей деятельности. Но вступительная часть не должна быть затянута. Наша цель – побудить получателя прочитать письмо. Если текст будет слишком длинным, получатель вряд ли дочитает его до конца. Затем нужно приступить к изложению своей просьбы. Обязательна точность: указание сроков, суммы средств. Важно понять, что получатель должен почувствовать свою выгоду. А потому в письме нужно указать, почему организации будет выгодно выполнить просьбу. В завершении нужно вежливо и без заискивания попрощаться.
1. Сколько существует
способов составления в случайном порядке
списка из 7 кандидатов для выбора на
руководящую должность?
2. Руководство
фирмы выделило отделу рекламы средства
для помещения в печати объявлений о
предлагаемых фирмой товарах и услугах.
По расчетам отдела рекламы выделенных
средств хватит для размещения объявления
только в 15 из 25 городских газет. Сколько
существует способов случайного отбора
газет для помещения объявлений?
3. Менеджер
рассматривает кандидатуры 8 человек,
подавших заявления о приеме на работу.
Сколько существует способов приглашения
кандидатов на собеседование в
случайном порядке?
4. На железнодорожной
станции имеется 5 путей. Сколькими
способами можно расставить на них 3
состава?
5. Четыре человека
случайно отбираются из 10 согласившихся
участвовать в интервью для выяснения
их отношения к продукции фирмы по
производству продуктов питания. Эти 4
человека прикрепляются к 4 интервьюерам.
Сколько существует различных способов
составления таких групп?
6. Девять
запечатанных пакетов с предложениями
цены на аренду участков
для бурения нефтяных скважин поступили
утром в специальное агентство
утренней почтой.
Сколько существует различных способов
очередности вскрытия конвертов
с предложениями цены?
7. Фирма нуждается
в организации 4 новых складов. Ее
сотрудники подобрали 8 подходящих
одинаково удобных помещений. Сколько
существует способов отбора 4 помещений
из 8 в случайном порядке?
8.
Директор корпорации рассматривает
заявление о приеме на работу 10
выпускников университета. На одном из
предприятий корпорации имеются три
различные вакансии. Сколькими способами
директор может заполнить эти вакансии?
9. Для разгрузки
поступивших товаров менеджеру требуется
выделить 6 из 20 имеющихся рабочих.
Сколькими способами можно это сделать,
осуществляя отбор в случайном порядке?
10. Руководство
фирмы может обратиться в 6 туристических
агентств с просьбой об организации
для своих сотрудников 3 различных
туристических поездок. Сколько существует
способов распределения 3 заявок между
6 агентствами, если каждое агентство
может получить не более одной заявки?
11. Для доступа в
компьютерную сеть оператору необходимо
набрать пароль из 4 цифр. Оператор
забыл или не знает необходимого кода.
Сколько всевозможных комбинаций он
может составить для набора пароля:
а) если цифры в
коде не повторяются;
б) если повторяются.
12. Сколько существует
способов составления списка 20 деловых
звонков случайным образом?
13. На рынке
представлено 8 различных пакетов программ
для бухгалтерии с приблизительно равными
возможностями. Для апробации в своих
филиалах фирма решила отобрать 3 из них.
Сколько существует способов отбора
3 программ из 8, если отбор осуществлен
случайным образом?
14. Выделены крупные
суммы на выполнение 4 крупных
правительственных программ, сулящих
исполнителям высокую прибыль. Сколько
существует способов случайного
распределения этих 4 программ между 6
возможными исполнителями?
15. Брокерская фирма
предлагает акции различных компаний.
Акции 10 из них продаются по наименьшей
среди имеющихся акций цене и обладают
одинаковой доходностью. Клиент собирается
приобрести акции 3 таких компаний – по
1 от каждой компании. Сколько существует
способов выбора 3 таких акций из 10, если
выбор осуществляется в случайном
порядке?
16. Фирмы F1,
F2,
F3,
F4,
F5
предлагают свои условия по выполнению
3 различных контрактов С1, С2 и С3.
Любая фирма может получить только один
контракт. Контракты различны, т. е. если
фирма F1
получит контракт С1, то это не то же
самое, если она получит контракт С2.
Сколько способов получения контрактов
имеют фирмы?
17. По сведениям
геологоразведки 1 из 15 участков земли
по всей вероятности содержит нефть.
Однако компания имеет средства для
бурения только 8 скважин. Сколько
способов отбора 8 различных скважин у
компании?
18. На 9 вакантных
мест по определенной специальности
претендуют 15 безработных, состоящих
на учете в службе занятости. Сколько
возможно комбинаций выбора 9 из 15
безработных?
