Расчет подпорных стен руководство - Большая энциклопедия инструкций и руководств

Качество хорошее. все читабельно. Единственное без обложки. Оригинал с которого сканировал тоже её не имел.
Хорошая нужная книга. Мне она более понятна чем Пособиие по тем же стенам.

Это Руководство к отмененным СНиПам. Можно крупно нарваться. Есть существенная разница в результатах расчетов по сравнению с «Пособием к СНиП 2.09.03-85 «Сооружения промышленных предприятий». Проектирование подпорных стен и стен подвалов».

b-leo

, 14 декабря 2009 в 16:31

Случайнопопал на этот форум.Есть еще заинтересованные люди!Я ознакомился с обоими документами и возникло немало вопросов.Приведу только один.Обратите внимание: в обоих документах в примерах рассмотрена ПРАКТИЧЕСКИ одна и та же консольная стена, но почему-то собственный вес непосредственно стены в старом документе учитывается, а новом «Пособии…» этого нет. Почему? При расчете массивных стен этот параметр почему-то должен учитытываться.По моим подсчетам, даже уровняв мало
отличающющиеся между собой исходные данные, разница усилий в уровне паодошвы может достигать 25%, что существенно. Если желание возникнет обменяться мнениями по этим вопросам, прошу оставить свой e-mail.

Источник

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

И ПРОЕКТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ
ПРОМЫШЛЕННЫХ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
(ЦНИИпромзданий) ГОССТРОЯ СССР

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ

к СНиП

Проектирование подпорных стен

и стен подвалов

Разработано к СНиП 2.09.03-85
“Сооружение промышленных предприятий”.
Содержит основные положения по расчету
и конструированию подпорных стен и стен
подвалов промышленных предприятий из
монолитного и сборного бетона и
железобетона. Приведены примеры расчета.

Для инженерно-технических работников
проектных и строительных организаций.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие составлено к СНиП
2.09.03-85 “Сооружения
промышленных предприятий” и содержит
основные положения по расчету и
конструированию подпорных стен и стен
подвалов промышленных предприятий из
монолитного, сборного бетона и железобетона
с примерами расчета и необходимыми
табличными значениями коэффициентов,
облегчающих расчет.

В процессе подготовки Пособия уточнены
отдельные расчетные предпосылки СНиП
2.09.03-85, в том числе по
учету сил сцепления грунта, определения
наклона плоскости скольжения призмы
обрушения, которые предполагается
отразить в дополнении к указанному
СНиП.

Пособие разработано ЦНИИпромзданий
Госстроя СССР (кандидаты техн. наук А.
М. Туголуков, Б. Г. Кормер, инженеры И. Д.
Залещанский, Ю. В. Фролов, С. В. Третьякова,
О. JI. Кузина) при участии
НИИОСП им. Н. М. Герсеванова Госстроя
СССР (д-р техн. наук Е. А. Сорочан, кандидаты
техн. наук А. В. Вронский, А. С. Снарский),
Фундаментпроекта (инженеры В. К. Демидов,
М. Л. Моргулис, И. С. Рабинович), Киевского
Промстройпроекта (инженеры В. А. Козлов,
А. Н. Сытник, Н.
И. Соловьева).

1.1. Настоящее Пособие
составлено к СНиП 2.09.03-85
“Сооружения промышленных предприятий”
и распространяется на проектирование:

подпорных стен, возводимых на естественном
основании и расположенных на территориях
промышленных предприятий, городов,
поселков, подъездных и внутриплощадочных
железных и автомобильных дорогах;

подвалов производственного назначения,
как отдельно стоящих, так и встроенных.

1.2. Пособие не распространяется
на проектирование подпорных стен
магистральных дорог, гидротехнических
сооружений, подпорных стен специального
назначения (противооползневых,
противообвальных и др.), а также на
проектирование подпорных стен,
предназначенных для строительства в
особых условиях (на вечномерзлых,
набухающих, просадочных грунтах, на
подрабатываемых территориях и т. д.).

1.3. Проектирование подпорных
стен и стен подвалов должно осуществляться
на основании:

чертежей генерального плана (горизонтальной
и вертикальной планировки);

отчета об инженерно-геологических
изысканиях;

технологического задания, содержащего
данные о нагрузках и при необходимости
особые требования к проектируемой
конструкции, например требования по
ограничению деформаций и др.

1.4. Конструкция подпорных
стен и подвалов должна устанавливаться
на основании сравнения вариантов, исходя
из технико-экономической целесообразности
их применения в конкретных условиях
строительства с учетом максимального
снижения материалоемкости, трудоемкости
и стоимости строительства, а также с
учетом условий эксплуатации конструкций.

1.5. Подпорные стены,
сооружаемые в населенных пунктах,
следует проектировать с учетом
архитектурных особенностей этих пунктов.

1.6. При проектировании
подпорных стен и подвалов должны
приниматься конструктивные схемы,
обеспечивающие необходимую прочность,
устойчивость и пространственную
неизменяемость сооружения в целом, а
также отдельных его элементов на всех
стадиях возведения и эксплуатации.

1.7. Элементы сборных
конструкций должны отвечать условиям
индустриального изготовления их на
специализированных предприятиях.

Целесообразно укрупнять элементы
сборных конструкций, насколько это
позволяют грузоподъемность монтажных
механизмов, а также условия изготовления
и транспортирования.

1.8. Для монолитных
железобетонных конструкций следует
предусматривать унифицированные
опалубочные и габаритные размеры,
позволяющие применять типовые арматурные
изделия и инвентарную опалубку.

1.9. В сборных конструкциях
подпорных стен и подвалов конструкции
узлов и соединении элементов должны
обеспечивать надежную передачу усилий,
прочность самих элементов в зоне стыка,
а также связь дополнительно уложенного
бетона в стыке с бетоном конструкции.

1.10. Проектирование
конструкций подпорных стен и подвалов
при наличии агрессивной среды должно
вестись с учетом дополнительных
требований, предъявляемых СНиП
3.04.03-85 “Защита
строительных конструкций и сооружений
от коррозии”.

1.11. Проектирование мер
защиты железобетонных конструкций от
электрокоррозии должно производиться
с учетом требований соответствующих
нормативных документов.

1.12. При проектировании
подпорных стен и подвалов следует, как
правило, применять унифицированные
типовые конструкции.

Проектирование индивидуальных конструкций
подпорных стен и подвалов допускается
в тех случаях, когда значения параметров
и нагрузок для их проектирования не
соответствуют значениям, и принятым
для типовых конструкций, либо когда
применение типовых конструкций
невозможно, исходя из местных условий
осуществления строительства.

1.13. Настоящее Пособие
рассматривает подпорные стены и стены
подвалов, засыпанные однородным грунтом.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Г. к. КЛЕЙН
РАСЧЕТ
ПОДПОРНЫХ СТЕН
ВЫСШАЯ ШКОЛА
1964

Г. к. КЛЕЙН
РАСЧЕТ
ПОДПОРНЫХ СТЕН
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия для студентов
строительных вузов и факультетов
Сканировал и обрабатывал
Лукин А. О.
ВЫСШАЯ ШКОЛА
19 64

В книге рассмотрены основные вопросы теории давления грун¬
тов и расчета подпорных стен. Изложение теории иллюстрируется
большим числом примеров расчета.
Книга предназначена в качестве учебного пособия по курсам
строительной механики, оснований и фундаментов, а также посо¬
бия к курсовому, дипломному и реальному проектированию.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы теория давления грунтов и теория расчета
подпорных стен получили в Советском Союзе значительное разви¬
тие и уточнение в нескольких направлениях.
1. На смену старой теории давления грунтов, основанной на
грубых допущениях Кулона, появилась строгая теория В. В. Со¬
коловского, которая в настоящее время уже достаточно разработана
и используется во многих случаях практики.
2. Установлены пределы практической применимости теории
Кулона; в тех же случаях, когда она дает недопустимые погреш¬
ности (пологие стены и нижние грани ломаных стен), внесены необ¬
ходимые уточнения, сближающие результаты этой теории с теми,
которые дает теория В. В. Соколовского.
3. Взамен старой методики расчета подпорных стен по разру¬
шающим нагрузкам и общему коэффициенту запаса уже не только
применяется, но и получила официальное утверждение в Стро¬
ительных нормах проектирования мостов (СН-200—62) методика
расчетных предельных состояний с расчлененным на составные
части коэффициентом запаса.
4. Разработана новая методика проверок устойчивости подпор¬
ной стены, учитывающая прочность и деформацию ее основания
и соответствующая новой трактовке коэффициента запаса.
5. Взамен применяемых в настоящее время формул теории
упругих тел (теории «Сопротивления материалов») для определения
напряжений в материале подпорной стены получили широкое рас¬
пространение и официальное утверждение формулы, учитывающие
пластичность таких материалов, как железобетон, бетон и камен¬
ная кладка.
6. Разработана техника подбора ширины профиля подпорной
стены исходя из существующих требований, и выявлена математи¬
ческая связь между результатами, вытекающими из различных
требований.
7. Массивные подпорные стены, расчет которых до сих пор толь¬
ко и рассматривался в курсах строительной механики, в значитель¬
ной степени вытеснены более экономичными тонкоэлементными
сборными конструкциями из железобетона.
Все эти вопросы мало освещены современной учебно-техниче¬
ской литературой и, как правило, не находят должного отражения
2* 3
в курсах лекций по строительной механике, читаемых в строитель¬
ных вузах.
Настоящее пособие имеет целью восполнить указанный пробел
и служить учебным пособием по курсам строительной механики и
оснований и фундаментов, а также при курсовом и дипломном про¬
ектировании.
Книга содержит 26 примеров расчета, которые окажутся полез¬
ными студентам, особенно вечерникам и заочникам, при выполне¬
нии расчетно-графических работ и проектов. Книга может быгь
также использована инженерами-проектировщиками.
При ее написании использованы новейшие нормативные и лите¬
ратурные данные, а также собственные работы автора в данной
области.
Автор приносит благодарность профессору доктору технических
наук И. А. Симвулиди и старшему научному сотруднику кандидату
технических наук Д. Е. Польшину, рецензировавшим рукопись,
за сделанные ими полезные замечания.

ГЛАВА 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОДПОРНЫХ СТЕНАХ
И МЕТОДАХ ИХ РАСЧЕТА
§ 1. ТИПЫ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Подпорной стеной называется сооружение, удерживающее грунт
от обрушения в откосах насыпей и выемок.
Подпорные стены находят широкое применение в промышлен¬
Рис. 1

ном, гражданском, дорожном, железнодорожном и гидротехниче¬
ском строительстве, а также в горном деле и фортификации.
Различные примеры применения подпорных стен показаны на
рис. 1.
Грань стены, обращенная в сторону засыпки, называется зад¬
ней, а грань, обращенная в противоположную сторону,— перед¬
ней (рис. 2).
Основными геометрическими характеристиками подпорной стены
(рис. 2) являются: ее высота /гс, ширина поверху 60, ширина по¬
низу &с, а также угол а наклона задней грани стены к вертикали.
Для фундамента стены такими характеристиками являются: его
высота /гф и ширина понизу Ь. Высота стены вместе с фундаментом
обозначена через h. Горизонтальные линии, проекциями которых на
вертикальную плоскость являются точки О1У В1У О и В, называются
соответственно нижним передним ребром стены,
нижним задним ребром стены, нижнимперед-
ним ребром фундамента и нижним задним
ребром фундамента.
Различают следующие формы свободной поверхности грунта за
подпорной стеной (рис. 3): горизонтальную — ау откос
(поднимающийся) — б, падающий откос —ву п о л у о т-
кос — а, ломаную — б, неспланированную — е.
Классификация подпорных стен может быть проведена по раз¬
личным признакам.
1. По назначению исчерпывающая классификация затрудни¬
тельна, так как в настоящее время подпорные стены находят чрез¬
вычайно большое и разнообразное применение в строительстве.
Однако можно все же разделить подпорные стены на стены, поддер¬
живающие насыпи, и стены, ограждающие выемки.
6

2. По характеру работы нужно различать подпорные стены,
отдельно стоящие и связанные с примыкающими сооружениями.
Кроме того, следует различать подпорные стены, не подверга¬
ющиеся давлению воды, и гидротехничес¬
кие.
3. По высоте подпорные стены подразделяются на низкие —
высотой до 10 ж, средние — высотой от 10 до 20 м и в ы с о-
к и е — высотой более 20 м. Отметим, что самая высокая подпор¬
ная стена, сооруженная на Волжской ГЭС им.
имеет высоту более 40 м.
В. И. Ленина,
4. По материалу подпорные стены могут быть железо¬
бетонными, бетонными, бутобетонными, бу¬
товыми, кирпичными, деревянными или м е-
таллическими.
5. По принципу работы различают подпорные стены:
Массивные (рис. 4, а), устойчивость которых обеспечивается
в основном их собственным весом и материал (бетон, бутовая или
кирпичная кладка) испытывает преимущественно сжимающие на¬
пряжения.
Полумасс и в ные (рис. 4, б), устойчивость которых обес¬
печивается как собственным весом стенки, так и весом грунта, ле¬
жащего на фундаментной плите. Такие стены обычно представляют
собой конструкцию из армированного бетона, в которой растяги¬
вающие усилия воспринимаются стальной арматурой.
Тонкоэлементные (рис. 4, в), обычно состоящие из
связанных друг с другом железобетонных плит. Устойчивость стен
этого типа обеспечивается в основном весом грунта над фундамент¬
ной плитой и лишь в небольшой степени собственным весом.
Тонкие, устойчивость которых обеспечивается защемле¬
нием их в основание (рис. 4, г). Для уменьшения глубины заложе¬
ния таких стенок, а также для повышения их жесткости применяют¬
ся анкеры.
Массивные, полумассивные и тонкоэлементные подпорные сте¬
ны в отличие от тонких можно отнести к категории гравита¬
ционных.
7

6. В зависимости от наклона задней грани можно разделить
подпорные стены на крутые (рис. 5, а и б), пологие
(рис. 5, в) и лежачие (рис. 5, г). При этом крутые стены могут
иметь прямой (рис. 5, а} или обратный (рис. 5, б) уклон.
7. По способу возведения различают подпорные стены моно¬
литные и сборные.
Рис. 5
Монолитные подпорные стены выполняются из бетона, буто¬
бетона, бутовой или кирпичной кладок и железобетона. Их про¬
фили могут быть самые разнообразные. Некоторые из них показаны
е) з)
Рис. 6
на рис. 6 и носят следующие названия: а) прямоугольный, б) тра¬
пецеидальный с наклонной передней гранью, в) трапецеидальный
с наклонной задней гранью, г) трапецеидальный с наклонными гра¬
нями, б) наклоненный в сторону засыпки, ё) с выступающим перед¬
ним нижним ребром, ж) ломаный, з) ступенчатый, и) с разгрузоч¬
ной площадкой, /с) уголковый.
Монолитные железобетонные подпорные стены, как правило,
делаются уголкового профиля и могут быть консольными
(рис. 7, а) или контрфорсными (ребристыми)
8

(рис. 7, б). Первые состоят из фундаментной и лицевой плит, а
вторые для увеличения жесткости всей конструкции имеют еще
контрфорсы или поперечные ребра.
Сборные подпорные стены чаще всего выполняются из железо¬
бетона, а по своей конструкции разделяются на следующие типы.
Стены уголкового про¬
филя могут выполняться из отдель¬
ных блоков или плит, собираемых на
месте (рис. 8, а), а также в виде цель-
ноперевозимых секций (высотой до 3 м).
В последнем случае стены по конструк¬
ции отличаются от монолитных только
тем, что состоят из отдельных коротких
(1,5—2,5 м) звеньев.
Заборчатые стены (рис. 8, б)
состоят из отдельных опор, пролеты между которыми заполня¬
ются плитами.
Опоры выполняют в виде столбов или контрфорсов различного
очертания.
Стены из пустотелых ящиков (рис. 8, в), уста¬
навливаемых в один, два и более ярусов и заполняемых песчаным
или крупнообломочным грунтом.
Ряжевые (рис. 8, г), собираемые в виде клетки из отдель¬
ных продольных и поперечных элементов и загружаемые мелкозер¬
нистым или крупнообломочным грунтом.
Фундаменты подпорных стен по степени их заглубления могут
быть подразделены на два основных типа — неглубокого и
в)
2
И;:- / ■ ' И |
ИИ ’ПИ
8
| Заказ 853
2)
1 ■■-Sj
9
Рис.

глубокого заложения. К последним относятся такие
фундаменты, глубина заложения которых превышает их ширину
в 1,5 раза и более.
Подпорные стены могут быть возведены на естественном осно¬
вании — скальном* или нескальном, на искусственном основании
или на сваях (рис. 9).
§ 2. МАТЕРИАЛЫ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Выбор материала подпорной стены и ее фундамента должен
быть сделан с учетом многих факторов и требований, среди которых
основными являются: высота стены, требуемые долговечность,
водонепроницаемость, сейсмостойкость и стойкость против химиче¬
ской агрессии, качество основания, наличие местных строительных
материалов, условия производства работ, средства механизации и
условия сопряжения с другими сооружениями.
Железобетонные тонкоэлементные подпорные стены являются
наиболее экономичными, по сравнению с массивными бетонными
они требуют приблизительно в два раза меньше цемента при не¬
значительном расходе арматуры. Существенным преимуществом
железобетонных подпорных стен является возможность применения
сборных конструкций и возведения их с непосредственной переда¬
чей давления на слабые грунты без устройства искусственного
основания.
При высоте до 6 м консольные железобетонные стены имеют
меньший объем, чем ребристые (контрфорсные); для стен высотой
от 6 до 8 ж объемы примерно одинаковы, а для стен высотой более
8 м ребристая конструкция имеет меньший объем железобетона,
чем консольная. Таким образом, для стен средней высоты и вы¬
соких наиболее целесообразна железобетонная ребристая конст¬
рукция.
Бетон для железобетонных подпорных стен должен быть плот¬
ным, марки от 150 до 600. Арматурой служат стальные стержни
диаметром до 40 мм периодического профиля классов А-П и
А-Ш, а для предварительно напряженных конструкций — высо¬
копрочная проволока.
Для монтажной арматуры, а также для нерасчетных второсте¬
пенных частей сооружений может применяться сталь класса A-I.
Для сварки стержней арматуры применяются электроды с ка¬
чественными покрытиями типа Э42, Э42А, Э50А и Э55 по
ГОСТ 9467—60.
Применение бетонных подпорных стен целесообразно только
при высокой стоимости и дефиците арматуры, так как прочность
бетона в массивных подпорных стенах используется далеко не пол¬
ностью. По этой причине применение для них высоких марок бетона
нецелесообразно, однако по условию плотности не следует приме¬
нять бетон марки ниже 150. Для уменьшения объема кладки бетон-
10

ные подпорные стены могут быть сделаны с контрфорсами. Для
бетонных подпорных стен постоянного профиля наиболее эконо¬
мичным при высоте более 1,5 ж будет профиль с разгрузочной пло¬
щадкой на уровне около х/4 высоты стены от обреза фундамента.
Однако могут найти применение и профили с наклонной передней
гранью, наклоненные в сторону засыпки, с выступающим перед¬
ним ребром, с наклонной подошвой, а при высоте до 1,5 м даже
и прямоугольные. Применение профилей’ с наклонной задней
гранью, прямоугольных и ступенчатых может быть обусловлено
требованием вертикальности передней грани, например, для при¬
чальных стен. Однако надо иметь в виду, что строго вертикальная
передняя грань подпорной стены производит впечатление наклон
нившейся, поэтому ее обычно делают с небольшим наклоном к вер¬
тикали (1/2о4-1/5О). Наклонную переднюю грань делают с уклоном;
около 3:1.
Подпорные стены из бутовой кладки требуют меньшего расхода
цемента по сравнению с бетонными, могут быть возведены в мень¬
шие сроки при более простой организации работ. Применение стен
из бутовой кладки целесообразно при наличии камня на месте.
Бутовая кладка должна быть выполнена из камня марки не ниже
150—200 на портландцементном растворе марки не ниже 25—50,
а лучше 100—200. Растворы, помимо прочности, должны обладать
пластичностью и водоудерживающей способностью, для чего в их
состав рекомендуется вводить пластифицирующие добавки. Для
гидротехнических стен применяется бутовый камень марки не ниже
200, раствор портландцемента марки не ниже 50.
При выборе профиля подпорной стены из бутовой кладки сле¬
дует руководствоваться теми же соображениями, что и для бетон¬
ных стен, однако избегая его усложнения. Применяются подпорные
стены с вертикальной или наклонной передней гранью и с разгру¬
зочными площадками, Задняя грань делается вертикальной или
уступами. Прямоугольный профиль целесообразен только для стен
очень малой высоты или при наличии опоры у верха стены.
Если на месте имеется рваный или мелкий бутовый камень, то
взамен бутовой кладки может быть применена кладка из бутобе¬
тона.
Кирпичные стены допускаются высотой до 3—4 м. В этом слу¬
чае рекомендуется применять контрфорсы. Чаще всего кирпичные
стены прямоугольного или ступенчатого профиля применяются для
небольших подземных сооружений (стенок каналов, колодцев и т. п.).
Для наружных подпорных стен, подвергающихся атмосферным воз¬
действиям, кирпичная кладка нежелательна, а для гидротехниче¬
ских стен непригодна. Для кирпичных подпорных стен применяет¬
ся хорошо обожженный кирпич марки не ниже 200, на раство¬
ре марки не ниже 25. Применение силикатного кирпича не до¬
пускается.
Камень твердых пород, бетоны высоких марок и прочные обли¬
цовки применяются при необходимости предохранить стену от вы-
1* 11

ветривания, от действия больших скоростей воды, а также и при
требовании архитектурного оформления.
Для бетона, облицовки или внешнего слоя кладки разрешается
применять материал, выдерживающий стократное замораживание.
Если же сооружение располагается в зоне, где среднемесячная
температура наиболее холодного месяца выше минус 5° С, то мате¬
риал должен выдерживать только пятидесятикратное заморажи¬
вание.
При воздействии агрессивной среды следует применять камень
устойчивый против агрессии, специальный цемент для бетона и
раствора, защитные обмазки или облицовки.
Для стен, подвергающихся воздействию воды, следует приме¬
нять гидротехнический бетон (ГОСТ 4795—56 «Бетон гидротехни¬
ческий»), а также кладку на цементном растворе или гидроизоля¬
цию (цементная затирка, железнение, торкрет, асфальтировка и пр.)
Ряжевые конструкции могут найти применение для низких под¬
порных стен при отсутствии на месте камня и заполнителей для
бетона, а также для временных сооружений.
В сейсмических районах высокие и средней высоты подпорные
стены следует делать только железобетонными.
Ширина профиля массивной подпорной стены понизу при скаль¬
ных и плотных грунтах основания составляет в среднем г/3 высоты,
при грунтах средней плотности — 1/2, при слабых грунтах —2/3,
а при давлении воды — до полной высоты стены. Ширина фунда¬
ментной плиты тонкоэлементной подпорной стены уголкового про¬
филя обычно составляет 1/24-2/з высоты стены. Однако эти отно¬
шения зависят также и от других факторов — от профиля подпор¬
ной стены, ее материала и пр. Поэтому приведенные цифры должны
рассматриваться как грубо ориентировочные.
Толщина поверху должна быть не меньше:
для железобетонных стен 0,15 м
для бетонных стен 0,4 м
для бутовых и бутобетонных стен 0,75 м
для кирпичных стен 0,51 м
У бетонных и железобетонных стен фундамент, как правило,
составляет одно целое с самой стеной. У кирпичных же стен фун¬
дамент выполняется в виде самостоятельной конструкции из буто¬
вой или бетонной кладки, выступая за грани стены и образуя об¬
резы шириной не менее 15 см и не более высоты фундамента. Вы¬
ступы фундамента могут быть сделаны ступенчатыми.
§ 3. ПРОИЗВОДСТВО РАБОТ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
ПОДПОРНЫХ СТЕН
Способ возведения подпорной стены оказывает влияние на усло¬
вия ее дальнейшей работы, поэтому при расчете подпорных стен
необходимо знать, как будут производиться строительные работы.
Для сооружения подпорной стены неглубокого заложения на
естественном основании, а также для стен на свайном фундаменте
12

устраивается котлован в виде сплошной продольной выемки
(рис. 10). Ширина котлована определяется шириной подошвы
сборной конструкции в плане, а для монолитных стен должен быть
обеспечен некоторый запас, необходимый для установки подмостей
и опалубки.
Выемка грунта из котлована выполняется механизированным
способом, и только зачистка котлована и небольшие выемки в стес¬
ненных местах производятся вруч¬
ную. Лк
Для разработки грунта приме-
няют одноковшовые экскаваторы 1
с прямой или обратной лопатой, У*дУ |
драглайны и гидромониторы. Гу [
При глинистом основании уст- /у [
раивается подготовка из насып- [ы г н
ного гравийного или песчаного н , П, -< (
слоя. L& I Ai /\
При возведении подпорной сте-

ны на косогоре с уклоном более / г
1 : 5 ее сопряжение с основанием |
делается уступами. |
При слабых грунтах подпорная
стена делается на свайном фунда- Рис- 10
менте.
Для монтажа подпорных стен из сборного железобетона при¬
меняются самоходные стреловые краны на автомобильном, пневмо-
колесном и гусеничном ходу, а также экскаваторы, снабженные
сменным крановым оборудованием. Монтаж стенок небольшого
веса (до 5 Т) может быть произведен автопогрузчиками.
В настоящее время стены набережных и других гидротехнических
сооружений на участках, затопленных водой, обычно возводятся
без ограждения котлована путем монтажа «в воду».
При строительстве монолитных подпорных стен применяется то¬
варный бетон, укладка которого производится с помощью ленточ¬
ного транспортера.
Обратная засыпка котлована за подпорной стеной обычно
производится бульдозерами.
Для обратной засыпки применяют местные крупнообломочные
грунты, пески, супеси, а иногда и суглинки, которые уплотняются
трамбовками, катками или вибраторами до достижения степени
уплотнения 0,95—0,9. Глины, торфы, илы, плывуны и мерзлые
грунты для обратной засыпки непригодны.
§ 4. УСЛОВИЯ РАБОТЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ПОДПОРНЫХ СТЕН
Подпорные стены находятся в очень сложных условиях работы,
зависящих от многих факторов, одни из которых еще недостаточно
хорошо изучены, а другие трудно поддаются математическому опи-
13

санию. Особенно сложным оказывается изучение всех факторов
в их взаимодействии.
Грунт, находящийся за подпорной стеной и удерживаемый ею,
стремясь под влиянием силы тяжести прийти в движение и занять
объем, ограниченный поверхностью естественного откоса, встре¬
чает сопротивление стены и оказывает на нее давление. Это давле¬
ние зависит не только от механических свойств грунта и геометри¬
откоса, но также и от характера и вели¬
чины перемещений стены, которые в
ческих размеров стены и
свою очередь зависят от жесткости
самой стены и ее основания.
Давление, оказываемое грунтом по
прошествии достаточно большого про¬
межутка времени на абсолютно жест¬
кую и неподвижную стену, называется
установившимся или давле¬
нием состояния покоя.
Это давление может отличаться от
натурального давления грунта в не¬
тронутом массиве, так как последнее
сформировалось не только в течение
весьма длительного периода, но и при
определенных условиях образования,
отличающихся от условий искусст¬
венного отсыпания грунта за подпор¬
ную стену. Сила давления на непод-
рис. 11 через Qo. При
вижную стену обозначена на графике
некоторой величине перемещения Д верха
стены в ту или другую сторону в грунте образуются сплошные
поверхности скольжения. При этом в случае движения подпорной
стены в сторону от грунта сила давления его на подпорную стену
достигает своего нижнего предела Qa, называемого силой актив¬
ного давления, распором или напором, ав
случае движения подпорной стены в сторону грунта — верхнего
предела Qn, называемого силой пассивного сопротив¬
ления или отпором.
Примерный график, показывающий изменение силы давления Q
на подпорную стену в зависимости от величины ее перемещения Д,
изображен на рис. 11.
Перемещения подпорной стены носят сложный характер. Они
складываются из перемещений стены как твердого тела, зависящих
от деформации основания, и из упругих или пластических переме¬
щений, связанных с деформацией самого тела стены. Последние
имеют значение только для тонких (гибких) стен. Всякое сложное
перемещение подпорной стены как твердого тела относительно
основания может быть разложено на три составляющие: горизон¬
тальное перемещение, вертикальное перемещение и поворот вокруг
той или иной оси. При абсолютно жестком основании такой поворот
14

возможен относительно нижнего переднего или заднего ребра, а
при деформируемом основании — вокруг некоторой оси, располо¬
женной ближе к середине ширины подошвы.
При некоторых величинах нагрузок, действующих на подпор¬
ную стену, ее перемещения могут достигнуть такой величины,
что произойдет сдвиг (скольжение) стены по основанию (рис. 12, а)
или ее опрокидывание (рис. 12, б). И в том и в другом случае стена
теряет устойчивость и перестает выполнять свое назначение как
инженерное сооружение, т. е. наступает его предельное состояние.
При недостаточно прочном основании потеря устойчивости стены
может произойти при разрушении осно¬
вания с возникновением в нем поверх¬
ностей скольжения, с выпиранием грун¬
та из-под подошвы фундамента и даже
с опрокидыванием стены в противопо¬
ложную сторону (рис. 12, в).
Предельным состоянием подпорной
стены следует также считать развитие в
ее основании недопустимо больших по
'условиям эксплуатации деформаций в
виде осадок или кренов.
Для гидротехнических подпорных
стен на нескальном основании предель¬
ным состоянием считается также выход
равнодействующей R всех сил, переда¬
ющихся на основание, или ее нормаль¬
ной составляющей из средней трети ши¬
рины подошвы фундамента, что влечет
за собой передачу давления на основание не по всей ширине по¬
дошвы (рис. 13).
Кроме этих случаев, предельными состояниями подпорной стены
являются также случаи нарушения прочности или трещиностой-
кости материала самой стены, связанные с появлением недопусти¬
мых по величине напряжений или усилий.
Рассмотренные предельные состояния относятся в основном
к эксплуатационному периоду работы подпорной стены. В периоды
строительства и ремонта сооружения представляют опасность дру¬
гие предельные состояния, связанные со способами ведения работ.
15

Так, например, при транспортировании элементов сборных железо¬
бетонных подпорных стен к месту установки и при монтаже может
произойти разрушение этих элементов.
§ 5. ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ПОДПОРНЫХ СТЕН
И ДЕЙСТВУЮЩИЕ НОРМЫ
Задача расчета подпорной стены состоит в том, чтобы ни одно
из предельных состояний не наступило в течение всего периода ее
эксплуатации.
При этом высота подпорной стены, ее материал, тип и форма
профиля предполагаются предварительно выбранными в зависи¬
мости от тех или других конкретных местных условий.
Исходя из указанных выше предельных состояний подпорных
стен и их оснований должны быть произведены следующие расчеты:
а) на устойчивость положения самой подпорной стены (вместе
с фундаментом и без него) против сдвига по поверхности основания
и против опрокидывания;
б) на прочность грунта основания;
в) на прочность самой конструкции подпорной стены;
г) на деформацию грунта основания;
д) на трещиностойкость элементов конструкции.
Расчеты на устойчивость и прочность производятся при дейст¬
вии расчетных нагрузок, а расчеты на деформацию — по норматив¬
ным нагрузкам.
Расчет на трещиностойкость производится по нормативным или
расчетным нагрузкам в зависимости от характера влияния трещин
на условия эксплуатации подпорной стены.
Во всех случаях расчеты производятся на наиболее невыгодное
сочетание нагрузок и должны охватывать различные периоды ра¬
боты подпорной стены — эксплуатационный, строительный, ремонт¬
ный и др.
Ход расчета может быть прямым и обратным. Пря¬
мой ход расчета состоит в том, что по найденным предваритель¬
но нагрузкам находят минимальные требуемые размеры профиля,
в частности ширину подошвы. Однако этот путь до сих пор оказы¬
вался в большинстве случаев затруднительным, так как для при¬
меняемых на практике профилей, отличающихся от простейших
геометрических фигур — прямоугольника, треугольника и тра¬
пеции, формулы для требуемой ширины профиля получались слиш¬
ком громоздкими.
В гл. IX и X приводятся общие формулы, позволяющие найти
требуемую ширину подошвы подпорной стены любого профиля
исходя из различных условий.
Обратный ход расчета заключается в предварительном
назначении размеров профиля с последующими его проверками.
Трудность в данном случае состоит именно в предварительном на¬
16

значении размеров профиля исходя из целого ряда предъявляемых
к нему требований.
Иногда применяется комбинированный ход расчета, при кото¬
ром для предварительного назначения ширины профиля применя¬
ются приближенные формулы или составленные по ним графики
с последующими окончательными проверками, в ходе которых могут
быть внесены те или иные сравнительно небольшие изменения раз¬
меров профиля.
Одной из основных нагрузок, действующей на подпорную сте¬
ну и определяющей размеры ее профиля, является давление
грунта.
Расчет подпорных стен на нескальном основании принято про¬
изводить на действие активного давления грунта, т. е. на давление,
отвечающее состоянию его предельного равновесия, когда подпор¬
ная стена получила незначительное перемещение в сторону от за¬
сыпки. При этом считается, что такое перемещение будет обеспечено
за счет деформации основания.
Подпорные же стены на скальном основании, а также стены
жестких подземных сооружений, испытывающих боковое давление
грунта с обеих сторон, должны быть рассчитаны на действие уста¬
новившегося давления в состоянии покоя.
Расчет подпорных стен должен производиться в соответствии
с общими указаниями Строительных норм и правил, ч. II, раздел
А, гл. 10 «Строительные конструкции и основания. Основные по¬
ложения проектирования» (СНиП II-A.10—62) и с указаниями спе¬
циальных технических условий.
Для подпорных стен гидротехнических сооружений взамен дей¬
ствующих Технических условий и норм проектирования гидротех¬
нических сооружений «Подпорные стенки» (ТУ 16—51) Гидропро¬
ектом составлен проект новых Технических условий и норм, в кото¬
ром методика расчетных предельных состояний почти не отражена.
Для расчета оснований гидротехнических подпорных стен следует
руководствоваться СНиП, ч. II, раздел Б, гл. 3 «Основания гидро¬
технических сооружений. Нормы проектирования» (СНиП II-Б.
3—62).
Подпорные стены, принадлежащие к конструкциям мостов (на¬
пример, устои и их основания), должны рассчитываться в соот¬
ветствии с «Техническими условиями проектирования железно¬
дорожных, автодорожных и городских мостов и труб» (СН 200—62),
которые полностью составлены на основе методики расчетных пре¬
дельных состояний, а также СНиП Н-Д. 7—62.
Что касается подпорных стен промышленных и гражданских
зданий и сооружений, то для них специальные указания отсутст¬
вуют, но при их расчете должны быть учтены указания Строитель¬
ных норм и правил, ч. II, раздел Б, гл. 1 «Основания зданий и
сооружений. Нормы проектирования» (СНиП II-Б. 1—62), а также
соответствующие главы, относящиеся к расчету конструкций из
тех или других материалов.
17

§ 6. НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
Все нагрузки, действующие на подпорные стены, разделяются
на постоянные и временные. Последние в свою оче¬
редь подразделяются на длительно действующие,
кратковременно действующие и особые.
При расчете по предельным состояниям возможное отклонение
каждой из нагрузок в неблагоприятную (большую или меньшую)
сторону от ее нормативного значения вследствие изменчивости самой
нагрузки или из-за отступлений от условий нормальной эксплуата¬
ции сооружения учитывается коэффициентом пере¬
грузки (п). При этом расчетные нагрузки получаются как про¬
изведение нормативных нагрузок на соответствующие коэффициен¬
ты перегрузки.
Значения коэффициентов перегрузки для различных нагрузок,
которые могут действовать на подпорные стены, взятые из
СН-200—62, приведены в табл. 1. При этом первое значение вели¬
чины п относится к нагрузкам, увеличивающим расчетное воздей¬
ствие, а второе — к нагрузкам, уменьшающим расчетное воздей¬
ствие.
Таблица 1
Нагрузки, действующие на подпорные стены и коэффициенты
перегрузки
Нагрузки
Коэффициенты
перегрузки п
А. Постоянные
Собственный вес подпорной стены

1,1 или 0,9
Давление грунта

1,2 или 0,9
Давление, передающееся через грунт от постоянных
нагрузок, находящихся на его поверхности ....
1,2 или 0,9
Давление воды при постоянном ее уровне

1,1 или 0,9
Б. Временные
Давление, передающееся через грунт от подвижной
нагрузки:
от автомобильной нагрузки

от тяжелых колесных и гусеничных нагрузок . .
от железнодорожного подвижного состава ....
Давление, передающееся через грунт от различных
неподвижных нагрузок

1,4
1,1
1,3
Не менее 1,2
Ледовая нагрузка и нагрузка от навала судна ....
1,1
Основные сочетания нагрузок составляются из постоянных,
длительно действующих и одной кратковременно действующей вре¬
менной нагрузки.
Дополнительные сочетания состоят из постоянных, длительно
действующих и двух или более кратковременно действующих вре¬
менных нагрузок.
18

Особые сочетания составляются из постоянных, длительно дей¬
ствующих временных нагрузок, некоторых кратковременно дей¬
ствующих и особых нагрузок и воздействий. К последним относятся
сейсмические, аварийные и подобные воздействия.
При дополнительных сочетаниях коэффициенты перегрузки
кратковременных нагрузок умножаются на коэффициент 0,9, а
при особых сочетаниях — на 0,8.
Динамическое действие от нагрузок, передающееся через грунт,
обычно не учитывается.
При определении усилий от собственного веса элементов под¬
порной стены при их транспортировании и монтаже вводится ди¬
намический коэффициент 1,5.
Для гидротехнических подпорных стен согласно СНиП П-Б. 3—
62 до установления значений коэффициентов перегрузки, одно¬
родности и условий работы расчеты допускается производить с при¬
менением общего коэффициента устойчивости и с принятием расчет¬
ных нагрузок, равных нормативным.
Для подпорных стен промышленных сооружений пока можно
также придерживаться этого правила, так как указания, содержа¬
щиеся в СН-200—62, приводят к сильному утяжелению конструк¬
ций. Если же пользоваться СН-200—62, то следует принимать бо¬
лее высокие значения коэффициентов условий работы, чем для
мостов.
Нормативную нагрузку от собственного веса подпорной стены
определяют исходя из геометрических размеров ее профиля и
объемного веса материала.
Данные об объемных весах ус различных материалов приведены
в табл. 2.
Таблица 2
Объемные веса материалов
Наименование материалов
Объемный вес ? ,
'с
Т/м3
Железобетон марки не выше 400

2,5
Бетон вибрированный • . . . .
2,4
Кладка из тесаных или грубоколотых камней:
2,7
гранита . .
песчаника

2,4
известняка .

