Линейка внешне очень похожа на механический секундомер, только в ней нет часового механизма, и вместо кнопок — вращающиеся головки, с помощью одной крутим стрелки, с помощью другой — подвижный циферблат.
В отличие от обычных логарифмических линеек, она не позволяет считать логарифмы и кубы, точность ниже на один разряд, ну и как обычной линейкой ей не воспользуешься (и спину не почешешь), зато она очень компактная, её можно носить в кармане.
Быстрые вычисления
Прилагаемая (ниже) инструкция предлагает умножать и делить в три движения: вращением подвижной шкалы на указатель, вращением стрелки до нужного значения, и вращением циферблата до другого значения. Однако гораздо интереснее использовать оба циферблата, подвижный и неподвижный с обратной стороны линейки, и делать вычисления в два движения. При этом возможно получать сразу весь спектр значений, просто вращая циферблат, и тут же считывая значения.
Для этого на неподвижном циферблате нужно стрелкой выставить либо множитель (в случае умножения), либо делимое (в случае деления), и, перевернув линейку, вращением подвижного циферблата выставить второй множитель на стрелку, либо делитель на указатель, и сразу прочитать результат. Продолжая вращать циферблат, тут же считываем другие значения функции. Обычный калькулятор такое не умеет делать.
Дюймы в сантиметры
К примеру, нам нужно преобразовать сантиметры в дюймы, либо наоборот. Для этого вращением головки с красной точкой выставляем на неподвижном циферблате стрелкой значение 2,54. После этого будем смотреть, сколько в нашем 24" мониторе сантиметров — вращением головки с чёрной точкой подвижного циферблата выставляем на стрелке значение 24, и считываем с неподвижного указателя значение 61 см (2.54*24=60.96). При этом можно легко узнать и обратные значения, например узнаем сколько дюймов в нашем 81 см телевизоре, для этого вращением головки с чёрной точкой подвижного циферблата устанавливаем на неподвижном указателе значение 81, и считываем на стрелке значение 32" (81/2.54=31.8898).
Градусы Фарингейта в градусы Цельсия
На неподвижном циферблате выставляем значение 1.8, из градусов по Фаренгейту вычитаем в уме 32 и устанавливаем полученное значение напротив неподвижного указателя, считываем на стрелке градусы по Цельсию. Для обратного вычисления устанавливаем значение на стрелке, и к значению на указателе прибавляем в уме 32.
20*1.8+32 = 36+32 = 68
(100-32)/1.8 = 68/1.8 = 37.8 (37.7778)
Мили в километры
Выставляем на неподвижной шкале значение 1.6, вращением подвижной шкалы получаем мили в километрах или километры в милях.
Посчитаем скорость разгона машины времени в фильме «Назад в будущее»: 88*1.6=141км/ч (140.8)
Время и расстояние от скорости
Чтобы узнать за сколько времени проедем 400 километров при скорости 60 км/ч, выставляем на неподвижном циферблате значение 6, и крутим подвижный циферблат до значения 4, получаем 6.66 часов (6 часов 40 минут).
Инструкция к линейке
У имеющейся у меня линейки инструкция очень потрёпана, ведь она аж 1966 года выпуска. Поэтому я решил оцифровать её для сохранности в электронном виде.
Полная инструкция к логарифмической линейке «КЛ-1»:
Круговая логарифмическая линейка «КЛ-1»
- Корпус.
- Головка с черной точкой.
- Головка с красной точкой.
- Подвижный циферблат.
- Неподвижный указатель.
- Основная шкала (счетная).
- Шкала квадратов числа.
- Стрелка.
- Неподвижный циферблат.
- Счетная шкала.
ВНИМАНИЕ!
Вытаскивание головок из корпуса не допускается.
Круговая логарифмическая линейка «КЛ-1» предназначена для выполнения наиболее часто встречающихся в практике математических операций: умножения, деления, комбинированных действий, возведения в кладрат, извлечения квадратного корня, нахождения тригонометрических функций синуса и тангенса, а также соответствующих обратных тригонометрических функций, вычисления площади круга.
Логарифмическая линейка состоит из корпуса с двумя головками, 2-х циферблатов, один из которых вращается при помощи головки с черной точкой и 2-х стрелок, которые вращаются при помощи головки с красной точкой. Против головки с черной точкой над подвижным циферблатом имеется неподвижный указатель.
На подвижном циферблате нанесены 2 шкалы: внутренняя — основная — счетная и наружная — шкала квадратов чисел.
На неподвижном циферблате нанесены 3 шкалы: наружная шкала — счетная, аналоичная внутренней шкале на подвижном циферблате, средняя цшкала «S»-значений углов для отсчета их синусов и внутренняя шкала «T»-значений углов для отсчета их тангенсов.
Выполнение математических операций на линейке «КЛ-1» производится следующим образом:
I. Умножение
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения первого сомножителя по счетной шкале с указателем.
- Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с отметкой «1».
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения второго сомножителя по счетной шкале со стрелкой.
- Против указателя по счетной шкале отсчитать искомое значение произведения.
II. Деление
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения делимого по счетной шкале с указателем.
- Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с делителем по счетной шкале.
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения отметки «1» со стрелкой.
- Против указателя по счетной шкале отсчитать искомое значение частного.