19. Имеется 20
наименований товаров. Сколькими способами
их можно распределить по трем магазинам,
если известно, что в первый магазин
должно быть доставлено восемь наименований,
во второй – семь наименований и в третий
– пять наименований товаров?
20.
Ресторан системы fast-foot
предлагает меню, состоящее из 10 рыбных
и мясных блюд, 2 овощных гарнира, 4 напитков
и 3 десертов. Сколько различных вариантов
обеда может составить посетитель
ресторана, если его обед будет
состоять из гарнира, одного напитка и
одного десерта?
21. Комитет
рассматривает кандидатуры шести человек,
подавших заявление о приеме на работу.
Все шестеро имеют одинаковые
профессиональные характеристики. На
интервью из шестерых будут приглашены
только трое. Порядок приглашения
каждого имеет значение, так как первый
кандидат будет иметь лучший шанс быть
приглашенным на работу; второй будет
приглашен, если два предыдущих кандидата
получат отказ. Сколько всего существует
способов приглашения трех кандидатов
из шести при таком способе отбора?
22. Авиакомпания
имеет 6 рейсов между Ростовом-на-Дону и
Москвой, а также 2 рейса между Москвой
и Нью-Йорком. Сколькими способами можно
заказать билет из Ростова-на-Дону до
Нью-Йорка, если рейсы осуществляются в
разные дни?
23. Компания имеет
четыре отдела: по производству продукции,
отдел снабжения, занимающийся обеспечением
сырья, а также отделы менеджмента и
маркетинга. Количество людей в каждом
из отделов 55, 30, 21 и 13 соответственно.
Каждый отдел собирается послать одного
представителя на ежегодную встречу с
директором компании. Сколько различных
групп для встречи можно составить из
числа работников компании?
24. Собрание, на
котором присутствуют 20 человек, избирает
двух делегатов на две конференции. Каким
числом способов это можно сделать?
Сколькими способами можно отобрать
двух кандидатов на одну конференцию?
25. На железнодорожной
станции имеется шесть запасных путей.
Сколькими способами можно расставить
на них четыре поезда?
26. Из 20 рабочих
нужно выделить 6 любых рабочих для работы
на определенном участке. Сколькими
способами это можно сделать?
27. Директор
корпорации рассматривает заявления о
приеме на работу 10 выпускников
университета. На одном из предприятий
корпорации имеются три различных
вакансии. Сколькими способами директор
может заполнить эти вакансии?
28. В диспетчерскую
автопарка поступили одновременно 8
заявок из трех аэропортов: два заказа
– из аэропорта Шереметьево, пять – из
Быково и один – из Домодедово. Сколько
существует различных способов
распределения 8 таксистов по этим
маршрутам?
29. Ученый желает
исследовать эффект влияния на скорость
химического процесса трех переменных:
давления, температуры и типов катализаторов.
Экспериментатор намерен использовать
три набора температуры, три набора
давления и два типа катализаторов.
Сколькими способами
ученый может управлять реакцией, если
пожелает использовать все возможные
комбинации давления, температуры и
типов катализаторов?
30. Во многих странах
водительское удостоверение имеет шифр,
состоящий из 3 букв и 3 цифр. Чему равно
общее число возможных номеров водительских
удостоверений, считая, что число букв
русского алфавита, используемых для
составления шифра, – 26, а буквы занимают
первые 3 позиции шифра? Если шифр состоит
только из 6 цифр, то чему в этом случае
равно общее число всех возможных номеров
удостоверений, если:
а) цифры в шифре
не повторяются;
б) повторяются.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
СПИСОК
1. Бородин А. Н.
Элементарный курс теории вероятностей
и математической статистики : учеб.
пособие / А. Н. Бородин. – СПб. : «Лань»,
2006. – 256 с.
2. Бронштейн И. Н.
Справочник по математике для инженеров
и учащихся втузов / Бронштейн И. Н.,
Семендяев К. А. – М. : Наука, 1986. – 544 с.
3. Виленкин Н. Я.
Комбинаторика / Н. Я. Виленкин, А. Н.
Виленкин, П. А. Виленкин. – М. :
ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.
4. Вероятность и
математическая статистика: энциклопедия
/ под ред. Ю. В. Прохорова. – М. : Большая
Российская энциклопедия, 2003. – 912 с.
5. Гмурман В. Е.
Теория вероятностей и математическая
статистика : учеб. пособие / В. Е. Гмурман.
– М. : Высш. шк., 2003. – 479 с.
6. Гмурман В. Е.
Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике
: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – М. : Высш.
шк., 2005. – 405 с.
7. Горелова Г. В.
Теория вероятностей и математическая
статистика в примерах и задачах с
применением Excel
: учеб. пособие / Г. В. Горелова, И. А.