2,0
Кладка бутовая и бутобетонная:
2,4
на граните и базальте

на песчаниках и кварцитах

2,2
на известковом камне

2,0
Кладка кирпичная

1,8
Асфальтобетон:
2,3
среднезернистый

песчаный

2,0
Как указано выше, подпорные стены испытывают давление от
грунтовой засыпки, которую они поддерживают. С другой стороны,
19

основаниями подпорных стен также служат грунты, т. е. горные
породы верхних слоев земной коры.
Для определения давления засыпки необходимо прежде всего
знать ее объемный вес и сопротивление сдвигу.
Для расчета основания необходимо знать модуль деформации
и коэффициент Пуассона грунта.
Объемный вес грунта (вес 1 ж3 в Т) зависит от удельного веса
частиц, от пористости и от степени заполнения пор водой.
Объемный вес грунта с порами, частично заполненными водой
и частично воздухом, выражается формулой
_ ь (1 +ор
7 1 + е
где уч — удельный вес материала частиц грунта, который для боль¬
шинства минералов, входящих в состав грунта, колеблется
в пределах 2,65—2,75 Т/м3, а для органических веществ
— 1,2—1,6 77ж3;
w — весовая влажность, т. е. отношение веса воды в порах
грунта к весу его твердых частиц;
е — коэффициент пористости, т. е. отношение об'ъема пор
к объему твердых частиц грунта.
При отсутствии воды в порах о>=0. При полном же заполне¬
нии их водой (грунтовая масса) . Объемный вес такого
7 ч
грунта определяется по формуле
(1-2)
1 “Г ь
При этом удельный вес воды ув принимается равным 1 Т/м3.
При погружении грунта в воду он взвешивается и передает
часть своего веса на воду. Если грунт водопроницаемый, то вода
вытесняется из занимаемого ею объема только твердыми частицами,
поэтому объемный вес такого грунта с учетом взвешивания состав¬
ляет
Твзв = ■ '1 = Тск — -jTjZV = Ъап — Тв. (1 • 3)
где Тск— объемный вес скелета грунта;
1ск=_^_=-^. (1.4)
1 ск 1 W 1 4- £ v 7
Средние нормативные значения объемных весов, а также дру¬
гие характеристики различных грунтов приведены в табл. 3.
Необходимо иметь в виду, что приведенные в этой таблице зна¬
чения объемных весов относятся к грунтам со значительной при¬
родной влажностью. Для маловлажных рыхлых грунтов объемные
веса находятся в пределах от 1,3 до 1,7 Т/м3, а для уплотненных —
от 1,6 до 2,0 Т/м3. Для грунтов же, насыщенных водой, объемные
20

Средние нормативные и расчетные физико-механичеСкие характеристики грунтов
Т а 6 л и ц а <3
Виды грунтов и их влажность на границе
Коэффициент
Природная
Объемный вес
Угол
внутреннего
Удельное сцепление
с, кГ/см2
Модуль
раскатывания, %
пористости е
влажность
W, %
7, Т/м*
трения ср,
град
норма¬
тивное
расчетное
деформации
Е, кГ/см2
Песок гравелистый, и крупный
0,41—0,5
15—18
2,05
43
0,02
—
460
0,51—0,6
19—22
1,95
40
0,01
—
400
0,61—0,7
23—25
1,90
38
0
330
Песок средней крупности
0,41—0,5
15—18
2,05
40
0,03
—
460
0,51 — 0,6
19—22
1,95
38
0,02
—
400
0,61 — 0,7
23—25
1,90.^
35
0,01
—
330
Песок мелкий
0,41—0,5
15—18
2,05
38
0,06
0,01
370
0,51—0,6
19—22
1,95
36
0,04
—
280
0,61—0,7
23—25
1,90
32
0,02
—
240
Песок пылеватый
0,41—0,5
15—18
2,05
36
0,08
0,02
140
0,51 — 0,6
19—22
1,95
34
0,06
0,01
120
0,61—0,7
23—25
1,90
30
0,04
—
100
Супесь, суглинок 9,5 < иур < 12,4
0,41—0,5
15—18
2,10
25
0,12
0,03
230
0,51—0,6
19—22
2,00
24
0,08
0,01
160
0,61—0,7
23—25
1,95
23
0,06
—
130

Продолжение табл. 3
Виды грунтов и их влажность на границе
раскатывания, %
Коэффициент
пористости е
Природная
влажность
W, %
Объемный вес
Т, Т/м2
Угол
внутреннего
трения <р,
град
Удельное сцепление
с, кГ/см2
клик пилил. о
Модуль
деформации
Е, кГ/см2
норма¬
тивное
расчетное
Суглинок, глина 12,5 < шр < 15,4
0,41—0,5
15—18
2,10
24
0,42
0,14
350
0,51—0,6
19—22
2,00
23
0,21
0,07
210
0,61 —0,7
23—25
1,95
22
0,14
0,04
150
0,71—0,8
26—29
1,90
21
0,07
0,02
120
Суглинок, глина 15,5 < аур < 18,4
0,51—0,6
19—22
2,00
22
0,50
0,19
300
0,61—0,7
23—25
1,95
21
0,25
0,11
190
0,71—0,8
26—29
1,90
20
0,19
0,08
130
0,81—0,95
30—34
1,85
19
о,н
0,04
100
0,96 — 1,10
35—40
1,80
18
0,08
0,02
80
Суглинок, глина 18,5 < цур < 22,4
0,61—0,7
23—25
1,95
20
0,68
0,28
300
0,71—0,8
26—29
1,90
19
0,34
0,19
180
0,81—0,95
30—34
1,85
18
0,28
0,10
130
0,96—1,10
35—40
1,80
17
0,19
0,06
90
Глина 22,5 < дор < 26,4
0,71 — 0,8
26—29
1,90
18
0,82
0,60
280
0,81 —0,95
30—34
1,85
17
0,41
0,30
160
0,96 — 1,10
35—40
1,75
16
0,36
0,25
ПО
Глина 26,5 < шр < 30,4
0,81—0,95
30—34
1,85
16
0,94
0,65
220
0,96—1,10
35—40
1,75
15
0,47
0,35
140

веса могут быть больше тех, которые приведены в табл. 3. Так,
объемные веса плотного гравелистого песка и утрамбованной глины
доходят до 2,35 Т/м3.
При типовом проектировании согласно СН-200—62 можно при¬
нимать для дренирующих грунтов засыпки следующие норматив¬
ные значения характеристик грунтов засыпок:
7=1,8 Т/м3 и <р=35°, а в случае механизированного уплотнения
грунтов 7=1,9 Т/м3 и <р=40°.
Расчетные значения углов внутреннего трения принимаются
меньше нормативных: на 2° при расчете оснований и на 5° при
определении активного давления засыпки.
Определение давления грунта на подпорные стены производится
исходя из расчетных значений объемных весов и углов внутреннего
трения грунтов.
Что касается сцепления, то следует иметь в виду, что данные
табл. 3 относятся к ненарушенным грунтам оснований, поэтому
для засыпок рекомендуется вводить в расчет значения удельного
сцепления ниже расчетных.
Для углов трения ср0 грунтов о грани подпорных стен прини¬
маются следующие расчетные значения:
а) при обратных засыпках из мелкозернистого, насыщенного
водой песка и при действии на подпорные стены динамических
нагрузок 0< <р0^ у ?;
б) при относительно гладких гранях подпорных стен
в) при весьма шероховатых гранях подпорных стен <Ро=ф, где
Ф—угол внутреннего трения грунта.

ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ГРУНТОВ
§ 7. СОПРОТИВЛЕНИЕ ГРУНТА СДВИГУ
Грунты, как и другие материалы, оказывают то или иное сопро¬
тивление при растяжении, сжатии и сдвиге. Прочность грунта в
основном определяется его сопротивлением сдвигу, так как сопро¬
тивление сжатию, зависящее от сопротивления материала частиц
смятию, лишь в редких случаях оказывается исчерпанным, не¬
смотря на большую величину контактных давлений между части¬
цами, во много раз превышающих средние напряжения в сплош¬
ной среде при данных нагрузках. Что касается растяжения, то
этот вид силового воздействия на грунт встречается очень редко.
Рис. 14
Для испытания грунта на сдвиг применяется прибор, схема ко¬
торого показана на рис. 14.
Сдвигающей силе Q противодействует сила сопротивления грунта
сдвигу, которая зависит от сил внутреннего трения и сцепления.
При этом, согласно закону Амонтона — Кулона, сила внутреннего
трения прямо пропорциональна величине силы А, нормальной к
поверхности сдвига, и коэффициенту внутреннеготрения /, который
зависит от характера соприкасающихся частиц грунта и равен
тангенсу угла у внутреннего трения грунта, т. о. /= (шла
сцепления прямо пропорциональна площади сдвига /' н величине
удельного сцепления с.
24

Таким образом, предельная сила сопротивления грунта сдвигу
выражается формулой
Tnp=Nf + cF. (2. 1)
Если отнести силу сопротивления грунта сдвигу к единице
площади F сдвига, то мы получим удельное сопротив¬
ление сдвигу или, иначе говоря, предел прочности
грунта при сдвиге:
Тпр N , ,
тпр р р tg 9 Н-
(2. 2)
Если не учитывать зернистого строения грунта, считая его
сплошным и наделенным некоторыми средними механическими ха¬
рактеристиками по всей площади F, то величина будет нор¬
мальным сжимающим напряжением и тогда формулу (2.2) можно
представить в виде
тпр = + c = af tgcp, (2. 3)
где а'=а0+а — приведенное нормальное напря¬
жение, т. е. нормальное напряжение с учетом
собственного напряжения грунта от действия сцеп¬
ления;
°° tg?
давление, обусловленное внутренними силами сцеп¬
ления, называемое давлением связности.
Зависимость (2.3) может быть изображена графически в виде
диаграммы сдвига, как это показано на рис. 15. При этом, посколь¬
ку величина а0 отложена в сторону отрицательных значений нор¬
мальных напряжений, она определяет сопротивление грунта рас¬
тяжению.
Диаграмма сдвига строится для данного грунта по данным ис¬
пытания его при разных значениях сил N и Q. Начальный участок
диаграммы, показанный на рис. 15 пунктиром, оказывается криво¬
линейным, так как он соответствует неустановившемуся сдвигу.
Однако для практических целей этот участок заменяется условным
отрезком прямой, что позволяет
определить величины угла внут¬
реннего трения ср и удельного
сцепления с.
Условие равновесия или ус¬
ловие прочности грунта против
сдвига выражается неравенством
Q<Tnp или t < тпр, (2. 4)
где т — действующее касательное
напряжение, принимаемое равно¬
мерным по всей площади сдвига.

Произведя геометрическое сложение сил N и Q, как это сде¬
лано на рис. 14, б, найдем их равнодействующую Р, которая от¬
клоняется от нормали к поверхности сдвига на угол 8. Этот угол
будем называть углом отклонения.
Тогда Q=7Vtg 8, T=atgB и условие (2. 4) можно представить
в виде
G tg 8 tg + с*
Разделив обе части этого выражения на а, получим
С
а
tgB < tg <р 4
(2. 5)
Для несвязного грунта с=0, и в этом случае 8<<р.
Для состояния предельного равновесия (или
предельного напряженного состояни я) в вы¬
ражениях (2.4) и (2.5) сохраняются только знаки равенства.
Таким образом, для несвязного грунта, нахо¬
дящегося в предельном напряженном со¬
стоянии, угол отклонения равен углу внут¬
реннего трения.
Значения углов внутреннего трения и удельного сцепления
различных грунтов приведены в табл. 3.
Опыты с тем же прибором, снабженным индикатором для изме¬
рения перемещений, показывают, что до достижения касательным
напряжением т его предельного значе¬
ния тпр, зависимость между касательным
напряжением т и перемещением сдвига Д
по площадке контакта (при постоянном
нормальном напряжении а) носит харак¬
тер, близкий к линейному, подобно тому,
как это имеет место в отношении дефор¬
маций упругих тел, т. е.
т = £тД, (2.6)
где kT= tgp — коэффициент пропорцио¬
нальности, выражающий¬
ся в кПсм3.
Зависимость (2.6) показана графически на рис. 16.
После достижения касательным напряжением т его предельного
значения тпр происходит срыв верхней части прибора с грунтом,
носящий характер пластической деформации.
§ 8. ПЛОЩАДКИ СКОЛЬЖЕНИЯ В ГРУНТЕ
При совмещении осей координат г и х с направлениями при¬
веденных главных напряжений о/ и о2' нормальное и касательное
напряжения по площадке, наклоненной под углом а к оси х, выра-
26

жаются следующими известными из курса сопротивления материа¬
лов формулами (рис. 17):
о =а cos2 а 4- оо sin2a;
al 1 2 ’
а1—а9 . -
т = ‘ sin 2 а.
а 2
(2. 7)
Угол отклонения В полного напряжения р, действующего по рас¬
сматриваемой площадке, от нормали к этой площадке выражает-
приравняем нулю производную выра¬
жения (2.8) по а и из полученного урав¬
нения найдем
Наибольший угол отклонения, который в предельном напряжен¬
ном состоянии грунта равен углу его внутреннего трения <р, найдем,
подставив найденное значение tga в выражение (2.8):
tg/пах = tg<p = ± ——===.
2 1/ 0^2
(2- П)
После ряда преобразований из этого выражения получим:
а = ± ( 45° т 4/р (2. 12)
\л--^4^- ± 4 V -
= —°z U ±sin ?); (2. 13)
i + sin<p =t 2/45о _g_\ (2 14)
1 ± sin 9 b 2 у ' 7
27

Эти формулы показывают, что в каждой точке грунта, находя¬
щегося в предельном напряженном состоянии, имеются две пло¬
щадки, называемые площадками скольжения, .по
которым угол отклонения имеет наибольшую величину и по кото¬
рым вследствие этого произойдет разрушение грунта. Эти площад¬
ки составляют с направлением большего главного напряжения о/
углы 45°—у и углы 45°+у с направлением меньшего главного
напряжения <з2'-
Кроме того, эти формулы дают величины главных напряжений
и их соотношение при наступлении в данной точке грунта предель¬
ного напряженного состояния.
Подставляя выражения (2.13) главных напряжений с/ и <%'
через нормальные и касательные напряжения а2, <зх и rxz в формулу
(2.9), получим условие предельного напряженного состояния в
следующем виде:
(°г — °х)2 + 4 & = Sin2 <Р ( + <зх + (2.15)
Если во всех точках грунта, лежащих на некоторой поверх¬
ности, наступает предельное напряженное состояние, то эта поверх¬
ность называется поверхностью скольжения. При
этом весь объем, ограниченный этой поверхностью и отделенный
ею от остального грунта, будет находиться в состоянии пре¬
дельного равновесия.
Если же предельное напряженное состояние наступает во всех
точках какого-либо объема грунта, то этот объем будет находиться
в предельном напряженном состоянии.
Частными случаями поверхностей скольжения являются плос¬
кости скольжения.
§ 9. ИЗОБРАЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ГРУНТА
Приведенные в предыдущем параграфе формулы могут быть
также получены из графического построения, показанного на
рис. 18 и известного под названием круга напряжений
или круга Мора.
На оси о прямоугольных координат а и т откладываются от¬
резки О А и ОВ, изображающие величины главных напряжений
cjj и а2. На отрезке АВ, равном разности ах и о2, как на диаметре,
строится окружность. Для нахождения нормального и касатель¬
ного напряжений аа и та , действующих по площадке, нормаль
к которой составляет с большим главным напряжением угол а,
нужно построить при центре С центральный угол 2а (или угол
а при точке В), откладывая его положительные значения против
часовой стрелки. Точка D, лежащая на окружности, соответствует
данной площадке, а ее координаты — нормальному и касательному
напряжениям оа и та .
28

Угол отклонения В выражается на чертеже углом, образуемым
секущей OD с осью о.
При наличии сцепления к главным напряжениям прибавляется
давление связности , что равносильно переносу начала
координат из точки О в точку О'.
Рис. 18
Напряжения по площадкам скольжения а и т соответствуют
координатам точек Dr и D/, являющихся точками касания прямых
O'D1 и O'D^, проведенных под угол ом у к оси о.
Углы ах = 45°—и а2=45°+у определяют направления площа¬
док скольжения по отношению к направлениям приведенных глав¬
ных напряжений и <з2'. Возникновение двух симметричных пло¬
щадок скольжения выражается возможностью проведения из точ¬
ки О' двух симметричных прямых под углом <р.
Приведенные напряжения по площадкам скольжения равны
между собой, действительные напряжения по этим площадкам
также равны между собой. При этом приведенные напряжения,
действующие по площадкам скольжения, оказываются сопря¬
женными, т. е. направление одного из них параллельно пло¬
щадке, по которой действует другое, и наоборот.
По всем остальным площадкам, проходящим через данную точку
грунта и изображаемым другими точками окружности, например,
точкой £>, напряженное состояние будет непредельным.
Для нахождения направления двух плоскостей скольжения,
29

проходящих через концы данной плоскости, испытывающей задан¬
ное давление, более удобны характеристические круги С. С. Го-
лушкевича. Эти круги строятся на прямоугольном треугольнике
АВС, один из острых углов которого равен углу внутреннего тре¬
ния ср грунта (рис. 19).
Вершина С другого острого угла, равного 90°—ср, принимается
в качестве центра трех концентрических окружностей: круга
полюсов, радиусом которого служит гипотенуза ВС треуголь¬
ника; круга вершин, радиус которого равен катету АС,
лежащему против угла ср; круга площадок, радиусом ко¬
торого является отрезок CD ги-
потенузы, отсекаемый перпенди¬
куляром AD, опущенным на нее
из вершины прямого угла. Про¬
должив линию AD до пересече¬
ния с окружностью круга вер¬
шин в точке Е, получим его хор¬
ду АЕ, которая будет касатель¬
ной к окружности круга площа¬
док и разделит круг вершин на
две неравные части.
Взяв на большей из этих
двух частей окружности точку М
и соединив ее с точками А и Е,
получим угол АМЕ, равный по¬
ловине угла АСЕ, т. е. 90р—ср.
Для точки АГ, лежащей на
Рис. 19
меньшей по длине части окруж¬
ности круга вершин, угол АМ'Е будет равен 90°+ср.
Поэтому прямые МА и ME (или соответственно прямые М'А
и М'Е) дают направления одной пары плоскостей скольжения из
бесчисленного множества таких плоскостей, проходящих через
концы плоскости, совпадающей по направлению с хордой АЕ.
Очевидно, что исходный треугольник АВС, определяющий соотно¬
шение между радиусами кругов, может быть построен в любом
масштабе и ориентирован совершенно произвольно, а равный ему
треугольник ВСЕ, построенный лишь для доказательства теоремы,
при решении конкретной задачи не нужен.
Эту теорему можно сформулировать следующим образом.
Если какую-либо плоскость, проведенную в грунте, находящем¬
ся в предельном напряженном состоянии, изобразить параллель¬
ной ей хордой круга вершин, касающейся круга площадок, то лю¬
бые две прямые, проходящие через концы этой хорды и пересека¬
ющиеся на окружности круга вершин, будут параллельны возмож¬
ным направлениям плоскостей скольжения, проходящим через кон¬
цы рассматриваемой плоскости.
Пример 1. Требуется определить направление плоскостей сколь¬
жения, проходящих в грунте через концы плоскости KL, на кото¬
30

рую действует давление р, составляющее с этой плоскостью угол
о=15° (рис. 20, а). Угол внутреннего трения грунта ср=20°.
Решение. Построив систему кругов С. С. Голушкевича, отве¬
чающую заданному углу ср=20° (рис. 20, б), проводим хорду к1
круга вершин, касательную в точке п к кругу площадок и парал¬
лельную плоскости KL. От точки С через точку п проводится пря¬
мая до пересечения в точке Е с окружностью круга полюсов. Через
точку Е проводится прямая, параллельная направлению давле-
Рис. 20
ния р, пересекающая круг вершин в точках 7И' и М. Прямые кМ и
1М определяют направление одной пары плоскостей скольжения,
а прямые кМ' и 1М'—другой пары. Таким образом, задача имеет
два решения.
Сила Р=рКЕ должна быть разложена на составляющие, дей¬
ствующие на каждой из плоскостей скольжения. При этом сила,
действующая по одной плоскости скольжения, оказывается парал¬
лельной другой плоскости. Такие силы называются сопряжен¬
ными. Разложение силы Р на два направления сделано в двух
возможных вариантах на рис. 20, в, а их действие на площадки
в сыпучем теле показано на рис. 20, лиг.
§ 10. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
ПО ТЕОРИИ В. В. СОКОЛОВСКОГО
Наиболее строгим и общим методом решения задач теории пре¬
дельного равновесия грунта является метод члена-корреспондента
АН СССР В. В. Соколовского, который рассматривает грунт как
сплошную несвязную или связную сыпучую среду и принимает,
31

что среда под влиянием незначительного перемещения подпорной
стены приходит в некоторой области за подпорной стеной в предель¬
ное напряженное состояние, т. е. что в любой точке этой области,
ограниченной некоторой объемлющей поверхностью скольжения,
выполняется условие т=тпр, которое приводит к уравнению (2.15),
т. е.
(сг — aJ2 + 4 \х =sin2<ip(^+°х+ tiv) •
Таким образом, в этой области появляется бесконечное множество
поверхностей скольжения, образующих два семейства, из которых
одно отвечает максимальному предельному состоянию,
а другое — минимальному.
Ввиду того, что подпорная стена по всей длине находится в оди¬
наковых условиях работы, для расчета достаточно выделить участок
длиной в 1 пог. ж, т. е. рассматривать задачу как плоскую относи¬
тельно деформаций.
Так как грунт, находящийся в предельном напряженном состоя¬
нии, находится также и в равновесии, то для него могут быть ис¬
пользованы дифференциальные уравнения равновесия плоской за¬
дачи сплошной среды, известные из курса теории упругости и плас¬
тичности:
+ = (2. 16)
dz 1 дх ‘ v 7
3^X2 I n
dz дх ~ ’
где az, ax и tZx=txz — составляющие полного напряжения по на¬
правлению координатных осей z и х\
у — объемный вес грунта.
Совместное решение уравнений (2.15) и (2.16), предварительно
приведенных к канонической форме, в общем случае выполняется
численным методом, который связан с трудоемкими вычислениями.
Этим и объясняется то обстоятельство, что теория В. В. Соколов¬
ского до сих пор еще не получила на практике того широкого рас¬
пространения, которое она заслуживает как самая строгая из всех
теорий давления грунтов.
В настоящее время благодаря появлению таблиц готовых коэф¬
фициентов давления сыпучего тела на подпорные стены, вычислен¬
ных по этой теории, во многих случаях отпала необходимость ис¬
пользования приближенной теории Кулона, которая почти безраз¬
дельно господствовала в расчетной практике на протяжении около
двух столетий.
В зависимости от наклона задней поверхности подпорные стены
разделяются на крутые, у которых задняя грань служит одной из
поверхностей скольжения (рис. 21, а), и пологие, у которых обе
поверхности скольжения проходят внутри сыпучего тела (рис. 21, б).
При этом в случае горизонтальной поверхности засыпки к крутым
32

относятся подпорные стены, у которых (при отсутствии сцепления)
задняя грань составляет с вертикалью угол
1 • sin Фо Фо /п 1 'VX
а < -к- arc sin ■ . Y0 (2.17)
^2 sm <p 2 ’ '
где <р0— Угол трения засыпки по подпорной стене.
Переходные значения углов наклона задней грани подпорной
стены к вертикали, отделяющие крутые стены от пологих, приве¬
дены в табл. 4.
Таблица 4
Переходные значения углов а
град
ср0 град
0
5
1 10
15
20
25
30
35
40
1 45
10
0°
12°30'
40°00'

15
0°
7°10'
16°05'
37°30'
—
—
—
—
—
—
20
0°
4°55'
10°15'
17°00'
35°00'
—
—
—
—
—
25
0°
3°20'
7°05'
11°30'
17°00'
32°30'
—-
—
—
—
30
0°
2°30'
5°05'
8°05'
11°40'
16°20'
30°00'
—
—
—
35
0°
1°50'
3°50'
5°55'
8°20'
11°15'
15°25'
27°30'
—
—
40
0°
1°25'
2э50'
4°25'
6°10'
8°00'
10°30'
14°05'
25°00'
—
45
0°
1°00'
2°15'
3°15'
4°30'
5°50'
7°30'
9°35'
12°40'
22°30'
Для частного, но наиболее часто встречающегося случая, когда
поверхность земли горизонтальна, а подпорная стена со стороны
засыпки плоская, нормальная о
и касательная т — составляющие
давления грунта в любой точке
на глубине z от поверхности
(рис. 22) выражаются следую¬
щими простыми формулами:
а = Qyr = о ^Z, (2- 18)
т = Т у = (2. 19)
4 Заказ 853
33

, Таблица 5
Значения коэффициентов нормальной и касательной составляющих активного давления грунта
по теории В. В. Соколовского
<р
а
-30°
—20°
-10°
±0°
+ 10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0°
а
0,57
0,61
0,66
0,70
0,73
0,78
0,83
0,88
0,90
0,94
,0,98
0,99
1,00
т
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10°
5°
0
0,52
0,57
0,62
0,66
0,71
0,75
0,78
0,84
0,89
0,92
0,97
0,98
1,00
т
0,05
0,05
0,05
0,06
0,06
0,06
0,07
0,08
0,08
0,08
0,09
0,06
0,00
10°
О
0,49
0,54
0,59
0,64
0,68
0,73
0,78
0,82
0,87
0,92
0,97
0,98
1,00
т
0,09
0,10
0,11
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,14
0,12
0,09
0,06
0,00
0°
0
0,31
0,37
0,43
0,49
0,55
0,61
0,69
0,77
0,84
0,90
0,97
0,98
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
20°
10°
0
0,27
0,33
0,38
0,44
0,50
0,56
0,65
0,72
0,79
0,88
0,94
0,98
1,00
т
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,16
0,15
0,12
0,00
20°
а
0,25
0,30
0,36
0,41
0,48
0,54
0,62
0,70
0,79
0,88
0,94
0,98
1,00
т
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,20
0,22
0,25
0,25
0,22
0,15
0,12
0,00
0°
а
0,16
0,21
0,27
0,33
0,41
0,49
0,58
0,68
0,78
0,88
0,94
0,98
1,00
т
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
30°
15°
а
0,13
0,18
0,23
0,29
0,37
0,45
0,53
0,63
0,73
0,82
0,94
0,98
1,00
т
0,03
0,05
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,17
0,19
0,22
0,20
0,12
0,00
30°
а
0,11
0,16
0,21
0,27
0,33
0,41
0,50
0,59
0,73
0,84
0,94
0,98
1,00
т
0,07
0,09
0,12
0,15
0,19
0,24
0,29
0,33
0,33
0,28
0,20
0,12
0,00
0°
а
0,07
0,11
0,16
0,22
0,30
0,37
0,48
0,60
0,72
0,84
0,91
0,98
1,00
т
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
40°
20°
о
0,06
0,09
0,14
0,19
0,25
0,34
0,44
0,55
0,69
0,82
0,91
0,98
1,00
т
0,02
0,03
0,05
0,07
0,10
0,13
0,16
0,21
0,25
0,30
0,26
0,12
0,00
40°
а
0,05
0,08
0,12
0,17
0,23
0,31
0,42
0,53
0,68
0,80
0,91
0,98
1,00
X
0,04
0,07
0,10
0,14
0,19
0,26
0,33
0,39
0,39
0,34
0,26
0,12
0,00

(Где = —расстояние от верха стены до рассматриваемого се¬
чения;
z — глубина рассматриваемого сечения от верха стены;
7 — объемный вес грунта;
Q и Т — коэффициенты, значения которых вычислены В. В. Со¬
коловским [21] для пологих подпорных стен и
3. Н. Буцко [5]—для крутых;
~о — т
G = и т=соГа—коэффициенты, значения которых приведены
в табл. 5.
При этом жирная ступенчатая линия в этой таблице отделяет
коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и
к пологим стенам.
Для крутых подпорных стен коэффициенты о и т связаны между
собой зависимостью
т = 0 tg<P0 = а tg 8. (2. 20)
Таким образом, в этом случае полное давление отклоняется от
нормали к поверхности стены на угол 8=<р0.
Для пологих же подпорных стен угол отклонения давления от
нормали к стене меньше угла трения по ней:
8 = arc tg4- <<р0.
а
Полная интенсивность давления засыпки на глубине z состав¬
ляет
q° = ]/” а2 + т2 — у jAQ2 4- Т2 = 7Z р^а2 + т2 =
= 7^> (2.21)
где £=1^а2+^2— коэффициент активного давления грунта на под¬
порную стену.
Горизонтальная и вертикальная составляющие интенсивности
полного давления на подпорную стену выражаются следующими
формулами:
ах = q° cos (а + 8) = cos (а + 8) = \z (а cos а —
— т: sin а) = 7 z (2. 22)
= q° sin (а + 8) = 7 z Ъ sin (а -f- 8) = 72 (т cos а +
+ о sin а) = 7 z , (2. 23)
где _ _
1Х = В cos (а + 8) = о cos а — т sin а;
lz = В sin (а + 8)= т cos а +<? sin а.
4*
35

Для этих коэффициентов составлены графики (рис. 23, 24 и
25— сплошные линии) при разных значениях углов а и ср и при
трех значениях угла <р0, равных 0, и <р.
_j I I 1 I I I I 1 1 I I 1-1.1 1 I I I 1 1 I I
-0,5 0 0,5 1,0 1,5 Z 3 4 5 10 оо
Уклон задней грана стены к вертикали (c — tgа)
Рис. 23
Для получения условных давлений, отнесенных к вертикаль¬
ной проекции стены, нужно разделить результаты, получаемые по
формулам (2. 21), (2. 22) и (2. 23), на отношение высоты грани к ее
длине по наклонной, т. е. на —=cos а. Тогда для интенсивности
полного давления на глубине г и для его составляющих получим
следующие формулы:
<7 = -^- = -X^- = 'fZX, (2. 24)
л COS a cos а ‘ 7
36

4*=^=^==^’ (2. 25)
= = (2- 26)
где
X = —-— ; X = —; к = —^— .
COS а ’ л COS а * COS а
Равнодействующая давления (сила давления) на участок стены
протяжением г и высотой z= rcos а
Q _ izrt = 42^ = 7?2 ?
2 2 cos а 2 ’ 27)
Равнодействующая давления на всю подпорную стену высотой h
Q_lhst _ _ .h2
* 2 “ 2 cos a — 2 Л- (2- 28)
Рис. 24
37

Горизонтальная и вертикальная составляющие этой силы вы¬
ражаются соответственно следующими формулами:
<2- 29)
4z 2 cos а “ 2 z'
(2. 30)
Для идеально гладкой (<ро=О) и вертикальной (а=0) подпор¬
ной стены при горизонтальной поверхности засыпки (₽=0) активное
давление грунта и равномерной нагрузки на его поверхности интен¬
сивностью р при учете сцепления с выражается формулой
q = с = (Тг + р) tg2( 45° - - 2с tg (45°-. (2. 31)
Пример 2. Требуется определить исходя из теории В. В. Соко¬
ловского активное давление грунта на 1 пог. м подпорной стены,
наклона задней грани стены н вертикали (а)
| | t I I I I L_J I 1—I I i L_I I I 1 1 4^ I I
-0,5 0 0,5 7,0 7,5 2,0 3,04,0 70,0oo
Уклон задней грани стены к вертикали (i = tgcn)
Рис. 25
38

показанной на рис. 26. Высота стены /г=4 м, угол наклона стены
к вертикали а=20°, объемный вес грунта у=1,8 Т/м3, угол внут¬
реннего трения грунта <р=30°, угол трения грунта о стену <р0= 15°,
поверхность грунта горизонтальная.
Решение. По графику, показанному на рис. 24, для заданных
значений <р = 30°, <р0 = и а = 20° находим = 0,38 и 0,25.
Горизонтальная и вертикальная составляющие интенсивности ак¬
тивного давления на глубине h=4 м определяются по формулам
(2.22) и (2.23):
= 1,8-4.0,38 = 2,74 Т/м2}
а2 = = 1,8-4.0,25 - 1,80 Т/м2.
Чтобы отнести интенсивности давлений к вертикальной проек¬
ции стены, нужно разделить эти результаты на cos a =cos 20° =
=0,94. Тогда получим:
= ^S = 2,92
cos а 0,94 ’
qz = —^— 1,91 Т/м2.
COS а 0,94
Полная интенсивность давления у низа стены будет равна
q = У £ = |/Г2,922 +1,912 = 3,49 Т/ж2.
Эпюры интенсивностей давлений показаны на рис. 26, а—г.
Равнодействующую активного давления грунта на стену можно
определить по формуле (2.28) или по площадям эпюр интенсивностей
давлений. Избираем последний способ.
39

Горизонтальная составляющая равнодействующей давления
Qx = = 2’92'4 = 5,84 Т/м,
вертикальная составляющая
Qz = = 3,82 Т/м,
равнодействующая активного давления
Q = = 6,98 Т/м.

ГЛАВА III
УПРОЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТОВ
НА КРУТЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
§ 11. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Упрощенная теория давления грунтов на крутые подпорные
стены, начало которой было положено еще в 1773 году Кулоном,
дополненная и развитая Понселе (в 1840 г.), Кульманом (в 1866 г.),
Ребханом (в 1871 г.), Леви (в 1883 г.), А. И. Прилежаевым (в 1908 г.),
В. П. Скрыльниковым (в 1927 г.), И. П. Прокофьевым (в 1928—
1946 гг.), Н. И. Безуховым (в 1930—1939 гг.), В. В. Синельнико¬
вым (в 1946—1961 гг.) и другими, приводит к наиболее простому
решению задачи о давлении засыпки на подпорную стену, обеспе¬
чивая во многих случаях достаточную точность результатов.
Эта теория, которую мы, следуя установившейся традиции,
будем условно называть «теорией Кулона», основана на следующих
допущениях (см. рис. 27).
1. Принимается, что формой разрушения системы, состоящей
из подпорной стены и удерживаемого ею массива грунта, является
Рис. 27
3 Заказ 853
41

перемещение стены в сторону от грунта с одновременным сполза¬
нием некоторой призмы последнего по некоторой поверхности
скольжения.
2. Эта поверхность скольжения принимается в качестве плос¬
кости.
3. В качестве второй поверхности скольжения принимается
сама задняя грань стены.
4. Сползающая призма рассматривается как абсолютно твердое
тело, что позволяет заменить действующие на нее объемные и по¬
верхностные силы их равнодействующими G, Q и 7?.
5. Грунт рассматривается как сыпучее тело, лишенное сцеп¬
ления.
6. Система рассматривается в состоянии предельного равнове¬
сия, т. е. в состоянии, соответствующем начальному моменту пере¬
мещения стены и скольжению призмы грунта. Это позволяет при¬
нять, что реактивные силы, действующие на сползающую призму
со стороны стены и со стороны оставшейся неподвижной части грун¬
та, отклоняются от нормалей к соответствующим плоскостям на
углы <р0 и <р, равные углам трения грунта по этим плоскостям.
С другой стороны, поскольку рассматривается начальный момент
процесса разрушения системы, оказывается возможным применить
условия равновесия к ее первоначальному недеформированному
состоянию.
Кроме того, задача по-прежнему рассматривается как плоская.
Сползающая призма находится в равновесии под действием трех
сил: собственного веса G, реакции Q подпорной стены и реакции
7? остальной части сыпучего тела.
Реакция подпорной стены равна искомому активному давлению
на нее грунта, но направлена в противоположную сторону.
Условия равновесия сползающей призмы будут выполнены,
если силы G, Q и 7? образуют замкнутый многоугольник сил
(рис. 27, б), а на поле сил будут пересекаться в одной точке.
Обозначив угол между вертикальной плоскостью и задней
гранью стены через а, а неизвестный угол между горизонтальной
плоскостью и плоскостью скольжения через 0, найдем углы сило¬
вого треугольника:
1) ф = 90°—а — <р0; 2) 6 — 9; 3) 180° — ф— 0 + <р.
Проектируя все силы, действующие на сползающую призму,
на ось U, перпендикулярную к силе 7?, получим1 *:
Y>U = — G sin (0 — ср) + Q sin (ф + 0 — <р) = 0,
отсюда
Q 6 .,si”(e7ф) -. (3.1)
sin (ф+0—9) 4 7
1 Уравнения (3.1) и (3.2) могли быть получены и путем применения теоре¬
мы синусов к треугольнику сил.
42

Точно так же, проектируя все силы на ось V, перпендикулярную
к силе Q, найдем
« = <3.2)
Уравнения (3.1) и (3.2) содержат три неизвестные величины —
силы Q и 7? и угол 6. Что касается силы G, то при данном объемном
весе грунта она вполне определяется площадью основания сползаю¬
щей призмы, которая в свою очередь зависит от направления
плоскости скольжения, т. е. от угла 6.
Исходя из теоремы А. А. Гвоздева, согласно которой истинная
форма разрушения системы отвечает наименьшему значению раз¬
рушающей нагрузки, следует принять угол наклона плоскости
скольжения таким, чтобы активное давление на стену было наи¬
большим. Тогда для опрокидывания или сдвига стены потребуется
минимальная дополнительная разрушающая нагрузка.
Это условие, принятое Кулоном, исходя из принципа экстре¬
мальности позволяет составить недостающее уравнение, которое
для нахождения Q и 7? должно быть решено совместно с уравне¬
нием (3.1):
f - 0. (3. 3)
Производя дифференцирование выражения (3.1) Ио 6 и при¬
равняв производную нулю, получим уравнение
dQ dG
dQ dQ
sin (6 — ф)
sin (ф + 0 — ф)
= 0.
При этом
cos (0 — ф) sin (ф + 0 — ф) — sin (0 — ф) cos (ф 4~ 0 — ф)
sin2 (ф + 0 — ф)
cos (6 — у) sin (ф + б — <р) — sin (9 — <р) cos (ф + 6 — <р) = sin ф;
поэтому
sin (0 _ <р) + G siH = 0,
dQ х • sin (ф 4- 0 — ф)
отсюда
Гг dG sin (0 — <р) sin (<1> —J- 6 —— <р)
u dQ sin ф '
Из рис. 27, на котором линия ЕН проведена под углом ф к ли¬
нии ВН, видно, что:
G = 7 (пл. ABE); dG = Г yBEdh;
Sin(8-T) = “;
sin (ф 4- 0 — ф) _ sin (180° — ф — 0 ф) __ ВН
sin ф sin ф 'ВЁ *
3*
43

Подставляя эти выражения в формулу (3.4), получим
7 (пл. АВЕ) = 4-7 • ВЕ^ • = ^EL-BH (3. 5)
Zr DE DE
или
пл. ABE = пл. ВЕН.
Эту теорему, известную под названием первой теоремы Реб-
хана, можно сформулировать так:
Наибольшее активное давление сыпучего
тела на плоскую заднюю грань подпорной
стены соответствует такому направлению
плоскости скольжения, при котором осно¬
вание сползающей призмы АВЕ равновелико
треугольнику ВЕН.
Приняв точку Н за центр окружности, сделаем в точке I за¬
сечку радиусом ЕН на линии ВС.
Площади треугольников ВЕН и EHI, имеющих общую высоту
EL, относятся друг к другу, как их основания:
пл. EHI _Н1 — ЕН
пл. ВЕН ~ ВН~ ВН'
По доказанному ранее, площадь ВЕН равна площади АВЕ.
Кроме того, замечаем, что треугольник ВЕН и силовой треуголь-
. ЕН Q
ник, имеющие равные углы, подобны, поэтому .
Подставляя эти данные в предыдущее уравнение, получим
пл. EHI _ Q Q

пл. ABE G 7 (пл. АВЕ)
Отсюда можно найти давление грунта на стену:
ф = 7(пл. EHI). (3. 6)
В этом заключается вторая теорема Ребхана, которую сформу¬
лируем так:
Активное давление сыпучего тела на плос¬
кую заднюю грань подпорной стены равно
весу призмы с основанием в виде треуголь¬
ника EHI.
Условие пересечения линий действия сил G, Q и R в одной
точке, равносильное равенству нулю суммы моментов этих сил
относительно любой точки плоскости, допускает бесчисленное мно¬
жество положений сил Q и 7?, имеющих заданное направление
(рис. 27).
Рассматривая любое из этих положений (рис. 27, а), составим
уравнение моментов относительно точки В:
^Мв = QrQ — Rr + Gxq = 0.
44

Силы Q, 7? и G, являющиеся сторонами силового треугольника,
можно заменить в этом уравнении пропорциональными им сину¬
сами противолежащих углов:
r0 sin (6 — <р) — г sin ф + х0 sin (ф + 0 — <р) = 0.
Можно также заменить силы Q, R и G пропорциональными им
сторонами треугольника ВЕН, подобного силовому:
r^EH — r-BE + xQ-BH = 0.
В этом уравнении две неизвестные величины г0 и г, которые не
могут быть определены однозначно.
Таким образом, уравнение моментов позволяет связать между
собой величины плеч г0 и г, определяющих положение сил Q
и R, но не дает возможности определить эти плечи без дополнитель¬
ных допущений. Эти допущения, определяющие распределение
давления по высоте стены, рассмотрены в § 14.
§ 12. ГРАФИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СИЛ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ
СТЕНЫ
Одно из таких построений (рис. 28), предложенное Кульманом,
основано на графическом нахождении максимума силы Q как
функции угла 6.
Для нахождения опасной плоскости скольжения проводится
несколько возможных плоскостей скольжения (ВЕ1У ВЕ2... ВЕп)
и для каждой из них вычисляются веса сползающих призм Glf G2
... Gn. Эти веса в определенном масштабе сил откладываются от
точки В на прямой внутреннего трения ВС.
Через точку В проводится так называемая основная
линия под углом <р+<р0 к задней грани стены и из концов отрез¬
ков Gp G2 ... Gn проводятся прямые, параллельные основной ли-
45

нии, до пересечения каждой из них с соответствующей плоскостью
скольжения. Полученные точки соединяются плавной кривой.
Все построенные таким образом треугольники оказываются подоб¬
ными силовым и все линии, параллельные основной, выражают
величину силы активного давления Q, соответствующую данной
плоскости скольжения.
Для нахождения наибольшего значения Q к кривой проводится
касательная, параллельная линии ВС, и полученная точка касания
определяет собой опасную
плоскость скольжения и
наибольшую величину Q.
Это построение, непо¬
средственно вытекающее из
формул (3.1) и (3.3), спра¬
ведливо при любом очерта¬
нии поверхности засыпки.
При этом силовые тре¬
угольники, кривая и каса¬
тельная к ней иногда стро¬
ятся отдельно.
Другое равноценное по¬
строение (рис. 29), предло¬
женное М. Г. Бескиным,
основано на применении
теорем Ребхана. В этом
случае площади оснований
сползающих призм
S2 п, соответствую¬
щие различным возможным
плоскостям скольжения
‘ ординат графика, по гори¬
зонтальной оси которого отложены соответствующие значения от¬
резков х. Соединив концы ординат плавной кривой, получим
кривую S.
Точно так же строится кривая F площадей треугольников ВЕ^Н^
ВЕ2Н2,.... ВЕпНп. Точка пересечения кривых S и F определит
величину х, соответствующую равенству площадей АВЕ и ВЕН,
т. е. соответствующую опасной плоскости скольжения.
Для определения величины активного давления грунта доста¬
точно провести через точку Е прямую ЕН || AD до пересечения
с ВС в точке Н и отложить на линии ВС отрезок ННЕН\ умножив
площадь треугольника EHI на объемный вес у грунта, получим
силу Q активного давления его на подпорную стену.
Если поверхность грунта представляет собой плоскость, то
основанием сползающей призмы будет треугольник АВЕ, который
по первой из теорем Ребхана должен быть равновелик треугольни¬
ку ВЕН (рис. 30). Так как эти треугольники имеют общее основа¬
ние BE, то, очевидно, должны быть равны их высоты t, следова¬
46

тельно, АК#ЕН, поэтому КН#АЕ и фигура АЕНК является па-
р алл ел огр аммом.
Из подобия треугольников ВЕС и ВКН можно составить про¬
порции
ВС BE
BE _ ВН
вк~ bd'
Следовательно,
— = — или ВН2 = BC-BD.
ВН BD
(3. 7)
Таким образом, отрезок ВН является среднепропорциональным
между отрезками ВС и BD, Если в точке D восстановить перпенди¬
куляр до пересечения с полуокружностью, построенной на ВС,
как на диаметре, то хорда BF будет среднепропорциональной между
диаметром ВС и прилегающим отрезком BD, следовательно, BF=
=ВН.
В соответствии с доказанным для определения активного давле¬
ния грунта, ограниченного сверху плоскостью, на подпорную стену
можно выполнить построение, предложенное Понселе, в такой
последовательности:
1) проводится линия ВС под углом внутреннего трения к гори¬
зонту до пересечения с поверхностью сыпучего тела;
2) на отрезке ВС, как на диаметре, строится полуокружность;
3) из точки А проводится прямая под углом (<р+<ро) к задней
грани стены до пересечения с линией ВС в точке D;
47

4) в точке D восстанавливается перпендикуляр до пересечения
с полуокружностью в точке F;
5) радиусом BF делается засечка на линии ВС в точке /7;
6) через точку Н проводится прямая, параллельная AD, до пе¬
ресечения с поверхностью грунта в точке Е;
7) из точки Н радиусом ЕН делается засечка на линии ВС
в точке /;
8) точки В и Е соединяются прямой, которая дает след плоскости
скольжения, что позволяет определить угол 6;
Рис. 32
9) точки Е и I соединяются прямой и находится площадь тре¬
угольника ЕН1\ умножив эту площадь на объемный вес грунта,
получим силу активного давления грунта на подпорную стену.
Существует несколько особых случаев, когда данное построе¬
ние невыполнимо или выполнимо только при некотором его видо¬
изменении.
1. Поверхность грунта наклонена к горизонту под углом, рав¬
ным углу внутреннего трения, т. е. когда ₽=<р (рис. 31). Построе¬
ние невыполнимо, так как точка С удаляется в бесконечность. Тем
не менее треугольник EHI может быть построен в любом месте
между двумя параллельными прямыми. Плоскостью скольжения
является плоскость, проведенная через точку В под углом внут¬
реннего трения, а сползающей призмой — весь бесконечно боль¬
шой объем грунта, заключенный между двумя параллельными
плоскостями.
2. Линия AD, проведенная из точки А под углом <р+<р0 к поверх¬
ности стены, пересекается с линией ВС выше поверхности грунта
(рис. 32).
Построение оказывается выполнимым, но полуокружность нуж¬
но строить уже не на ВС, а на BD, так как отрезок ВН должен
быть по-прежнему среднепропорциональным между ВС и BD.
Треугольники АВЕ и ВЕН равновелики.
3. Поверхность сыпучего тела составляет с задней гранью
стены угол ?+<Ро (рис. 33).
48

Построение невыполнимо, но на основании первой из доказан¬
ных выше теорем для нахождения точки Е достаточно разделить
АС пополам.
4. а+<р0>90°.
При этом линии AD и АС пересекаются с другой стороны напор¬
ной грани подпорной стены. Давление на нее не может быть найде¬
но, так как угол ф=90°—а—<р0 оказывается отрицательным, т. е.
силовой треугольник не будет замкнут.
Пример 3. Требуется определить графически силу давления
грунта на подпорную стену высотой Л=6 м, если угол наклона
Рис. 33
стены к вертикали а=10°, поверхность грунта горизонтальна,
объемный вес грунта у = 1,8 Т/м3, угол внутреннего трения грунта
<р=30° и угол трения грунта о стену <р0=15°.
Решение. Произведя построение Понселе (рис. 34), найдем ис¬
ходя из принятого масштаба длин размеры треугольника EHI,
показанные на чертеже.
Сила давления грунта на подпорную стену по формуле (3.6)
Q = 7 (пл. EHI) = 1,8- 3’923’6 = 12,6 Т/м.
Результат получается в тоннах на 1 пог. м стены по ее длине.
Плоскость скольжения BE составляет с горизонтом угол 6=60°.
§ 13. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ
АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ
СТЕНЫ
Из общей формулы (3.1) для силы активного давления грунта
на подпорную стену можно вывести соответствующую развернутую
формулу для случая, когда поверхность засыпки плоская. Для
этого используем построение, показанное на рис. 30.
49

q n s^n (в ф) 1 yRH PJ * s*n (в

sin(4>4-0 — 9) “ 2 ‘пп sin^ + 0-9) “
= ±-rEH-EL = ^-T.£№sin<b; (3.8)
EH = AD ■ = AB- sin(9(r+ «-<?) . CH =
CD sin ф CD
= h . cos (<P — g) CH (3 91
cos a. sin ф CD * \ • /
Отношение может быть выражено следующим образом:
сн ВС — вн _ ВС— У ВС-BD =
CD ~ ВС — BD “ ВС — BD
= У вс (У вс — У во} = I /3 10)
BC — BD 1+lfBD '
‘ V ВС
Отношение может быть выражено из треугольников ABD
и АВС через синусы их углов:
BD _ BD-AB _ sin (ср + ср0) sin (ср — р) ...
ВС~ АВ-ВС “ ' sin ф ’ cos (а — р) ’ А1'
Подставляя последовательно полученные значения величин
fu’ Сб и в Ф°РМУЛЫ (3.10), (3.9) и (3.8), после преобразований
получаем:
Q1 с т то *| 1 1 о cos (ср а) СН* • ,
= -7Г Y • ЕН2 Sin ф = -75— yh2 о . 9 , ♦ Sin ф =
2 ‘ т 2 ‘ cos2 a sin2 ф CD2 1
= 1 cos^ (? — a)

2 Г1+ y-Sin(y + yo)Sin(JHO cos*a COS (a + Фо)
L r cos(a + Фо) cos (a — P)J
ИЛИ
Q = ^K (3. 12)
где л — коэффициент активного давления грунта на подпорную
стену, который выражается формулой
к = ■ cos2(?^l . (3. 13)
Г у ^Jy+^)sin(«P-.gTc0S2a.C0S (я + 9о)
|_ г COS (a + ф0) cos (a — Р) J
Формула (3.12) по своему виду совпадает с формулой (2.28),
однако коэффициенты активного давления, найденные по методу
50

Кулона, несколько отличаются от соответствующих коэффициентов,
подсчитанных по методу В. В. Соколовского.
Формуле (3.12) можно придать вид
(3. 14)
2 COS a v 7
При
. Л
ЭТОМ
= Xcosa= cos2 (ф —-jt) =
Г1+ l/sin(y + yo)sin(y-P) j2cos a cos (я + ф
L F cos (a + ф0) cos (<x — P) J
COS2 (ф — а)
COS (а + <р0) + 1/ sin (v + To)sin (Ф-Р) Г cos а
Г cos (а — Р) J
(3. 15)
Угол б, который образует плоскость скольжения с горизонтом,
можно определить из силового многоугольника, показанного на
рис. 27. Для этого предварительно нужно определить вес сползаю¬
щей призмы
sin (ф + ?0) 1/cos (а + Фо) cos («-g
г Sin (ф + ф0) sin (ф — Р)
COS2 а
(3. 16)
В частном случае, когда поверхность грунта ограничена гори¬
зонтальной плоскостью (3=0),' а задняя грань стены принимается
идеально гладкой (?о=О), формула (3.13) значительно упрощается
и принимает вид
X = [tg (45°— + tga j2 cos a. (3. 17)
В этом случае угол наклона плоскости скольжения к горизон¬
ту определяется выражением
ctgO = — tg<p+ ]/" (1 + tg2?)^ — • (3.18)
Если, кроме того, стена еще и вертикальная (а=0),
X = | =tg2 (45°- = -^1* = ( cos? Г. (3 19)
\ 2 / 1 4- sin ср \ 1 4- sin ср / V5-
Это выражение совпадает с соответствующим решением В. В. Со¬
коловского.
При этом
0 = 45° +
При плоской поверхности грунта, наклоненной к горизонту
под углом и ПРИ вертикальной задней грани стены
51

X = cos p tg2 45° X
COS<p
где v=arc cos—7.
* cosji
Если, кроме того, то
(3. 20)
k = cos<p; 8 = cos2<p; 6 = <p. (3.21)
Последние две формулы получены Ренкином.
Горизонтальная и вертикальная составляющие давления грунта
выражаются формулами:
Q^ = Qcos(a + ?0) = (3. 22}
Qz = Q sin (a + ?o) =
A
(3. 23}
При этом в общем случае коэффициенты Хх и Хг выражаются
формулами:
X v = X cos (a + <р0) =
COS2 (fp — a)
sin (<? + <Po) sin (<p — ft)]2 2 „
COS (a + (p0) COS (a — P)J
(3. 24}
Хг = X sin (a + <p0) = + (3. 25}
fl r 1/sin (ф + Фо) sin (<p — ft)]2 2
L V COS (a + <p0) cos (a — P)J C
При a+cpo>90° cos (a+cpo)<O и формула (3.13) приводит к мни¬
мым значениям К, так как не удовлетворяются условия равновесия
сползающей призмы.
Увеличенные в .1000 раз значения коэффициентов вычислен¬
ные'по формуле (3.24), приведены в табл. 6.
Для получения величин к и их нужно соответственно разде¬
лить на cos (a+cp0) и умножить на tg (a+<p0).
Для перехода к коэффициентам табличные значения долж¬
ны быть умножены на cos a.
Пример 4. Требуется определить аналитически силу давления
грунта на подпорную стену, рассмотренную в примере 3.
Решение. Коэффициент активного давления грунта исходя из
теории Кулона определяется по формуле (3.13):
cos2 (30°— 10°)
sin (30° + 15°) sin (30° — 0°) I2
cos (10°+ 15°) cos(10°— 0°) J
cos2 10° cos (10° + 15°)
0,942 = 0,378.
52

Таблица 6
Коэффициенты по Кулону (увеличение в 1000 раз)
Уклон задней
грани стены
к вертикали
1= tg а
град
₽ = 0
Р = ?/2
Р = ?
?о = 0
<р
?о=-у
ll
оз/ Ю
-€
<Ро = <Р
?о = 0
<р
<р.=т
-е
II
ool to
-6
<Ро = ?
15
523
480
469
449
589
552
542
524
835
20
417
378
367
348
482
446
435
418
762
—0,2
<а= — 11°20')
25
330
295
286
270
388
354
345
329
675
30
257
229
221
207
306
278
270
256
587
35
198
175
169
158
237
214
208
195
496
40
148
132
126
118
178
160
155
146
406
45
108
96
93
86
129
116
102
95
320
15 ,
556
510
499
475
627
587
576
556
883
20
454
409
397
376
526
485
473
453
822
—0,1
25
368
327
316
296
434
396
384
365
747
(а = — 5°44')
30
295
260
250
233
353
319
309
291
666
35
234
205
196
181
282
253
245
228
580
40
182
159
152
140
220
197
190
176
492
45
139
121
116
106
168
149
140
133
405
15
588
538
524
500
665
621
609
587
933
о
20
490
440
426
401
569
523
510
486
883
(а = 0)
25
406
359
345
322
482
436
423
400
824
30
333
291
279
257
402
360
334
326
750
35
271
235
224
205
330
293
283
252
672
40
218
187
183
161
267
235
226
207
587
45
172
148
145
125
210
185
177
160
500
0,1
15
619
564
549
521
701
654
640
615
983
20
525
469
453
424
612
561
545
518
948
(а = 5°44')
25
449
389
373
345
529
477
461
434
900
30
372
321
306
280
452
402
387
359
839
35
309
264
251
226
381
335
318
294
768
40
254
216
204
180
316
275
263
237
689
45
207
174
164
143
257
223
212
188
605
0 2
15
648
588
571
541
737
684
669
642
1036
(а= 11°20')
20
559
495
477
444
654
596
579
548
1016
25
479
416
398
365
576
516
498
465
982
30
409
349
332
299
502
442
424
390
933
35
347
292
275
244
432
376
360
323
872
40
292
243
229
197
367
316
300
265
800
45
243
200
186
157
307
262
247
213
720
Сила активного давления грунта на подпорную стену по форму¬
ле (3.12)
Q = = 111®!.0,378 = 12,3 Т/м.
От этой величины результат графического решения, получен¬
ный в примере 3, отличается на 2,5%.
Если исходить из теории В. В. Соколовского, то коэффициент
53

активного давления можно найти, пользуясь графиком рис. 24.
По этому графику находим сЛ=0,35, ^=0,15.
Тогда
X = —— = —1/ £ + ? = V 0.3502+ 0,1502 - 0,385.
COS a cos а У х 1 'z 0,985 У 1
§ 14. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА
ПО ВЫСОТЕ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
Давление грунта на подпорную стену определяется не только
величиной и направлением, но также и законом распределения, от
которого зависит положение равнодействующей этой нагрузки.
Рис. 35
Для получения закона распределения давления по высоте сте¬
ны в теории Кулона приходится прибегать еще к одному допуще¬
нию. Принимается, что при сдвиге стены высотой h (рис. 35, а)
давление грунта на ее верхнюю часть, имеющую высоту zb не за¬
висит от того, сдвигается или нет нижняя часть стены, т. е. давле¬
ние будет такое же, как на стену высотой zt.
В общем случае, когда поверхность засыпки не плоская, для
построения эпюры сил давления стена разбивается по высоте на
несколько частей (рис. 35, а) и для каждого горизонтального сече¬
ния определяется сила давления на вышележащую часть.
Откладывая в определенном масштабе на каждой глубине z[
соответствующую силу давления Qz на всю вышележащую часть
стены, получим эпюру сил давления, показанную на рис. 35, в.
Ординаты этой эпюры выражаются в Т/м или кГ/см.
Среднее давление на каждом участке можно найти
как приращение силы давления на этом участке, т. е.
■ (3-26)
Соответствующая эпюра давлений, построенная на задней гра¬
ни стены, показана на рис. 35, а. Ее ординаты, отложенные под
54

углом сро от нормали к плоскости стены, выражаются в Т/м2 или
в кГ/см?. Иногда эти ординаты откладываются нормально к плос¬
кости задней грани стены (рис. 35, б).
При плоской поверхности засыпки сила активного давле¬
ния, как это следует из формулы (3.14), пропорциональна квадрату
рассматриваемой части высоты стены. Поэтому эпюра сил давления
представляет собой квадратную параболу (рис. 36, б).
Рис. 36
Давление на любой глубине z от верха стены можно найти как
производную полных давлений по длине грани стены
£ = = d<?^osa- = 4 pf-Xcosa) = TzXcosa = <3-27)
где a — угол наклона задней грани стены к вертикали;
X — коэффициент активного давления грунта, Определяемый
формулой (3.13).
Таким образом, интенсивность активного давления грунта на
стену возрастает пропорционально глубине z и эпюра давлений
имеет вид треугольника с наибольшей ординатой на уровне подо¬
швы стены (рис. 36, а):
qQ = уЛ Xcosa = (3. 28)
Обычно ординаты эпюры давлений для удобства откладываются
от вертикальной оси горизонтально. Они дают давление на единицу
площади вертикальной проекции задней грани стены и выражаются
также в Т/м2 или в кГ/см*. Такую эпюру давлений называют
условной (рис. 36, в).
В этом случае вместо зависимости (3.27) будем иметь следующую:
q = dQz_ = q£ = к $ 29)
dz COS a ' 7
Площадь треугольной эпюры давлений равна силе активного
давления грунта, т. е.
Q = = 2^. (3. 30)
^22 COS a 2 ' 7
55

Сила активного давления грунта приложена на уровне центра
тяжести эпюры давлений. Так как при плоской поверхности грунта
эта эпюра имеет вид треугольника, то ее центр тяжести находится
h
на высоте от основания стены (рис. 36).
О
В случае неограниченно простирающегося откоса, начинающе-
гося на расстоянии а от верха
задней грани стены (рис. 37),
эпюра давлений строится сле¬
дующим приближенным спосо¬
бом.
Откос продолжается до пе¬
ресечения с задней гранью стены
и строятся две эпюры давлений:
одна (с нижней ординатой q)
для стены высотой h при гори¬
зонтальной поверхности засыпки
и другая (с нижней ординатой ^)
для стены высотой hr при по¬
верхности засыпки, ограничен¬
ной откосом. Обе эпюры накла¬
дываются друг на друга и в
качестве расчетной на любой
Рис. 37
глубине принимается большая из ординат.
Эпюра давлений на подпорную стену при ломаной поверхнос¬
ти земли получается из трех эпюр: первая (с нижней орди¬
натой q) строится для стены высотой h при горизонтальной поверх¬
ности засыпки, вторая (с нижней ординатой <?х) — для стены высо¬
той при наличии откоса и третья (с нижней ординатой <?2) —
для стены высотой Л+Лотк ПРИ горизонтальной поверхности засып¬
ки. Эпюры совмещаются так, как это показано на рис. 38.
Равнодействующая дав¬
ления в том и в другом
случае определяется как
площадь полной эпюры
давлений.
Пример 5. Для подпор¬
ной стены, рассмотренной
в примерах 3 и 4, требует¬
ся построить эпюры дав¬
лений.
Решение. Если исходить
из аналитического реше¬
ния, полученного в приме¬
ре 4, то нижняя ордината
условной эпюры давлений
по формуле (3.29) будет
равна
Рис. 38
56

q = = 1,8 • 6 • 0,378 - 4,07 Т/м2.
Для получения соответствующей ординаты действительной эпю¬
ры давлений этот результат нужно умножить на cos a=cos 10°=
=0,985. Тогда
q° = q cos a = 4,07 • 0,985 = 4,0 T/м2.
Если задача решается графически, то после определения силы
давления грунта Q=12,6 Т/м (см. пример 3) нижняя ордината
условной эпюры давлений
определяется по формуле
q = 20. =£Л6 = 4 2 Г/Лг2_
7 h 6
Пример 6. Требуется опре¬
делить давление на подпор¬
ную стену от грунта, поверх¬
ность которого ограничена
полуоткосом 1 : 1,5 высотой
^отк
Высота стены Л=6 м, ха¬
рактеристики грунта: у = 1,7
Т/м*\ <f=3bo', <ро=10°.
Решение. Эпюра давлений,
показанная на рис. 39, пост-
Рис. 39
роена для случая, когда по¬
верхность грунта ограничена полуоткосом при отсутствии бермы.
Угол наклона полуоткоса к горизонту
р = arc tg]| = arc tg 0,667 = 33°40'.
Угол наклона стены к вертикали a=arctg 0,333= 18°30'. Коэф¬
фициент активного давления грунта на стену при наличии откоса
по формуле (3.13)
COS2 (9 — а)
fl 4- 1/ sin + Фо) sin (<р - g) T Q£2acos (а ф )
L + К COS (а + <р0) COS (а - g) J C0S aC0S(a I ‘Pol
cos2 (35° — 18° 30')
sin (35° + 10°) sin (35° — 33°40')
cos (18°30' + 10°) cos (18°30'— 33°40')
2
cos218°30' cos 28° 30'
= = 0,915.
(1 +0,139)2 0,898-0,879
Коэффициент активного давления грунта на стену при горизон¬
тальной его поверхности (3=0) по той же формуле
57

; _ cos2 (35°—18°30')
+ — ==■
Г1 1/* sin (35° + Ю°) sin 35° ]2COS2 18°30z cos 28° 30'
L V cos (18°30' + 10°) cos 18c30' J C0S 16 6U cos 26 dU
- 2^920 = 0 403
(1 + 0,70)20,898.0,879
Нижние ординаты эпюры давлений:
Vi = )^h = 0,915-1,7-6 = 9,32 Т/м2;
q2 = Кя (Лотк + ty = 0,403 -1,7-8 - 5,48 Т/м2.
Глубину г, на которой обе эпюры пересекаются между собой,
определим из уравнения
^1 (^отк г)
или после сокращения на у и подстановки значений кх, Х2 и Лотк
получим 0,915^=0,403 (2+z), отсюда 2=1,575 м.
Ордината эпюры давлений на этой глубине
qz = = 0,915-1,7-1,575 = 2,45 Т/м2.
Равнодействующая давления грунта на подпорную стену
Q = Q1 + Q2 = Г575 + (2,45 + 5,48) 4,425
= 1,925 + 17,5 = 19,425 Т/м.
§ 15. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ КУЛОНА
Теория Кулона, в основе которой лежит допущение о замене
криволинейной поверхности скольжения плоскостью, получила
широкое распространение на практике благодаря своей простоте
и возможности применения во многих частных случаях.
В связи с наличием более строгой теории В. В. Соколовского,
в соответствии с которой составлены таблицы коэффициентов актив¬
ного давления грунта, естественно возникают следующие вопросы:
1) каково расхождение в результатах по обеим теориям?
2) какая из этих двух теорий лучше подтверждается данными
опытов?
3) какова область применения каждой из них?
Эти вопросы в настоящее время приобретают особую остроту
в связи с составлением новых технических условий и норм проек¬
тирования подпорных стен взамен устаревших Инструкции Пром-
стройпроекта, ТУ 16-51 Министерства электростанций, Указаний
Водгео и других ведомственных нормативов.
Для ответа на первый вопрос достаточно сопоставить коэффи¬
58

циенты активного давления по Кулону и по В. В. Соколовскому.
Это пока можно сделать только для частного случая плоской задней
поверхности стены, наклоненной под любым углом а к вертикали,
при горизонтальной поверхности засыпки. Для других же случаев
коэффициенты активного давления по теории В. В. Соколовского
еще не вычислены.
Сопоставление теорий В. В. Соколовского и Кулона целесооб¬
разно произвести отдельно для величин горизонтальных и верти¬
кальных составляющих активного давления, так как на устойчи¬
вость подпорной стены эти составляющие оказывают противополож¬
ное действие.
На графиках, показанных на рис. 23, 24 и 25, сплошными ли¬
ниями нанесены кривые коэффициентов и вычисленных по
методу В. В. Соколовского, а пунктирными — соответствующие
кривые по Кулону, т. е. исходя из формул (3.24) и (3.25). Из со¬
поставления кривых можно сделать вывод, что наиболее значитель¬
ны расхождения для пологих подпорных стен, обладающих боль¬
шой шероховатостью (ф0= и особенно ср0=т) • Однако и для кру¬
тых подпорных стен разница в давлениях может доходить до 15%.
При этом для стен с обратным уклоном (а<0) теория Кулона при¬
водит к преуменьшению (до 15%) горизонтальной составляющей
давления и к меньшим отрицательным значениям для вертикальной
составляющей по сравнению с теорией В. В. Соколовского.
При небольших прямых уклонах задней грани (до 40°) горизон¬
тальные составляющие давления грунта по теории Кулона стано¬
вятся больше, чем по В. В. Соколовскому на величину до 10%.
При этом вертикальные составляющие по обеим теориям примерно
одинаковы.
Для больших положительных значений угла а (больше 40°—
50°) уже обнаруживаются значительные расхождения между
результатами по Кулону и по В. В. Соколовскому.
Наконец, для ос>90°—<р0 величина cos (а+<р0), стоящая под
корнем в формулах (3.24) и (3.25), становится отрицательной и эти
формулы приводят к мнимым значениям величин активного давле¬
ния засыпки на подпорные стены.
Резкие расхождения между результатами по теориям Кулона
и В. В. Соколовского для больших значений а, т. е. для пологих
подпорных стен, следует отнести за счет того, что в этих случаях
задняя грань стены уже не служит второй поверхностью скольже¬
ния, которая так же, как и первая, образуется в самом грунте
(рис. 21). Поэтому на задней грани такой подпорной стены усло¬
вие предельного равновесия не выполняется и зависимость между
нормальными и касательными напряжениями выражается следую¬
щим неравенством:
'c<atg<p0. (3.31)
Это обстоятельство при применении теории Кулона обычно не
учитывается и ею пользуются без каких-либо ограничений, что
59

может привести к заметным просчетам, а иногда даже и к абсурд¬
ным результатам.
Более мелкие расхождения между теориями В. В. Соколовского
и Кулона относятся за счет замены криволинейной поверхности
скольжения плоскостью, сделанной в теории Кулона в качестве
одного из основных допущений этой теории.
Как показано ниже, к неправильным результатам теория Ку¬
лона может привести в том случае, когда ее применяют для опреде¬
ления давления грунта на подпорную стену с ломаным очертанием
задней поверхности. Это будет в случае, когда к допущениям Ку¬
лона добавляют еще допущение Резал я, сводящееся к тому, что
давление на нижние грани ломаной поверхности стены определяет¬
ся независимо от очертания верхних граней.
Чтобы ответить на второй вопрос, надо иметь в виду, что спе¬
циальные опыты, имеющие целью проверку теории В. В. Соколов¬
ского, до сих пор не ставились. Те же опыты, которые обычно при¬
водятся в литературе в качестве подтверждения теории Кулона,
еще в большей степени могут служить и для подтверждения теории
В. В. Соколовского, так как, во-первых, все эти опыты охватывали
как раз ту область, в которой результаты обеих теорий практически
совпадают, и, во-вторых, уже А. И. Прилежаевым в 1907 году на
основании обработанных им опытов других исследователей и опы¬
тов, проведенных им самим, было установлено, что только верхние
части поверхностей скольжения всегда близки к плоскостям.
То обстоятельство, что согласно опытам нижние части поверх¬
ностей скольжения могут быть и не плоскими, говорит в пользу
теории В. В. Соколовского, а не теории Кулона.
Из изложенного выше следует, что никаких преимуществ, кроме
большей простоты применения, теория Кулона перед теорией
В. В. Соколовского не имеет.
Это единственное преимущество теряет свое значение, если со¬
ставить на основе теории В. В. Соколовского таблицы коэффициен¬
тов активного давления для случаев наклонной поверхности засып¬
ки за подпорной стеной, для случаев ломаных стен и некоторых
Других.
Вместе с тем указанные выше ошибки, к которым приводит в
ряде случаев неправильное применение теории Кулона, не являют¬
ся следствием основного допущения этой теории о плоскости сколь¬
жения. Эти ошибки, являющиеся следствием игнорирования дру¬
гих обстоятельств, имеющих важное значение для тех или иных
частных случаев, могут быть устранены. Такими частными случая¬
ми оказываются прежде всего пологие и ломаные стены, которые
рассмотрены ниже и для которых приведены решения, основанные
на теории Кулона с введением в нее необходимых поправок.
В настоящее время теорию Кулона следует применять лишь
в тех случаях, для которых еще не составлены таблицы коэффициен¬
тов активного давления, вычисленных по теории В. В. Соколов¬
ского.
60

Рассмотренные выше теории давления грунта Кулона и В. В. Со¬
коловского наиболее известны и распространены в Советском Союзе.
Однако допущения, на которых они построены, не являются един¬
ственно возможными, поэтому известный интерес представляют
теории, построенные на других допущениях, не противоречащих
данным опытов. В гл. VIII дается краткое изложение основ неко¬
торых из этих теорий.

ГЛАВА IV
ДАВЛЕНИЕ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ОТ НАГРУЗОК,
ПРИЛОЖЕННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ
§ 16. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
Здесь мы рассмотрим только методы, основанные на применении
теории предельного равновесия.
Если на поверхность засыпки действует какая-либо вертикаль¬
ная нагрузка (рис. 40), то
Q* = Q
опасная плоскость скольже¬
ния может быть иной, чем при
отсутствии этой нагрузки.
Однако для любой плос¬
кости скольжения BE сило¬
вой треугольник при учете
нагрузки оказывается подоб-
G ным силовому треугольнику
при отсутствии нагрузки, так
как стороны первого G* =
р = G+P, Q* и 7?* остаются
соответственно параллельны¬
ми сторонам G, Q и R второго.
Из подобия этих треу¬
гольников следует, что
+ Я <4-
где Р — равнодействующая нагрузки, приложенной на поверх¬
ности сползающей призмы;
Q — сила давления грунта при отсутствии нагрузки, соответ¬
ствующая данной плоскости скольжения.
Если найти угол 6, определяющий опасную плоскость скольже¬
ния из условия максимума силы Q*, то из силового треугольника
можно определить равнодействующую давления на стену от веса
засыпки и нагрузки:
62

Q* = (G + P)
sin (0 — <p)
sin (ф + 0 — <p)
(4. 2)
(4. 3)
При этом силы давлений от одной
находятся в таком отношении:
Qp = Р
Q ~ G '
Если на поверхности сползающей
призмы приложена непрерывная на¬
грузка (рис. 41), то функция, выра¬
жающая силу G+P, и ее первая про¬
изводная будут также непрерывными.
Приращение dG+dP складывается из
приращения веса сползающей призмы
и приращения находящейся на ней
нагрузки:
dG + dP = — у-BE2de—pe • BEdO,
где pQ — интенсивность нагрузки в
месте выхода плоскости скольжения
нагрузки и от веса засыпки
Рис. 41
на поверхность засыпки.
В этом случае, приравняв нулю производную выражения (4.2),
получим
q . р dG + dP sin (0 — ср) sin (<р + в — 9)
sin ср
(4- 4)
Подставляя сюда вместо производных их выражения, взятые
по рис. 41, получаем
, О ( ВН • EL , 2 Ре BH-EL
G + Р = Т 2 + 2ВЁ~
Из рассмотрения чертежа видно, что ВН-^ = НМ, т. е. длине
перпендикуляра из Н на BE, a Bti-EL равно площади треуголь-
2 2ре
ника ВЕН. Если отложить на продолжении BE отрезок EN=-^
и соединить точку N с точкой Я, то площадь треугольника BHN
будет равна выражению в скобках.
Следовательно, в этом случае для отыскания опасной плоскости
скольжения первая кривая (рис. 41, б) строится с учетом равнодей¬
ствующих нагрузок, прибавляемых к весам сползающих призм
(кривая G+P), а вторая кривая — с учетом добавочных площадей
f треугольников EHN с основанием [кривая у (F+/)L
Сила активного давления, возникающего при совместном дей¬
ствии веса грунта и нагрузки, находится из уравнения (4.2), в ко¬
торое подставляется величина G+P=пл. BHN, а также величины
63

sin (0 — ср) EH , . /П ч EL
sin (ip + 6 —9) - B/Г’ Sln (e — — W
После преобразований получим
c. = 1p^ + !f. ,№.sin(e_rt]. (4.5)
В этой формуле первое слагаемое в скобках представляет собой
площадь треугольника ЕНГ, в котором Н1=ЕН, и соответствует
давлению засыпки при отсутствии нагрузки на поверхности. Вто¬
рое слагаемое, учитывающее действие этой нагрузки, выражается
площадью дополнительного треугольника HIT, у которого стороны,
2р0
образующие угол 6 — у, равны ЕН и —.
Таким образом, при действии непрерывной нагрузки на поверх¬
ности засыпки вместо обычного треугольника давлений EHI строит¬
ся четырехугольник EHTI, в котором сторона НТ параллельна
BE и равна EN=^~.
Для построения эпюры давлений на подпорную стену в этом
случае можно применить тот же способ, который приведен в § 14
для давления одной засыпки.
§ 17. СПЛОШНАЯ РАВНОМЕРНАЯ НАГРУЗКА
Рассмотрим частный, но часто встречающийся случай, когда
поверхность грунта плоская, а
нагрузка — равномерная интен¬
сивностью р по всей сползающей
призме (рис. 42).
В этом случае
G = т cos (a — В);
* 2 cos a ' 17
P = p/lEcosp.
Подставляя эти выражения
в формулу (4.2), получим
Q* Г Г1 2 Р cos a COS 3
“ G I 1 + COS (a — p)
sin (0 — 9)
sin (<p + 0 — 9)
(4.6)
Так как выражение, стоящее в квадратных скобках, является
dO*
величиной постоянной, то оно в выражении производной ^ = 0
может быть сокращено и тогда это уравнение не будет отличаться
от уравнения -~=0. Это означает, что максимальная величина
64

активного давления грунта на подпорную стену при наличии сплош¬
ной равномерной нагрузки будет соответствовать той же плоскости
скольжения, что и при отсутствии нагрузки.
Исходя из формул (4.1) и (4.6) можно найти равнодействующую
давлений на стену
л* = х 7^2 Г1 4- 2 Р cos а cos Р 1 =
4 2 [ 7^cos(a—р) J
х Г1 4- 2?1
2 _ 1 + tg a tg р
(4- 7)
Интенсивность давления в любой точке на глубине z от верха
стены можно найти, дифференцируя по dz выражение (4.7), написан¬
ное для части стены высотой z:
=^ = k(7Z+ 1+tgatgp)' <4- 8)
Из этой формулы следует, что интенсивность давления возрастает
по закону прямой и давление в каждой точке стены равно давлению
qz=k^z грунта при отсутствии равномерной нагрузки, к которому
прибавляется постоянная величина
<4-9>
Эпюра давлений показана на рис. 42. Она имеет вид трапеции.
Точка пересечения эпюры с вертикальной осью находится от
верха стены на высоте
Ао'= —
1
- =Л0 , (4- Ю)
14-tga tg? 0 1 + tg a tg Р ’
где hQ=——высота слоя грунта, которым условно может быть
заменена нагрузка р, если исходить из равенства про¬
изводимых ими давлений на горизонтальную плос¬
кость.
Величина может быть больше или меньше единицы
1 + tg a tg Р
в зависимости от того, имеют углы аир одинаковые или разные зна¬
ки. Эта величина может заметно отличаться от единицы. Так, на¬
пример, при а=—20° и р=30° она равна 1,265. Поэтому игнориро¬
вание этого множителя допустимо лишь при небольших значениях
аир.
Если поверхность засыпки — горизонтальная плоскость (Р=0)
или если задняя грань стены вертикальная (а=0), то = 1
и формулы (4.7) и (4.8) имеют вид:
Q* (4.11)
2 \ 7/1/
6 Заказ 853
65

9/ =x(iz + p).
(4- 12)
Пример 7. Определить давление засыпки на подпорную стену,
рассмотренную в примере 4, если на поверхности засыпки действует
вертикальная равномерно распределенная нагрузка р=1,2 77л2.
Решение. Воспользовавшись результатами, полученными в при¬
мере 4, найдем равнодействующую давления сыпучего тела с рас¬
положенной на его поверхности нагрузкой по формуле (4.11)
2
1 + —1=0,378
7/d
1,8-62
2
2-1,2
1,8-6
- 12,2(1 +0,22) = 14,9 Т/м.
Интенсивность давления на уровне верха стены по формуле (4.12)
при z=0
qQ=\p = 0,378-1,2 = 0,454 Т/м*.
Интенсивность давления на уровне подошвы стены по формуле
(4.12) при z=h=6 м
9 = к(тй + р) = 0,378(1,8-6+ 1,2) = 4,54 Т/м*.
Центр тяжести трапецеидальной эпюры давлений (центр давле¬
ния) находится на высоте от подошвы стены
z = Л(<7 + 2<70) = 6 (4,54 + 2-0,454) _ 2 19
С 3 (q + qQ) 3 (4,54 + 0,454)
§ 18. ПОЛОСОВАЯ НАГРУЗКА
Рассмотрим случай полосовой неравномерно распределенной на¬
грузки, начинающейся на некотором расстоянии от стены (рис. 43, а).
Если плоскость скольжения проходит так, что эта нагрузка распо-
Рис. 43
лагается за пределами сползаю¬
щей призмы, то она не оказы¬
вает давления на стену. Если
плоскость скольжения выходит
на поверхность засыпки в пре¬
делах загруженного участка, то
определение давления на стену
производится так же, как в слу¬
чае сплошной нагрузки, занима¬
ющей всю сползающую призму,
но при соответствующей величи¬
не равнодействующей нагрузки.
Если, наконец, плоскость
скольжения выходит на поверх¬
ность за нагрузкой, то послед¬
няя целиком прибавляется к ве-
66

су сползающей призмы. Кривые, служащие для определения на¬
правления опасной плоскости скольжения в пределах располо¬
жения нагрузки, имеют дополнительный участок (рис. 43, 6). Плос¬
кость скольжения при учете нагрузки (BE) оказывается более кру¬
той, чем при отсутствии нагрузки (ВЕ±). Однако это обстоятельство
при использовании упрощен¬
ных методов расчета обычно
не учитывается.
Практически в случае
плоской поверхности засыпки
и равномерной нагрузки, на¬
чинающейся на некотором
расстоянии с от верха задней
грани подпорной стены и зани¬
мающей всю остальную часть
сползающей призмы, эпю¬
ра давлений строится, как
показано на рис. 44. Из точки
е, от которой начинается рав¬
номерная нагрузка, проводят¬
ся линии еа и eb под углами ср
Рис. 44
и 0 к горизонту. Для части подпор¬
ной стены, лежащей выше точки а, эпюра давлений строится без
учета нагрузки, а для той части, которая лежит ниже точки —
Рис. 45
с учетом нагрузки. Для сред¬
него участка ab подпорной
стены на эпюре давлений про¬
водится переходная прямая.
Для определения угла 9
следует пользоваться форму¬
лами или построением
Понселе. Если равномерная
нагрузка, расположенная на
расстоянии с от задней грани
стены, занимает участок d и не
доходит до конца сползающей
призмы, то эпюра давлений
строится согласно рис. 45. Из
точек е и elf в которых начи¬
нается и кончается участок нагрузки, проводятся линии ае и a±e±
под углом ср к горизонту, а также линии be и Ь1е1 под углом 6 к го¬
ризонту. Для частей стены, лежащих выше точки а п ниже точки
blf эпюра давлений строится без учета нагрузки, для части стены
между точками b и аг—с учетом нагрузки. Для частей стены между
точками а и & и между точками и Ьг на эпюре давлений прово¬
дятся переходные прямые.
Находит применение и еще более упрощенный способ построения
эпюры давления — без проведения линий ае и агег и без переход¬
6*
67

ных прямых на эпюре давлений, которая получает уступы на уровне
точек b и Ьг.
Применение этого способа к случаю, когда поверхность стены
за подпорной стеной образует полуоткос, показано на рис. 46.
§ 19. СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НАГРУЗКА
Если на поверхности грунта действует сосредоточенная, линей¬
ная, равномерно распределенная в направлении длины стены наг¬
рузка интенсивностью Р, то при выделении участка стены единич¬
ной длины (рис. 47, а) эта нагрузка рассматривается как сосредото¬
Рис. 46
Рис. 47
ченный груз и прибавляется к весу сползающей призмы. Что ка¬
сается приращения полной нагрузки, то оно ограничивается одним
приращением веса сползающей призмы dG. Поэтому при определе¬
нии направления плоскости скольжения первая кривая (G+P)
строится с учетом сосредоточенного груза и имеет под грузом уступ
на величину Р, а вторая кривая — так же, как и при отсутствии на¬
грузки (рис. 47, б). Как видно из этого рисунка, действие сосредото¬
ченного груза приводит к увеличению крутизны плоскости скольже¬
ния по сравнению со случаем отсутствия нагрузки.
Сила активного давления грунта определяется путем умножения
площади треугольника EHI на объемный вес грунта. Изменение
положения груза Р на поверхности сползающей призмы в пределах
между подпорной стеной и точкой Е не оказывает никакого влияния
ни на положение плоскости скольжения, ни на величину активного
давления. Однако от положения груза Р будет зависеть распреде¬
ление давления по высоте подпорной стены.
Перемещение груза Р от точки Е до точки Ег сопровождает¬
ся поворотом плоскости скольжения вокруг точки В и последователь¬
но уменьшающимся влиянием груза от полной его величины Р до
нуля в соответствии с законом изменения кривой yF на этом участке.
68

При расположении груза Р правее точки Е± он уже не оказывает
влияния на подпорную стену.
Более простой способ определения давления на подпорную стену
от линейной нагрузки, основанный на допущении, что груз Р не
меняет направления плоскости скольжения, показан на рис. 48.
Из точки приложения груза Р проводятся прямые ае и be, составляю¬
щие углы ср и 9 с горизонтом.
К треугольной эпюре давлений на подпорную стену от одного
веса грунта на участке аЬ добавляется дополнительный треуголь¬
ник, площадь которого, рав¬
ная равнодействующей давле¬
ния от силы Р на подпорную
стену, определяется исходя
из уравнения (4.2) по формуле
Q„=P ■ (4. 13)
sin (ф + О — ср) , v '
где 0—угол наклона плоско¬
сти скольжения к го¬
ризонту без учета
силы Р.
После нахождения равно¬
действующей Qp дополнитель¬
ная ордината qp эпюры давлений находится по формуле
(4- 14)
где hp— расстояние между точками а и Ь по вертикали, т. е. высо¬
та части подпорной стены, на которую передается действие силыР.
Иногда ординату qp откладывают посредине участка ab, что
приводит к менее точным результатам.
В случае вертикальной (а=0) гладкой (<ро=0) подпорной стены
при горизонтальной поверхности засыпки (р=0) имеем
О = 45° + JL; ф = 90°;
A1 = ctg(p; (4.15)
sin (45° — с
hp = c^- tg<?)=c (4. 16)
cos (45° + ~2j cos Ф
Q = P sin I6 ~ = p S'n ^45 2-1. = ptg (45°— (4 17)
зщф + в-ф) F C0S(45o__|_) tgl4& 2M4-17)
2 Qo 2P tg (45O — -?-) cos <p
<h> = -V" = -c-"2— (4. 18)
69

Пример 8. Требуется построить эпюру нормативных давлений
на подпорную стену, показанную на рис. 49, если на горизонтальной
поверхности песчаной засыпки на расстоянии с=2 м от подпорной
стены действует линейная нагрузка интенсивностью Р=4,5 Т/м.
Объемный вес грунта у=1,9 Т/м3,
угол внутреннего трения грунта
9=35*’ Угол трения грунта о стену
<ро=О. Высота подпорной стены h=6 ж.
Решение. По табл. 6дляа=0, Р=0,
<р=35° и <ро=0 находим коэффициент
активного давления грунта Х=0,271.
Нижняя ордината эпюры давлений
грунта, показанной на рис. 49, равна
q =т^х=1,9-6-0,271=3,09 77ж2.
Сила давления грунта
Q = = 9,27 Т/м.
2 2
Для построения эпюры давлений
от нагрузки Р по формулам (4.15), (4.16), (4.17) и (4.18) находим:
=с tg <р = 2 tg 35° =2-0,7 = 1,4 м;
=——
р cos 35°
2
0,819
= 2,45 м;
Qp = Ptg (45° = 4,5-0,521 = 2,34 Т/м;
2Q^ = 2^34 = j 92 w
р hp 2,45
Ордината эпюры давления от веса засыпки на этом уровне
qr = = 1,9-1,40-0,271 = 0,721 77ж2.
Равнодействующая давления на подпорную стену
Q* =Q-pQp = 9,27 + 2,34 = 11,61 Т/м.
§ 20. РАВНОМЕРНАЯ НАГРУЗКА,
КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ
При действии на плоской поверхности засыпки равномерно рас¬
пределенной нагрузки, касательной к этой поверхности и имеющей
интенсивность t (рис. 50, а), многоугольник сил показан на рис.
50, б. Из рассмотрения нижнего треугольника следует, что
Q* = AQ + (G — 4G) . "п (6ТУ) . - (4.19)
' V / Sin (ф + 0 — <р) v 1
70

Рассматривая верхний треугольник силового многоугольника,
можно записать:
AG = т cos (3 + Ф) &Q = Т С05^
sin ф ’ sin ф ’
(4. 20)
где T=t-AE — равнодействующая касательной нагрузки, прило¬
женной к поверхности сползающей призмы.
Кроме того, сохраняется
в силе условие максимума
силы активного давления
Рис. 50
несколько воз¬
можных плоскостей сколь¬
жения под разными углами
6 и определив для каждой
из них соответствующие ве¬
личины G, Т, AG, AQ и Q*,
следует принять наиболь¬
шее значение Q*.
Для вертикальной гладкой стены при горизонтальной поверхно¬
сти засыпки а=0, р=0, <ро=0, ф=90°, G=^ctg6,
поэтому AG=0, &Q=T=th ctg 0.
Из уравнения (4.19) имеем
Q* = ^ctge rtg(6-?) + -2A]el^x.
2 L 7/2 J 2
(4. 21)
Приравняв нулю производную этого выражения по 9, получим
уравнение, из которого можно найти значение этого угла, отвечаю¬
щее условию максимума силы активного давления грунта при
действии касательной нагрузки на поверхности засыпки
sin6 cos 6 , /о ч 2/ /л
COs49-9)~tg(6~y)=^ (4-22)
Для <р=30° получается:
при t = 0 6 = 60°
» / = 0,067/2 0=55°
» t = 0,1 7/2 в = 50°30'
» / = 0,157/1 0 = 42°ЗО'
» t = 0,2 7/2 е = зз°зо'
» / = 0,267/2 0 = 20°
» / = 0,2897/2 0 = 0°
Х = 0,333,
Х = 0,396,
X = 0,472,
Х = 0,570,
X = 0,697,
Х = 0,889,
Х= 1,000.
Таким образом, угол наклона плоскости скольжения к горизон¬
ту тем больше отличается от величины 45°+у, чем больше интен¬
71

сивность t касательной нагрузки по сравнению с величиной произ¬
ведения уЛ. Оказывается, что при действии такой нагрузки
скольжение может произойти даже по плоскости более пологой, чем
плоскость угла внутреннего трения. Сила же давления грунта на
подпорную стену значительно увеличивается от действия касатель¬
ной нагрузки.
Для определения давления на любой глубине г от поверхности
засыпки следует продифференцировать выражение (4.21), заменив
в нем h на 2 и имея в виду, что угол 6 является функцией 2.