Кацко. – изд. 2-е, исправ. и доп. – Ростов
н/Д : Феникс, 2002. – 400 с.
8.
Гусак
А. А.
Справочное
пособие к решению задач : теория
вероятностей
/ Гусак
А. А.,
Бричикова
Е. А.
– Минск : ТетраСистемс,
1999. – 288 с.
9. Кремер Н. Ш. Теория
вероятностей и математическая статистика
: учебник / Н. Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ, 2000.
– 543 с.
10. А. Левин. Что
такое комбинаторика // Квант. – 1999. – №
5 . – С. 1-9.
11. А. Левин. Что
такое комбинаторика // Квант. – 1999. – №
6 . – С. 8-12.
12. Математика.
Большой энциклопедический словарь /
гл. ред. Ю. В. Прохоров. – 3-е изд.
– М. : Большая Российская энциклопедия,
1998. – 848 с.
13. Математическая
энциклопедия. Т. 2 / гл. ред. И. М. Виноградова.
– М.,
1979. – 1104
с.
14. Новорожкина Л.
И. Основы статистики с элементами теории
вероятностей для экономистов : Руководство
для решения задач / Л. И. Новорожкина, З.
А. Морозова, И. А. Герасимова и др. –
Ростов н/Д : Феникс. 1999. – 320 c.
15. Новорожкина Л.
И. Математическая статистика с элементами
теории вероятностей в задачах с решениями
: учеб. пособие / Л. И. Новорожкина,
З. А. Морозова. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов
н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. –
608 с.
16. Попова Е. А.
Использование элементов комбинаторного
анализа для обоснования разработки
комбинированных молочно-белковых
десертов с ягодными наполнителями и
хитозаном для целевого питания / Е. А.
Попова, И. Н Пушмина // Математические
модели природы и общества : труды
межрегион. конф. / Краснояр. гос. торг-экон.
ин-т. – Красноярск, 2002. – С. 179-180.
17. Тарасов Л. В.
Закономерности окружающего мира. В 3
кн. Кн.1. Случайность, необходимость,
закономерность / Л. В. Тарасов. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 384 с.
18. Фадеева Л. Н.
Математика для экономистов : Теория
вероятностей и математическая
статистика : курс лекций / Л. Н. Фадеева.
– М. : Эксмо, 2006. – 400 с.
19. Чжун К. Л.
Элементарный курс теории вероятностей.
Стохастические процессы и финансовая
математика / К. Л. Джун, Ф. АитСахлиа. –
М. : Бином: Лаборатория знаний, 2007. – 455
с.
20.
Яблонский С. В. Введение в дискретную
математику : учеб. пособие для вузов /
С. В. Яблонский. – М. : Высш. шк., 2002. – 384
с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
КВАРТЕТ
И. А. Крылов
Проказница-Мартышка,
Осел,
Козел
Да
косолапый Мишка
Затеяли
сыграть Квартет.
Достали
нот, баса, альта, две скрипки
И
сели на лужок под липки,-
Пленять
своим искусством свет.
Ударили
в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой,
братцы, стой! – кричит Мартышка. –
Погодите!
Как
музыке идти? Ведь вы не так сидите.
Ты
с басом, Мишенька, садись против альта,
Я,
прима, сяду против вторы;
Тогда
пойдет уж музыка не та:
У
нас запляшут лес и горы!»
Расселись,
начали Квартет;
Он
все-таки на лад нейдет.
«Постойте
ж, я сыскал секрет?-
Кричит
Осел, – мы, верно, уж поладим,
Коль
рядом сядем».
Послушались
Осла: уселись чинно в ряд;
А
все-таки Квартет нейдет на лад.
Вот
пуще прежнего пошли у них разборы
И
споры,
Кому
и как сидеть.
Случилось
Соловью на шум их прилететь.
Тут
с просьбой все к нему, чтоб их решить
сомненье.
«Пожалуй,–
говорят,– возьми на час терпенье,
Чтобы
Квартет в порядок наш привесть:
И
ноты есть у нас, и инструменты есть,
Скажи
лишь, как нам сесть!» –
«Чтоб
музыкантом быть, так надобно уменье
И
уши ваших понежней,–
Им
отвечает Соловей,–
А
вы, друзья, как ни садитесь;
Все
в музыканты не годитесь».
<1811>
Продолжение
прил.
СТИХИ О СОВЕТСКОМ
ПАСПОРТЕ
В. В. Маяковский
Я волком бы
выгрыз
бюрократизм.
К мандатам
почтения нету.
К любым
чертям с матерями
катись
любая бумажка.
Но эту…
По длинному фронту
купе
и кают
чиновник
учтивый
движется.
Сдают паспорта,
и я
сдаю
мою
пурпурную книжицу.