ГЛАВА V
ВЛИЯНИЕ РАЗНОСЛОЙНОСТИ ГРУНТА,
ГРУНТОВОЙ ВОДЫ И СЦЕПЛЕНИЯ
§ 21. ВЛИЯНИЕ РАЗНОСЛОЙНОСТИ ГРУНТА
Если грунт, удерживаемый подпорной стеной, имеет разнослой¬
ное строение, например, до некоторой глубины залегает песок, ниже
— суглинок, а еще ниже опять песок (рис. 51), то сначала, как опи¬
сано выше, определяется давление на стену в пределах верхнего
слоя и строится соответствующая эпюра давлений с нижней орди¬
натой qly которая находится по фор¬
муле <7i=tAxi- (5-1)
При определении давления второ¬
го слоя вес верхнего слоя рассматри¬
вается в качестве нагрузки интенсив¬
ностью Поэтому верхняя и
нижняя
второго
равны
ординаты эпюры давлений
слоя будут соответственно
?2 = (lA + T2^2) h-
(5. 2)
(5. 3)
fi’Vz’Voz
Рис. 51
7/
5?;
'h
— T1^2i
Верхняя и нижняя ординаты эпюры давлений третьего слоя бу¬
дут равны
?2Z = (Т1^1 4~ ^3; (5. 4)
?з = (тЛ + т2^2 + Тз^з) хз* (5. 5)
В этих формулах
11, Тг и Тз — объемные веса грунтов в соответствующих слоях;
Хх, Х2 и — коэффициенты активного давления соответствующих
слоев, определяемые по теории В. В. Соколовского или по Кулону
исходя из заданных значений углов внутреннего трения грунтов
в разных слоях и углов трения грунтов о стену.
Полная эпюра давлений составляется из эпюр для отдельных
слоев. Если грунты смежных слоев отличаются друг от друга толь¬
5 Заказ 853
73

ко объемным весом, то на границе между слоями на эпюре давлений
будет перелом (рис. 52, б). Если же грунты имеют разные углы
внутреннего трения, то на границе между слоями будет уступ
(рис. 52, в).
При различных значениях у и для разных слоев эйюра давле¬
ний будет иметь уступ и перелом на границе между слоями
(рис. 52, г).
Рис. 52
При наличии сплошной равномерной нагрузки р на поверхности
засыпки она войдет в качестве слагаемого в каждую из формул
(5.1) — (5.5) и должна быть умножена на соответствующее данному
слою значение X.
Сила активного давления грунта каждого слоя равна площади
соответствующей части эпюры давления, а равнодействующая—пло¬
щади всей эпюры.
Следует иметь в виду, что рассмотренный выше способ определе¬
ния давления в каждом слое независимо от давления, производимого
другими слоями, может привести
ределении давлений на подпорную
92 ~
Рис. 53
некоторым неточностям при оп-
стену от нижних слоев.
Впрочем, учет разно¬
слойного строения засыпки
может не потребоваться
даже при наличии весьма
неоднородных напластова¬
ний грунтов за подпорной
стеной, если при обратной
г засЬшке эти грунты будут
перемешаны.
Пример 9. Требуется оп¬
ределить давление грунта
на подпорную стену, пока¬
занную на рис. 53, при
74

следующих данных: стена с вертикальной задней гранью высотой
h=9M, поверхность засыпки горизонтальная, нагрузка на поверх¬
ность засыпки интенсивностью р=2 Т/м2. Засыпка за подпорной
стеной состоит из двух слоев. Верхний слой песчаный, для кото¬
рого 71=1,6 Т/м3, <р=35°, h±=5 м; нижний — суглинистый с у2=
=2,0 Т/м3, <р2=20° и й2=4 м. Углы трения грунтов о стену при¬
няты равными половине соответствующих углов внутреннего
трения.
Решение. Коэффициенты активного давления для грунта верх¬
него слоя находятся по теории В. В. Соколовского с помощью гра¬
фика рис. 24:
X, = = У = ]/ 0,242 + 0,09а = 0,256;
Х2 = Ъ = У В2 +£ = 1/о,4452 + 0,092 = 0,454.
1 л2 z2 г
Ординаты эпюры давлений:
на уровне верха стены по формулам (5.1), (5.2), (5.3)
9о = 1^ = 0,256-2 = 0,51 Т/л2;
непосредственно выше плоскости раздела между слоями
ft = <7о + МЛ = 0,512 + 0,256 • 1,6 - 5,0 = 2,55 Т/л2;
непосредственно ниже этой плоскости
= Х2 (р + 7Д) = 0,454 (2,0 + 1,6- 5,0) = 4,54 Т/л2;
на уровне подошвы стены
?2 = ^2 (р + тЛ + 72^2)= 0,454 (2 + 1,6-5,0 + 2-4) = 8,16 Т/м2.
Эпюра давлений показана на рис. 53, б.
Силы давления грунта верхнего и нижнего слоев с учетом на¬
грузки:
Q = .^o + <7i h = 0,51 + 2,554 >50 = ? т/
1 2 1 2
Q2 = + = Л54 + 8.16.4 о = 25,20 Т/м.
2 2
Равнодействующая давления грунта на подпорную стену
Q = Q, + Q2 = 7,68 + 25,20 = 32,88 Т/л.
§ 22. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТОВОЙ ВОДЫ
Свободная вода, находящаяся в порах грунта, может быть двух
видов: а) гравитационная вода, находящаяся под действием силы тя¬
жести, и б) капиллярная вода, находящаяся под действием силы
тяжести и силы капиллярного натяжения вогнутого мениска.
5*
75>

Грунтовая вода может находиться в двух состояниях — в стати¬
ческом и динамическом.
Гравитационная вода, находящаяся в статическом состоянии и
заполняющая поры грунта, производит тройное действие: 1) непо¬
средственно оказывает гидростатическое давление на подпорную сте-
Рис. 54
Рис. 55
ну; 2) взвешивает грунт, вследствие чего его эффективный объемный
вес по закону Архимеда оказывается уменьшенным до величины
Твзв, определяемой по формуле (1.3); 3) для большинства грунтов
снижает сопротивление сдвигу, что приводит к увеличению давления
на подпорную стену.
Давление, оказываемое грунтовой водой или воспринимаемое
ею, называется нейтральным или поровым давлением,
а давление самого взвешенного грунтового скелета или восприни¬
маемое им — эффективным. Совместное нейтральное и эф¬
фективное давление на подпорную стену оказывается больше, чем
одно давление маловлажного грунта. Условные, т. е. построенные на
76

вертикальной плоскости, эпюры давлений на подпорную стену при
наличии за ее задней гранью воды в статическом состоянии пока¬
заны на рис. 54 и 55.
При этом условная интенсивность гидростатического давления
на наклонную подпорную стену определяется формулой
р> - <5- 6)
где Тв—удельный вес воды, равный 1,0 Т/м3;
z — глубина данной точки от уровня воды.
Следует иметь в виду, что давление воды направлено нормаль¬
но к поверхности стены, а давление грунта составляет с ней угол <р0,
поэтому алгебраическое суммирование эффективного и нейтрально¬
го давлений возможно только тогда, когда угол <р0 принимается рав¬
ным нулю.
Давление воды на подошву фундамента подпорной стены прини¬
мается распределенным по трапеции (рис. 54), а равнодействующая
определяется по формуле
W = + V , (5.7)
где Ь — ширина подошвы фундамента.
При скальном грунте основания в эту формулу вводится коэф¬
фициент 0,5—1,0, учитывающий неполноту передачи давления воды
на подошву фундамента стены.
Если один из слоев грунта водонепроницаемый (например, гли¬
на), то при заполнении его пор водой он не приходит во взвешенное
состояние и тогда эпюра нейтрального давления в пределах этого
слоя отсутствует (рис. 56). Эффективное же давление должно опре¬
деляться исходя из определяемого по формуле (1.2) объемного веса
грунта, все поры которого заполнены водой.
Движение грунтовой воды при ее фильтрации в водопроницае¬
мых слоях изменяет величины порового и эффективного дав¬
лений.
Рис. 56
77

Рис. 57
При фильтрации, на¬
правленной вниз (рис. 57),
нижняя ордината эпюры
нейтрального давления
уменьшается от потери на¬
пора на величину
=
в COS а ’
где Ай — потеря напора
воды на пути фильтрации
длиной й2, определяемая из
гидравлического расчета.
В этом случае гидроди¬
намическое давление также
будет направлено вниз и
будет уменьшать взвешивающее давление воды. Гидродинамическое
давление выражается формулой
Поэтому эффективный объемный вес грунта в конце рассматри¬
ваемого участка пути фильтрации, т. е. на глубине от поверхности
грунта, будет
Ъф = Твзв + д2 ц + • (5.9)
При фильтрации, направленной вверх, гидродинамическое дав¬
ление увеличивает взвешивающее действие воды и в этой формуле
перед вторым слагаемым должен быть поставлен знак минус. Со¬
ответственно уменьшается и нижняя ордината эпюры эффективного
Рис. 58
Рис. 59
78

давления (рис. 58). Нижняя же ордината эпюры нейтрального дав¬
ления увеличивается при этом на величину Дрв.
Капиллярная вода, поднятая от уровня гравитационной воды
силами капиллярного натяжения на высоту йк, оказывает на под¬
порную стену отрицательное давление, как это показано на рис. 59.
Кроме того, капиллярная вода, как бы подвешенная у поверхности
менисков, создает дополнительную вертикальную нагрузку на
грунт
Рк = 7вЛк-
В зоне капиллярного подъема поры грунта оказываются запол¬
ненными водой и объемный вес узап определяется по формуле (1.2).
Пример 10. Построить эпюры давлений на подпорную стену, по¬
казанную на рис. 60, а, высотой Л=10 ж, если уровень гравита¬
ционной грунтовой воды находится на глубине /^=6 м, а высота
капиллярного подъема воды hK=2 м.
Грунт супесь, для которого удельный вес частиц равен уч=
=2,70 Т/м'\ коэффициент пористости е=0,65, угол внутреннего
трения <р=27° и природная влажность выше уровня воды = 20%.
Угол трения грунта о стену принят равным нулю.
Решение. Объемный вес грунта, находящегося выше уровня ка¬
пиллярной воды, определяется по формуле (1.1)
7ч (1 +
1 + в
+ = ‘-95 Т/М‘-
Объемный вес грунта в зоне капиллярного подъема с порами,
заполненными водой, определяется по формуле (1.2)
7зап
7ч + Чв
1 + е
= 2,70+ 0,65-1,0 = 2 03 т/м3
1,65
Объемный вес грунта, взвешенного в воде, определяется по
формуле (1.3)
Твзв = Тзап — Тв = 2,03 — 1,0 = 1,03 Т/лг.
Коэффициент активного давления грунта
k = tg2 /45° = tg2 (45°— —) = 0,375.
Близкий к этому результат можно было найти путем интерполя¬
ции по табл. 6.
На уровне капиллярного подъема воды (у. к. в.) ордината эпю¬
ры нейтрального давления будет отрицательной и равной ^BhK=
= 1,0-2,0=2,0 Т/м?. На уровне гравитационной воды (у. г. в.)
нейтральное давление равно нулю. На уровне подошвы подпорной
стены, т. е. на глубине h2 от у. г. в., ордината эпюры нейтрального
давления равна увА2=1,0-4,0=4,0 Т/м?.
Эпюра нейтрального давления показана на рис. 60, б.
79

Ординаты эпюры эффективного давления (рис. 60, в) непосред¬
ственно выше и ниже уровня капиллярной воды:
qK = 7 (Лх — Лк) X = 1,95 - 4,0 • 0.375 = 2,92 Т/м*;
qK' = 1т (^i — Лк) + 7B/zK]X = (1,95-4 + 2) 0,375 = 3,67 Т/м*;
Рис. 60
на уровне гравитационной
воды
Я1 = 1т (^1 ^к) + Тзап Лк] X =
(1,95-4 + 2,03-2) 0,375 -
= 4,45 Т/л2;
у подошвы подпорной стены
?2 = 1т (^1 ^к) + Тзап + +
+ Твзв h2] X = (1,95 • 4 +
+ 2,03-2+ 1,03-4)0,375 =
= 6,0 Т/л2.
Полная эпюра давлений грунта и воды на подпорную стену пока¬
зана на рис. 60, г.
§ 23. УЧЕТ СЦЕПЛЕНИЯ В ГРУНТЕ
Сцепление в грунте, обусловленное силами капиллярного натя¬
жения воды и молекулярного притяжения частиц, а также цемента¬
цией, уменьшает активное давление грунта и увеличивает его пас¬
сивное сопротивление, поэтому до последнего времени влияние сцеп¬
ления из осторожности не учитывалось. Некоторым оправданием
этому служит то обстоятельство, что для обратных засыпок из пес¬
чаных и крупнообломочных грунтов влияние сцепления относитель¬
но невелико по сравнению с внутренним трением, а в засыпках из
глинистых грунтов сцепление сильно снижается при их увлажнении.
Кроме того, сцепление снижается также вследствие колебания тем¬
пературы и возникновения в грунте пластических деформаций.
В настоящее время расчетные величины удельного сцепления
нормированы и силы сцепления учитываются при определении ак¬
тивного давления грунта на подпорные стены.
Следует, однако, иметь в виду, что нормированные величины сцеп¬
ления относятся в основном к грунтам, являющимся основаниями
сооружений. Поэтому для обратных засыпок, имеющих нарушенную
структуру, необходимо брать более низкие (например, в два раза)
расчетные значения сцепления.
Кроме того, необходимо иметь в виду, что в верхнем слое за¬
сыпки сцепление создает отрицательные давления, т. е. растягиваю¬
щие напряжения, которые должны быть исключены из расчета,
80

так как они не могут быть восприняты грунтом, подвергающимся
при этом трещинообразованию. Разрушение легче всего может про¬
изойти по вертикальным или близким к ним плоскостям.
Приняв такую форму разрушения, получим следующую схему
действия сил на сползающую призму (рис. 61).
Рис. 61
При этом силы сцепления выражаются так:
S=cl, Т = (5.10)
COS а 4 7
где с и cQ — удельное сцепление в засыпке и между засыпкой и под¬
порной стеной соответственно.
Проектируя все силы, действующие на сползающую призму, на
ось U, перпендикулярную к силе 7?, получим
U = — G sin (0 — 9) "4“ Q sin (ф 6 — 9) -|- Т sin (6 — ф — ос) -j-
+ S cos 9 = 0,
где ф=90°—а — <р0.
Отсюда
G sin (0 — <р) — S cos <р — Т sin (в — ср — а)
sin (ф + в — ср)
Неизвестными величинами в этом уравнении оказываются сила
Q и угол 6. Величины G и 5 выражаются через угол 6, а величина
Т заранее задана. Поэтому, как и в случае отсутствия сцепления,
для определения максимального активного давления достаточно
составить еще одно уравнение
В случае произвольного очертания поверхности засыпки ана¬
литическое решение этих уравнений оказывается трудно выполни¬
мым, поэтому целесообразно определять активное давление по фор¬
81

муле (5.11) для нескольких возможных плоскостей скольжения под
разными углами 6Х, 62,...6п к горизонту. Расчетным будет наиболь¬
шее из различных значений активного давления, вычисленных по
формуле (5.11), для разных плоскостей скольжения.
Глубину распространения трещин Лт можно определить из сле¬
дующих соображений. Сцепление можно рассматривать как не¬
которое всестороннее давление связности, имеющее во всех точках
грунта постоянную величину Такое напряженное состоя¬
ние соответствует действию
по любому замкнутому кон¬
туру засыпки равномерной
нагрузки рс, перпендику¬
лярной к этому контуру.
Следовательно, влияние
сцепления на сползающую
призму можно заменить
равномерной нагрузкой рс,
нормальной к поверхности
засыпки (рис. 62). Верти¬
кальная состав л я ющая
этой нагрузки будет пере¬
даваться на напорную грань стены в виде равномерного давления,
направленного под углом <р0 к поверхности стены:
<7с° =Pc?cosa=^-$cosa(
где ; — коэффициент активного давления засыпки.
Кроме того, на подпорную стену будет еще действовать отрица¬
тельное давление qcf = — рс и давление от касательной состав¬
ляющей.
Алгебраическое сложение величин qcQ, qc' и qc" возможно только
в случае, если угол <р0 трения грунта о стену равен нулю или близок
к нему.
Следует иметь также в виду, что наличие касательной состав¬
ляющей у равномерной нагрузки, приложенной нормально к по¬
верхности засыпки, приводит к изменению направления плоскости
скольжения по сравнению со случаем, когда такая нагрузка отсут¬
ствует.
В частном случае, когда поверхность засыпки горизонтальна,
а задняя грань подпорной стены вертикальная и идеально гладкая,
дополнительное давление на нее от сцепления грунта будет состав¬
лять
<7С = ?С° + <7/ = В - [tg2 (45°- - 11 =
tg<p tg 9 tg 9 L \ 2 / J
= — 2ctg /45°—
\ 2 /
82

Это давление, как показывает знак минус, направлено в сторону от
подпорной стены.
Полная интенсивность давления на вертикальную грань стены на
глубине z от поверхности засыпки с учетом сцепления и заданной
равномерной нагрузки р, приложенной на поверхности, определяет¬
ся в рассматриваемом частном случае формулой, совпадающей с
формулой (2.31), полученной по теории В. В. Соколовского:
qz = (7z + Р) tg2 (45°- —2 с tg (45°- (5. 12)
Верхняя часть стены будет испытывать отрицательное давление,
т. е. растягивающие напряжения, которые не могут быть восприня¬
ты и исключаются из расчета. Эпюра давления с учетом сцепления
показана на рис. 62. Высоту z=hc вертикальной гладкой стены, в
пределах которой возможны отрицательные давления, найдем, при¬
равняв нулю выражение (5.12) и решив полученное уравнение
относительно Лс.
ftc = y-tg(45°+-J-)—(5. 13)
Эта величина является в то же время предельной высотой, при кото¬
рой связный грунт может сохранять вертикальный откос при от¬
сутствии ограждения и при горизонтальной поверхности.
Глубину трещинообразования А. Кезди [27 ] рекомендует при¬
нимать равной 4/3 величины, полученной по формуле (5.13):
йт = А Ас = 2,67 tg(45°+ М (5. 14)
о I \ 2 /
При этом нагрузка р не учитывается.
Этот результат оказывается справедливым и для любой верти¬
кальной плоскости, проведенной в грунте, поверхность которого
плоская. Его можно с известным приближением распространить и
на случай, когда поверхность грунта произвольна.
После нахождения глубины распространения трещин в грунте
можно определить силы сцепления и найти активное давление грун¬
та на подпорную стену по формуле (5.11), как это указано выше.
Для наклонной гладкой стены (рис. 62) условное давление с уче¬
том сцепления на любой глубине z определяется по формуле, полу¬
ченной И. А. Симвулиди:
с cos 9
Соф" -ф)’
(5. 15)
где к— коэффициент активного давления, определяемый по фор¬
муле (3.13).
Наличие сцепления оказывает влияние на угол отклонения о
полного давления Q* от нормали к плоскости подпорной стены
(рис. 63.)
83

Если при отсутствии сцепления этот угол для крутой подпорной
стены равен <р0, то при наличии сцепления угол отклонения опреде¬
ляется выражением
— 9 sin Фо + | Cgh /5 ig4
QcOS(p0 -Wot Q COS a cos <р0’ ^.10)
Таким образом, чем больше сцепление, тем больше угол 8 по
сравнению с углом <р0.
При постоянной интенсивности сил сцепления по высоте стены
(с0=const) угол отклонения 8 будет переменным, уменьшаясь с
увеличением давления q, т. е. с высотой
стены или с глубиной рассматриваемой
А точки подпорной стены от поверхности
\ засыпки.
ty&T Формулы (5.11) следует, что сцеп-
3 ление уменьшает активное давление
грунта. При этом сцепление пропор цио-
нально высоте стены, в то время как
А сила давления без учета сцепления про-
порциональна квадрату высоты стены,
'А поэтому относительное влияние сцепле-
Рис- 63 ния сказывается тем сильнее, чем мень¬
ше высота подпорной стены.
Пример 11. Определить давление суглинистого грунта на вер¬
тикальную подпорную стену (рис. 64) высотой Л=10 ж с учетом
Рис. 64
84

"сцепления. При этом даны: у=2 Т!м\ ?=20°, <р0=15°, с=2 Т1м\
с0=1 Т/м2.
Решение. Предельная высота вертикального откоса и глубина
распространения трещин от поверхности грунта определяются по
■формулам (5.13) и (5.14):
Лс = у- tg(45° + tg(45°+ = 2,85 м-
h, = 4~ hc = 1,33-2,85 = 3,82 м.
т 3 с
Сила сцепления (прилипания) грунта со стеной
T=cQ(h — hT) = 1,0(10 —3,82) = 6,18 Т/м.
Сила внутреннего сцепления грунта по плоскости ВЕ±
Q , c(h— hT) 2,0-6,18 12,36
sin 0 sin 0 sin 6
Вес сползающей призмы
G = 7
, I ^т)2
'т tg 0 2 tg 0
т (ft2 —
2 tg в
2(102 — 3,822) 85,4
2 tg fl tgfl •
Сила давления грунта по формуле (5.11)
G sin (0 — 9) — S cos 9 — Т sin (0 — 9)
~ COS (9 + 9о — 0) *
Для разных плоскостей скольжения, определяемых углами 6,
полученные результаты сводим в табл. 7.
Таблица 7
0
sin 0
tg 0
sin (0—<р)
COS (0—ср —
— фо)
G Т/м
S т/м
Q Т/м
40°
0,643
0,839
0,342
0,996
101,5
19,20
14,7
45°
0,707
1,000
0,423
0,985
85,4
17,60
15,1
47°30'
0,737
1,091
0,462
0,972
78,1
16,75
17,9
50°
0,766
1,192
0,500
0,966
71,5
16,1
18,2
52°30'
0,793
1,303
0,537
0,954
65,5
15,6
18,1
55°
0,819
1,428
0,574
0,940
59,8
15,1
17,6
60°
0,866
1,732
0,643
0,906
49,2
14,3
15,7
Максимальная величина силы активного давления грунта на
подпорную стену оказывается равной Q=18,2 Т/м и соответствует
углу 6 = 50°.
Для нахождения ординат эпюры давлений имеем два условия:
hr h-Q 0,97 л . л н
= q (hT—hc) + (/i — Лт) = q 0,97 + 6,18 = 0,135
85

—ftT) = 6,18 = Q= 18,2 Т/м.
Отсюда
q = 5,19 Т/ж2 и ?0 = 0,7 Т/л2.
Составляющие активного давления грунта на подпорную стену
с учетом силы сцепления:
Q* = Qx = Qcos(p0 = 18,2-0,966 = 17,55 Т/л;
Q^=Qz + T = Qs‘m^0+T = 18,2-0,259 + 6,18 = 10,90 Т/л.
Сравним эти результаты с теми, которые получаются без уче¬
та сцепления. Для этого по табл. 6, интерполируя, найдем вели¬
чину коэффициента активного давления \v = 0,42.
Составляющие активного давления
Qx = -г = 0,42-^- = 42 Т/м;
Q2 = Qx tg ?0 = 42 • 0,268 = 11,8 Т/м.
Сопоставляя эти результаты с теми, которые были получены при
учете сцепления, можно обнаружить, что учет сцепления, почти
не отразившись на величине вертикальной составляющей силы дав¬
ления грунта, привел к огромному снижению (почти в 2,5 раза)
горизонтальной составляющей.
Учитывая, что опасность для устойчивости подпорной стены пред¬
ставляет именно эта сила, можно сделать вывод, что учет сцепления
грунта, давая возможность облегчить конструкции подпорных стен
и снизить их стоимость, должен в то же время производиться с
величайшей осторожностью. Это означает, что учитываемые в рас¬
чете значения удельного сцепления должны быть значительно мень¬
шими, чем те, которые приведены в табл. 3-в качестве расчетных.
Так как капиллярное натяжение воды является одной из при¬
чин, обуславливающих сцепление в грунте, то при учете последне¬
го давление капиллярной воды вводить в расчет уже не следует.

ГЛАВА VI
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
§ 24. АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
ПРИ СПОЛЗАНИИ ЕГО ПО ОТКОСУ КОТЛОВАНА
Если котлован за подпорной стеной ограничен откосом, как
это показано на рис. 65, то возможны два случая образования плос¬
кости скольжения: а) внутри засыпки и б) по откосу котлована.
Из них расчетным будеттот случай, при котором активное давление
больше.
Рис. 65
В первом случае, т. е. при 6 > активное давление Q на под¬
порную стену определяется как обычно, без учета существования
откоса котлована.
Во втором случае активное давление определяется по формуле
(3.1), в которую вместо угла 9 подставляется уже заданный угол
а вместо ср— <рх:
п — П sin —91) = П sin^! —(Рх) 1.
4 Sin + U COS(a + <Po + ?l-M ’ V }
где G — вес сползающей призмы, ограниченной подпорной стеной
и откосом котлована;
<рг— угол трения между засыпкой и откосом котлована.
87

Для вертикальной гладкой подпорной стены при горизонтальной
поверхности засыпки а=9о=0;
по формуле (6.1) получим
Q- th* sin^-tpt) _ (8 ,6 2
2tgpx cos^-pj ~2tg₽1 tg(Pi (b-
Таким образом, случай сползания призмы засыпки по откосу,
а не по плоскости скольжения внутри засыпки будет расчетным при
выполнении неравенства
■ > tg2 (45°- -£-) , (6. 3)
где ср — угол внутреннего трения засыпки.
Пример 12. Определить активное давление супесчаного грунта
на вертикальную подпорную стену высотой Л=5 ж, для которой
возможно сползание грунта по откосу котлована, имеющего уклон
1:1. Объемный вес грунта у = 1,9 Т/м3, угол внутреннего трения за¬
сыпки ср=26°. Угол трения засыпки по поверхности откоса котло¬
вана ср1=20°. Угол трения засыпки по задней грани стены принят
равным нулю.
Решение. Угол, составляемый откосом котлована с горизонтом,
₽1=45°. Равнодействующая давления на подпорную стену при
скольжении засыпки по откосу котлована по формуле (6.2)
Q = 2§Гtg в ¥г-2 tg <45° - 20°) =
= 11,05 Т/м.
То же, при образовании плоскости скольжения внутри засыпки:
Q = tg2 (45° tg2 (45° — 13°) = 9,25 Т/м.
Расчетным оказывается давление грунта при скольжении его
по откосу котлована, т. е. Q=11,05 Т/м,
§ 25. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОЛОГУЮ ПОДПОРНУЮ СТЕНУ
Как указано выше, пологой называется такая подпорная стена,
на задней грани которой не возникает предельного напряженного
состояния и для которой обе поверхности скольжения, ограничи¬
вающие сползающую призму, проходят внутри самой засыпки
(см. рис. 21, б).
Графическое построение для определения давления грунта на
пологую подпорную стену, поддерживающую плоский откос, пред¬
ложенное С. С. Голушкевичем, показано на рис. 66.
Поверхности скольжения при этом принимаются в качестве
плоскостей, составляющих друг с другом угол 90°— ср (рис. 66, а).
88

Положение этих плоскостей определяется при помощи характери¬
стических кругов (рис. 66, в). После проведения плоскостей скольже¬
ния через нижнее заднее ребро стены вычисляется вес G± сползаю¬
щей призмы и вес G2 пристенной призмы.
Сила Gx уравновешивается силами S и 7?, параллельными плос¬
костям скольжения и представляющими собой реакции неподвиж¬
ных масс грунта, находящихся слева и справа от сползающей приз¬
мы (рис. 66, б). Сила, равнаяS, но направленная в противоположную
сторону, складывается с силой G2 и дает в результате силу Q, пред¬
ставляющую собой равнодействующую активного давления сыпуче¬
го тела на пологую подпорную стену.
Исходя из этого построения ниже дан вывод простой формулы
для активного давления сыпучего тела на пологую подпорную
стену.
Обозначим угол, составляемый задней плоскостью скольжения
BE с горизонтом, через а угол между передней плоскостью сколь¬
жения В А' и вертикалью — через 62. При этом 62=90°—9+61—
_90°=01—ср.
Тогда угол между направлениями сил G± и 7? будет равен —
—?—^2, угол между Gx и S составит 90°—62—ср, а угол между 7?
и S будет 90°+<р. На основании теоремы синусов можно написать
S = G1 ^7оп°91 \ = G • (6. 4)
1 sin (90° + 9) cos 9 ' 7
Исходя из величин сил S и G2 и заключенного между ними угла
90°+62+ср по теореме косинусов можно получить следующую
формулу для равнодействующей давления сыпучего тела на поло¬
гую подпорную стену:
Q = ]/ S^G22 — 2 SG2 cos (90° + 62 + <p) =
G? sin*02 G2 +2G g sin 02 sin (fl2 + <p)
1 cos2 9 2 1 z cos 9
89

где
Gj = г (пл. A'BE) = ч— • 5'п(90°-Ф) sin (90°—3-е2)
’ 2 sin (180°— <р+₽ — е2)
_ 1*11 . cos ф cos (°г — Р) _ т^2 д ?6 6\
2 cos2 в2 sin (9 — 3 + 02) 2 cos а ' '
G2 = 7 (пл. АА'В) = 7 . sin(a-92)sin(90°-a + P) = в (б7)
1 ‘ 2 sin (90° + 3 — 02) 2 cos а 7
Здесь у — объемный вес грунта;
9 — угол внутреннего трения грунта;
h — высота подпорной стены;
h = h cos (ст — 3) cos 62 .
1 COS (02 — 3) cos а ’
Д = cos2 (ст — ft) cos 9 .
cos а cos (в2—Р) sin (ср—Р + 02)’ ' ’
В = sin<g —9z) c°s (аг~-Ч (6. 9)
COS а COS (02 — 3) х f
Угол, составляемый передней плоскостью скольжения с верти¬
калью, выражается формулой1
62 = arc tg .cos y sin(y-p) _ (6 10)
cos 3 4- У sin2 9 — sin2 3—cos 9 cos (9—3)
При горизонтальной поверхности засыпки р=0 и
е, = 45° + е2 = 45°— (6. 11)
В этом случае сползающая призма и действующие на нее силы
оказываются симметричными относительно вертикальной плос¬
кости, на которой отсутствуют сдви¬
гающие силы (рис. 67). На эту плос¬
кость будет действовать только гори¬
зонтальная сила давления засыпки,
такая же, как на вертикальную глад¬
кую стену, т. е.
Q, = -^t^45°-4-j. (6.12)
Сила Qa. будет передаваться и на
рассматриваемую пологую подпорную
стену. Кроме того, на нее будет еще
действовать вертикальная сила, рав¬
1 Подробный вывод _е см. в статье автора «Определение давления грунта
на пологую подпорную стену» в Сборнике «Исследования по теории соору¬
жений». Вып. 12. Госстройиздат, 1963.
90

ная весу вышележащего грунта в объеме пристенной призмы и
половины сползающей призмы1:
Q,=^tga. (6.13)
При этом равнодействующая давления грунта на пологую
подпорную стену составит
Q = У tg2 а + tgi (45° 1-) • (6. 14)
Для крутых подпорных стен формулы (6.12) и (6.14) неприменимы,
так как для них сползающая призма оказывается несимметричной,
однако для таких стен можно гТользоваться формулой (3.12), осно¬
ванной на теории Кулона.
При поверхности сыпучего тела, ограниченной плоскостью ес¬
тественного откоса, 62=0; при £=—ср 62 = 90°.
График зависимости между углами 62, ₽ и ср показан на рис. 68.
Подставив выражения (6.6), (6.7) и (6.10) в формулу (6.5), можно
привести ее к следующему виду:
Q = -^-.—(6.15)
2 cos а '
где В — коэффициент активного давления сыпучего тела на пологую
подпорную стену, который выражается формулой
+ + + ' <6. 16)
Рис. 68 Рис. 69
1 Формулы (6.12) и (6.13) уже были указаны ранее профессором Г. А. Ду¬
брова, который предложил также критерий для отнесения подпорных стен
к категории пологих в частном случае, когда поверхность засыпки горизон¬
тальна. Этот критерий согласуется с тем, который дан В. В. Соколовским на
основе более строгого решения [формула (2.17)]. Этому критерию удовлет¬
воряет и формула (6.11).
91

Параметры А и В определяются по формулам (6.8) и (6.9).
Значения коэффициента £ для частного случая, когда поверхность
засыпки горизонтальна (₽=0), приведены на рис. 69. Здесь же пунк¬
тиром нанесены соответствующие кривые по теории Кулона. При
этом ясно обнаруживается большая неточность даваемых ею резуль¬
татов для пологих стен.
Направление силы Q определяется углом ф, который эта сила
составляет с вертикалью и который можно найти из силового мно¬
гоугольника, пользуясь теоремой синусов
? = arc sin -^-sin (90° + + <р) = arc sin COsy • <6-17>
Для случая р=0
ф = arc tg l~~ s‘n <p. tg а. (6.18)
1 + sin 9
Так как согласно формуле (6.15) равнодействующая активного
давления грунта на пологую подпорную стену пропорцио¬
нальна квадрату ее высоты, то эпюра давлений будет иметь вид треу¬
гольника и интенсивность давления на глубине z=r cosa составит
<7° = cosa = iPf $ ) = (6’ 19)
Если эпюра условных давлений относится к вертикальной про¬
екции стены, то ордината на глубине z будет равна
q = —= 72Х. (6. 20)
ч COS a COS a * 4 7
Формула (6.5), строго говоря, будет справедлива только в том
случае, если угол 3 отклонения силы Q от нормали к стене не пре¬
восходит угла трения ср0 сыпучего тела о поверхность стены.
Однако, как показывают подсчеты, результаты получаются до¬
статочно точными и при несоблюдении этого условия, так как ве¬
личина равнодействующей давления на пологую стену по теории
В. В. Соколовского очень мало зависит от величины угла 90. Что
касается направления равнодействующей, то оно существенно за¬
висит от величины угла <р0.
Для того чтобы отнести подпорную стену к категории пологих,
угол а должен быть больше угла 62-
Если на поверхности сползающей призмы приложена верти¬
кальная равномерная нагрузка интенсивностью р, то ее равнодей¬
ствующая Р прибавляется к весу Gr сползающей призмы на силовом
многоугольнике и в формуле (6.5).
Пример 13. Требуется определить активное давление грунта на
подпорную стену (рис. 70) высотой Л=6,5 л, наклоненную к вер¬
тикали под углом а=60°, если поверхность засыпки наклонена к
горизонту под углом р= 15°, а объемный вес и углы трения засыпки
составляют соответственно 7 = 1,8 Т/м3, 9=30° и 90=15°.
92

Решение. Так как засыпка за подпорной стеной образует откос,
то приходится непосредственно пользоваться формулами вместо
графика. По формуле (6.10) находится угол наклона передней плос¬
кости скольжения к вертикали
= arc tg cos 30° Sin (30°-15°) = 2i°52'.
cos 15° + V sin2 30° — sin215° — cos 30° cos (15°—30°)
Этот же результат с несколько меньшей точностью можно было
получить по графику рис. 68.
Рис. 70
По формулам (6.8) и (6.9) находятся коэффициенты:
А = cos2 (60° — 15°) cos 30° _ J 4б,
"" cos 60° cos (21° 52'— 15°) sin (30° — 15° + 21° 52') "" * ’
B __ sin (60° — 2Г52') cos (60° — 15°) = Q 8g6
" cos 60° cos (21°52'— 15°) ’
По ^формулам (6.6) и (6.7) определяются веса сползающей и
пристенной призм:
G = 1,8-6,52-1,46 = j w Т/
2-0,5
G = 1,8-6,52-0,886 = 65 5 ?/л1
2-9,5
Коэффициент активного давления засыпки на подпорную стену
определяется по формуле (6.16)
i = 1/(1 >46 5{п 21Ж-)2+0,8662+2.1,46 • 0,866 • sin 51 °52' . sin21^f =
г \ COS oU / COS OU<
= 1,41 (вместо 1,79 по методу Кулона).
93

Равнодействующая активного давления засыпки на подпорную
стену определяется по формуле (6.15)
п 1,8-6,52-1,41 Шет/
О = — — = 106 Т/м.
2-0,5
Угол наклона этой силы к вертикали находится по формуле (6.17)
, . 110 sin 21°52'cos 51°52' 1СО
Ф arc sin = 16.
т 106 cos 30°
Угол отклонения силы Q от нормали к стене составляет
а = 90° —а—ф = 90° —60° —16° = 14° < <р0 - 15°.
§ 26. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНУЮ СТЕНУ
С ЛОМАНЫМ ОЧЕРТАНИЕМ ЗАДНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
На рис. 71 показан многоугольник а^Ь^е сил, действующих на
сползающую призму за подпорной стеной ломаного очертания. В
Рис. 71
94

этом многоугольнике сила давления Qx грунта на верхнюю грань
может быть определена аналитически или графически независимо
от очертания нижней грани. Известны также углы, которые соста¬
вляют силы Qi и Q2 с вертикалью:
Фх = 90° — ах — <р0 и ф2 = 90° —а,, —<рс.
Для определения равнодействующей давления Q2 на нижнюю
грань стены разложим силу Qi на составляющие Q\h Q'\, которые
могут быть определены по теореме синусов:
Q/ = 4^ = <31 Cos (ai + 9o) ; (6. 21)
Q " = Q. sin ^1-^) = q sin (a2-ttl) ,Q 22
Sin ф2 COS (a2 + Фо) V 7
Между сторонами треугольника сил а2Ь2е существует зависи¬
мость, вытекающая также из теоремы синусов:
Q = а + <2,- _ (С + «,") sin,l(n4;l\, . (6. 23)
Вес G сползающей призмы можно представить как
разность веса Gr призмы А2В2Е и веса AG призмы А-^А^В^ т. е.
G = Gjl — AG,
где
AG = ^i2 . cosQ + gi) sin(a2 — aj ,g 24
2 COS2 ax COS ({3 — a2) * \ ’ /
Эта величина является постоянной, также как и величины Q/
И Q"1-
Тогда
й _ <2 - Q,' _ (G, - ДО + С1") —Ql- (6.25)
Примем, что плоскость скольжения В2Е получит такой наклон,
при котором величина Q2, а следовательно, и Qx будет наибольшей.
При этом
> = о- (6. 26)
Уравнения (6.25) и (6.26) дают возможность найти две неизвест¬
ные величины— Q2 и 0. Произведя дифференцирование выраже¬
ния (6.25) и приравняв производную нулю, получим после не¬
которых преобразований
G1_AG + Q// = _^. . . (6. 27)
Здесь
G = 7 (пл. Я1В1В2^);
dG ~ ±-т(В2Е)2 М.
95

Выражение (6.27) отличается от выражения (3.4) только тем,
что в левой части вместо G имеем Gx—AG+Q"!, а в правой части
вместо угла Ф стоит ф2. Поэтому здесь вместо уравнения (3.5) можно
написать
пл. А2В2Е — пл. А1А2В1 + = пл. В2ЕН. (6. 28)
Площади треугольников В2ЕН и EHI, имеющих общую высоту
EL, относятся друг к другу как их основания:
пл. EHI = IH _ ЕН
пл. В2ЕН В2Н В2Н
Так как треугольник В2ЕН подобен силовому треугольнику а2Ь2е,
то
EH Q^ + Qi
B2H G + Q/' '
Поэтому при пл. Л1В1В2Е+-^=пл. В2ЕН
пл. EHI Q2 Qi Q2 Ч~ Qi'

пл. А1В1В2Е + ^~ G + Ql" ~ +
Отсюда
Q2 = Т (пл. EHI) — 0^. (6. 29)
Соотношения (6.28) и (6.29) являются развитием теорем Ребхана для
ломаной подпорной стены.
Для нахождения положения опасной плоскости скольжения и
силы давления на нижнюю грань стены может быть применено
графическое построение, показанное на рис. 71.
Прежде всего проводится несколько возможных плоскостей
скольжения — В2Е1У В2Е2у,..В2Еп и для каждой из них находятся
величины площадей оснований сползающих призм—5Г, S2,..., Sn.
Отложив эти веса в виде ординат графика от горизонтальной оси,
Qi"
проведенной на расстоянии — от начала координат, и, соединив
' Оп
концы ординат плавной кривой, получим кривую S +
Из верхней точки каждой плоскости скольжения проводится
прямая под углом ф2=90°—а2+<?0 к линии В2С и находятся площади
треугольников В2Е1Н19 В2Е2Н2,...,В2ЕпНп. Величины этих площадей
откладываются в виде ординат от оси х, и строится кривая F. Точ¬
ка пересечения кривых определяет положение опасной плоскости
скольжения. После этого обычным порядком строится треугольник
EHI и по формуле (6.29) находится равнодействующая давления
грунта на нижнюю грань. Если поверхность грунта ограничена
плоскостью, то можно принять, что давление на нижнюю грань
стены распределенопо линейному закону, и определить интенсивно¬
сти давлений в точках BL и В2 из двух уравнений (см. рис. 72):
g1' + ?2 h2 = Q2; (. (6. 30)
96

Уравнения (6,28) и (6.29) позволяют найти положение плоскости
скольжения и силу давления грунта на нижнюю грань стены при
помощи построения Понселе. Для этого прямая А1В1 должна быть
заменена прямой А2В2, проведенной так, чтобы пл. А2А2 В^пл.
Д1Л2В1—— . При этом исходной точкой для построения будет
уже не точка А или А2, а точка А2 (рис. 72). Однако линия A2D
проводится под углом ср+?0 не к линии А2 В2, а к линии А2В2.
Рис. 72
На практике находит применение и другой, более простой, спо¬
соб, когда давление на грань ВХВ2 определяется, как давление на
соответствующую нижнюю часть фиктивной грани независимо от
очертания верхней грани. Однако, как это видно из примера 14,
такой способ может привести к очень большим неточностям при оп¬
ределении давления грунта на нижнюю грань.
Неточность данного приема состоит в том, что при определении
давления на нижнюю грань В±В2 стены площадь основания сползаю¬
щей призмы необоснованно преувеличивается на величину пло¬
щади треугольника ApA^, которая фактически в основании спол¬
зающей призмы отсутствует (рис. 71). Кроме того, замена верхней
грани стены более пологой плоскостью, служащей продолжением
нижней грани, приводит к преувеличению вертикальной состав¬
ляющей реакции верхней грани стены. Оба фактора действуют
в противоположном направлении, но отнюдь не компенсируют
друг друга.
Для выпуклого профиля подпорной стены наоборот преумень¬
шаются вес сползающей призмы и вертикальная составляющая реак¬
ции верхней грани.
8 Заказ 853 97

Пример 14. Требуется определить давление грунта на подпор¬
ную стену, показанную на рис. 73, при следующих данных: /гх=3 ж;
/г2=2,25ж; ах=0, а2=—30°; £=0; р=2 77ж2; у = 1,6 77ж3; ср=35°;
?о=25°.
Решение. Нагрузка р, действующая на поверхности засыпки
v у Р 2
заменяется эквивалентным слоем грунта толщиной
--2,25м h, -3,00 м
Рис. 73
= 1,25 ж. Ординаты эпюры давления на верхнюю грань определяют¬
ся по формуле (3.29):
?о = Axi = 1,6-1,25-0,245 = 0,49 77ж2;
= 7(^о + ^i)= 1,6-4,25-0,245 = 1,67 77ж2.
Здесь Хх=0,245 — коэффициент активного давления на верхнюю
грань, взятый путем интерполяции по табл. 6.
Сила давления грунта на верхнюю грань
q = <7о + h = 0,49+ 1,67 3 0 = 3 24 ?/л1
2 1 2
Ф, = 90° — а, — <р0 = 90° — 0° — 25° = 65°;
Ф2 = 90° — а2 — <р0 = 90° + 30° — 25° = 95°.
Q ' = Q = з 24. = 2,95 Т/м\
sin’рз 0,996
Q/' = Qj —= 3,24 • -Ago = _ 1 63 Т/м.
sin ф2 0,996
98

Соединив точки А± и В2 прямой, проводим линию парал¬
лельно АГВ2 и, соединив точки Л/ и В2 прямой, заменим ломаную гра¬
ничную поверхность Л1В1В2 сползающей призмы плоскостью А\В2,
не изменив площади основания сползающей призмы, так как тре¬
угольники А1В1В2 и Л1Л'1В2 равновелики.
Точку А'2 получим, уменьшив площадь основания сползающей
призмы на величину
о/ =Ц53 = J 02 ж2
7 1,6
Для этого расстояние между точками Л/ и А2 должно быть ра-
1,02 п
ВНО -7TV =0,16 м.
о,э
Производя обычным порядком построение Понселе, найдем си¬
лу давления на нижнюю грань по формуле (6.29)
Q2 = 7 (пл. EHI) — £/ = 1,6.3,15 — 2,95 = 5,05 — 2,95 = 2,10 Т/м.
Ординаты нижней части эпюры давлений находятся из уравне¬
ний (6.30):
“ ’’ VS - VS = °’772
0,772?.2-|- =
q = —2-2’10 = 1,05 Т/м*
\,712h2 1,772-2,25
qY' = 0,772 <у2 = 0,81 Т/м2.
По В. В. Соколовскому, из книги которого взято условие дан¬
ного примера, получается соответственно: Q2=2,17 Т/м; q\=
=0,84 Т/м2 и ^2—1,06 Т/м2, Таким образом, расхождение очень
мало. При определении же давления на нижнюю грань независимо
от верхней имеем: Q2= 1,49 Т/м; <//=0,52 Т/м2 и ^2=0,81 Т/м2.
В этом случае расхождение в результатах доходит до 36%.
§ 27. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
С РАЗГРУЗОЧНЫМИ ПЛОЩАДКАМИ
И С ФУНДАМЕНТНЫМИ ПЛИТАМИ
Разгрузочные площадки или платформы применяются для умень¬
шения давления грунта на подпорные стены и для повышения их
устойчивости.
Рассмотрим определение давления грунта на подпорную стену,
показанную на рис. 74.
Давление на верхнюю грань стены будет таким же, как и при
отсутствии разгрузочной площадки. Оно может быть определено
по методу Кулона или по теории В. В. Соколовского независимо от
очертания нижней грани и наличия разгрузочной площадки. Рав-
8*
99

недействующая давления на верхнюю грань обозначена через Qlt
а ее составляющие — Qix и Q\z .
Давление на горизонтальную разгрузочную площадку прини¬
мается вертикальным и равным весу вышерасположенного грунта.
При плоской поверхности засыпки ординаты трапецеидальной
эпюры давлений будут равны:
q' = TV; q" = TV- (6.31)
Рис. 74
Равнодействующая же давления засыпки на разгрузочную пло¬
щадку составит
<3пл = 6пл= (/г/ + V), (6. 32)
где &пл — ширина разгрузочной площадки.
При определении давления на нижнюю грань нужно исходить из
наиболее опасных поверхностей скольжения, которые при примене¬
нии метода Кулона заменяются плоскостями. Одной из них будет
плоскость В2Е, а в качестве второй для крутой подпорной стены при¬
нимается ее задняя грань.
Многоугольник сил, действующих на сползающую призму
АВВ^Е, показан на рис. 74, б.
В этом многоугольнике известны по величине силы Qx и
QnjI, а также углы, составляемые силами Qx и Q2 с вертикалями.
Если провести линию а1Ь1 параллельно линии ab, то многоуголь¬
ник сил а^Ь^е будет соответствовать ломаной поверхности Д1В1В2,
в которой фиктивная грань А1В1 параллельна действительной гра¬
ни АВ.
Таким образом, определение давления на ломаную стену с
разгрузочной площадкой сводится к определению давления на ло¬
маную стену без разгрузочной площадки и к дополнительному уче-
100

ту давления на эту площадку, равному весу расположенного над
ней грунта.
Если консольная разгрузочная площадка разделяет плоскую
заднюю грань подпорной стены на два участка, как это показано на
рис. 75, а, то обычно принимается, что плоскости скольжения для
верхнего и нижнего участков подпорной стены параллельны. Кроме
того, принимается, что давление на участок стенки В'1 между
платформой и прямой BJ, проведенной под углом <р к горизонту
от конца платформы, возрастает пропорционально глубине, счи¬
тая от низа платформы. Давление на участок стенки 2В2 прини¬
мается таким же, как и при отсутствии платформы. Давление на
промежуточном участке 1—2 принимается возрастающим по пере¬
ходной прямой. Эти допущения приводят к эпюре давлений на
стену, показанной на рис. 75, б.
При этом в случае разгрузочной площадки, доходящей до нижней
плоскости скольжения, как это показано на рис. 75, а пунктиром,
эпюра давлений принимается по рис. 75, в.
В действительности эффект от разгрузочной площадки будет
не таким значительным, так как нижняя плоскость скольжения
должна занять такое положение, при котором давление на нижний
участок стены, а следовательно, и на всю стену окажется наиболь¬
шим. При этом нижняя плоскость скольжения будет более пологой,
чем верхняя.
Для более строгого решения задачи нужно исходить из веса спол¬
зающей призмы А^уВ'В2Е и силового многоугольника, показан¬
ного на рис. 75, б.
Вес этой призмы составляет О=у(пл. АВ2Е — пл. АА^В').
Для нижнего силового треугольника будет справедливо соот¬
ношение
Q = + = G Sh(179)v (6. 33)
1 1 sin (ф0 — <р) 4 7
101

Однако вес сползающей призмы в этом случае должен быть уже
взят равным
G = 7 (пл. АВ2Е) — (?Пл. (6. 34)
При определении давления грунта на заднюю грань лицевой
плиты и на верхнюю грань фундаментной плиты подпорной стены
уголкового профиля необходимо учесть возможность образования
различных плоскостей скольжения засыпки и выбрать из них наи¬
более опасную. Возмож¬
ные случаи образования
плоскостей скольжения
показаны на рис. 76.
Обычно ограничива¬
ются рассмотрением
только случаев а и б.
В случае а в качестве од¬
ной из плоскостей сколь-
» жения принимается зад¬
няя грань лицевой пли¬
ты, давление на которую
определяется так же,
как на заднюю грань
массивной крутой под¬
порной стены. При
этом часто принимают
угол трения ср0 засыпки
о стену равным нулю.
Давление на фунда¬
ментную плиту прини¬
мается от веса засыпки,
расположенной над фун¬
даментной плитой. Равнодействующая (?пл этого давления будет
равна весу призмы ДВВ1£’1.
Для случая б определяется давление засыпки на наклонную плос¬
кость скольжения При этом принимается <ро=<Р, а вес G при¬
стенной призмы прибавляется к вертикальной составля¬
ющей давления грунта или же относится к весу подпорной стены.
Нетрудно показать, что в случае вертикальной лицевой плиты
и горизонтальной поверхности засыпки ([3=0), если принять
обе расчетные схемы образования плоскостей скольжения приводят
к одинаковым результатам.
Действительно, для случая а равнодействующие давлений на
заднюю грань лицевой плиты и на верхнюю грань фундаментной
плиты будут соответственно равны:
Q = tg2 (45° - -£|; QnjI =. 7Мпл.
При этом сила Q направлена горизонтально, а сила (?пл— вер¬
тикально. В случае б обе плоскости скольжения окажутся симмет -
102

ричными по отношению к вертикальной плоскости на которой
отсутствуют касательные напряжения, поэтому давление на эту
плоскость будет таким же, как на заднюю грань лицевой плиты в
случае а. Не будет различия и в величине силы давления Qnjl на
верхнюю грань фундаментной плиты.
Что касается схемы г, то она может рассматриваться в качестве
промежуточной между схемой а и схемой б, а схема в является част¬
ным случаем схемы г, поэтому схемы в и г не представляют особого
расчетного интереса.
Рис. 77
Пример 15. Требуется определить давление грунта на подпор¬
ную стену с разгрузочной площадкой длиной &пл=3 ж, показанную
на рис. 77. При этом Лх=4 ж, h2=5 м, Р=15°, а=11°20' (tga=0,2),
7 = 1,8 Т/м3, ср=30°, ср0—0.
Решение. По табл. 6 находим коэффициент активного давления
грунта Xv=0,502;
л
=2^?=0,512.
cos(ot-p^o) 0,98
Размеры h^=1,6 м и Ле=2,1 м определяются из решения косоу¬
гольных треугольников.
Угол 6 проще всего определить графически — 0=58°.
Ординаты эпюры давлений равны:
= 1,8-4. 0,512 = 0,368 Т/м2;
q2=l,S • 1,60 • 0,512 = 0,147 Т/м2;
<7з=1,8 • 7,70 • 0,512 = 0,707 Т/м2;
= 1,8 • 9 • 0,512 = 0,830 Т/м2.
На разгрузочную площадку будет действовать вертикальная сила,
равная весу лежащего на ней грунта
<?пл = 4,2+ 4’80-3,0-1,8 = 24,2 Т/м.
103

§ 28. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
СО СПЕЦИАЛЬНЫМ ОЧЕРТАНИЕМ ГРАНЕЙ
Уменьшение давления грунта на подпорную стену с целью ее
удешевления может быть осуществлено путем придания соответ¬
ствующего очертания задней поверхности подпорной стены.
Если придать задней поверхности стены ломаное очертание, как
это показано на рис. 78, а, то можно добиться, чтобы давление с
глубиной нарастало только в пределах каждой грани.
Для криволинейного очертания задней грани стены в пределе
можно получить постоянную интенсивность давления по высоте,
начиная от некоторой глубины zQ (рис. 78, б).
При этом можно поставить условие, чтобы постоянными были
давления, отнесенные к единице поверхности стены, или давления,
отнесенные к единице площади ее вертикальной проекции.
Будем исходить из первого условия и, кроме того, примем для
простоты, что поверхность засыпки горизонтальна и трение между
засыпкой и подпорной стеной отсутствует. При этом интенсивность
нормального давления на' стену на любой глубине z=z0-\-z1 от
поверхности засыпки выражается формулой (2.18)
а = = а у (z0 + 2г), (6. 35)
где а — коэффициент активного давления засыпки, зависящий от
угла <р ее внутреннего трения и от угла а — наклона стены к вер¬
тикали.
Значения этого коэффициента могут быть найдены по теории
В. В. Соколовского или по теории Кулона.
Для определения а можно воспользоваться данными табл. 5.
Но табл. 5 охватывает только небольшие отрицательные значения
углов а. Поэтому выразим интенсивность давления на глубине z
Рис. 78
104

по теории Кулона и, кроме того, для простоты не будем учитывать
поправок, рассмотренных в §26. Тогда из формулы (3.17) получим
а = =Ttg ^45°— у a-^ + tga]2cos2a.
Значения этого коэффициента для разных а и ф=30° приведены
на графике рис. 79.
Считая величины a, z0, у
и заданными, решим урав¬
нение (6.35) относительно о:
— a
—( i v
I (*0 + 2i)
Найдя по этой формуле
значения а для различных
значений можно затем по
графику рис. 79 найти соот¬
ветствующие значения а и по¬
строить искомый контур зад¬
ней грани стены.
Пример 16. Определить
требуемые углы наклона зад¬
ней грани подпорной стены
на разных глубинах от по¬
верхности засыпки, если, на¬
чиная от глубины г0=1 ж,
давление должно быть постоянным и равным о=0,5 77л2. Объемный
вес и угол внутреннего трения грунта равны у = 1,8 Т/м3 и ср=30°.
Угол трения грунта о стену <ро=О.
Решение. Для глубины гх=0 по формуле (6.36)
с= . ° = 0,278.
7(2о + ?1) 1,8-1,0
По графику рис. 79 находим соответствующее значение а=—8°.
Точно так же находятся значения а для других глубин z.
Полученные результаты сведем в табл. 8.
Таблица 8
2 М
a
а град
2 М
a
а град
1
0,278
— 8
6
0,0464
—45
2
0,139
—28
7
0,0397
—46
3
0,093
—35
8
0,0347
—47
4
0,0695
—40
9
0,031
—48
5
0,0556
—43
10
0,028
—50
Построенный по этим углам контур задней грани стены показан
на рис. 80.
7 Заказ 853
105

Подпорная стена, предложенная проф. Ю. Я. Штаерманом и
инж. Н. Н. Глонти (рис. 81, а), состоит из контрфорсов, опирающих¬
ся на фундаментную плиту, и наклонных ограждающих плит, уло¬
женных на контрфорсы.
Эти плиты поддерживают среднюю часть засыпки, а верхняя и
нижняя части образуют откосы. При этом верхний откос проходит
над ограждающей плитой, а нижний — над фундаментной плитой
в пролетах между контрфорсами. В другом варианте этой конструк¬
ции ограждающие плиты заменены пологими оболочками меньшей
толщины.
106

Давление на ограждающую плиту определяется, как на пологую
стену, с учетом того, что поверхность засыпки образует откос или
полуоткос.
Давление на верхнюю грань фундаментной плиты принимается
равным весу вышележащего грунта.
Заложение нижнего откоса должно быть принято с учетом веса
вышележащей засыпки.
Необходимо, однако, учитывать возможность образования в
засыпке за такой подпорной стеной поверхностей скольжения АВХВ^
и В2Е, вследствие чего нижняя часть В^^ подпорной стены, состоя¬
щая из контрфорсов и засыпки между ними, будет испытывать пол¬
ное давление грунта, соответствующее данной глубине. Таким об¬
разом, устройство нижнего откоса взамен соответствующей верти¬
кальной лицевой плиты дает экономию только на стоимости этой
плиты, но вместе с тем лишает стенку полезного для ее устойчиво¬
сти веса грунта в объеме АВВГ, Этот вес приходится компенсировать
добавочным весом грунта над фундаментной плитой, которая для
этой цели удлиняется.
Подпорная стена, предложенная Н. И. Бардиным и А. Ф. Каба-
хидзе и сконструированная К. В. Харитоновым (рис. 81, б), состоит
из фундаментной плиты, рамных контрфорсов и ограждающих плит,
из которых верхняя и нижняя вертикальны, а средняя по высоте
составляет угол с горизонтом, меньший, чем угол естественного
откоса грунта.
По замыслу авторов давление на среднюю по высоте плиту от¬
сутствует, а давление на нижнюю плиту уменьшается благодаря на¬
клону средней плиты.
Однако, хотя это и дает возможность уменьшить толщину этих
плит, но мало повышает устойчивость подпорной стены в целом, ко¬
торая зависит от давления на плоскость АВ, Правда, поскольку
плоскость АВ в основном проходит в засыпке и лишь частично по
задним граням контрфорсов, при определении давления на эту плос¬
кость может быть принято значение <р0, близкое к ср.
Для определения силы давления на подпорную стену, поворачи¬
вающуюся вокруг верхнего ребра, можно пользоваться теорией
Кулона. Однако центр давления лежит значительно выше, чем на
h h
высоте -х, доходя до -и.
О Z
Взамен разгружающих плит П. И. Яковлевым [14] предложен и
экспериментально исследован новый тип разгружающего устрой¬
ства в виде горизонтальных консольных балок. При расстоянии
между балками порядка 0,15—0,20 высоты подпорной стены и
небольшом увеличении их вылета по сравнению с вылетом плиты,
они благодаря сводообразованию в засыпке дают такой же разгру¬
жающий эффект, как и плиты. Давление на балки при этом повьн
шается по сравнению с весом лежащего над ними грунта.
Для разгрузки подпорных стен применяются также экрани¬
7*
107

рующие рамы и отдельные сваи, забитые в пределах сползающей
призмы.
С этой же целью увеличивается угол естественного откоса за¬
сыпки (до 46° на воздухе и до 39° в воде) путем добавления к ней
отходов лесопиления — «реек».
§ 29. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ И НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ В ПЛАНЕ
Если подпорная стена имеет длину / одного порядка с высотой,
а соседние массы грунта не воздействуют на подпорную стену, буду¬
чи, например, ограничены откоса¬
ми (устой моста), то задача может
быть рассмотрена как пространст¬
венная.
В этом случае сползающее те¬
ло по предложению Б. В. Бобри¬
кова [4 ] принимается в виде по¬
луцилиндра, усеченного снизу на¬
клонной плоскостью, составляю¬
щей с горизонтом угол 0 (рис.82).
Исходя из условия предельного
равновесия сползающего тела и
пренебрегая силами трения по ци¬
линдрической поверхности, можно
найти активное давление на верх¬
нюю и нижнюю части вертикаль¬
ной гладкой стены при горизон¬
тальной поверхности засыпки:
qr = 0,392 у/I 2 tg (0 — ср); (6. 37)
<6-38)
При этом A2=^tg9, а угол 0, как и в плоской задаче, находит¬
ся из условия максимума силы давления/ которое приводит к
уравнению
8,82 -у cos2 6 — sin 2 6 = sin 2 (9 — <р). (6. 39)
Если же общая высота стены /i<^tg6, т. е. если верхняя часть
сползающего тела, имеющая форму полуцилиндра, отсутствует, то
вместо уравнения (6.39) следует пользоваться уравнением
I sin 2 (9 — у) — sin 2 9 — Д 99 2 sin 2 ~ ~ sin 2 6 (6 40)
h cos 9 ’ sin 9 ' * '
108

В отличие от эпюры давлений для подпорной стены неограничен¬
ной длины в данном случае эпюра давлений оказывается криволи¬
нейной, а сила давления меньше, чем на соответствующий участок
стены в первом случае.
При этом разница тем больше, чем меньше длина стены I по срав¬
нению с высотой h. При > 1,5 решение для условий плоской
задачи во всех случаях обеспечивает достаточную точность.
Пример. 17. Определить силу давления грунта на подпорную
стену высотой /г=4 м и длиной /=4 ж, если у=1,7 Т/ж3, ?=40°
и
Решение. Предполагая, что A<-^tg9, найдем подбором из урав¬
нения (6.40) угол 6=67°30'.
Ординату эпюры давлений найдем по формуле (6.38)
о _ (в~~G о из 2 1 °,52* (4 о 0,43? \ __
—tg О V U’4 .tgO 1,Z 2 2,414 \,U 2,414/
= 0,368 z (4 —0,178 z) = 1,470 z — 0,0656 z2.
Сила давления на всю стену шириной 4 м выражается интегра¬
лом:
h
Q = ^qzdz = 0,735й2 — 0,0219й3 = 11,75 — 1,4 = 10,35 Т.
о
Сила давления на такой же участок, выделенный из стены неогра¬
ниченной длины, составляет 11,8 Т.
Другая важная пространственная задача состоит в определение!
активного давления грунта на круговую в плане стену, обращенную
своей вогнутой стороной к засыпке.
В этом случае по предложению В. И. Титовой [24] сползающее
тело расчленяется меридиональными плос¬
костями на бесконечно малые элементы,
один из которых показан на рис. 83. г М
Для вертикальной гладкой подпорной
стены при горизонтальной поверхности за¬
сыпки давление на глубине z выражается
формулой
qz = -^-(2 —hg(6 — <р), (6.41)
z 2 tg о \ z? tg е) v r' 7
где R—радиус задней поверхности стены.
Угол наклона образующей конической
поверхности скольжения к горизонту опре¬
деляется из условия максимальности силы
давления, которое сводится к уравнению
Л = 3. sin29-Sin2(0-<p) е
R sin 2 0 — 2 sin 2 (в—ср)
109.

Если высота подпорной стены h >/?tgO, то внутренняя образующая
сползающего тела пересекает центральную ось стены и тогда дав¬
ление ниже глубины z=/?tgO остается постоянным и выражается
формулой
<7, = ^tg(6-?)- (6-43)
При этом угол 0 определяется из уравнения
h sin 2 6 + sin 2 (6 — у) ...
~R = 6 cos2 в ’ ' * '
Для углов внутреннего трения грунтов в пределах 25°—35®
угол 6 близок к 75°, поэтому высота стены, при которой уже сле¬
дует пользоваться формулами (6.43) и (6.44), составляет /г>3,73
Применить эти формулы для выпуклой стены нельзя.
Пример 18. Определить давление грунта на круговую в плане
стену высотой Л=8 м и радиусом 7?=8ж, если у=1,7 Т/м\ <р=40°
и ¥0=0-
h 8
Решение. Так как -^=g=l<3,73, то для определения угла О
нужно пользоваться уравнением (6.42). Оно удовлетворяется при
6=75°45'.
Подставляя это значение угла 6 в формулу (6.41), получим
уравнение эпюры давлений
= (2 £_\tg(8 —<Р)= 1,7'г-/2 'jo,72 =
z 2 tg О V Z? tge / ' 2-3,936 \ 8-3,936 /
= 0,216 z (2 — 0,0318 z) 0,72 = 0,312 z — 0,0049 z2.
Нижняя ордината эпюры давлений при z=h=8 м равна q=
=0,312-8—0,0049-82=2,49—0,32=2,17 Т/м2.
Сила давления на 1 пог. м. длины окружности стены
h h
Q = j* qzdz = J (0,312 z — 0,0049 z2) dz = 0,156 A2 — 0,00163 h3 =
6 0
= 0,156-82 —0,00163-83 = 9,95 —0,83 = 9,12 Т/м.
Для прямолинейной в плане стены при тех же данных получим
<7=2,95 Т/м2 и Q=ll,8 Т/м.
§ 30. СЕЙСМИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
Давление грунта на подпорные стены, возводимые в районах,
подверженных землетрясениям силой от 7 до 9 баллов, должно быть
определено с учетом сейсмической силы инерции S, вызванной ве¬
сом G Сползающей призмы.
110

Эта сила инерции выражается через массу т сползающей приз¬
мы и через сейсмическое ускорение j следующей формулой:
S = /n/ = -|-/ = G^1 (6.45)
где g—ускорение силы тяжести;
— коэффициент сейсмичности, зависящий от расчетной
сейсмичности, выраженной в баллах.
При этом СНиП II-A.12—62 установлено:
для 7 баллов /Сс = 0,025;
» 8 » Кс = 0,05;
> 9 > Кс=0,1.
Так как во время землетрясения сила инерции может иметь лю¬
бое направление, то следует принять наиболее невыгодное для
устойчивости подпорной стены — горизонтальное.
При этом многоугольник сил, действующих на сползающую приз¬
му, будет таким, как это показано на рис. 84.
Если повернуть чертеж подпорной стены вместе с многоуголь¬
ником сил на угол o)=arctg/Cc против часовой стрелки, то равно¬
действующая сил G и S, равная Gc=“~, окажется вертикальной,
а задняя грань стены, плоскость скольжения и плоскость внутрен¬
него трения составят углы ас=а+о) с вертикалью, 0с=6-|-ю и
<рс=<р+а> с горизонтом. При этом должно быть соблюдено усло¬
вие замкнутости треугольника сил, т. е.
Рис. 84
111

Q = Gc .s;"(027^ v = . v, (6. 46)
x c sin (<pc + Oc—ф) cos w sm (фс + 6c — ф)
где^с=90°—ac—cpo.
Вместо формулы (3.13) для коэффициента активного сейсмичес¬
кого давления грунта при плоской его поверхности получим выра¬
жение
+ = еозЧф-Ое) ( {6 47)
[ 1 + Сsin sin ~ оч cos <о cos2 <zc cos (ac + ф0)
[ 1 F COS (ac + <p0) COS (a — (3)J c \ c i TO/
Для вертикальной гладкой задней грани подпорной стены при гори¬
зонтальной поверхности засыпки получим формулу
+ 2 Кс tg <?) tg2 (45°- -(6.48)
Для ср=30° и для расчетной сейсмичности 9 баллов множитель
= 14~27<ctg(p, являющийся динамическим коэффициентом активного
давления грунта, при землетрясении оказывается равным р.=
= 1,115.
В действительности величина этого коэффициента может оказать¬
ся значительно большей за счет снижения углов трения грунта при
встряхивании.
Для подпорных стен, соприкасающихся с грунтовой водой, сле¬
дует учитывать дополнительное инерционное давление воды, кото¬
рое определяется по формуле1
Рг = Лс TbZ, (6. 49 )
где ув — объемный вес воды;
z — глубина воды относительно рассматриваемой точки.
При расчете подпорных стен, возводимых в сейсмических рай¬
онах, должна быть еще учтена горизонтальная сейсмическая сила
инерции, вызываемая весом Go сооружения, которая приложена на
уровне его центра тяжести и определяется по формуле
So = 1,5GO7<C. (6. 50)
Сейсмическая же сила, действующая на элементарный объем k
сооружения, выражается как произведение веса GK этого объема
на величину коэффициента сейсмичности с учетом положения объ¬
ема:
SK = GK/U1 +0,5 2L)~GK/<C-, (6.51)
1 Для гидротехнических сооружений, воспринимающих напор воды с
открытой поверхностью, в СНиП II-A.12—62 приведена другая формула.
112

где zz и г0— расстояния от подошвы сооружения до центра тяжести
объема k и всего сооружения.
Пример 19. Определить силу сейсмического давления грунта на
подпорную стену, рассмотренную в примере 3, если расчетная сейс¬
мичность сооружения 9 баллов.
Решение. При /г=6 ж, а=10°, (3=0, у=1,8 Т/м3, <?=30°, ?0=
= 15° и /Сс—0,1 имеем следующие величины углов:
о = arc tg Кс = arc tg 0,1 = 5°45х;
ас = а + 03 — 10° + 5°45х = 15°45х.
Коэффициент сейсмического активного давления грунта по
формуле (6.47)
х cos2(30°— 15°45z)х
Г 1 + ]/—cos 5°45' cos2 15°45'
L У cos (15°45'+ 15°) cos 10° J
X /1CO/ICZ , 1 CO\ = 0,433.
cos(15°45 + 15°)
Сила сейсмического давления грунта
Q = 0,433 = 14,0 Т/м.
2 c 2
При отсутствии сейсмического воздействия в примере 4 было полу¬
чено Х=0,378. Таким образом, 4е=^70 =1,14.
‘ Л и,о/о

ГЛАВА VII
ПАССИВНОЕ И УПРУГОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
§ 31. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
При перемещении подпорной стены в сторону грунта, например,
того грунта, с которым соприкасается ее передняя грань (рис. 85),
возникает пассивное давление, вернее сопротивление, или отпор
этого грунта. \
Если заменить, как это делали, следуя Кулону, до появления
работ В. В. Соколовского, поверхность скольжения плоскостью, то
величины пассивного сопротивления грунта можно найти с помощью
того же построения Понселе, которое служило для определения ак¬
тивного давления, но отложив углы ср и сров обратные стороны, так как
при отпоре грунта силы трения, направленные в сторону, об¬
ратную движению, действуют на выпирающую призму в противо¬
положные стороны по сравнению с тем, как они действовали на спол¬
зающую призму.
При этом общую формулу для определения силы пассивного соп¬
ротивления грунта можно непосредственно получить из формулы
(3.13) для активного давления, изменив на обратные знаки при уг¬
лах ср и ср0.
Однако необходимо иметь в виду, что неточность, связанная с
заменой криволинейной поверхности скольжения плоскостью, ока¬
114

зывается значительно большей при определении пассивного сопро¬
тивления грунта, чем при определении его активного давления.
Эта неточность быстро возрастает с увеличением угла внутреннего
трения грунта и по данным С. С. Голушкевича и В. С. Христофорова
при ср= 16° достигает 17%, а при 9=30°— почти 100%. При 9=40°
получается семикратное увеличение отпора грунта.
Только для вертикальной гладкой подпорной стены при гори¬
зонтальной поверхности засыпки теории Кулона и В. В. Соколовс¬
кого приводят к одной и той же формуле для силы пассивного
сопротивления грунта:
е.=4 tg* (45"+А)=,1±^. (7. 1)
2 \ 2/ 2 1 — sin 9
При этом нижняя ордината эпюры интенсивности отпора оказы¬
вается равной
<7n = TfA tg2 (45°+ -5Ц = - + sin 9 . (7. 2)
\ 2 / 1 — sin 9
Сопоставление формул (3.19) и (7.2) позволяет сделать вывод, что
пассивное сопротивление грунта при одинаковых условиях много
больше, чем его активное давление Q. Так, например, при 9=30°
Qn = /l + sin9V / 1+0,5 у = 9
Q \1 — sin 9 / \ 1—0,5 /
Это отношение будет тем меньше, чем меньше угол внутреннего
трения грунта, и при 9=0, т. е. для жидкости, равно единице.
В случае когда угол трения грунта о стену 90 не может быть при¬
нят равным нулю, нормальная и касательная составляющие пас¬
сивного сопротивления грунта на глубине z от горизонтальной
поверхности засыпки выражаются следующими формулами:
о = ayz, (7. 3)
т == туг, (7. 4)
где о и т — коэффициенты пассивного сопротивления грунта,
значения которых, вычисленные по теории В. В. Со¬
коловского, приведены в табл. 9.
При этом жирная ступенчатая линия отделяет в этой таблице
коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и
пологим стенам.
Для крутых подпорных стен коэффициенты а и т связаны между
собой зависимостью
° tg ?о-
Для пологих подпорных стен угол отклонения полного давления
от нормали к задней грани стены меньше угла трения по ней, т. е.
3 =arctg4r < То-
а
115

Таблица 9
Значения коэффициентов нормальной и касательной составляющих пассивного сопротивления грунта
по теории В. В. Соколовского
<Ро
а
— 30°
— 20°
— 10°
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
—
1,76
1,62
1,51
1,42
1,33
1,25
1,20
1,16
1,10
1,06
1,02
1,01
1,00
0°
х
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,96
1,80
1,67
1,55
1,45
1,36
1,27
1,21
1,15
1,10
1,05
1,03
1,00
10°
5°
0,17
0,16
0,15
0,14
0,13
0,12
0,12
0,11
0,11
0,10
0,08
0,05
0,00
—
2,18
1,91
1,76
1,63
1,52
1,42
1,32
1,25
1,18
1,10
1,05
1,03
1,00
10°
т:
0,37
0,34
0,31
0,29
0,27
0,25
0,23
0,22
0,20
0,18
0,15
0,06
0,00
—
3,18
2,79
2,33
2,04
1,80
1,60
1,45
1,32
1,19
1,12
1,05
1,01
1,00
0°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
—
4,16
3,46
2,93
2,51
2,19
1,92
1,68
1,51
1,35
1,22
1,П
1,03
1,00
20°
10°
0,74
0,61
0,52
0,44
0,39
0,34
0,30
0,26
0,23
0,22
0,20
0,17
0,00
__
4,89
4,02
3,37
2,86
2,45
2,12
1,88
1,63
1,43
1,26
1,11
1,03
1,00
20°
а
1,78
1,47
1,22
1,04
0,89
0,78
0,68
0,59
0,52
0,46
0,32
0,17
0,00
6,10
4,71
3,70
3,00
2,43
2,02
1,72
1,50
1,32
1,20
1,08
1,03
1,00
0°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
—
10,11
7,58
5,71
4,46
3,54
2,86
2,32
1,89
1,60
1,38
1,17
1,03
1,00
30°
15°
а
2,72
2,16
1,53
1,20
0,95
0,77
0,62
0,51
0,43
0,36
0,32
0,29
0,00

13,52
9,91
7,40
5,67
4,42
3,50
2,79
2,25
1,91
1,50
1,22
1,03
1,00
30°
ст
7,81
5,72
4,27
3,27
2,55
2,02
1,61
1,30
1,Ю
0,86
0,64
0,34
0,00
0°
а
13,00
8,86
6,25
4,60
3,42
2,66
2,14
1,76
1,47
1,28
1,И
1,03
1,00
и
т
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4Л°
90°
ст
30,81
19,50
13,20
9,10
6,46
4,70
3,44
2,60
2,06
1,62
1,31
1,03
1,00
11,22
7,10
4,81
3,31
2,35
1,71
1,24
0,94
0,75
0,58
0,46
0,40
0,00
40°
ст
50,10
31,81
20,60
13,96
9,57
6,71
4,80
3,48 I
1 2,56
1,92
1,43
1,09
1,00
42,10
26,63
17,30
11,71
8,04
5,61
4,02
2,91 )
1 2,14
1,60
1,17
0,69
0,00

Горизонтальная и вертикальная составляющие интенсивности
пассивного сопротивления выражаются теми же формулами (2.22)
и (2.23), как и при определении активного давления.
Пример 20. Требуется определить пассивное сопротивление грунта
при давлении на него передней грани фундамента стены высотой кф=
2,0 м. Поверхность земли горизонтальная, угол внутреннего трения
грунта ср=30°, угол трения грунта о стену ср0= 15°. Сцепление не
учитывается. Объемный вес грунта у = 1,8 Т/м?.
Решение. По табл. 9 находим коэффициенты нормальной и ка¬
сательной составляющих пассивного сопротивления грунта
=4,46 и т= 1,20 и вычисляем коэффициент пассивного сопротивления
грунта
Хп = еп = Г + = Г4,462 + 1,202 = 4,63.
Нижняя ордината эгйоры пассивного давления
= iMn = 1,8 • 2 • 4,63 = 16,7 Т/м*.
Сила пассивного сопротивления грунта
Q = £п^Ф = 16>7'2'0 = 16 7 Т/м_
2 2,0
Эта сила отклоняется от нормали к стене вниз на угол <р0=15°.
При определении пассивного давления грунта на подпорные
стены ограниченной длины в плане может быть учтено также и
сопротивление грунта, расположенного по сторонам. По предло¬
жению Г. И. Глушкова и Б. А. Урецкого форма тела выпирания,
подтвержденная^опытными данными, может быть принята согласно
рис. 86. При этом объем тела складывается из объема призмы и
объема двух пирамид, составляя
V = -L . + —— = (31 + /г).
2 tg 0 6 tg 0 6 tg 0 ’
Примем, что угол 6 в этом случае такой же, как и при плоской
деформации, и не будем учитывать силы трения по боковым граням
Рис. 86
117

тела выпирания. Тогда сила пассивного сопротивления грунта и
рассматриваемом случае может быть определена путем введения в
формулу (7.1) коэффициента, являющегося отношением общего
объема тела к объему его средней призматической части, т. е.
Qn = (1 + yr) tg* (45°+ -Q (7. 5)
В условиях плоской деформации /=оо и формула (7.5) переходит
в (7.1).
§ 32. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ
В некоторых случаях перемещения подпорных стен слишком
малы для того, чтобы давление засыпки могло снизиться до величи¬
ны активного давления. Примерами таких сооружений могут слу¬
жить массивные подпорные стены на скальном основании, а также
стены очень жестких подземных сооружений, испытывающих оди¬
наковое давление с обеих сторон (рис. 87).
Такие практически неподвижные стены испытывают непредель¬
ное давление засыпки, находящейся в состоянии упругого рав¬
новесия.
При определении давления грунта на подпорную стену, кото¬
рую можно считать абсолютно неподвижной, засыпку рассматри¬
вают как упругое тело. Если поверхность засыпки горизонтальна,
а задняя грань стены вертикальная и трение по ней не учитыва¬
ется (сро =0), то граничные условия на задней грани стены в отноше¬
нии горизонтальных перемещений и сдвигающих напряжений соот¬
ветствуют условиям на вертикальной плоскости полупространства,
являющейся плоскостью симметрии к заданной нагрузке и к ее
зеркальному изображению (рис. 88).
Если исходить из того, что вертикальное напряжение от собствен¬
ного веса грунта на глубине г равно то горизонтальное
118

напряжение на этой же глубине можно определить из уравнения
обобщенного закона Гука для плоского деформированного состоя¬
ния и условия, что относительная деформация в направлении оси
х равна нулю:
ех = 4- Ю - И2) - Ml + РК1 = 0.
£
Отсюда
(7. 6)
где — коэффициент Пуассона грунта.
Величина является коэффициентом бокового давле¬
ния грунта в состоянии покоя.
Значения коэффициентов р- и Ёо для различных грунтов приве¬
дены в табл. 10.
Таблица 10
Значения коэффициентов р. и %
Наименование грунтов
и
Но
^усл
Крупнообломочные

0,27
0,37
27°25'
Пески и супеси

0,30
0,43
23°30'
Суглинки

0,35
0,54
17°25'
Глины

0,42
0,72
9°20'
При действии линейной нагрузки Р и ее зеркального изображе¬
ния, параллельных заднему верхнему ребру подпорной стены, дав¬
ление на нее исходя из формулы теории упругости (формула Флама-
на) будет равно
а
4 Px2z ~
1х2 + .г2)2 “ ~
(7-7)
где х=а — расстояние от линии нагрузки до задней грани стены.
При этом касательное напряжение г2х на задней грани стены
будет равно нулю.
Значения коэффициента ах в зависимости от отношения при¬
ведены в табл. 11.
Для получения наибольшего давления на данной глубине г
линия нагрузки должна быть отодвинута на расстояние х=г,
р
При этом =0,318-. При заданном расстоянии х от линии нагруз¬
ки наибольшее давление будет на глубине z=0,578 х и составляет
=0,238-.
х Z
При действии вертикальной сосредоточенной силы Р и ее зер¬
кального изображения давление на вертикальную плоскость, сов-
119

Таблица 11
Значения коэффициента ах
2
°Х
X
2
°х
X
2
°х
X
2
»х
0,00
0,000
0,55
0,113
1,2
0,154
2,3
0,085
0,05
0,002
0,60
0,124
1,3
0,149
2,4
0,080
0,10
0,006
0,65
0,133
1,4
0,142
2,5
0,076
0,15
0,014
0,70
0,140
1,5
0,136
3,0
0,057
0,20
0,024
0,75
0,147
1,6
0,129
3,5
0,044
0,25
0,035
0,80
0,151
1,7
0,122
4,0
0,035
0,30
0,048
0,85
0,155
1,8
0,115
5,0
0,024
0,35
0,062
0,90
0,157
1,9
0,108
6,0
0,017
0,40
0,076
0,95
0,159
2,0 .
0,102
7,0
0,013
0,45
0,089
1,00
0,159
2,1
0,098
8,0
0,010
0,50
0,102
1,10
0,158
2,2
0,090
9,0
0,008
падающую с задней гранью подпорной стены, выражается формулой
Буссинеска с коэффициентом 2:
Зр г x2z . 1 — 2 / 1
гс [ 7?5 + 3 +
2Р~
= <?,,
(2R + z) х2
(/?4-z)2#3
Z “I
(7. 8)
где х — расстояние от сосредоточенной силы до задней грани сте¬
ны по перпендикуляру;
у — расстояние от сосредоточенной силы до взятой на поверх¬
ности стены точки по направлению, параллельному кордону стены;
Х2+у2 + г2
Напряжения ах в некоторой области рассматриваемой верти¬
кальной плоскости могут оказаться отрицательными, т. е. растяги¬
вающими. Однако в большинстве случаев они будут погашаться
сжимающими напряжениями от собственного веса грунта.
Для облегчения использования формулы (7.8) Г. И. Глушковым
[6] составлен график значений ах для коэффициента Пуассона
=0,3 (рис. 89).
Следует иметь в виду, что сила давления на подпорную стену в
большой степени зависит от величины ц. При [х=0,5, что соот¬
ветствует материалу, сохраняющему при деформации постоянный
объем, формула (7.8) упрощается и приобретает следующий вид:
3 Р x2z 2 р -
°Х ’/2121 2\5/2 2 V * У)
тг (x2 + y2 + z2)' Z2
Для того чтобы в данной точке стены на глубине z давление
было наибольшим, сосредоточенный груз должен быть установлен
против этой точки (у=0) на расстоянии х=0,816 г. При этом ах=
= 0,1776^.
120