К одним паспортам
–
улыбка у рта.
К другим –
отношение плевое.
С почтеньем
берут, например,
паспорта
с двухспальным
английским левою.
Глазами
доброго дядю выев,
не переставая
кланяться,
берут,
как будто берут
чаевые,
паспорт
американца.
Продолжение
прил.
На польский –
глядят,
как в афишу коза.
На польский –
выпяливают глаза
в тугой
полицейской
слоновости –
откуда, мол,
и что это за
географические
новости?
И не повернув
головы кочан
и чувств
никаких
не изведав,
берут,
не моргнув,
паспорта датчан
и разных
прочих
шведов.
И вдруг,
как будто
ожогом,
рот
скривило
господину.
Это
господин чиновник
берет
мою
краснокожую
паспортину.
Берет –
как бомбу,
берет –
как ежа,
как бритву
обоюдоострую,
берет,
как гремучую
в 20 жал
змею
двухметроворостую.
Окончание прил.
Моргнул
многозначаще
глаз носильщика,
хоть вещи
снесет задаром
вам.
Жандарм
вопросительно
смотрит на сыщика,
сыщик
на жандарма.
С каким наслажденьем
жандармской кастой
я был бы
исхлестан и распят
за то,
что в руках у меня
молоткастый,
серпастый
советский паспорт.
Я волком бы
выгрыз
бюрократизм.
К мандатам
почтения нету.
К любым
чертям с матерями
катись
любая бумажка.
Но эту…
Я
достаю
из широких штанин
дубликатом
бесценного груза.
Читайте,
завидуйте,
я –
гражданин
Советского Союза.
<1929>
Учебное издание
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
1. Руководство фирмы может
обратиться в 6 туристических агентств с просьбой об организации для своих
сотрудников 3 различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3 заявок между 6 агентствами,
если каждое агентство может получить не больше одной заявки?
Какова вероятность того, что заявки получат агентства с
наибольшим оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку
оно получает?
2. На сахарном заводе один из цехов
производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что 1 из 100 кусочков сахара
разбит. Если Вы случайным образом извлекаете 2 кусочка сахара, чему равна
вероятность того, что по крайней мере 1 из них будет разбит? Предполагаем
независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности
отбора.
3. Транснациональная компания
обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой
политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых
инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую
предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность
успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в
0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной, — в 0,30,
если политическая ситуация будет нейтральной, и — в 0,10, если политическая
ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также
полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной
политических ситуаций соответственно равны: 0,6, 0,2 и 0,2. Чему равна
вероятность успеха инвестиций?
4. Для того чтобы проверить
точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами
аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие компании при обработке
входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор случайно
отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок,
выявленных аудитором. Найдите числовые характеристики этого распределения.
Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите
вероятность того, что аудитор обнаружит более, чем 1 ошибку.
5. Почтовая компания быстро
оценивает объём переводов в рублях, взвешивая почту, полученную утром каждого
текущего рабочего дня. Установлено, что если вес почтовых отправлений
составляет N кг,
то объём переводов в рублях есть случайная величина, распределенная по
нормальному закону со средним значением 160N кг и стандартным отклонением 20N кг. Найдите вероятность того, что в день, когда вес
почтовых отправлений составит 150 кг, объём переводов в рублях будет находиться
в пределах: а) от 21000 до 27000 руб.; б) более 28500 руб.; в) менее
22000 руб.
6. Постройте гистограмму частот,
найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент
вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники:
|
Выручка, у.е. |
0-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600-700 |
|
Число дней |
3 |
5 |
9 |
14 |
8 |
3 |
7. Менеджер компании, занимающейся
прокатом автомобилей, хочет оценить среднюю величину пробега одного автомобиля
в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной
бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что
средний пробег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным
отклонением 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, найдите
95%-ный доверительный интервал, оценивающий средний пробег автомобилей всего
парка в течение месяца.
8. Компания по производству
безалкогольных напитков предполагает
выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания
хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% её потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен
на пробу 2000 тыс. чел. и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли
компания отклонить предположение
о том, что только 70% всех её потребителей предпочтут новую модификацию напитка
старой? Принять уровень значимости a = 0,05.
9. Определите тесноту связи
между возрастом самолета (X, лет) и стоимостью
его эксплуатации (Y, млн. руб.) по следующим данным:
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Y |
2 |
4 |
5 |
8 |
10 |
Установите значимость
коэффициента корреляции. Если он значим, то постройте уравнение регрессии и
объясните его смысл. Каким будет прогноз стоимости эксплуатации самолета, если
его возраст 1,5 года, а уровень
значимости принять равным 0,05?