ISI

При заданном расстоянии х наибольшее давление будет на глу-
Р
бине z^-0,5 х и составляет ох=-0,0684—.
Изложенный метод определения давления грунта пока
может иметь лишь ограниченное применение, так как он относится
к частному случаю абсолютно гладкой жесткой и неподвижной
стены при горизонтальной поверхности засыпки.
Для определения давления грунта на подпорную стену в более
общем случае (произвольная поверхность засыпки, наклонная
стена и угол трения по ней засыпки <р0=т^О) примем допущение, что
в сыпучем грунте отношение между главными напряжениями (точ¬
нее между их приращениями) равно коэффициенту бокового дав¬
ления, т. е.
02=^1- (7.10)
Выражая главные напряжения через нормальные напряжения
при помощи формулы (2.13)
с1,2 = 2 + 4 ’
после несложных преобразований получим
(о,— а)2 4 т = f- —(а Ц- а )2.
\ г л) I zx 1 + е J \ z -Г
(7. 11)
Сравнивая это уравнение с условием (2.15) предельного напряжен¬
ного состояния, принятого В. В. Соколовским (при с=0), легко об¬
наружить, что они отличаются друг от друга лишь параметрами
1-Ео
1+^о
в уравнении (7.11) вместо sine? в уравнении (2.15).
Учитывая, что дифференциальные уравнения равновесия ос¬
таются одними и теми же в обоих случаях, можно свести решение
задач, связанных с непредельным равновесием грунта, к использо¬
ванию тех же формул и графических построений, которые приме¬
няются для решения задач предельного равновесия. Однако при этом
придется принять угол отклонения полного давления от нормали к
условной площадке скольжения равным некоторому условному
углу внутреннего трения <русл, определяемому из уравнения
отсюда
, 1—^о
9vr?1= arc sin

У 1 + So
1 — sin фусл __ /45° 9усл \
1 + БШфусл \ 2 /
(7. 12)
(7. 13)
Если исходить из значений коэффициентов бокового давления,
приведенных в табл. 10, то углы отклонения (см. последний столбец
этой таблицы) окажутся значительно меньшими, чем действительные
углы внутреннего трения. Так, например, для песка, обладающего
122

коэффициентом бокового давления Ёо=О,43, срусл=23°30', в то время
как действительные углы внутреннего трения песчаных грунтов
лежат в пределах 30°—43°.
Это означает, что непредельное давление грунта превышает его
активное давление, что вполне согласуется с данными опытов.
Пример 21. Построить эпюру давлений на подпорную стену, рас¬
смотренную в примере 8, при условии, что она стоит на скальном
основании и может быть принята абсолютно неподвижной. При
этом Л=6 м. Засыпка песчаная с у = 1,9 Т/м3.
Решение. Для песчаного грунта засыпки коэффициент бокового
давления состояния покоя по табл. 10 равен £о=0,43.
Нижняя ордината эпюры давлений на неподвижную стену по
формуле (7.6)
q = = 1,9-6- 0,43 = 4,90 Т/м2,
т. е. на 58% больше, чем соответствующая ордината эпюры акти¬
вного давления при некотором смещении подпорной стены.
Для построения эпюры давлений от линейной нагрузки Р==
=4,5 Т/м разобьем стену по высоте на 6 частей и для каждой точки
деления найдем соответствующую ординату по формуле (7.7)
Рис. 90
Вычисления по этой формуле сведены в табл. 12. Эпюра давлений
на подпорную стену показана на рис. 90.
123

Таблица 12
2 М
Z
ах Т/мг
0
оо
0
0
0,5
4
0,035
0,630
1
2
0,102
0,920
2
1
0,159
0,715
3
0,667
0,135
0,405
4
0,500
0,102
0,229
5
0,400
0,076
0,137
6
0,333
0,058
0,087
Равнодействующая дополнительного давления на подпорную
стену от силы Р подсчитывается как площадь эпюры, которая за¬
меняется отдельными трапециями:
Qo = 4- f0,63• 0,5 + 0,92 • 0,75 + 0,715 • 1 + 0,405 • 1 +
+ 0,229 ♦ 1 + 0,137 • 1 + 0,087 • 0,5) = 2,534 Т!м.
Эта величина превышает соответствующую силу активного дав¬
ления грунта, найденную приближенным способом, всего на 8%.
Однако центр тяжести дополнительной эпюры, расположенной на
высоте 4,08 м от низа стены, находится также на 8% выше, чем в
предыдущем случае.
§ 33. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНУЮ СТЕНУ
В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЕЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Исходя из данных опытов можно принять следующую упрощен¬
ную диаграмму изменения давления q на подпорную стену в зави¬
симости от величины ее горизонтального перемещения Д на данной
глубине z, которое зависит от сдвига и поворота стены (рис. 91).
Для наклонного прямолинейного участка этой диаграммы из¬
вестны величины трех ординат, соответствующих активному дав¬
лению грунта, давлению его на неподвижную стену и пассивному
давлению.
При этом
<7а = Я о = qn = (7. 14)
где Ха, Хо и Хп — коэффициенты давления грунта активного, состоя¬
ния покоя и пассивного соответственно.
Для вертикальной идеально гладкой подпорной стены при го¬
ризонтальной поверхности засыпки эти коэффициенты выражаются
формулами:
К = tg* (45°- , к0 = , Хп = tg* (45°+ 4-) ,
124

125

где ф— угол внутреннего трения грунта;
(л—коэффициент Пуассона для данного грунта.
Если принять, что движение подпорной стены начинается лишь
после засыпки и в соответствии с СН-200—62 [23 ] исходить из про¬
стейшей теории деформации грунта по Фуссу—Винклеру, считая
коэффициент постели k нарастающим пропорционально глубине,
то на глубине z давление засыпки на гладкую вертикальную заднюю
грань подпорной стены, переместившуюся и одновременно повер¬
нувшуюся в сторону засыпки, будет равно
qz = ?zX0—kz±— kzQ(h— z), (7. 15)
где Ди© — горизонтальное и угловое (крен) перемещения под¬
порной стены;
k — коэффициент, характеризующий изменение коэффициента
постели с глубиной; для нескальных грунтов СН-200—62 установ¬
лены значения k в пределах от 100 до 2000 Т/м\
Сила давления грунта на подпорную стену определяется путем
интегрирования выражения (7.15):
h _ _
п С 1 '[h2 s kh2 * kh3 z-
Q = J qzdz = -L-a0 (7.16)
о
Эпюра давлений складывается из трех эпюр, две из которых
имеют треугольную форму, а третья — параболическую (рис. 91).
При перемещениях стены в сторону засыпки второе и третье сла¬
гаемые в формулах (7.15) и (7.16) должны быть взяты со знаком плюс.
В соответствии с принятой диаграммой давлений сила Q не может
быть меньше <2аи больше Qn. Формула (7.16), как это видно из рис. 92,
хорошо согласуется с
результатами опытов
И. В. Яропольского со
стенкой высотой 60 см и
шириной /=1,04 м. Засып¬
ка из уплотненного мел¬
кого сухого песка имела
объемный вес у=1,46 Т/м3,
угол внутреннего трения
ф=32°. Если принять, учи¬
тывая уплотнение, коэффи¬
циент бокового давления
состояния покоя Хо=О,7О
и по СН-200 — 62 k =
=800 Т/м\ то сила давле¬
ния на такую подпорную
стену при горизонтальном
поступательном перемеще¬
нии будет
126

Q =1 л ) = ^(Л- ь Д)=
= .°’6221’0 (1,46-0,70 —800 А) = 0,180(1,02 —800А).
Сила давления на неподвижную стенку (Д^=0) получается рав¬
ной Qo=0,18.1,02=0,183 Т.
Горизонтальная же сила активного давления по Кулону при
?о = <Р
Qa = К = 1,4620,62-0,237 = 0,063 Т.
Перемещение Да, соответствующее снижению давления до ве¬
личины активного, находится из уравнения
Q = Qa или 0,180 (1,02 — 800 Да) = 0,063,
отсюда
Да - 0,00083 м = 0,83 мм.
Расхождение между сплошной ломаной линией, соответствующей
этому расчету, и кривой, проведенной по опытным точкам (пунктир¬
ная линия), не больше чем, например, между действительной диаг¬
раммой растяжения упруго-пластического материала и упрощен¬
ной диаграммой Прандтля.
Такое же хорошее совпадение дает формула (7.16) и с результа¬
тами опытов других исследователей.
Теперь рассмотрим давление на подпорную стену в случае сов¬
местного ее перемещения с перемещениями основания и грунта у
передней грани фундамента. Для этого найдем действующие на
стену силы и их моменты.
Момент, сопротивляющийся крену подпорной стены в случае,
когда давление на основание передается по всей ширине подошвы,
выражается формулой (см. рис. 91)
M = Ne=^&, (7. 17)
где b — ширина подошвы подпорной стены;
0 — угол крена;
k — коэффициент постели грунта в основании подпорной стены,
принимаемый для нескальных грунтов равным kh (в
ТЛи3), но не менее 10 k; для скальных грунтов этот
коэффициент принимается в пределах от 30000 до
1500000 Т/м .
Силу Т сопротивления основания сдвигу подпорной стены примем
пропорциональной величине перемещения А, т. е.
Т = = k.bk, (7. 18)
где b — ширина подошвы подпорной стены;
т — сдвигающее напряжение по поверхности основания;
127

kj— коэффициент сопротивления грунта сдвигу подпорной
стены по основанию (кГ/см3), который можно принять
равным 0,5—0,7 от величины коэффициента постели k.
Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены не может
превосходить предельной величины
Tnp=Nf, (7. 19)
где N — сила нормального давления от подпорной стены на ее
основание;
f — коэффициент трения между подошвой подпорной стены
и поверхностью основания.
Условия равновесия подпорной стены, заглубленной в основание
на величину и переместившейся в сторону от засыпки:
7А2 kh2b
2* = V» 2 g k^-
ТФАф > *фЛфА ^Ф^ф®3 _n.
2 Лоф 2 6 — U’
.. t/i3 уЛзд £7г40 kb3e
2^0 = Vo Г 12 Ga~12 -
7фЛф *ФАфД Мф9 0
6 Л°Ф 6 12 ““
При составлении этих уравнений учтена возможность различ¬
ных значений у, k и Хо для задней и передней граней стены.
Последние отмечены буквой ф. Третье уравнение равновесия
при гладкой вертикальной задней грани подпорной стены дает
возможность непосредственно найти среднюю величину осадки $:
2Z = G — kbs = 0,
где G — собственный вес подпорной стены, отнесенный как и все
остальные силы, к 1 пог. м ее длины.
Уравнения равновесия удобно представить в форме каноничес¬
ких уравнений метода перемещений:
гддА + гд0®+^до = О’
^*0Д А 4“ ^*00 ©V ^?0O = Oj
(7. 20)
где
гдД = 3 (& Л2 4~ £ф Лф 4- 2 £т &);
гд© = Г0Д — 4" ,
#до =—3 (Л—М;
^00= — й3+ ТфЛ|Хоф4-60а.
128

При этом линейное перемещение и угол крена будут выражаться
такими формулами:
Л ГД0^0О Г00^ДО
2
ГДД Г00 Г0Д
Q ГД0 *до ~ ГДД *00
ГДД Г00 Г0Д
(7. 22)
(7. 23)
После нахождения перемещений А и 0 можно, пользуясь форму¬
лами (7. 15), (7. 16), (7. 17) и (7. 18), определить давление засыпки
на заднюю и переднюю грани подпорной стены, величину эксцент¬
рицитета е силы N и силу сопротивления Т основания сдвигу.
Применение предлагаемых формул к расчету подпорной стены
показано на числовом примере.
Пример 22. Определить давление грунта на подпорную стену
высотой h = 9,8 л, с шириной подошвы b = 6 м, с вертикальной
задней гранью, заглубленную на высоту Лф = 1,8 м. Поверхность
засыпки горизонтальная (рис. 93). Грунт засыпки со стороны зад¬
ней и передней граней — песок средней крупности рыхлый, для
которого у = 1,8 Т/м3, = 35°, <р0 = 0°, р = 0,3, k= 250 Т/м\
Грунт основания — скала, для которой k = 50000 Т/м3, kT =
= 3500077ж3, /= 0,6. Собственный вес стены вместе с грунтом на
фундаментной плите составляет G = 90 Т/м, а плечо этой силы-
относительно середины подошвы а = 0,42 м.
Все исходные данные являются величинами расчетными, т. е.
уже содержат коэффициенты перегрузки и учитывают снижение
механических характеристик грунтов.
10 Заказ 853
129

Решение. Коэффициент давления грунта в состоянии покоя
Коэффициенты выражений (7. 22) и (7. 23) для определения
неизвестных перемещений определяются по формулам (7. 21)
Гдд = 3(£ Л2 + 6ф/г2ф + 2 k,b) = 3 (250 • 9,82 +
+ 250 • 1,82 4- 2-35000-6) = 1334000;
где = гед = kh3 +~кфИ3ф = 250 (9,83 + 1,83) =237000;
гев = 4" Л4+*Ф Ч +kb3 ) = 4 (25° • 9’84+
+ 250-1,84 + 50000-63) = 6550000;
7?до = — 3(f/i2k0 — Хо) = — 3 -1,8-0,43 (9,82 — 1,82) = — 215;
Яео = _ тй3Х0 + у/г3 Хо + 6 Ga = — 1,8 • 0,43 (9,83 — 1,8®) +
+ 6-90-0,42 = — 496.
Линейное перемещение и угол крена определяются по формулам
(7. 22) и (7. 23):
''де^ео—ге©^до _ -237000-496 + 6550000.215
= г . г™ — г2 = 1 334 000 • 6 550 000 — 237 0002 =
'ДА '00 ' Д0
= 1,485-10"4 м\
_ гдвЯд0 —rAA#0o __ —237 000.215+ 1334000-496
W ~ Га а гЛСк —г2 = 1 334 000• 6 550 000 — 237 0002 =
'ДА '00 ' Д0
= 7,04«10"5.
Сила давления грунта на заднюю грань подпорной стены опг
ределяется по формуле (7. 16). При этом перемещения Д и 0 считаются
положительными:
<2 = д-»е = LW.0.43-
Z Z о Z
250-9,82 .1)485.10-«_ 250-9,83 ,7 04. ю-s =
z о
= 37,1 — 1,78 — 2,77 = 32,55 Т/м.
130

Эта сила превышает силу активного давления
Qa = vtg2 (45°~ “F) = 1,8~2’82 -°’271 = 23,4 Т/м
на 39% и оказывается расчетной.
Сила давления (или, точнее, отпора) грунта на переднюю грань
фундамента определяется по формуле (7. 16), причем перемещения
Д и 0 уже считаются отрицательными, так как они направлены в
сторону грунта
1,8-1,82 Л
еФ=у\>+-гд + -б-в=—2—°>43+
+ 25°Л,8^ (1>485< 10_4) 250-Ь8з,7104.10-5 = 1>25 +
+ 0,0601 + 0,0171 = 1,33 Т/м.
Это превышает силу активного давления грунта на переднюю
грань стены
i.8-1,82
<2аф= Цг2 = о -0,271 = 0,79 Т/м
на 68%.
Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены
Т = АТ&Д = 35000-6-1,485-10"4 = 31,22 Т/м.
Предельная же величина силы трения оказывается равной
Тпр = Nf = 90-0,6 = 54,0 Т/м > 31,22 Т/м.
Силы Q, <2ф и Т уравновешивают друг друга.
Действительно, ЕХ = 32,55 — 31,22—1,33=0.
Это служит одной из проверок правильности определения
значений Д и 0.
Для построения эпюр давления используется формула (7. 15).
Для задней грани
qz = fzko—kzk— kz(h— z) 0 = 1,8-2-0,43 —
— 250-z-1,485-10“4— 250-z(9,8 — z) - 7,04-lQ-5 =
= 0,566 z +0,0176 z2.
Для передней грани
9гф = + ^(Лф— 2) 0 = l,8-z-0,43 + 250-z-1,485-10-44-
+ 250 - z (1,8 — z) 7,04-10"* = 0,844 z — 0,0176 z2.
Найденное значение угла крена позволяет определить величину
эксцентрицитета силы N исходя из формулы (7. 17):
10*
131

M kb3 гл 50 000-63 л ППЛП7ПЛ л
е = ~N = 12N 0 = 12-90 ‘О'0000704 = 0,704М.
Зная величину эксцентрицитета, можно построить эпюру ре¬
акций грунта основания, найдя ее крайние ординаты:
+ SA = 220 . 6-0,704 /25,56Т/ж2
b \ “ ь ) 6 \ ~ 6 / (4,44 Т/м* ’
Эйюры давлений, действующих на подпорную стену со стороны
задней грани, передней грани и основания, показаны на рис. 93.
Проверка устойчивости подпорной стены на опрокидывание
дает
2е 2-0,704 п . п о
-г- = £ = 0,234 < m = 0,8.
Ь 6 1
Если произвести расчет этой же подпорной стены, считая ос¬
нование нескальным и приняв для него k = 5000 Т/м3 и kT =
— 3500 Т/м3, то сила давления на такую подпорную стену (Q =
= 19,59 Т/м) оказывается уже меньше силы активного давления
и расчетным будет последнее.
В рассмотренном примере влияние сдвига и крена подпорной
стены как факторов снижения давления на нее оказывается одного
порядка. Произведенные подсчеты показывают, что относительное
влияние поворота тем больше, чем выше подпорная стена и чем
жестче ее основание.
Предлагаемая методика расчета подпорных стен с учетом их пе¬
ремещений может быть распространена и на случаи, когда стена
не вертикальная и не гладкая и когда поверхность засыпки не го¬
ризонтальная. Легко решаются также и задачи, связанные с опреде¬
лением давления грунта на массивные сооружения типа шлюзов
и сухих доков. Для таких сооружений большие реактивные давле¬
ния засыпки возникают даже от температурных перемещений.
Произведенные расчеты показывают, что для подпорных стен
на нескальных основаниях перемещения обычно оказываются до¬
статочными для того, чтобы давление засыпки снизилось до величи¬
ны активного. Поэтому для таких подпорных стен принятие актив¬
ного давления грунта в качестве расчетного может считаться обос¬
нованным. Однако это оказывается неприемлемым для подпорных
стен на скальном основании, а также для жестких подпорных
стен, связанных с другими массивными сооружениями. В этих
случаях следует определять расчетное давление грунта с учетом
перемещений подпорной стены.

ГЛАВА VIII
ДРУГИЕ ТЕОРИИ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА
НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
§ 34. ТЕОРИЯ РЕНКИНА
В настоящее время эта теория потеряла самостоятельное зна¬
чение, так как вытекает в качестве частного случая из теории
В. В. Соколовского.
Ренкин рассматривал сыпучее тело, ограниченное наклонной
плоскостью (рис. 94).
Элемент, выделенный двумя вертикальными сечениями и двумя
сечениями, параллельными поверхности, находится в равновесии
под действием вертикальных сил
Pz = ^zdx от собственного веса
и сил Р(з , приложенных к вер¬
тикальным граням элемента. По¬
следние должны действовать
по одной прямой, параллельной
поверхности сыпучего тела, так
как в противном случае созда¬
валась бы пара, вращающая вы¬
деленный элемент.
Вертикальные напряжения
можно найти, разделив силу Pz
на величину площадки, т. е.
j dx
на аг =—ъ. ото дает
Рис. 94
^zdx cos р
dx
= yzcos|3.
Для нахождения напряжения Ренкин воспользовался свой¬
ством его сопряженности с напряжением oz, т. е. тем обстоятель¬
ством, что каждое из этих напряжений параллельно площадке,
на которую действует другое напряжение. Это свойство позволяет
с помощью круга Мора получить следующую формулу для случая
предельного напряженного состояния сыпучего тела:
133

o COS В-b l/cos29—cos2 ср zo t
G = cos В —и f r и , (8.1)
P r COS P± УCOS2p—COS2 Cp
где 9 — угол внутреннего трения сыпучего тела.
При горизонтальной поверхности сыпучего тела р = 0:
0 = а = т2 tg2 (45° Т 4-1 = Т2 } Sin ? . (8. 2)
Если (3 = <р,_ то
а3 = % = yz cos <р. (8. 3)
Верхние знаки в этих формулах соответствуют активному дав¬
лению, а нижние — пассивному.
С помощью этих формул можно найти напряжения, действую¬
щие по наклонной плоскости, совпадающей с задней гранью стены.
Однако при этом остаются без должного учета силы трения, воз¬
никающие между стенкой и засыпкой и определяемые углом тре¬
ния <р0.
Кроме того, по формуле Ренкина давление на подпорные стены,
имеющие одинаковые по величине, но разные по знаку углы на¬
клона (а и —а), получается одинаковым, что противоречит здраво¬
му смыслу и опыту. Если замена подпорной стены с прямым укло¬
ном плоскостью в полубесконечном теле допустима, то для стены
с обратным уклоном это неприемлемо. Правда, путем введения не¬
которых дополнительных допущений удается применять теорию
Ренкина к подпорным стенам с обратным уклоном, но в этом нет
необходимости, так как теория Ренкина является частным случаем
теории В. В. Соколовского.
§ 35. ТЕОРИЯ БУССИНЕСКА
По этой теории грунт или другое сыпучее тело рассматривается
в качестве несжимаемой сплошной среды, модуль сдвига которой
G принят пропорциональным среднему сжимающему напряжению ас.
Эти допущения позволяют написать следующие уравнения в
плоской задаче:
^ + ^=0, (8.4)
dz 1 дх ' х 7
С = Вас = -|-(аг + аж),
(8. 5)
где w и и —составляющие перемещений по направлению осей
координат z и х;
и ах — соответствующие нормальные напряжения;
В — безразмерный коэффициент пропорциональности, фи¬
гурирующий в этой теории в качестве единственной
упругой постоянной сыпучего тела.
134

Зависимость между напряжениями и деформациями ez и ех
была принята Буссинеском в такой форме:
^ = ас(1 +2Bez);
= ас(1 + 2Вех);
Zzx = °C
(8. 6)
Эти уравнения вместе с условиями равновесия и геометричес¬
кими уравнениями КоШи позволяют найти напряжения и дефор¬
мации сыпучего тела в состоянии упругого равновесия при задан¬
ных граничных условиях. Таким путем Буссинеском решены не¬
которые частные задачи давления грунта на подпорные стены.
Теория Буссинеска не получила распространения, так как не
была понята современниками.
Однако при подстановке В =— уравнения (8. 6) легко при-
ас
водятся к современным, уравнениям, выражающим активную
пластическую или нелинейную упругую деформацию твердого тела,
с коэффициентом Пауссона = 0,5:
—°с = 2Сег;
— °с — 2 Gex;
(8. 7)
Эти уравнения можно привести и к обычному виду уравнений
обобщенного закона Гука, в которых модуль деформации £ является
величиной переменной, а коэффициент Пуассона рь = 0,5:
^2 4 £ (°2 °л) »
3 7 X
(8. 8)
Здесь
E = 2G(1 +p) = 3G.
Допущение о несжимаемости, которое для сжатия без возмож¬
ности бокового расширения приводит к равенству нормальных на¬
пряжений az и ах, — недостаток теории Буссинеска. В остальном
эта теория довольно тонко учитывает физические свойства сыпучего
тела.
§ 36. ТЕОРИЯ н. П. ПУЗЫРЕВСКОГО
Исходя из двух дифференциальных уравнений равновесия спло¬
шной среды в условиях плоской задачи и дополнительного условия,
что касательное напряжение в любой точке
135

сыпучего тела зависит от угловой коор¬
динаты, определяющей положение этой
точки по отношению к началу координат,
Н. П. Пузыревский вывел формулы, позволяющие определить дав¬
ление земли на вертикальную подпорную стену при горизонтальной
поверхности засыпки в состояниях покоя и предельного равно¬
весия.
В первом случае
Во втором случае
(8.Ю)
При этом величина п определяется из решения уравнения
sin<p = -^-ctg~. (8. 11)
Например, для <р = 32° п = 2,5 и
Qo= ^.0,546, Qa =1^.0,320.
Активное же давление по В. В. Соколовскому и по Кулону будет
равно Qa = • 0,307.
Хорошая сходимость результатов, даваемых формулами Н. П. Пу¬
зыревского, с результатами, получаемыми по В. В. Соколов¬
скому и Кулону, а следовательно, и с данными опытов показывает,
что произвольное на первый взгляд допущение, введенное
Н. П. Пузыревским, в действительности хорошо отражает природу
сыпучих тел.
§ 37. СПОСОБ С. С. ГОЛУШКЕВИЧА
Этот способ, основанный на применении характеристических
кругов, может рассматриваться в качестве уточнения теории Ку¬
лона, так как для крутых подпорных стен вместо плоскости сколь¬
жения С. С. Голушкевич принял поверхность скольжения состоя¬
щей из двух плоскостей и вставки между ними в виде цилиндри¬
ческой поверхности с производящей по логарифмической спирали
(рис. 95). При этом сползающая призма разделяется на три обла¬
сти: область наименьших напряжений —7, особую область —II
и область наибольших напряжений — III. Условия равновесия
сползающей призмы сводятся к выполнению условия замкнутости
многоугольника действующих на нее сил.
Пусть требуется определить активное давление сыпучего тела
на заднюю грань АВ подпорной стены, показанной на рис. 95, а,
136

1 9 Заказ 853
137

при наличии вертикальной равномерно распределенной нагрузки
на поверхности сыпучего тела.
Прежде всего по заданной величине угла внутреннего трения
9 построим в произвольном масштабе систему характеристических
кругов, показанную на рис. 95, в.
Для нахождения границ области III проведем хорду ab круга
вершин, параллельную задней грани стены и касательную к кругу
площадок. Из центра кругов с через точку касания проведем ра¬
диус и продолжим его до пересечения с кругом полюсов в точке п;
этот радиус будет нормальным к задней грани стены. Из точки
п под заданным углом <р0 (угол трения грунта о стену) проводится
прямая nd до пересечения с кругом вершин. Полученная точка d
соединяется с концами хорды ab прямыми db и da, которые дают
направление линий скольжения, ограничивающих область 111.
Проведя на рис. 95, а из точек В и А линии, параллельные bd и ad,
до их взаимного пересечения в точке D, получим границы области
111.
Для нахождения границ области 1 проводим хорду а'е круга
вершин, параллельную поверхности грунта и касательную к кругу
площадок. Из центра кругов с через точку касания к' проводим
радиус ел'до пересечения с кругом полюсов; этот радиус будет пер¬
пендикулярен к поверхности грунта. Из точки п’ проводим пря¬
мую n'f параллельную равнодействующей нагрузки и весу призмы
/, которая в данном случае будет вертикальной. Эта прямая пере¬
секает круг вершин в точке /, которая , соединяется с точками а'
и е, являющимися концами хорды круга вершин. Линии а'/ и ef
будут параллельны линиям скольжения, ограничивающим область
I. Одну граничную прямую этой области, отделяющую ее от обла¬
сти 11, получим, проведя на рис. 95, а из точки А прямую, парал¬
лельную af. Что касается второй граничной прямой, параллельной
EF, то она может быть построена лишь после того, как будет най¬
дена принадлежащая ей точка/7, лежащая в то же время на прямой
разделяющей области 1 и 11.
Так как линия DF является логарифмической спиралью, то,
зная ее конечный радиус AD, можно вычислить начальный радиус
AF, измерив предварительно заключенный между ними угол 0.
Для этого служит следующая формула, вытекающая из уравнения
логарифмической спирали:
AF = AD.e~etgT. (8. 12)
Найдя точку F, проведем через нее прямую FE, параллельную fe,
до пересечения с поверхностью грунта. Это даст нам недостающую
динию границы области /.
Границу области 11 получим, соединив точки D и F плавной
кривой, касательными к которой в этих точках являются прямые
BD и FE.
Для нахождения линии действия силы уравновешивающей
давления на плоскостях AD и AF, необходимо определить точку Ц
138

лежащую на пересечении прямых BD и EF. Соединив точку А с точ¬
кой Л, получим искомую линию действия силы Т?2.
Для построения силового многоугольника (рис. 95, б) необхо¬
димо вычислить веса отдельных частей сползающей призмы Glf
G2 и G3. При этом площадь области II, являющейся сектором ло¬
гарифмической спирали, вычисляется по формуле
F^^wr(AD2-AF2)- (8-13)
Вычисленные веса отдельных частей сползающей призмы при¬
кладываются в центрах тяжести соответствующих областей. Кроме
того, посредине отрезка АЕ прикладывается сила Р, являющаяся
равнодействующей нагрузки, приложенной на этом участке.
Для построения многоугольника сил в принятом масштабе сил
откладываем силы Р и Gr и уравновешиваем их равнодействующую
силами 7?! и Sx, которые составляют с нормалями к плоскостям
скольжения EF и AF углы ср и, следовательно, соответственно па¬
раллельны плоскостям AF и EF, которые образуют угол 90°—<р.
Силу S'x, обратную Sx, представляющую силу давления на плос¬
кость AF, сложим с силой G2 и их равнодействующую уравновесим
силами Т?2 и S2, параллельными направлениям AL и BD. Сила
S'2, обратная S2, является силой давления на плоскость AD. Сло¬
жив эту силу с силой G3, уравновесим их равнодействующую двумя
силами, из которых /?3 параллельна AD, а сила Q* отклоняется
от нормали к задней грани стены на угол <р0 и является реакцией
стены.
Искомая сила активного давления грунта на стену равна силе
Q*, но направлена в обратную сторону.
Найденную силу активного давления грунта на подпорную сте¬
ну можно разложить на две составляющие, одна из которых Q пред¬
ставляет собой действие объемных сил веса грунта, а другая Qp—
действие нагрузки, приложенной на поверхности. При отсутствии
последней вместо сил Р2 и 7?3, изображенных на силовом мно¬
гоугольнике (рис. 95, б) сплошными линиями, нужно провести
параллельные им линии, показанные пунктиром. При этом сила
активного давления на стену изображается вектором, обратным
по направлению вектору Q.
При наличии нагрузки на поверхности грунта пунктирная ли¬
ния, параллельная 7?3, разделяет вектор Q* на две части, одна
из которых является силой активного давления Q от одних только
объемных сил собственного веса грунта, а другая, равная Qp,—
силой активного давления на стену от нагрузки, приложенной на
поверхности.
§ 38. ТЕОРИЯ Е. А. ГАВРАШЕНКО И М. Е. КАГАНА
Следуя Янсену, Е. А. Гаврашенко составил уравнения проек¬
ций для бесконечно тонкого горизонтального слоя, выделенного из
сползающей призмы, при действии его собственного веса, давлений
9 Заказ 853
139

на него сверху и снизу и сил трения по боковым граням. Решив
полученное дифференциальное уравнение, Е. А. Гаврашенко по¬
лучил следующую формулу для нормального давления на стену:
= Е1Г1 _ (ziV
v L \k L
(v + 2) cos ak,
(8- 14)
где X — коэффициент активного давления грунта по теории Кулона;
v — параметр, определяемый из опыта.
Эпюры давлений для разных значений v показаны на рис. 96, а.
При v = —1 результаты по этой теории совпадают с результа¬
тами по теории Кулона.
Недостаток этой теории — отсутствие экспериментальных зна¬
чений параметра v для разных грунтов и игнорирование уравнения
моментов для сил, действующих на элементарный слой. М. Е. Ка¬
ган использовал все три уравнения равновесия и получил из реше¬
ния системы дифференциальных уравнений следующую формулу
для горизонтального давления на вертикальную стену при глубине
z от поверхности:
(8-15)
где £к — отношение между горизонтальным и вертикальным да¬
влениями, принимаемое М. Е. Каганом за постоянную
величину для данного грунта;
А — параметр, зависящий от угла внутреннего трения грунта
и от угла трения его о стену.
Равнодействующая давления выражается формулой
Q = ^XK. (8. 16)
. Положение равнодействующей от низа стены определяется
расстоянием
= (8-17)
140

Значения параметров Вк, А и Хк приведены в табл. 13.
Таблица 13
Значения параметров 5К, А и Хк
град
Пара-
сро град
метры
0
10 1
15
20
25
30
35
ек
0,490
0,546
0,571
0,596
20
А
0
0,238
0,358
0,484
хк
0,490
0,442
0,422
0,402
0,404
0,447
0,470
0,492
0,514
25
А
0
0,222
0,349
0,462
0,598
К
0,404
0,366
0,348
0,337
0,322
ек
0,333
0,366
0,384
0,400
0,420
0,439
30
А
0
0,204
0,315
0,432
0,560
0,708
Хк
0,333
0,305
0,292
0,283
0,269
0,258
Вк
0,271
0,295
0,308
0,321
0,335
0,353
0,372
35
А
0
0,187
0,287
0,385
0,512
0,652
0,812
Хк
0,271
0,248
0,240
0,232
0,221
0,214
0,206
Эпюры давлений, построенные по формулам М. Е. Кагана,
по своему виду подобны эпюрам, полученным Ё. А. Гаврашенко, и
хорошо подтверждаются экспериментальными данными Г. П.
Канканяна, В. И. Швея и самого М. Е. Кагана. Одна из таких
эпюр и близко подходящие к ней экспериментальные точки по¬
казаны на рис. 96, б.
Данная теория пока еще относится к частному случаю вертикаль¬
ной стены при горизонтальной поверхности засыпки.
Должна быть также отмечена теория Г. А. Спальвинга, в основу
которой вместо условия предельного равновесия на контакте ча-.
стиц положено условие равновесия в объеме самих частиц с учетом
их сопротивления сдвигу, определяемого «углом упругого равно¬
весия». Эта теория была применена П. М. Цимбаревичем для свя¬
зных горных пород, но применительно к сыпучим телам распростра¬
нения не получила.
Оригинальную попытку создать новую теорию давления сыпу¬
чих тел сделал В. И. Тракало. Он принял определенный закон рас¬
пространения давления от вышележащих масс на нижележащие и
нашел таким путем давление на подпорную стену. Однако предло¬
женные им выражения для напряжений не удовлетворяют дифферен¬
циальным уравнениям равновесия.
Уточнением теории Кулона являются методы Феллениуса и Ран-
дул ика, учитывающие кривизну поверхности скольжения путем
принятия производящей этой поверхности в качестве дуги окруж¬
ности или логарифмической спирали.
Теории Резаля, Како, Хансена и В. А. Мейстера занимают в
отношении их строгости и общности промежуточное положение меж¬
ду теорией Кулона и теорией В. В. Соколовского.
9*
141

Все эти теории приводят к результатам, мало отличающимся
Ът тех, которые дает теория Кулона, но оказываются более сложны¬
ми, поэтому широкого применения они не нашли.
Для определения давления грунта следует пользоваться
теорией В. В. Соколовского, прибегая к теориям С. С. Голуш-
кевича и Кулона в тех случаях, когда теория В. В. Соколовского
не дает достаточно простого решения.
§39. ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ И ОПЫТОВ
Для обоснования той или иной теории давления грунтов на под¬
порные стены первостепенное значение имеют данные опытов.
Первые опубликованные исследования в этой области относятся
к 1740 г., однако методика их была еще слишком примитивна для
того, чтобы можно было сделать какие-либо надежные выводы из
этих исследований. Более поздние эксперименты (1807—1908 гг.),
подробно описанные и обработанные А. И. Прилежаевым, позво¬
ляют сделать следующие выводы.
1. Поверхности скольжения всегда проходят через нижнее
заднее ребро подпорной стены. Они могут быть вогнутыми, выпук¬
лыми или плоскими.
2. Сползающая призма целиком выделяется из сыпучего мас¬
сива.
3. При одном и том же угле наклона задней грани стены поверх¬
ности скольжения тем положе, чем круче поверхность засыпки.
4. Верхние части поверхностей скольжения очень близки к
плоскостям.
5. При наличии нагрузки, приложенной на поверхности засып¬
ки, объем сползающей призмы и величина активного давления на
ограждение увеличиваются.
6. При движении стены в сторону от засыпки происходит по¬
степенное уменьшение горизонтального давления на нее и увели¬
чение вертикального давления.
7. Угол отклонения давления от нормали к стене почти всегда
меньше угла естественного откоса сыпучего тела и не зависит от
угла наклона поверхности засыпки.
8. Объемный вес, угол внутреннего трения и угол трения за¬
сыпки о поверхность стены изменяются во время перемещения
стены.
Произведенные И. П. Прокофьевым лабораторные опыты со
стенками высотой 72 см позволили установить, что характер дви¬
жения засыпки оказывается различным в зависимости от того, вра¬
щается ли ограждение вокруг нижнего или верхнего ребра или же
перемещается поступательно.
В первом случае сползающая часть засыпки имеет форму кли¬
на. Во втором случае происходит оседание всей засыпки с выпира¬
нием ее нижних масс в сторону стенки. В последнем случае дефор¬
мация засыпки носит промежуточный характер.
142

И. П. Прокофьев подверг также экспериментальному иссле¬
дованию стенки с ломаным очертанием задней Гранин установил,
что в этом случае при сдвиге стенки наблюдается разделение спол¬
зающей массы сыпучего тела на две части, из которых одна отно¬
сится к наклонной верхней грани стенки, а другая, проходящая
через нижнее ребро стенки и распространяющаяся на всю толщу
сыпучего тела, относится к вертикальной нижней грани и ее про¬
должению.
При перемещениях грунта, состоящего из двух разнородных слоев
(песчаного и глинистого), поверхность скольжения имеет ясно
выраженный выпуклый или вогнутый излом на границе слоев.
На основании ряда опытов с вертикальной стенкой высотой
60 см И. В. Яропольский установил, что величина силы давления
песчаной засыпки зависит от перемещения стенки и проходит три
характерные стадии (см. рис. 11).
Первая стадия соответствует упругому равновесию засыпки и
характеризуется отсутствием сил внутреннего трения. При отсут¬
ствии перемещений подпорной стены сила давления на нее состав¬
ляет
«о=4"’ <8-18>
где у— объемный вес засыпки;
h — высота стены.
При перемещении стенки в сторону от засыпки давление послед¬
ней уменьшилось.
Вторая стадия соответствует перемещению стенки на величину
порядка размеров песчинок. При этом в засыпке возникают силы
внутреннего трения, сопротивляющиеся взаимному сдвигу частиц.
Давление, действующее в этой стадии, соответствует активному
давлению грунта.
При больших перемещениях стены происходит разрыхление за¬
сыпки и давление ее стремится к нулю.
Аналогичные опыты со стенкой высотой 2,18 м были произве¬
дены К. Терцаги. При этом было также выявлено большое влияние
плотности засыпки за стенкой на величину давления.
Опыты, поставленные в 1936 г. Г. П. Канканяном с моделью
подпорной стены высотой 1,1 м, позволили установить, что поло¬
жение поверхности скольжения, оказавшейся близкой к плоско¬
сти, зависит от угла внутреннего трения засыпки, от наклона ее
поверхности и от наклона задней грани стены. Опыты позволили
получить эпюры давлений, сходные с показанными на рис. 96, б.
При этом центр давления находится от подошвы на высоте от 0,4
до 0,5 высоты стены.
Произведенные В. И. Швеем в 1938—1939 гг. методом центро¬
бежного моделирования опыты с моделями стенок позволили срав¬
нить давление сухого и намытого песка и выявить влияние способа
отвода воды. При этом во всех случаях форма эпюры давлений песка
оказалась близкой к треугольной.
143

С целью выявления характера поверхности скольжения в за¬
висимости от формы и величины перемещений удерживающей гра¬
ни подпорной стены В. В. Синельниковым были проведены лабора¬
торные опыты с условной сыпучей средой, состоящей из множества
алебастровых цилиндров диаметром 2 и 1 см при длине по образую¬
щей 3,5 см. При таких размерах цилиндров их возможно было
укладывать слоем толщиной до 1 м без какого-либо ограждения
с боков.
Результаты опытов позволили сделать следующие выводы.
При поступательном перемещении стенки поверхность сколь¬
жения близка к плоскости, отвечающей решению Кулона.
При повороте стенки относительно низа возникает несколько
плоскостей скольжения, положение которых плохо согласуется
с теорией Кулона.
При повороте стенки относительно ее верха поверхность сколь¬
жения криволинейна. При этом выявить резкую границу, отделяю¬
щую сползающую призму от остальной массы сыпучей среды, не
удалось.
В Одесском институте инженеров морского флота Р. В. Лубе-
новым и П. И. Яковлевым в 1932 г. проведено более 600 опытов по
определению давления засыпки и многократно прикладываемой
нагрузки на неподвижную вертикальную стенку высотой 109 см.
Эти исследования показали, что как без пригрузки, так и с при¬
грузкой давление грунта на неподвижную стену процентов на 60
больше, чем активное давление по теории Кулона.
После нагружения засыпки за подпорной стеной временной на¬
грузкой и последующей разгрузки сохраняются большие остаточ¬
ные давления, которые при повторных приложениях той же нагруз¬
ки лишь незначительно увеличиваются по сравнению с давлениями
от первого нагружения.

ГЛАВА IX
РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН НА УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 40. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОТИВ плоского СДВИГА ПО ОСНОВАНИЮ
1. Методика единого коэффициента запаса
Поверочный расчет предварительно намеченного профиля по
этой методике, еще применяемой для гидротехнических соору¬
жений, сводится к вычислению коэффициента запаса как отношения
удерживающей силы Ту к сдвигающей Тс (рис. 97, а):
^с=^. (9.1)
К удерживающим силам относится сила трения, вызванная дей¬
ствием собственного веса подпорной стены, а к сдвигающим — сила
Рис. 97
145

давления грунта, уменьшенная силой трения, связанной с этим
давлением. Это приводит к следующей формуле:
<9-2>
где G — равнодействующая сил собственного веса стены;
Qx и Qz — горизонтальная и вертикальная составляющие полного
давления грунта на подпорную стену;
f —коэффициент трения материала подпорной стены о грунт
основания.
Для различных грунтов оснований рекомендуются следующие
значения этого коэффициента:
Для глин, глинистых известняков, глинистых сланцев
влажных 0,25
То же, сухих, а также для суглинков и супесей ...... 0,3
Для песков 0,4.
Для крупнообломочных грунтов 0,5
Для скальных грунтов с неомыливающейся поверхностью . . 0,6
Если для каждого участка i по высоте стены силы Gf, Qxl ги
Qzi определены отдельно, то нужно просуммировать эти силы, т. е.
kc= wJ-PQn * (9’ 3)
Таким образом, коэффициент запаса устойчивости по этой мето¬
дике показывает, во сколько раз должно возрасти давление земли
вместе с временной нагрузкой на ней, чтобы произошел сдвиг под¬
порной стены.
При этом сила трения, вызванная вертикальной составляющей
давления грунта, относится к сдвигающим силам, но берется со
знаком минус. К сдвигающим силам относится также давление во¬
ды на заднюю и на переднюю грани стены, причем давление на пе¬
реднюю грань берется со знаком минус.
Противодавление воды, т. е. давление воды, взвешивающее под¬
порную стену и как бы уменьшающее ее собственный вес, относится
к удерживающим силам, но берется со знаком минус. К положитель¬
ным удерживающим силам относится реакция грунта, действую¬
щая на переднюю грань фундамента, а также сила сцепления по
подошве фундамента подпорной стены.
Применительно к силам, показанным на рис. 97, б, коэффициент
устойчивости выражается так:
b _ f(Gi + G2+G3)-Q2
Qi
Коэффициенты запаса устойчивости гидротехнических подпор¬
ных стен против сдвига принимаются в зависимости от класса ка¬
питальности сооружения и расчетного сочетания нагрузок и воз¬
действий по табл. 14.
146

Таблица 14
Минимальные значения коэффициентов запаса устойчивости
Расчетные сочетания нагрузок
и воздействий
Допускаемый коэффициент запаса
устойчивости
I
II
ш
IV
Основные

1,3
1,2
1,15
1,1
Особые

1,1
1,1
1,05
1,05
Формулы (9. 2) и (9. 3) при fQz>Qx приводят к отрицательным
значениям kc, означающим, что давление земли вообще не создает
сдвигающей силы.
Собственный вес подпорной стены на единицу ее длины может
быть выражен через объемный вес ус ее материала, через полную
высоту стены h и через безразмерный параметр <о, зависящий от
формы профиля подпорной стены, т. е.
G = 7cco/z2. (9. 4)
Значения параметра oj для разных профилей подпорных стен
приведены в табл. 15.
Подставив вместо G его выражение (9. 4) в уравнение (9. 2) и
решив последнее относительно параметра ш, получим
“>=-^№-<4 (9-5>
7с^2 \ f /
При треугольной эпюре давления грунта Qx = 0f5^h2\x и Qz —
=0,5уh?\z, поэтому формуле (9. 5) можно придать следующий вид:
\ (9. 6)
2 7с \ f /
Требуемая ширина того или иного профиля подпорной стены
может быть найдена в зависимости от величины ю и отношения -у
по табл. 15.
Применение коэффициентов ш позволяет заменить обратный,
(поверочный) метод расчета прямым, т. е. непосредственным на¬
хождением требуемой ширины подошвы фундамента по заданным
нагрузкам.
2. Методика предельных состояний
По этой методике условие устойчивости подпорной стены про¬
тив сдвига по основанию выражается следующим неравенством:
T</ncTnD или (9. 7)
С lip гр \ /
* Пр
147

Таблица 15
Параметры различных профилей подпорных стен
ш ■■ ано*-
п
1’0,MS
u>’O,S7S{
п
Ъ/8
$ = 0,572,(0,40)
СО-0,668~,(Ц235^)
a h '
ф-0,648 ,(0,465)
<v 0,510^,(0,130^-)
h п
Цифры в скобках вычислены без учета грунта на разгрузочной площадке.
148

Здесь Т—расчетная сдвигающая сила, равная алгебраической
сумме проекций всех расчетных сил на плоскость сколь¬
жения;
Тпр — предельная сдвигающая сила;
пгс — коэффициент условий работы.
Неравенству (9. 7.) можно придать более развернутый вид:
f(*G G* + nQ(ty
При этом нормативные силы GH, Q* и Q” умножаются на со¬
ответствующие коэффициенты перегрузки nG и которые прини¬
маются:
больше единицы при tgb >
меньше единицы при tg & < /,
где В — угол между направлением равнодействующей усилия
от данной нагрузки и нормалью к подошве или проверяе¬
мому сечению стены.
Для стены, показанной на рис. 97, б, расчетное неравенство долж¬
но быть написано так:
7—— <тс.
Qt+f (Ог+^+^з)
Для подпорных стен, входящих в состав мостов, например для
береговых устоев, значение коэффициента условий работы установ¬
лено в СН-200—62 равным пгс = 0,8 при одновременном введении
в формулу (9. 7) коэффициентов перегрузки.
Для подпорных стен промышленных и гражданских зданий и
сооружений значение коэффициента условий работы нормами для
данной методики расчета не установлено. Его следует принимать
не больше 1,0 при одновременном введении коэффициентов пере¬
грузки.
Для гидротехнических сооружений значения коэффициентов
перегрузки, однородности и условий работы пока еще не установ¬
лены, но согласно СНиП П-Б.З—52 расчет гидротехнических подпор¬
ных стен допускается производить с применением общего коэффи¬
циента устойчивости и с принятием расчетных нагрузок равными
нормативным. В этом случае могут быть использованы формулы
(9. 7) или (9. 8), в которых вместо тс подразумевается величина,
обратная kc по табл. 14.
Подставив в уравнение (9.8) выражение G по формуле (9.4)
и решив уравнение (9. 8) относительно параметра о), получим
(Q"— )
(!) — — -
nG
Найдя по этой формуле значение параметра о и воспользовав¬
шись табл. 15, можно найти требуемую ширину профиля.
Устойчивость подпорной стены на сдвиг по поверхности осно¬
149

вания может быть значительно увеличена путем придания подошве
фундамента уклона, как это показано на рис. 98, а.
В этом случае коэффициент запаса вместо формулы (9. 2) может
быть определен по формуле
г, G (f cos b + sin о) /g 1 Av
c“ (cos b — / sin 5) — cos S + sinb) ’ v 7
Рис. 98
При расчете же по методу предельных состояний вместо не¬
равенства (9. 8) следует пользоваться неравенством
Bq Q" (cos 8 — f sin 8)
( па сн+ Q“) cos S + sin 8) "" c
При углах наклона подошвы фундамента к горизонту '8, превы-
шающих 5°—10°, возникает повышенная опасность сдвига под¬
порной стены вместе с частью грунта основания. Впрочем
такая опасность не исключена и при горизонтальной подошве
фундамента.
Для повышения устойчивости подпорной стены применяется так¬
же устройство перед фундаментом шпунтового, ряда или зуба в са¬
мом фундаменте (рис. 98, б и в).
При этом сила реакции верха шпунта прибавляется к удержи¬
вающей или к предельной сдвигающей силе. Это относится и к силе
сопротивления грунта по передней грани зуба.
§ 41. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОТИВ опрокидывания
1. Методика единого коэффициента запаса
Если основание подпорной стены считать абсолютно жестким,
то поворот профиля стены при ее опрокидывании должен произой¬
ти вокруг нижнего переднего ребра фундамента, проекцией кото¬
рого на вертикальную плоскость является точка О (рис. 97).
150

(9. 12)
Расчет по методике «коэффициентов устойчивости» сводится к
вычислению коэффициента запаса устойчивости против опрокиды¬
вания как отношения момента удерживающих сил (Муд) к моменту
опрокидывающих сил (Л4опр):
h ^уд
~гл—
К удерживающим силам, как указано выше, относится собст¬
венный вес стены, а к опрокидывающим — давление грунта с
учетом грунтовой воды и находящейся на поверхности засыпки
нагрузки.
Таким образом, коэффициент запаса устойчивости показывает,
во сколько раз должно возрасти давление земли вместе с временной
нагрузкой на ней для того, чтобы произошло опрокидывание под¬
порной стены.
Моменты вертикальных составляющих давления грунта на зад¬
нюю грань стены относятся к опрокидывающим моментам, но бе¬
рутся со знаком минус.
Тогда формула (9. 12) принимает следующий развернутый
вид:
£0 = ——,
Qxz Q?x
(9. 13)
где G — равнодействующая сил собственного веса подпорной стены;
Qx — горизонтальная составляющая полного давления грунта
на стену;
Qz — вертикальная составляющая полного давления грунта
на стену;
■a, z и х — плечи этих сил (соответственно) относительно точки О
(рис. 97).
Если для каждого участка i по высоте стены силы Gz, QxZ и Qzi
определены отдельно, то нужно просуммировать их моменты,
т. е.
__ S Gjat

^Qxi ^Qzi xi
(9. 14)
Применительно к стене, показанной на рис. 97, б, коэффициент
запаса выражается формулой
Формулы (9. 13) и (9. 14) при Qxz < Q^x приводят к отрица¬
тельному значению kQ. Это означает, что давление земли вообще
не создает опрокидывающего момента относительно точки О.
На практике часто перестраивают формулу (10. 13) и придают
ей следующий вид:
=OaiGzX- <9-15)
Чх*
151

Эта перестановка при одних и тех же величинах Ga, и Qxz
приводит к другому значению kQ.
Последняя трактовка коэффициента запаса, хотя и избавляет
от возможности получения отрицательных значений kQ, но не дает
четкого представления о величине коэффициента запаса, так как
разложение силы Q давления земли на горизонтальную и верти¬
кальную составляющие Qx и Qz делается только в целях упрощения
расчетов и является одним из бесконечного множества способов
разложения силы Q на те или иные опрокидывающие и удерживаю¬
щие составляющие. Коэффициенты запаса устойчивости против оп¬
рокидывания должны быть несколько выше, чем на сдвиг, так как
в действительности из-за смятия грунта у нижнего переднего ребра
фундамента опрокидывание может произойти относительно некото¬
рой точки О', расположенной ближе к середине подошвы фунда¬
мента, чем точка О. Обычно берут k0 = 1^5.
Плечо а силы G можно выразить как некоторую часть ф от пол¬
ной ширины профиля Ь:
а = ф&. (9. 16)
Значения параметров ф для различных профилей, так же как
и значения параметров со, приведены в табл. 15.
Тогда уравнение (9.13) можно решить относительно b и полу¬
чить следующий результат:
b= \ (Qa.z-QX). (9.17)
При треугольной форме эпюры давления грунта получим
& = (9- 18)
2 фозус
Решение уравнения (9. 15) приводит к следующему результату:
= kQQx2 — Qzx
2. Методика предельных состояний
Условие устойчивости подпорной стены против опрокидывания
должно удовлетворять следующему неравенству:
Л1< т0Мпр или (9.20)
^пр
где щ — расчетный опрокидывающий момент, равный алгебраи¬
ческой сумме расчетных моментов всех сил, действующих
на стену, относительно центра тяжести подошвы ее
фундамента;
Л4пр — предельный опрокидывающий момент относительно той
же точки;
mQ — коэффициент условий работы.
Так как эти моменты могут быть выражены через вертикальную
(9. 19)
152

составляющую N равнодействующей всех сил и через расчетный
(е) и предельный (епр = -^) эксцентрицитеты силы N (М = Ne
и Л4пр = Л^), то неравенству (9. 20) можно придать более простой
вид:
<т0 или 1—-^-<т0. (9.21)
О * b
Здесь с = — е — плечо силы N относительно нижнего переднего
ребра фундамента.
Для стены, показанной на рис. 97, б, расчетное неравенство
принимает вид
2 (G1e1 — G2e2 -J- G3e3 -f- Qi?i — Q.2Z2)
b^+G^G^
Для подпорных стен, входящих в конструкции мостов, коэф¬
фициенты условий работы т0 приняты в СН-200—62 равными:
в случае скального основания — 0,8;
в случае нескального основания— 0,7.
Для подпорных стен, относящихся к промышленным и граждан¬
ским сооружениям, можно рекомендовать несколько более высо¬
кие коэффициенты условий работы 0,9 и 0,8 соответственно.
При этом коэффициенты перегрузки постоянных нагрузок при¬
нимаются большими единицы, если линия действия усилия про¬
ходит вне контура подошвы сооружения, и меньшими единицы, ес¬
ли линия действия усилия от данной нагрузки проходит внутри
контура подошвы подпЬрной стены.
Для гидротехнических сооружений коэффициенты условий ра¬
боты должны соответствовать величинам, обратным коэффициен¬
там устойчивости, приведенным в табл. 14.
Для прямого подбора ширины подошвы стены найдем величину
плеча
Р _ Лк _ по G*a-nQ ( /о
C-N~ n0G-+nQ^ ’ (9-22)
где MQ — момент всех расчетных сил относительно нижнего перед¬
него ребра фундамента стены;
nG— коэффициент перегрузки для собственного веса стены
(по <1);
tiQ—коэффициент перегрузки для давления грунта (zzq >1).
Надстрочным значком н отмечены нормативные нагрузки.
Подставив величину с из выражения (9. 22) в формулу (9. 21)
и воспользовавшись параметрами со и ф, получим
2 по ( z — )
b = г 1 . (9. 23)
па (1 — m0 — 2ф ) + nQ (1 — т0) Q“
153

Для того чтобы найти по формулам (9. 17) — (9. 19) или (9.23)
ширину Ь, нужно знать величины параметров и ф, которые сами
зависят от Ь, поэтому для начала приходится задаваться этой ве¬
личиной, приняв ее, например, равной той, которая получилась
из условия устойчивости против сдвига, и решать задачу далее
при помощи последовательных приближений, дающих достаточно
быструю сходимость. При этом для второго приближения можно
взять среднее между первоначально взятым значением b и получен¬
ным по формуле (9. 17) или (9. 23).
§ 42. РАСЧЕТ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРОТИВ ОПРОКИДЫВАНИЯ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ
ОСНОВАНИЯ
В случае если основание подпорной стены сложено из легко
деформируемых грунтов, допущение о том, что опрокидывание
подпорной стены происходит вокруг нижнего переднего ребра, не
будет соответствовать действительности.
Для нахождения оси, относительно которой может произойти
опрокидывание, рассмотрим подпорную стену произвольного про¬
филя (рис. 99) на местнодеформируемом, т. е. на Винклеровом,
основании и составим условия ее равновесия в повернутом на ма¬
лый угол 0 = В положении. При этом силу G собственного веса стены
будем считать вертикальной, а все остальные силы — сохраняющи¬
ми по отношению к стене свое направление и поворачивающимися
вместе с ней в вертикальной плоскости. Значения сил считаются
не зависящими от деформации основания.
Уравнения равновесия составляются в форме уравнения про¬
екций всех действующих сил на нормаль к переместившейся по¬
дошве и уравнения моментов всех сил относительно середины по¬
дошвы:
154

£Л/ = °ma*'3- — G cos 0 — Ог = 0;
Ж = (_*_ _c j-Q^ 4. +
4- G cos 0 (a— -|- — z0 tg 0^ = 0.
По малости угла 0 можно принять cos0 = 1 и tg0 = 0.
Тогда из первого уравнения можно найти наибольшую интен¬
сивность давления на основание, а затем и угол 0:
0 = (9. 25)
где коэффициент постели грунта основания.
Подставив эти выражения во второе уравнение равновесия,
получим
Q.z - + G (А - a) = (G + Г А -с- -|^1. (9. 26)
♦ \ Z / |_ Z *** I
Левая часть этого выражения представляет собой сумму рас¬
четных моментов всех активных сил относительно центра подошвы
подпорной стены, поэтому предыдущее уравнение можно предста¬
вить в виде
+ <9-27>
Для нахождения наибольшей величины расчетного момента
dMC ГТ
возьмем производную и приравняем ее нулю. Из получен
ного при этом уравнения можно найти величину
с=-з-
(9. 28)
Подставляя это выражение в уравнение (9. 26), получим
л- л , г / ь \ х / b 1 _У12 Сг0 \
Qr2 — 4- G a J = (G + Qz) — у —j—).
Правая часть этого уравнения представляет собой предельную
величину реактивного момента при опрокидывании подпорной сте¬
ны относительно некоторой точки О', находящейся от середины по¬
дошвы стены на расстоянии
(9. 29)
‘/«9*
155

или, что то же самое, сдвинутой по отношению к точке О на вели¬
чину

d=¥ = 4 у4 <9-30)
Для абсолютно жесткого основания k = оо и d = 0, т. е. в
этом случае опрокидывание происходит вокруг точки О.
Формула (9.27) показывает, что опрокидывание подпорной
стены может быть вызвано даже одной вертикальной силой G,
приложенной внецентренно, если линия ее действия выходит за
пределы среднего участка подошвы шириной 2епр. Однако и цент¬
рально приложенная на высоте г0 сила должна вызывать опрокиды
ь . ь
вание подпорной стены, если с = у и d = у•
Критическое значение этой силы может быть найдено из урав¬
нения (9. 28)
0»=Т?'Т- (9'311
При действии на подпорную стену нескольких сил их действие
суммируется.1
Следует иметь в виду, что деформационный расчет, при ко¬
тором учитываются не только моменты действующих сил, но и
вириалы этих сил, особенно важен для сооружений большой
высоты на слабых грунтах.
1 Формулы этого параграфа были получены Я. Б. Львиным f 15) приме¬
нительно к расчету подпорных стен по старой методике и видоизменены ав¬
тором данной книги применительно к расчету их по предельным состоя-
ииям. Расчет же по старой методике сводится к нахождению отношения меж¬
ду удерживающим и опрокидывающим моментами относительно точки О'.

ГЛАВА X
РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ ПОДПОРНЫХ СТЕН
§ 43. ДАВЛЕНИЕ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ НА ОСНОВАНИЕ
Расчет подпорной стены по условию прочности ее основания
производится упрощенным или, лучше сказать, условным способом
и состоит в определении наибольшего давления (напряжения) на
основание у нижнего переднего ребра фундамента по формуле со¬
противления материалов для случая внецентренного сжатия бруса
прямоугольного поперечного сечения (рис. 97, а). Давление, най¬
денное по этой формуле, не должно превышать расчетного сопро¬
тивления R грунта основания.
°тах = Т(1 + ’Г)=Т(2-3Т)’ <10Л)
где N — вертикальная составляющая равнодействующей всех рас¬
четных сил, приложенных выше подошвы фундамента
подпорной стены1;
b— ширина подошвы фундамента подпорной стены;
е — эксцентрицитет силы N по отношению к середине подош¬
вы фундамента стены;
с — плечо силы N по отношению к нижнему переднему
ребру фундамента стены.
При этом
(10. 3)
Здесь Муд и Л1опр— удерживающий и опрокидывающий моменты
относительно нижнего переднего ребра фунда¬
мента;
Мс — расчетный момент всех сил относительно се¬
редины подошвы стены.
1 По СНиП П-Б. 1—62 расчет давлений на основание производится по
нормативным нагрузкам, а расчетное сопротивление повышается на 20%.
157

Для определения требуемой ширины подошвы фундамента ис¬
ходя из формулы (10.3) и заданного расчетного сопротивления
7? основания преобразуем эту формулу:
_ 2ЛГ/О , с\_4ЛГ 6# Муд-Мопр _
Ь \ Ь ) b b2 N
_ 4 (tc^h2 + Qs) 6 (тс<о/г8фг> — Qxz + Qgx) _
b b2
_ 2 (.Ic^h2 + Qg) (2 _ 3 Ф) + 6<QxZ —(10. 4)
Приравняв этот результат к величине R, получим уравнение,
которое после умножения на Ь2 примет вид
Rb2 - 2 (Тсш/г2 + Qz) (2 - з ф) Ь - 6 (Qxz - Q,x) = 0.
Решая это уравнение, найдем
b = 4- {(ТсшЛ2 + Q2) (2 — 3 ф)+
А
+ V [(Тс“Л2 + Qz) • (2 - з ф)12 + 6 7? (Qxz - Q,x) }. (10. 5)
Знак минус перед корнем отброшен как не удовлетворяющий
условиям задачи.
При треугольной форме эпюры давления грунта на подпорную
стену формула (10.5) приводится к более простому для примене¬
ния виду
*=4Итс<»+4г)(2-з*)+
А ( \ А ]
+ /[(тс«> + ^) -(2-3 ф)12 + 3/?Тр.Лг-).гх) }• (10.6)
Если е > (или с <у), то сила N выходит из ядра сечения по
подошве фундамента и формулы (10.5) и (10.6) оказываются непри¬
менимыми, так как соответствующая формула (10.7) для мини¬
мального давления на основание будет приводить к отрицательному
результату, т. е. к растягивающим напряжениям, которые не могут
быть восприняты площадью контакта между грунтовым основа¬
нием и опирающейся на него подпорной стеной:
2 N 11 q С ‘ \
| 1 о — |.
b \ b )
^min
(10. 7)
Для этого случая необходимо вывести специальную формулу
для определения атах. Это может быть сделано из условия, что часть
подошвы разгружается совершенно и эпюра сжимающих напряже¬
ний работающей части ограничена прямой, т. е. имеет форму тре¬
угольника (рис. 97, б).
158

Из условий равновесия следует, что площадь этой эпюры рав¬
на Af и ее центр тяжести лежит на линии действия силы N, т. е.
-gmax&1 = N и с = А.
2 3
Тогда
°тах = |^ (10.8)
Если сила N приложена на расстоянии с ~ у от переднего реб¬
ра фундамента, т. е. на границе ядра сечения, то формулы (10.1)
и (10.8) дают один и тот же результат.
Требуемая по формуле (10.8) ширина подошвы фундамента
подпорной стены находится следующим образом:
__ 2 2V = 2JV в # = 2 (G + =
°тах- 37 - з ’ Л4уд-Мопр ~ 3(Ga-Qxz + Q2x) “
= 2(1с^2 + ^)2
3 (уссо/г2Ц>6 — Qxz + Qzx) ’
приравняв это выражение к величине 7? и решив полученное урав¬
нение, найдем
Ъ = ! Г 2^(о/12 + &)2 Q г _ 1 (10. 9)
Тс<оф/га L 37? х ’
При треугольной эпюре давления грунта на стенку эту формулу
можно привести к виду
Ь = Г-^- + К]2 + М - Ml- (Ю. 10)
Формулы (10.3)—(10.10) остаются справедливыми и при рас¬
чете по методу предельных состояний, если пользоваться норма¬
тивными значениями нагрузок, умноженными на соответствующие
коэффициенты перегрузки. При этом для собственного веса под¬
порной стены следует брать коэффициент перегрузки n > 1, так как
это приводит к большему давлению на грунт.
Величины расчетных сопротивлений (нормативных давлений) для
различных грунтов установлены в СНиП II-Б. 1—62 и вСН-200—62
в зависимости от глубины заложения и ширины подошвы фунда¬
мента.
Ориентировочные значения расчетных сопротивлений в кГ/см2
следующие:
Для крупнообломочных грунтов 3—6
» песков гравелистых и крупных 3,5—4,5
» » средней крупности 2,5—3,5
» » мелких маловлажных 2,0—3,0 .
» » » очень влажных и насыщенных водой . 1,5—2,5
» » пылеватых маловлажных 2,0—2,5
159

Для песков пылеватых очень влажных 1,5—2,0
» » » насыщенных водой 1,0—1,5
» супесей при £ = 0,5 • . . . 3,0
» » » £ = 0,7 2,0—2,5
» суглинков при £=0,5 2,5—3,0
» » » £ = 0,7 1,8—2,5
» » » £=1,0 1,0—2,0
в глин при е = 0,5 4,0—6,0
в в в £ = 0,6 3,0—5,0
в в в е=^0,8 2,0—3,0
в в в £=1,1 1,0—2,5
При этом нижние пределы расчетных сопротивлений относятся к
песчаным грунтам средней плотности и к глинистым грунтам
с консистенцией В = 0, а верхние пределы — к плотным песчаным
и к глинистым грунтам с В = 1.
У гидротехнических подпорных стен давление на нескальный
грунт основания должно передаваться по всей ширине подошвы
фундамента. Для этого равнодействующая всех сил, передающихся
на основание, не должна выходить за пределы средней трети ширины
подошвы фундамента. Иначе говоря, эксцентрицитет силы N,
являющейся суммой всех вертикальных сил, должен быть не более
1/6 ширины подошвы фундамента, т. е. е <
При выполнении этого условия, которое иногда называется «ус¬
ловием средней трети», плечо с силы N относительно нижнего пе¬
реднего ребра фундамента должно быть больше или равно одной
трети ширины подошвы фундамента, т. е.
__ Муд Л4рпр с=з QxZ + QzX > & /1Q 1 1 \
“ N G + Qz 3 ’ ' ’ ’
где Л1уд — /Иопр — сумма моментов всех сил относительно нижнего
переднего ребра фундамента.
Учитывая формулу (9.4), из выражения (10. 11) получим
b = Qx? — Qzx
При расчете по методу предельных состояний в эту формулу
вводятся нормативные значения нагрузок, умноженные на соответ¬
ствующие коэффициенты перегрузки. При этом для собственного
веса, учитываемого величиной ус, берется nG < 1.
Величина b определяется путем последовательных приближений,
причем для второго приближения следует взять среднее между
первоначально взятым значением b и полученным по формуле
(10.12).
Для безнапорных сооружений допускается увеличение значения
эксцентрицитета до 1/5 ширины подошвы фундамента.
В некоторых инструкциях, например Промстройпроекта, ста¬
вится аналогичное, но несколько менее жесткое условие, чтобы
160

давление передавалось на протяжении не менее 3/4 полной ширины
фундамента, что соответствует прохождению равнодействующей
всех сил в пределах средней полуширины подошвы фундамента,
т. е. е < 0,25 Ь.
Для устоев мостов на нескальных грунтах относительные экс¬
центрицитеты у и равнодействующей ограничиваются пределами,
приведенными в табл. 16.
Таблица 16
е е
Величины предельных относительных эксцентрицитетов— и -у-
Типы мостов
Сочетания нагрузок
постоянные
дополнитель¬
ные
Железнодорожные . . .

Автодорожные и городские:
0,5 (0,083)
0,6 (0,1)
большие и средние

0,8(0,133)
1,0(0,167)
малые

0,8(0,133)
1,2(0,2)
Здесь р — радиус ядра сечения по подошве
- д. b
прямоугольной ее форме равен —g-.
фундамента, который при
Для
этого случая величины
е е
~b~ = приведены в таблице в скобках.
Для устоев на скальных грунтах при дополнительных сочетани¬
ях нагрузок принимается у < 1,2 ^или у < 0,2^.
Таким образом, для мостовых подпорных стен ставятся еще бо¬
лее жесткие требования в отношении эксцентрицитета равнодей¬
ствующей, чем для гидротехнических сооружений.
§ 44. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ОСНОВАНИЯ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ НА СДВИГ
Проверка подпорной стены на сдвиг по поверхности основания
представляет расчетный интерес лишь в случае, когда само основа¬
ние достаточно прочное, например скальное. В противном случае
сдвиг подпорной стены может произойти вместе с грунтом основа¬
ния по некоторой криволинейной поверхности скольжения.
Эта поверхность для упрощения принимается круглоцилинд¬
рической, проходящей через нижнее заднее ребро подпорной стены.
Рассматривая сооружение вместе с грунтом как одно целое, при¬
мем, что сдвиг по дуге окружности произойдет тогда, когда расчет¬
ный момент М всех сил, действующих на сдвигаемое тело, относи¬
тельно центра О производящей опасной цилиндрической поверхности
достигнет величины предельного момента сил трения и сцепления
относительно той же точки.
161

При этом расчетное неравенство методики предельных состоя¬
ний, выражающее условие прочности основания и устойчивости со¬
оружения, записывается так:
м /псмпр
/и
или

■Мпр
(10. 13)
где тс— коэффициент условий работы, принимаемый таким же,
как и при плоском сдвиге подпорной стены по основанию.
Разбивая сдвигаемое тело на четыре части, как это показано
на рис. 100, и обозначая расчетные веса отдельных частей через
Gx, G2, G3 и G4, а их плечи относительно центра вращения О со¬
ответственно через х19 х2, х3 и х4, можно выразить расчетный момент
следующей формулой:
М = G1x1 + G2x2 — G3x3.
Зная величину равнодействующей всех весовых нагрузок G =
= + G2+ G3 + G4, можно найти плечо ее х0 относительно цент¬
ра вращения
% — М __ Gi*i ~F G2x2 G3X3 /10 14ч
°~ G Gi+Ga+Gs+G/ ' '
Это позволяет выразить расчетный момент следующей формулой:
М — Gx0 — Gr sin S.
(10. 15
162

Тангенс угла В отклонения силы G от нормали к окружности
tg3 = ** = . 1 = ! . (10. 16)
Ш Ш-1
Сила G, передающаяся на основание, встречает равную ей реак¬
цию, которая может быть разложена на составляющие:
N = G cos 8 и Т — G sin 8.
В состоянии предельного равновесия сила внутреннего трения
грунта равна N tg? = Gtg?cos8.
Предельный момент равен моменту этой силы плюс момент сил
сцепления, действующих по всей длине дуги s:
Mip = г GVtg? cs) = r(G tg?cos8 + cs). (10. 17)
Подставляя выражения расчетного и предельного моментов в
неравенство (10.13), приведем его к виду
Gr sin В
г (G tg ср cos Ъ-f-cs)
ИЛИ
k = tg ? | с s > 1
с tg В G sin В тс
Умножив второе слагаемое и разделив его одновременно на
приведем формулу для коэффициента запаса kc к следующему виду:
(10. 18)
Из бесчисленного множества круглоцилиндрических поверх¬
ностей скольжения с разными центрами О выбирается та, которая
соответствует наименьшему значению kc. При этом нахождение точ¬
ки О производится повторными испытаниями.
Формула (10.18) является видоизменением формулы И. А. Тер¬
Аракеляна, но она учитывает сцепление, действующее по поверх¬
ности скольжения.
По сравнению с известным методом Крея—Терцаги применение
этой формулы оказывается более простым. При этом известный не¬
достаток метода Крея—Терцаги (разделение сползающего тела на
163

отдельные не взаимодействующие друг с другом элементы) перехо¬
дит в данном методе в свою противоположность — сдвигаемое те¬
ло рассматривается в качестве абсолютно жесткого, а реакция ос¬
нования принимается сосредоточенной. Что касается того, что в
методе Крея — Терцаги используется только одно уравнение рав¬
новесия, то на использовании этого же уравнения основан и дан¬
ный метод. Впрочем при данной форме разрушения никакого дру¬
гого уравнения и не требуется.
Этот метод может быть применен и в другом варианте, когда
вместо вертикальной силы G2 учитывается наклонная сила Q дав¬
ления грунта на заднюю грань подпорной стены или составляющие
этой силы Qxh Qz.
§ 45. ОСАДКИ И КРЕНЫ ФУНДАМЕНТОВ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Если исходить из гипотезы Фусса—Винклера о местном характере
деформаций основания, справедливой для многих грунтов, то осад¬
ки и крены фундаментов подпорных стен могут быть определены
по следующим формулам:
1. В случае когда давление на основание передается по всей
ширине подошвы фундамента (рис. 97, а).
Средняя осадка
где k — коэффициент постели грунта.
Крен
га атах—CTmin 12 Ne
b “ kb ~~ kb* ’
где omax и amin выражаются формулами (10.1) и (10. 7).
2. В случае когда давление на основание передается по части
ширины подошвы фундамента (рис. 97, б).
Средняя осадка
- тга- <10- 21>
Крен (см. формулу 9.25)
0=^= 2 V (10.22)
3 ck 9 c2k ' '
Если исходить из расчетной модели грунтового основания в
виде упругого полупространства, то расчет осадки подпорной стены
должен производиться методом суммирования деформаций отдель¬
ных слоев, на которые разбивается сжимаемая толща основания.
Этот расчет производится в соответствии с СНиПП-Б.1—62. Там же
приведена и формула, по которой может быть определен крен под¬
порной стены.
164

§ 46. РАСЧЕТ СВАЙНОГО ФУНДАМЕНТА ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
В случае недостаточной прочности грунта основания подпорные
стены устраиваются на свайном фундаменте (рис. 101, а). При
большой величине горизонтальной нагрузки на подпорную стену,
кроме вертикальных свай, применяются еще наклонные (козловые)
сваи (рис. 101, б).
Рис. 101
Усилия в вертикальных сваях определяются в предположении,
что они идеально упругие. Это позволяет применить формулу вне-
центренного сжатия для определения усилия в свае любого ряда
₽‘=" (^+Ш (1°-23)
где N — равнодействующая вертикальных сил, приходящаяся на
данный участок подпорной стены;
е — эксцентрицитет силы N относительно оси у, проходящей
через центр тяжести свайного фундамента;
п — общее число свай на 1 пог. м длины подпорной стены;
х\ — расстояние данной сваи от оси у;
Ех2— сумма квадратов расстояний всех свай от оси у.
Усилия в сваях должны быть меньше или равны их расчетным
сопротивлениям 7?в, умноженным на коэффициент условий работы
т. При числе свай в ростверке более 10 принимается т = 1. Кро¬
12 Заказ 853 165

tn.
(10. 24)
ме того, свайный фундамент должен быть проверен на действие
горизонтальных сил по формуле
Т
nRi
где Т — сумма горизонтальных составляющих всех сил, действую¬
щих на рассматриваемый участок Z стенки.
/?г — расчетное сопротивление сваи горизонтальной нагрузке,
зависящее от ее материала и размеров поперечного сечения,
а также от вида грунта.
Эта величина для деревянных и железобетонных свай прини¬
мается по табл. 17.
Усилия в наклонных сваях одностороннего козла определяются
по формуле
р = -

н nHsino
Усилие в вертикальной свае козла от горизонтальной нагрузки
составляет
(10. 25)
Р = L_
в Пв tg о
В этих формулах пп и пв — общее число наклонных и вертикальных
свай на рассматриваемом участке подпорной стены;
о — угол наклона козловой сваи к вертикали.
Так как усилие PQ выдергивающее, то оно считается отрица¬
тельным.
Кроме того, в вертикальных сваях козла действует погружаю¬
щее, т. е. сжимающее, усилие от вертикальной силы N, которое оп¬
ределяется по формуле (10.23).
(10. 26)
Таблица ]7
Расчетные сопротивления свай горизонтальным нагрузкам
Грунт основания
на глубину забивки
Требуемая
глубина
забивки свай
R в Т для свай
г

деревянных диамет¬
ром d, см
железобетонных раз¬
мерами сечения, см
дере¬
вянных
железо¬
бетон¬
ных
28
30
| 32
30X30
35X35
| 40X40
Пески средней плот¬
ности, супеси, суглин¬
ки и глины тугопластич¬
ные

Пески и супеси пыле¬
ватые, суглинки и глины
мягкопластичные или
4,5d
6а
2,6
2,7
2,8
6
7
8
3,5
слежавшиеся .....
Ы
7а
1,4
1,5
1,6
2,5
3
Илы, супеси, суглин¬
ки и глины текучепла¬
стичные

8а
0,50
0,55
0,6
1,0
1,5
2,0

ГЛАВА XI
РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН НА ПРОЧНОСТЬ
§ 47. ПРОЧНОСТЬ МАССИВНЫХ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Каждое горизонтальное сечение неармированной массивной под¬
порной стены, иногда называемое по старой терминологии «швом»,
испытывает внецентренное сжатие силой N, нормальной к сечению.
При этом эксцентрицитет е силы может быть малым или большим.
Малым считается эксцентрицитет, меньший 0,45 расстояния от
центра сечения до его наиболее сжатого края, т. е. при е < 0,225 b
(рис. 102, а).
В этом случае, учитывая пластичность кладки и исходя из оп¬
равданного опытом допущения, что момент предельного усилия в
кладке относительно менее напряженной грани сечения является
Рис. 102
12*
167

величиной постоянной, можно получить следующую формулу для
наибольшего нормального напряжения в сечении кладки:
«тах = 4(1 + ¥)- (11Л>
Это напряжение не должно превосходить расчетного сопротив¬
ления кладки при осевом сжатии, умноженного на коэффици¬
ент условий работы т = 0,9.
Расчетное нормальное усилие N равно весу подпорной стены и
сумме вертикальных составляющих давления грунта, давления от
наземной нагрузки и давления воды, действующих выше рассмат¬
риваемого горизонтального сечения подпорной стены, умноженных
на соответствующие коэффициенты перегрузки, большие единицы.
Большим считается эксцентрицитет, равный или превышающий
0,45 расстояния от центра сечения до его сжатого края (е > 0,225 Ь).
В этом случае расчет на внецентренное сжатие производится без
учета сопротивления растянутой зоны, исходя из прямоугольной
эпюры напряжений в сжатой зоне (рис. 102, б).
При этом расчетное сжимающее напряжение определяется по
формуле
N _ Af
amax ’ , n
2 с b —2е
(Н.2)
Это напряжение должно быть меньше или равно расчетному
сопротивлению кладки сжатию при изгибе (7?и), умноженному на
коэффициент условий работы т = 0,9.
Формулы (11. 1) и (11. 2) по своей структуре сходны с формулами
(10. 1) и (10. 8), но отличаются от них другими значениями коэф¬
фициентов и приводят к меньшим расчетным напряжениям в кладке.
Для подпорных стен из неармированной каменной кладки по¬
верка напряжений в растянутой зоне или, иначе говоря, поверка
трещиностойкости кладки требуется при следующих эксцентрици¬
тетах силы N:
для основных нагрузок при е > 0,35 6;
для дополнительных нагрузок при е > 0,4 Ь.
Наибольшие растягивающие напряжения в кладке по перевя¬
занным сечениям определяются по обычной формуле сопротивления
материалов, как для упругого тела, но с введением коэффициента
условий работы (рис. 102, в):

/иТр b \ b J
(11-3)
где /птр — коэффициент условий работы при раскрытии трещин,
принимаемый равным: для стен, не подверженных давле¬
нию воды, 2; для стен, подверженных давлению воды
при наличии гидроизоляционной штукатурки, 1,5.
168

Расчетное растягивающее напряжение, найденное по формуле
(11.3), не должно превосходить расчетного сопротивления кладки
на растяжение при изгибе (/?р,и).
Растягивающие напряжения в кладке по неперевязанным се¬
чениям не допускаются.
При проверке трещиностойкости кладки введение коэффициен¬
та перегрузки /1=0,9 для собственного веса подпорной стены может
привести к большим расчетным растягивающим напряжениям,
чем при п = 1,1.
Расчет бетонных подпорных стен с учетом сопротивления рас¬
тянутой зоны производится исходя из прямоугольной эпюры на¬
пряжений в этой зоне и треугольной эпюры в сжатой зоне
(рис. 102, г).
В этом случае
a,nin — TJ5/A 1 ЬГ t11,4)
Здесь коэффициент 1,75 учитывает увеличение момента со¬
противления сечения из-за неупругих свойств бетона.
Напряжение, найденное по формуле (11. 4), не должно превос¬
ходить расчетного сопротивления бетона при растяжении (/?р).
Подробности расчета бетонных и каменных подпорных стен
на прочность и трещиностойкость см. в СН и П П-В. 1—62 и
П-В. 2 — 62.
§ 48. ПРОЧНОСТЬ ТОНКОЭЛЕМЕНТНЫХ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Консольные подпорные стены (монолитные или отдельные сек¬
ции сборных), как об этом говорит само название, рассчитываются
как консольные плиты, заделанные в общий жесткий узел
(рис. 103, а).
На лицевую плиту основная нагрузка от засыпки действует со
стороны задней грани. Эта нагрузка может иметь не только горизон¬
тальную составляющую, но и вертикальную. Кроме того, на лице¬
вую плиту действует небольшая нагрузка со стороны передней
грани и собственный вес.
На фундаментную плиту сверху вниз действует нагрузка от
веса засыпки и собственного веса плиты, а снизу вверх — реактив¬
ное давление грунта основания, эпюра которого имеет вид трапеции
или треугольника. При этом нагрузка от веса засыпки больше на
тыльную часть плиты, чем на переднюю.
По эпюрам расчетных нагрузок, находящихся между собой в
равновесии, легко построить эпюру изгибающих моментов
(рис. 103, б), а в необходимых случаях и эпюры поперечных
и продольных сил. Из условия равновесия следует, что
Мг = м2 + м3.
По найденным изгибающим моментам можно подобрать толщины
плит и рабочую арматуру или проверить предварительно назначен-
169

ные сечения. Некоторое снижение расхода материалов может дать
учет продольной силы в лицевой плите. Этим не следует пренебре¬
гать, особенно при расчете крупных сооружений. Для гидротехни¬
ческих подпорных стен обязательна проверка сечений плит на тре-
щиностойкость.
Рис. ЮЗ
Сборные подпорные стены уголкового профиля, состоящие из
отдельных плит (рис. 104), рассчитываются на действие тех же на¬
Рис. 104
грузок, что и монолитные,
но узел В в этом случае
следует считать шарниром
и рассчитывать лицевую
плиту как свободно опер¬
тую в точках С и В с кон¬
солью АС.
Для фундаментной пли¬
ты принимается расчетная
схема в виде балки с двумя
консолями. Усилие в от¬
тяжке определяется по
формуле
N = (11.5)
Sin а ' 7
Контрфорсные (ребри¬
стые) подпорные стены
представляют собой про¬
170

странственные конструкции, которые для расчета расчленяют¬
ся на отдельные элементы: лицевую плиту, тыльную часть фунда¬
ментной плиты, передний выступ контрфорса и фундаментной
плиты и контрфорсы (ребра).
Если высота лицевой плиты или ширина тыльной части фунда¬
ментной плиты превышают расстояние между ребрами в два и более
раза, то такие плиты рассчитываются как неразрезные, свободно
опертые на контрфорсы. При этом число пролетов принимается рав¬
ным действительному, но не более пяти. Учитывая различную ин¬
тенсивность нагрузки, действующей на лицевую плиту, ее разби¬
вают по высоте на ярусы, которые рассчитываются отдельно и ар¬
мируются различно.
Если расстояние между ребрами составляет не менее половины
высоты лицевой плиты или ширины тыльной части фундаментной
плиты, то такие плиты рассчитываются и армируются как жестко
заделанные по трем сторонам со свободной четвертой.
Передний выступ фундаментной плиты и контрфорса рассчиты¬
вается как горизонтальная консоль на разность давлений, действу¬
ющих снизу и сверху.
Контрфорс (ребро) рассматривается в качестве вертикальной
консоли, жестко заделанной в фундаментную плиту и испытываю¬
щей нагрузку в виде опорного давления лицевой плиты и непосред¬
ственно от засыпки.
При расчете элементов ребристой подпорной стены учитыва¬
ется их собственный вес.
Пример 23. Требуется подобрать и проверить размеры подпор¬
ной стены консольного типа, показанной на рис. 105, исходя из
следующих данных: высота насыпи hc = 8 м, глубина заложения
фундамента Лф=1,8 м, объемный вес засыпки (песок средней
крупности) у = 1,8077ж3, угол внутреннего трения засыпки
о = 35°, угол трения засыпки о заднюю грань стены <ро=17°30',
интенсивность постоянной нагрузки на поверхности засыпки
р = 2 Т/м\ расчетное сопротивление супесчаного грунта в основа¬
нии у края подошвы подпорной стены R = 3,0 кПсм\ коэффициент
трения бетона по грунту / = 0,4, k = 5 кГ/см?.
Решение. Определение нормативного активного давления за¬
сыпки производится на условную вертикальную плоскость в пред¬
положении, что эта плоскость является плоскостью симметрии по
отношению к плоскостям скольжения и что касательные усилия
на этой плоскости отсутствуют. Поэтому коэффициент активного
давления берется по табл. 6 для а — 0, р = 0, <р0 = 0 и ср— 35°
~кх= 0,271. Интенсивность нормативного давлейия засыпки на уров¬
не подошвы фундаментной плиты
q* = 7 (+ + Аф)+ = 1,8(8+ 1,8)0,271 -4,78 Т/м*.
Интенсивность давления, передающегося через засыпку от на¬
грузки р, приложенной на поверхности засыпки,
171

q* = ркх =2-0,271 = 0,542 Т/м2.
Соответствующие нормативные силы давления составляют:
QH = ?Н(^С + М = 4-78~9>8 = 23 4 т/м-,
2 2
Q” = <7₽(йс + Лф) = 0,542-9,8 = 5,31 Т/м.
Рис. 105
06 У
Горизонтальное давление и сила давления на стену со стороны
передней грани (если стену считать неподвижной):
ql = Мйф = 0,43 • 1,8 • 1,8 = 1,39 Т/м9-
Q“ = = 1-3921>8 = 1,25 Т/м.
Равнодействующая горизонтальных активных сил, приложенных
к подпорной стене,
172

T*=Q"=QH+Qp = 23,4 + 5,33 = 28,73 Т/м,
Плечо этой силы относительно подошвы
23,4-3,26 + 5,31-4,9 102,2 о
Z = — !— — = — = 3,56 М,
28,73
28,73
Предварительный подбор профиля
подпорной стены
Основываясь на методике предельных состояний и принимая
коэффициенты перегрузки для собственного веса стены п'в = 1,1
и rtfG = 0,9, а для давления грунта п$ = 1,2 и ii'q = 0,9, найдем тре¬
буемую ширину b фундаментной плиты из различных условий.
При этом будем пользоваться значениями параметров <о и ф, со¬
ответствующими данному профилю подпорной стены (профиль
9 в табл. 15).
а) Из условия устойчивости против сдвига по основанию при ко¬
эффициенте условий работы тс = 1 имеем по формуле, приведенной
в табл. 15,
. соЯ 0,4-9,8 г оо
b = = — — = 5,88 ж,
0,668 0,668
параметр <о определяется по формуле (9. 9):
Q” , н
nQ П <2
//4С
1,2-28,73 — 0,9-1,25
0,9-0,4-2,5-9,82
= 0,391 0,4.
Для силы QVH взят коэффициент перегрузки, больший единицы,
а для сил фф“ и G“ — меньший единицы.
б) Из условия прочности грунта основания по формуле (10.5)
при tiQ = 1,1, <Ь = 0,572 и ш = 0,4
5 = -L
R
па (2 — 3 ф) 4
+ /[поТЛ2®(2-Зф)]2+6/?(<3>сг-(?;/^ф)} =
= 1,1-2,5-0,4-9,82-(2 — 3-0,572) +
+ +[1,1 • 2,5 • 0,4- 9,82(2—3 • 0,572)]2+6 -30 (28,73 -1,2- 3,56—
->••• -1725-0,9-0,6)} = + (30,6 + / 30,62 + 21800 ) = 6,05 м.
s) 30 \ ]
Не производя повторного пересчета, соответствующего второму
приближению, принимаем окончательно Ь = & м, а длину передней
консоли Ьп = 0,25 b = 1,5 ж.
11 Заказ 853

Толщины лицевой плиты вверху и внизу принимаем равными:
dB = — = ж 0,4 м и dn = — 0,8 м.
в 24 24 12
Такими же принимаются и толщины фундаментной плиты.
Проверка принятого профиля
подпорной стены
Так как профиль 9, приведенный в табл. 15, несколько отлича¬
ется от принятого, то последний подвергается окончательной про¬
верке. Кроме того, для построения эпюры изгибающих моментов
нужно предварительно построить эпюру реакций основания.
Для упрощения расчетов исходим из средней толщины плит,
равной 0,6 м. Тогда нормативные вертикальные силы, действующие
на подпорную стену, будут равны:
G” = 2,5-0,6-9,8 - 14,70 Т/м;
G” = 2,5-0,6-3,8 = 5,70 Т/м;
G% = 2,5-0,6-1,6 = 2,39 Т/м.
Общий вес железобетонной конструкции составляет
Gc = 2,39 + 5,70 + 14,70 = 22,79 Т/м.
К силам собственного веса стены должен быть прибавлен вес
грунта на передней и задней плитах с учетом постоянной нагрузки
р = 2 Т/м2:
G% = 1,8-3,8-9,2 = 62,8 Т/м;
Gl = 1,8-1,6-1,2 = 3,46 Т/м;
Рн = 2,0-3,8 = 7,6 Т/м.
Полная нормативная вертикальная сила
№ = 22,79 + 62,8 + 3,46 + 7,6 = 96,65 Т/м.
Высота расположения центра тяжести стены и веса грунта с
нагрузкой от подошвы стены
_ 2,39-0,3 + 5,7-0,3 + 14,7-4,9+62,8-5,2+ 3,46-1,2+7,6-10,35’
0 96,65 “
Постоянная нагрузка условно приведена к эквивалентной вы¬
соте:
Йо= + =4г8- = 1’10 М-
Горизонтальные силы уже определены ранее.
174

Проверка устойчивости против сдвига по основанию произво¬
дится по формуле (9. 8)
nQT" 1,2-28,73 34,50 in
; == ! — = =0,963< тс=1,0.
fn'G NH-\-nQQ$ 0,4-0,9-96,65 + 0,9-1,25 35,92
Проверка устойчивости против опрокидывания производится
с учетом деформации основания. Для этого по формуле (9. 30)
находится смещение оси вращения
< 1 Э/12 NuZq 1 -/Л 12-96,65-5,0 п
d=-2-V —5000 = 0.525 л
и предельная величина эксцентрицитета
епв = d= 0,525 =2,475 м.
р 2 2
Расчетный момент всех сил относительно середины подошвы
фундаментной плиты
М = 0,9(2,39-2,2 — 5,7-1,1 + 14,7-1,1 —62,8-1,1 +
+ 3,46-2,2 — 7,6-1,1) + 1,2 (23,4-3,26 + 5,31 -4,9) —
— 1,25-0,9-0,6 = — 49,2 + 123 — 0,67 = 73,13 Тм/м.
Расчетная вертикальная силаМ = iig'N* = 0,9-96,65 = 87 Т/м.
Расчетный эксцентрицитет
Л4 73,13 поло
е = — = —-— = 0,842 м.
N 87
Проверка на опрокидывание дает
е 0,842 л ооп Л о
= — = 0,339 < тл = 0,8.
епр 2,475 0
Для построения эпюры давлений на основание и эпюры изгибаю¬
щих моментов в плитах нужно исходить из коэффициентов перегруз¬
ки для вертикальных сил п = 1,2, так как это приводит к большим
величинам давлений и изгибающих моментов.
В этом случае расчетный момент всех сил относительно середины
подошвы фундаментной плиты, расчетная вертикальная сила и ее
эксцентрицитет будут следующие:
М = — 49,2+ 123 — 0, 67 56,83 Тм/м-,
0,9 '
N = 1,2-96,65= 116 Т!м\
М 56,83
е = -— =

N 116
= 0,49 м.
11*
175

Краевые давления на основание под фундаментной плитой по
формулам (10. 1) и (10. 7)
Стах = — (1 + —) = — (1 + = 28,8 Т!м2 =
Ь \ Ь J 6 \ 6 /
= 2,88 кГ/см2 < 7? = 3 кГ/см2.
«min = — (1 — —= -^-(1 — = 9,9 Т/Л42 > 0.
ь \ ь ) 6 ( 6 )
Изгибающий момент у основания лицевой плиты
= / 4,63-92 0,542-92 \ t 2 _ 0,934,2^ Q g = 100 8 Тм/м.
1 \ 6 2 / 6
Изгибающий момент у основания тыльной части фундаментной
плиты
М2 = 1,8-3,7-9,2-1,85-1,2+2,5*0,6*3,7*1,85-1,24-2*3,7*1,85-1,2—
— 9’9'3’-7- (21,5-9,9)- =70,4 Тм/м.
2 7 6
Изгибающий момент у основания переднего выступа фундамент¬
ной плиты
М3 = — 1,8 -1,5 -1,2-0,75+ 1,52 + (28,8 — 24,1) —
— 2,5 • 0,6 • 1,5 • 0,9 • 0,75 = 27,37 Тм/м.
Сумма моментов, действующих на узел,
2 Л4 = ^ — М2 — Л43 = 100,8 — 70,4 — 27,37 = 3,03 Тм/м.
Эти изгибающие моменты не совсем точно уравновешивают
друг друга, так как они подсчитаны не для теоретической точки
узла сопряжения плит в линейной расчетной схеме, а для сече¬
ний по граням плит.

ГЛАВА XII
МНОГОУГОЛЬНИК ДАВЛЕНИЙ
И ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ
ТРЕБОВАНИЯМИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ РАЗМЕРЫ
ПРОФИЛЯ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
§ 49. МНОГОУГОЛЬНИК ДАВЛЕНИЙ
Многоугольник давлений позволяет определить для каждого го¬
ризонтального сечения подпорной стены положение равнодействую¬
щей всех вышележащих сил. Величина и направление этой равно¬
действующей находятся на силовом многоугольнике.
Для построения многоугольника давлений подпорная стена
разделяется по высоте на отдельные части и для каждой части оп¬
ределяются действующие на нее силы (рис. 106, а). Сложив’ геомет¬
рически силы Gr и Qi, действующие на верхнюю часть подпорной
стены, найдем на многоугольнике сил (рис. 106,. б) их равнодействую¬
щую 7?х, которая на чертеже стенки должна проходить через точку
пересечения сил G± и Qx. Пересечение силой 7?г линии I—I дает
точку 7<х, принадлежащую многоугольнику давлений.
Для второго участка стены сначала находим равнодействующую
Т?'2 сил 7?! и Q2, а затем и равнодействующую Т?2 сил jR2' и G2, кото¬
рые проводим на рис. 106, ачерез точки пересечения соответствую¬
щих сил. Пересечение линии действия силы Т?2 с линией II—II
дает точку Т<2 многоугольника давлений. Таким же путем находится
и точка 7<3. Точка Ко находится посредине ширины стены по верху.
Соединив точки Ко, К2 и 7<3 отрезками прямых, получим
многоугольник давлений, который для каждого горизонтального
сечения i—i позволяет найти эксцентрицитет нормальной состав¬
ляющей Nl силы 7?z.
Таким же порядком может быть построен многоугольник давле¬
ний и для тонкоэлементной подпорной стены.
Нормальная и касательная составляющие и Tz) равнодей¬
ствующей 7?z для каждого горизонтального сечения i— i могут быть
найдены на силовом многоугольнике. Так, на рис. 106, б они по¬
казаны для сечения III—III, т. е. для подошвы подпорной стены.
177

Зная величины N, Т и е для каждого горизонтального сечения,
можно также произвести все необходимые проверки, пользуясь
приведенными выше формулами старого или нового методов. В по¬
следнем случае на многоугольнике сил должны быть отложены
расчетные силы.
Рис. 106
тэ Ъ
Величина отношения е : у < т0 дает представление о степени
устойчивости стены против опрокидывания, а величина
tg_8=_L = _Qx_<m_
f Nf f(G+Qz)^mc
о степени устойчивости против сдвига по основанию.
Между параметрами, характеризующими различные профили
подпорных стен, действующими на них нагрузками и степенью без¬
опасности с точки зрения того или другого условия существуют
зависимости, которые могут облегчить целесообразный выбор про¬
филя подпорной стены и его размеров.
§ 50. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЗАПАСА
УСТОЙЧИВОСТИ НА СДВИГ И ОПРОКИДЫВАНИЕ
Выразим отношение между силами, действующими на основание
стены (см. рис. 106, б), следующими коэффициентами:
178

[x=^=tg3';
Сг
У
G ‘
Тогда коэффициент устойчивости против сдвига может быть выражен
формулой
1
(12. 1)
f G
/С = =

Qx-fQz Ji
f
Каждому значению разности у — у соответствует определен¬
ная величина kc, не зависящая от положения сил.
Коэффициент устойчивостц на опрокидывание может быть вы¬
ражен формулой
_ А1уД __ /ИуД _ Ga 1

0 Мопр /Иуд—М Ga — Nc 1 _
G а
1
(12. 2)
1 — — (H-V)
а
Здесь а и с — плечи сил G и N относительно точки О.
Каждому значению произведения у(1 + у) соответствует вполне
определенная величина к0. При этом величина к0 зависит только
от двух отношений: от и от у =
Если давление грунта принимается горизонтальным, то у = О
—. При этом для получения к0 1,5 должно
1—£.
а
и тогда я0 =
тогда
(12. 3)
быть — >-т.
CL 3
Для установления зависимости между коэффициентами устой¬
чивости на опрокидывание и сдвиг выразим величину у из уравне¬
ния (12. 1) и подставим это выражение в (12. 2),
1
Кп = 7 ГТ •
1-— 1+4—
а \ f Кс)
Соответствующие кривые, построенные для кс
показывают, что при больших значениях у и
устойчивости на опрокидывание получаются много большими, чем
на сдвиг (рис. 107).
Условие равенства этих коэффициентов получим, приравняв
правые части выражений (12.1) и (12.2). После некоторых преобра¬
зований получим уравнение
= 1 и
а /(14
= 1,2 и кс =1,5,
у коэффициенты
(12. 4)
179

Рис. 107
§ 51. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РЕЗУЛЬТАТАМИ ПРОВЕРОК
НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СТАРОМУ И НОВОМУ МЕТОДАМ
Расчетное неравенство (9. 8) для проверки устойчивости подпор¬
ной стены на сдвиг по методу предельных состояний можно пред¬
ставить в виде
М

H1-W
(12. 5)
по
где tj = — — отношение между коэффициентами перегрузки для
nG
давления грунта и для собственного веса подпор¬
ной стены.
Сохранив в выражении (12.5) только знак равенства, определим
отношение -у и подставим его в (12. 1).
Тогда
кс = —/ 1 1 • (12- 6)
Шс (“+'j v
Если в соответствии с СНиП Н-Б.З—62 считать расчетные на¬
грузки равными нормативным, то т] = 1 и тогда при v = 0
/Сс = — = Л = 1 >25-
с тс 0,8
180

Если же исходить из СН-200—62, то nG = 0,9, nQ = 1,2,
т] = -j, тс = 0,8 и тогда минимальное значение кс оказывается
равным 1,67.
Из условия устойчивости против опрокидывания по новой мето¬
дике (9. 21), приняв в нем знак равенства, можно найти плечо*
расчетной силы N
с=±-(1-т0). (12.7)
С другой стороны, эта величина получается из формулы (12. 2}
1-4-
л0
(12. 8)
с = а-
Приравняв друг другу оба значения с и решив уравнение от¬
носительно к0, получим
= 1
К°~ . (H-v)(l-m0) '
1 2<р
Параметр ф = у Для каждого профиля подпорной стены разли¬
чен, поэтому будет различным и соотношение между
График зависимости между к0 и т0 для разных значений
показан на рис. 108.
(12. 9)
mQ и к0.
S = ТП—
Рис. 108
181

При т0 = 0,7, установленном в СН-200—62 для нескального
основания, и коэффициентах перегрузки, равных единице, мини¬
мальное значение к0, соответствующее v =0 и ф = 1, будет равно
1,175.
При отношении между коэффициентами перегрузки т] =
минимальный коэффициент запаса составит 1,57.
§ 52. УСЛОВИЕ «СРЕДНЕЙ ТРЕТИ» И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНЫ
ПРОТИВ ОПРОКИДЫВАНИЯ
При выполнении этого условия с Величина плеча с силы
N выражается формулой (12. 8), поэтому можно написать
отсюда
* ко> r+v • О2- 10)
1— Зф
Это означает, что для каждой пары значений ф и v выполнение
«условия средней трети» требует обеспечения вполне определенной
минимальной величины коэффициента устойчивости против опро¬
кидывания, выражаемой формулой (12. 10).
Для каждого профиля подпорной стены параметр ф имеет впол¬
не определенную величину (см. табл. 15), поэтому минимальные
значения к0, гарантированные при выполнении условия «средней
трети», будут различными для каждого профиля. Это значение к0
будет не ниже 1,5, если ф< 1, т. е. если сила собственного веса
подпорной стены проходит через ее подошву.
По методу предельных состояний выполнение «условия средней
трети» (е<|) соответствует такому коэффициенту условий работы
2е . 1
— ^т0 = —.
§ 53. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РЕЗУЛЬТАТАМИ ПРОВЕРОК
НА ОПРОКИДЫВАНИЕ С УЧЕТОМ И БЕЗ УЧЕТА
ДЕФОРМАЦИИ ОСНОВАНИЯ
В случае когда основание принимается абсолютно жестким,
предельный эксцентрицитет силы N равен еПр=2, а в случае, когда
. г b 1
учитывается деформация основания, е пр =% а.
Расстояние d от нижнего переднего ребра фундамента стены до
оси, вокруг которой происходит вращение сооружения при опро¬
кидывании, определяется по формуле (9. 30).
182

Так как расчетные эксцентрицитеты силы N будут одинаковыми
в обоих случаях, то расчетные коэффициенты условий работы под¬
порной стены без учета и с учетом деформации основания будут
находиться в таком отношении
mQ gnp 2 j 2 d
enp b b ’
2
ИЛИ
<=-Лг- (12.il)
Г
При этом достаточно, чтобы ось вращения сместилась на такую
малую величину, как d = чтобы степень устойчивости подпор¬
ной стены понизилась на 25%.
Это говорит о том, что при обычном для нескального основания
значении коэффициента условий работы при опрокидывании во¬
круг нижнего переднего ребра т0 = 0,7 действительное отношение
между расчетным и предельным эксцентрицитетами может быть не¬
допустимо высоким.
Пример 24. Проверить подпорную стену, показанную на рис. 109,
если известны: G = 27,81 Т/м, Qx = 9,6 Т/м, Qz = 3,06 Т/м,
b = 2 м, е = 0,425 м, zQ = 2,93 м, k = 5 кГ/см* =. 500077м3,
f = 0,4. Силы G, Qx и Qz расчетные, поэтому коэффициенты пе¬
регрузки не вводятся и vj = 1.
183

Решение. Определяем исходные параметры и проверяем устой¬
чивость подпорной стены по методу предельных состояний.
v _ — 3,06 __ q 11_ Qx 9>6 __ n 344
G ~ 27,81 — U,U’ 1 G — 27,81 U’d44-
Проверка стены на сдвиг по основанию производится по форму¬
ле (12. 5) при т] =
/(1 + ^)
Проверка стены
ребра:
1:
~ 0,4°('l+0,1 ■) = °'775 < ~ °'8'
на опрокидывание вокруг нижнего переднего
2-0,425 n „cc n -z
—2 = 0,425 < tn0 = 0,7.
2 е
Проверка стены на опрокидывание относительно оси вращения,
переместившейся на величину
, 1 3/ 12Gz0 1 12.27,81-2,93 п „
d = ~2r -~k 5000 =0’286 М-
2e
b — 2d
2-0,425 а епс / л п
2-2-0,286 ~ 0-596 </Ио — 0,7.

ГЛАВА XIII
РАСЧЕТ ТОНКИХ СТЕНОК
§ 54. НЕЗААНКЕРОВАННЫЕ СТЕНКИ
Устойчивость незаанкерованных тонких (шпунтовых) стен обе¬
спечивается только сопротивлением грунта, в котором они защем¬
лены. Опыты Н. В. Лалетина показывают, что при действии гори¬
зонтальной силы Р на верхний свободный конец стены этот конец
отклоняется в сторону действия силы при повороте стены вокруг
некоторой точки С, лежащей на глубине zc от поверхности грунта
(рис. ПО). На защемленную часть стены высотой h2 действует реак¬
ция грунта, имеющая на участках ВС и CD противоположное на¬
правление. На этих же участках с обратной стороны стены действует
еще активное давление грунта, которое также направлено в разные
стороны.
Эпюра реакций при возрастании силы Р последовательно пере¬
ходит стадии, показанные на рис. ПО. При небольшой величине
силы Р реакция грунта носит упругий характер, а эпюра реакций
имеет криволинейное очертание (см. рис. 110, а).
Рис. 110
185

В основу расчета может быть положена одна из трех эпюр, по¬
казанных на рисунках ПО а, б и в, первая из которых соответствует
концу упругой стадии сопротивления грунта, а последняя дости¬
жению им состояния предельного равновесия. Эпюра ПО, в соот¬
ветствует промежуточному состоянию, когда напряжения достигли
предельного значения не только в верхней части эпюры, но и
в нижней.
Один из самых простых методов расчета свободной (незаанке-
реннои) шпунтд5вой стенки основан на допущении, что она, не де¬
Рис. 111
формируясь, поворачивается в грунте вокруг некоторой точки С?
находящейся на глубине zc =.0,8. Л2 отповерхности земли (рис. 111)-
При этом эпюра реакций принимается по рис. 110, в с заменой кри¬
волинейной части прямолинейным участком. Ординаты прямых
BDT и BD" соответствуют разности между пассивным сопротив¬
лением и активным давлением грунта. На подпорную стену дей¬
ствует еще активное давление грунта, лежащего выше точки В.
Соответствующая эпюра давлений показана на рис. 111, б.
Равнодействующие активных давлений на верхний и нижний
участки стенки длиной равные единице будут выражаться так:
Ql “ Q2 = т^1
Для всех сил, действующих на стенку, можно составить следую¬
щие два уравнения равновесия:
vv_ л n I тА2Х + — гЕ)
IjA — (Д (/2 п 2 2 —
186

LMo = — Qi I —h Л2 ) — Q2K л" ) H 6

\ О / \ Zr / и
(?M + qD )(h2 — zEf = 0
6
o > 1— sin? 1+sin?.
Здесь Xa =——-г—; л=-- 1 . ,
a 1 + sincp n 1—SID?
7—объемный вес грунта; <p— угол его внутреннего трения.
Решение первого уравнения равновесия дает возможность найти
величину
th22l-2(Q1 + Q2)
Ъ-г‘ = +

Подставляя эту величину во второе уравнение равновесия,
можно найти наибольшее реактивное давление у подошвы стены
[-^k-2(Q1 + Q2)]2
qn = —5 х — (13. 1)
7/12 Х — + 3/г2) — 3Q2(2^2—2С L
Для устойчивости подпорной стены, т. е. для предотвращения
выпирания грунта, эта величина должна быть меньше предельного
сопротивления грунта дпр, определяемого разностью между пас¬
сивным и активным давлениями.
<7пр ==Л 1(^1 +Л)Хп — МаЬ (13- $
Требуемая по условию устойчивости глубина забивки шпунта
может быть определена подбором исходя из равенства
?£) ?Пр®
Требуемое поперечное сечение шпунта или в простейшем слу¬
чае его толщина находится расчетом на изгиб по максимальному
изгибающему моменту, который действует в сечении z0, определя¬
емом из условия, что поперечная сила здесь равна нулю. Этот
изгибающий момент оказывается равным
^тах — Q1 —“Ц- ’ (13. 3)
где

2о = Л1-г(1 + v )•
Применяется и еще более упрощенный способ расчета, при ко¬
тором эпюра предельного давления со стороны передней грани стен¬
ки дополняется до прямоугольного треугольника, а эпюра реак¬
187

тивного давления со стороны задней грани заменяется одной со¬
средоточенной силой Qn (рис. 111, г).
Тогда
Л ^А1Ха. Л Л Z, 1
Q1 — 2 ’ ^2ча’,
у Zp X
— — Qi—СгН—2 Qn = О»
SMC = -Q1 (4 + zc)-&-^+ 4^ = 0-
Первое из этих уравнений позволяет найти величину Qn, а вто¬
рое — Zc. После этого можно найти и 7Итах.
Минимальную глубину забивки в этом случае принимают рав¬
ной Л2 = 1,2 zc.
Пример 25. Проверить достаточность глубины забивки свобод¬
ной шпунтовой стенки, если дано: hr = 2 м, Л2 = 2 ж, у = 1,8 Т!м3,
9 - 30°.
Решение. Находим коэффициенты активного, пассивного дав¬
лений грунта для <р = 30°. По табл. 6 и 9 Ха = 0,333, Хп = 3,0.
Коэффициент, определяющий разность давлений,
X = Хп — Ха = 3,0 — 0,333 => 2,667.
Предельная интенсивность давления у основания шпунтовой
стенки
<7пР = Т [(^1 + Л2) Хп — А2 Ха] = 1,8 (4 • 3 — 2 - 0,333) = 20,4 Т/м\
Величины сил активного давления грунта на заднюю грань
стенки при zc = 0,8/z2= 0,8-2 = 1,6 ж
= М = Ц^.0)333 = 1>2 т/м.
Qz = yhrzc Ха = 1,8 • 2 • 16 • 0,333 = 1,92 Т/м.
Наибольшее горизонтальное давление нижнего конца шпунта
на грунт по формуле (13. 1)
_ [1,8-2,67.22 — 2(1,2 4- 1,92)]2
1,8.2,67.22 —2.1,2(24-3-2) —3-1,92(2.2 —1,6)
— 1,8-2.2,67 = 31,2 — 9,64 = 21,58 Т/м2.
Эта величина превышает qnp = 20,4 Т/м2 всего на 5%, поэтому глу¬
бина забивки /г2 — 2 м достаточна.
Расстояние сечения, в котором действует наибольший изгибаю¬
щий момент, от поверхности земли
188

i Л л[ \ \ ^ \ о 0» 333/ . д/~ \ I 2,667\
Z« “Л1 TV + V 1 +v J ~ 2’^667V + У 1+0^3з)
= 0,25(1 +3) = 1,0 м.
Наибольший изгибающий момент по формуле (13. 3)
Мтах= 1,2^+ 1,0+^) У-1,8-2,667-1,02 =
= 2,61 —0,8 = 1,81 Тм!м = 181 000 кГсм!м.
Этот момент оказывается значительно больше момента, дей¬
ствующего у поверхности основания и составляющего
мв = = 1’^’° = 0,8 Тм/м.
О о, и
Толщину шпунта следует подобрать по наибольшему изгибаю¬
щему моменту исходя из расчетного сопротивления 7?и материала
шпунта при изгибе. Если шпунт временный деревянный, то можно
принять 7?и = 150 кГ/см2 и тогда требуемый момент сопротивления
поперечного сечения
W = Mrnax = J81000. = 12()5 см^
loU
Отсюда требуемая толщина шпунта
, -I /6Г 1 /6-1205 о с
d=y Т = У Лоо- = 8’5 см-
Принимаются брусья толщиной 100 мм,
§ 55. ЗААНКЕРОВАННЫЕ СТЕНКИ
Стенку с опорой вверху в виде анкера при небольшой глубине
забивки рассчитывают как шарнирно опертую в верхней точке.
При этом со стороны задней грани учитывается активное давление,
а со стороны передней — пассивное сопротивление. Схема действия
сил на заанкерованную тонкую стенку показана на рис. 112.
Требуемая глубина забивки определяется из условия, чтобы
сила активного давления Qx уравновешивалась силой пассивного
сопротивления Q2, умноженной не некоторый коэффициент условий
работы ш. Для этого должно быть выполнено неравенство
Qi Л1Ч-й2 (/*! + 4-^2 —а \ (13. 4}
Каждая часть неравенства дает момент соответствующей силы
относительно точки А', в которой действует реакция анкерной
тяги N. Последняя определяется из уравнения проекций на гори¬
189'

зонтальную ось всех сил, действующих на стенку, и оказывается
равной
N = Qi — Qz, (13. 5)
где
Q1=4+ (?2 = Д^-.
Величины ка и Хп могут быть взяты теми же, что и в случае неза-
анкерованной стенки, однако в данном случае целесообразно учи¬
тывать силы трения между стенкой и грунтом.
Рис. 112
Для коэффициента условий работы т может быть принято зна¬
чение от 0,7 до 1,0.
Максимальный изгибающий момент в сечении = 1/
определяется по формуле
^тах = ^(г0-а)-ф_. (13.6)
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 112, б.
Анкерная плита, передающая усилие анкерной тяги на грунт,
должна быть закреплена за пределами плоскости, проведенной под
углом естественного откоса к горизонту.
Тонкая стенка может быть также рассчитана и как заделанная
нижним концом. При этом наибольший расчетный изгибающий
момент оказывается меньше, чем в предыдущем случае, но требуе¬
мая глубина забивки возрастает. Экспериментальные исследования
показывают, что при деформации изгиба стенки происходит перерас¬
пределение давления грунта, которое в пролете уменьшается, а к
опорам концентрируется (см. рис. 112, а—пунктирная линия).
В данном случае максимальный изгибающий момент значительно
уменьшается. Это обстоятельство можно учесть коэффициентом
0,75.
190

По данным опытов Ю. М. Гончарова [8], ординаты эпюры дав¬
ления грунта на уровнях анкера и поверхности основания оказы¬
ваются близкими друг к другу по величине и могут быть определе¬
ны как активное давление на глубине т. е. по формуле
(13. 7)
Между этими ординатами эпюра давлений грунта принимается
параболической с наименьшей ординатой посредине (рис. 112, в)
<7о =0,357 + Ха. (13.8)
Нижняя ордината эпюры давлений определяется величиной пас¬
сивного давления грунта на глубине й2 и выражается формулой
<7n = TVn- (13. 9)
Глубиной забивки h2 приходится предварительно задаваться.
У низа стенки прикладывается сила Qd, заменяющая отпор грун¬
та с обратной стороны стенки. Эта сила, а также сила N, возникаю¬
щая в анкерной тяге, определяются из двух уравнений равновесия.
Первое из них, позволяющее определить усилие Qd, составляется
в форме уравнения моментов относительно точки А', а второе —
в виде уравнения проекций всех сил, действующих на стенку,
на горизонтальную ось.
Построив эпюру давлений, показанную на рис. 112, в, и опре¬
делив силы N и Qd , можно построить эпюру изгибающих моментов
в стенке.
Все эти расчеты могут быть выполнены графическим способом
с построением веревочного многоугольника, дающего непосредст¬
венно эпюру изгибающих моментов.
й В этом способе деформируемость стенки учитывается принятой
формой эпюры давлений грунта, взятой по результатам опытов.
Таким образом, этот способ полуэмпирический и не имеет теорети¬
ческого обоснования.
Существуют более строгие способы расчета тонких стенок как
балок, заделанных в упругую среду. Эти способы позволяют опре¬
делить и ограничить не только усилия, но и перемещения стены.
Проблеме расчета и экспериментального исследования работы
шпунтовых стенок было уделено большое внимание на IV и V Меж¬
дународных конгрессах по механике грунтов и фундаментостроению.
При этом был сделан обобщающий вывод о необходимости учета
также и вертикальных сил, действующих на тонкую стенку.
Пример 26. Проверить достаточность глубины забивки заанке-
рованной шпунтовой стенки, если hr = 2 ж, h2 = 0,9 ж, а = 0,5 ж,
у = 1,8 77ж3, у> = 30°; т = 0,8.
Решение. Коэффициенты активного и пассивного давлений грунта
найдены в предыдущем примере: Ха = 0,333, лп = 3,0. Силы ак¬
тивного и пассивного давлений:
191

Qi = 4-'Г(Л1 + Л2)2Ха =• 0.5-1,8(2 + 0,9)2-0,333 = 2,52 Т/м-,
Q2 = 1^- = 0,5-1,8-0,92-3,0 = 2,22 Т/м.
Проверяем выполнение неравенства (13. 4). Для этого находим
отдельно величины левой и правой частей:
Qi + йЛ—al = 2,52 [4-f 2+ 0,9^ — 0,5 1 =
I О \ / I О \ / I
= 3,62 Тм/м;
mQ2(/i1 + 4-А2 — a 1 = 0,8-2,22 (2 +4-0,9 —0,5=
= 3,81 7ж/ж>3,62.
Расчетное усилие в анкерной тяге
N = Qr — Q2 = 2,52 — 2,22 = 0,3 Т/м.
Положение сечения, в котором действует наибольший изгибающий
момент,
т/ 2N т/ 2-0,3 , п
"" V ?Ха ~ V 1,8-0,333 “ 1,0
Максимальный изгибающий момент по формуле (13. 6)
лл кт / \ а о/1 п л 1,8 -1,03•0,333
Mmax = N(z0 — a) g— = 0,3 (1,0 — 0,5) — -
= 0,15 — 0,1 =0,05 Тм/м.
Таким образом, анкеровка тонкой стенки позволила уменьшить
глубину забивки и снизить расчетный изгибающий момент.
ЛИТЕРАТУРА
1. АКСЕЛЬРОД Л. С. Городские набережные. Изд-во Министер¬
ства Коммунального хозяйства РСФСР, 1952.
2. Б Е 3 У X О В Н. И. Подпорные стенки. М., Л. Госиздат, 1930.
3. БЕРНШТЕЙН М. С. Статика сыпучей среды. Расчетно-теоре¬
тический справочник проектировщика. Госстройиздат, 1960.
4. БОБРИКОВ Б. В. Активное давление сыпучего тела на подпор¬
ные стенки ограниченной длины. Труды Московского института инженеров
железнодорожного транспорта. Вып. 77 «Мосты и строительные конструк¬
ции». Трансжелдориздат, 1952.
5. Б У Ц Ь К О 3. Н. Об определении давления засыпки на крутые под¬
порные стенки. АН СССР, Институт механики, Инженерный сборник, т. 23.
Изд-во АН СССР, 1956.
6. ГЛУШКОВ Г. И. Определение горизонтальных напряжений в
грунте. «Гидротехническое строительство», 1954, № 3.
7. ГОЛУШКЕВИЧ С. С. Плоская задача теории предельного
равновесия сыпучей среды. М., Л. Гостехиздат, 1948.
192

8. Г О Н Ч А Р О В Ю. М. Расчет тонких стенок с учетом перераспре¬
деления активного давления грунта по высоте стенки. «Основания, фун¬
даменты и механика грунтов», 1962, № 5.
9. Д У Б Р О В А Г. А. Методы определения распорного давления грун¬
та при расчете гидротехнических сооружений. М., Л. Изд-во «Морской транс¬
порт», 1947.
10. КАГАН М. Е. О давлении на подпорную стенку при нелинейном
его распределении. «Строительная механика и расчет сооружений», 1960,
6.
11. КЛЕЙН Г. К. Строительная механика сыпучих тел. Госстройиз-
дат, 1956.
12. КИСЕЛЕВ В. А. Строительная механика. М., Госстройиздат,
1960.
13. ЛИХАЧЕВ В. П., ЛУЗАН С. В. [и др.]. Методы расчета
устойчивости и прочности гидротехнических сооружений. Под ред. М. М. Гри¬
шина. Госстройиздат, 1961.
14. Л У Б Е Н О В Р. В., Я К О В Л Е В П. И. Исследование давления
грунта с равномерно распределенной нагрузкой на неподвижную стенку.
Министерство Морского Флота СССР, Отдел учебных заведений. Научные
труды. Гидротехника. Вып. 2, 1962.
15. Л Ь В И Н Я- Б. Устойчивость жестких стен и колонн на упругом
и упруго-пластическом основании. Инженерный сборник, Т. 7. Изд. АН СССР,
1950.
16. ПРОКОФЬЕВ И. П. Давление сыпучих тел и расчет подпорных
стенок. М., Л. Стройиздат, 1947.
17. РОССИЙСКИЙ В. А. Сборные железобетонные подпорные
стенки. Киев, Госстройиздат УССР, 1961.
18. Р Я Б У X О А. И. Расчет и проектирование железобетонных и
обыкновенных массивных подпорных стен. Изд. МКХ РСФСР, 1953.
19. С И М В У Л И Д И И. А. Определение давления земли на подпор¬
ные стенки с учетом силы сцепления. «Советский метрополитен», 1934, №5 и 6.
20. СИНЕЛЬНИКОВ В. В. Аналитический вывод формул давле¬
ния сыпучего тела на стенку. Труды МИИТ. Вып. 69, 1946.
21. СОКОЛОВСКИЙ В. В. Статика сыпучей среды. Гостехиздат,
1954.
22. С Н И Т К О Н. К. Статическое и динамическое давление грунтов и
расчет подпорных стенок. Госстройиздат, 1963.
23. Технические Условия проектирования железнодорожных, автодорож¬
ных и городских мостов и труб (СН-200—62).
24. ТИТОВ А В. И. Определение давления сыпучего тела на круго¬
вую в плане стену. «Гидротехническое строительство», 1951, № 3.
25. Ц Ы Т О В И Ч Н. А. Механика грунтов. М. Госстройиздат,
1963.
26. HUNTINGTON W. С. Earth Pressures and Retaining Walls, N. Y.,
1957.
27. К E Z D I A. Erddruckteorien. Springer Verlag. Berlin-Gettingen-
Geidelberg, 1962.
Исторический обзор работ и подробный список литературы по теории
давления грунтов и расчету подпорных стен, использованной автором, см.
в книге «Строительная механика в СССР — 1917—1957» под ред.
И. М. РАБИНОВИЧА (Госстройиздат, 1957, стр. 280—300).

ОГЛАВЛЕНИЕ Cip
Предисловие 3
Г л а в а I. Общие сведения о подпорных стенах
и методах их расчета
§ 1. Типы подпорных стен Г>
§ 2. Материалы подпорных стен 10
§ 3. Производство работ по строительству подпорных стен . . .12
§ 4. Условия работы и предельные состояния подпорных стен . . . 13
§ 5. Принципы расчета подпорных стен и действующие нормы . . 16
6. Нагрузки, действующие на подпорные стены 18
Г л а в а II. Основы теории предельного напряженного
состояния грунтов
§ 7. Сопротивление грунта сдвигу 24
§8. Площадки скольжения в грунте 26
§ 9. Изображение напряженного состояния грунта 28
§ 10. Давление грунта на подпорные стены по теории В. В. Соколов¬
ского 31
Глава III. Упрощенная теория давления грунтов
на крутые подпорные стены
§11. Основные уравнения и теоремы 41
§ 12. Графические построения для определения сил активного давления
грунта на подпорные стены 45
§ 13. Формулы для определения сил активного давления грунта на
подпорные стены 49
§ 14. Распределение давления грунта по высоте подпорной стены . . 54
§ 15. Пределы применимости теории Кулона 58
Глава IV. Давление на подпорные стены
от нагрузок, приложенных на поверхности засыпки
§ 16. Общие уравнения 62
§ 17. Сплошная равномерная нагрузка 64
§ 18. Полосовая нагрузка 66
§ 19. Сосредоточенная нагрузка 68
§ 20. Равномерная нагрузка, касательная к поверхности засыпки . 70
194

Г л а в а V. Влияние разнослойности грунта, Стр-
грунтовой воды и сцепления
§21. Влияние разнослойности грунта 73
§ 22. Давление грунтовой воды 75
§ 23. Учет сцепления в грунте 80
Глава VI. Особые случаи давления грунта
на подпорные стены
§ 24. Активное давление грунта при сползании его по откосу котло¬
вана 87
§ 25. Давление грунта на пологую подпорную стену 83
§ 26. Давление грунта на подпорную стену с ломаным очертанием
задней поверхности 94
§ 27. Давление грунта на подпорные стены с разгрузочными площад¬
ками и с фундаментными плитами 99
§ 28. Давление грунта на подпорные стены со специальным очертанием
граней 104
§ 29. Давление грунта на подпорные стены ограниченной длины
и на подпорные стены криволинейные в плане 108
§30. Сейсмическое давление грунта НО
Г л а в а VII. Пассивное и упругое давление грунта
5 31. Пассивное давление грунта 114
§ 32. Давление грунта состояния покоя 118
§33. Давление грунта на подпорную стену в зависимости от ее пере¬
мещения 124
Г л а в а VIII. Другие теории давления грунта
на подпорные стены
§ 34. Теория Ренкина 133
§ 35. Теория Буссинеска 134
§36. Теория Н. П. Пузыревского 135
§37. Способ С. С. Голушкевича 136
§38. Теория Е. А. Гаврашенко и М. Е. Кагана * • 139
§ 39. Данные наблюдений и опытов 142
Г л а в а IX. Расчет подпорных стен
на устойчивость
§40. Устойчивость против плоского сдвига по основанию .... 145
§41. Устойчивость против опрокидывания 150
§42. Расчет подпорной стены на устойчивость против опрокидывания
с учетом деформации основания 154
ГлаваХ. Расчет оснований подпорных стен
§43. Давление подпорной стены на основание 157
§44. Несущая способность основания подпорной стены на сдвиг . 161
§45. Осадки и крены фундаментов подпорных стен 164
§46. Расчет свайного фундамента подпорной стены 165
Г лава XI. Расчет подпорных стен на прочность
§47. Прочность массивных подпорных стен 167
§48. Прочность тонкоэлементных подпорных стен . 169
195

Гл ава XII. Многоугольник давлений и зависимости между Ст|
различными требованиями, определяющими размеры
профиля подпорной стены
§ 49. Многоугольник давлений 177
§ 50. Зависимость между коэффициентами запаса устойчивости на
сдвиг и опрокидывание 178
§ 51. Зависимость между результатами проверок на устойчивость по
старому и новому методам 180
§ 52. Условие «средней трети» и устойчивость стены против опроки¬
дывания 182
§ 53. Зависимость между результатами проверок на опрокидывание
с учетом и без учета деформации основания —
Глава XIII. Расчет тонких стенок
§ 54. Незаанкерованные стенки 185
§ 55. Заанкерованные стенки 189
Литература 192
Георгий Константинович Клейн
РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН
Редактор Н. Н. Бородина
Техн, редактор Л. А. Гарнухина
Корректор Н. Ф. Мистюкова
Сдано в набор 9/XII-63 г. Индекс УС-14. Подп. к печати 16/IV-64 г.
Формат 60 x 90/16. Объем 12,25 печ. л. Уч.-изд. л. 11,35. Т-04175
Заказ № 853. Тираж 7000 экз. Цена 40 коп.
Ярославский полиграфкомбинат «Главполиграфпрома»
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Ярославль, ул. Свободы, 97.

Источник

Комментарии