III. Комбинированные действия
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения первого сомножителя по счетной шкале с указателем.
- Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с делителем по счетной шкале.
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения второго сомножителя по счетной шкале со стрелкой.
- Против указателя по счетной шкале отсчитать окончательный результат.
Пример: (2×12)/6=4
IV. Возведение в квадрат
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения числа, возводимого в квадрат, по счетной шкале с указателем.
- Против того же указателя по шкале квадратов прочитать искомое значение квадрата этого числа.
V. Извлечение квадратного корня
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения подкоренного числа по шкале квадратов с указателем.
- Против того же указателя по внутренеей (счетной) шкале прочитать искомое значение квадратного корня.
VI. Нахождение тригонометрических функций угла
- Вращением головки с красной точкой совместить стрелку над неподвижным циферблатом со значением заданного угла по шкале синусов (шкала «S») или по шкале тангенсов (шкала «T»).
- Против той же стрелки на том же циферблате по наружной (счетной) шкале прочитать соответствующее значение синуса или тангенса этого угла.
VII. Нахождение обратных тригонометрических функций
- Вращением головки с красной точкой совместить стрелку над неподвижным циферблатом по наружной (счетной) шкале с заданным значением тригонометрической функции.
- Против той же стрелки по шкале синусов или тангенсов прочитать значение соответстующей обратной тригонометрической функции.
VIII. Вычисление площади круга
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения значения диаметра круга по счетной шкале с указателем.
- Вращением головки с красной точкой совместить стрелку с отметкой «C».
- Вращением головки с черной точкой повернуть подвижный циферблат до совмещения отметки «1» со стрелкой.
- Против указателя по шкале квадратов отсчитать искомое значение площади круга.
Техническо-сбытовая организация «Рассвет» г. Москва, А-57, ул. Острякова, дом №8.
СТУ 36-16-64-64
Артикул В-46
Штамп ОТК <1>
Цена 3 руб. 10 коп.
Штамп с датой выпуска: 20 июня 1966
Размер линейки:
Сейчас логарифмические линейки выпускаются только в наручных часах. Человечество что-то потеряло, полностью перейдя от аналоговых вычислителей на чисто цифровые.
П.С.: фотографии не мои, взяты в интернете. На последнем снимке на циферблате маркировка завода МЛТЗКП, если кто знает что означает эта аббревиатура, прошу сообщить мне. Я смог расшифровать лишь её часть: «Московский Л? Т? Завод Контрольных Приборов», выпускал эту линейку «Московский опытный завод контрольных приборов «Контрольприбор»».
12 апреля 2013
- Транспорт
- Cancel
Круглая логарифмическая линейка
Я еще не рассказывал вам про круглую логарифмическую линейку. Ее разработали в те времена, когда карманные калькуляторы были еще в области фантастики.
Вот она:
Пять сантиметров в диаметре, она имеет две стороны со стрелками и шкалами. Первая сторона видна выше, а вторая — под катом.
Круговая линейка умеет: умножать, делить, возводить в квадрат, извлекать корни и вычислять синусы и тангенсы. Складывать и вычитать, впрочем, как и обычные логарифмические линейки, она не умеет.
Сверху вы видите две ручки. Одна синхронно поворачивает стрелки с двух сторон, а вторая — вращает поверхность со шкалами, но только с одной стороны. Под второй ручкой обратите внимание на маленький указатель. Он нам пригодится.
На первой стороне цифрой 1 помечена основная шкала со значениями от 1 до 10 для умножения и деления, или от 0.1 до 1 для вычисления синусов/тангенсов. Вторая шкала — шкала синусов от 6 до 90 градусов. А третья — шкала тангенсов от 1 до 45 градусов. Вычислять синусы и тангенсы очень просто — двигаем стрелку для значения градусов и в шкале 1 сразу читаем ответ. На фото стрелка стоит около 11.5 градусов. Получаем ответ: sin 11.5o = 0.2
Вторая сторона имеет две шкалы — шкала чисел и шкала квадратов чисел. Стрелка стоит около числа 3, а сразу над ней — цифра 9.
Самое сложное в этой линейке — умножение и деление. Сложное — потому, что если линейкой долго не пользоваться, то все время забываешь, какие шкалы для чего нужны. А если разобраться, то становится очень просто.
Сначала одной ручкой устанавливается множимое на основной шкале, где синусы и тангенсы. После этого линейка переворачивается, и другой ручкой крутится поверхность так, чтобы поверхность повернулась к стрелке значением множителя. И как только нужная цифра встанет под стрелкой, маленький указатель сразу покажет ответ.
На фото показан пример умножения 2 * 3 = 6.
На счет практического применения в те времена — не знаю. Пользоваться ей, в отличие от обычной логарифмической линейки немного неудобно, точность меньше. Зато ее можно легко носить в кармане; в трамвае, если что, можно быстро извлечь корень, а то и взять тангенс.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Человеку, не знакомому с использованием логарифмической линейки, она покажется работой Пикассо. Она имеет как минимум три различных шкалы, почти на каждой из которых цифры расположены даже не на одинаковом расстоянии друг от друга. Но разобравшись, что к чему, вы поймете, почему логарифмическая линейка была такой удобной во времена до изобретения карманных калькуляторов. Правильно расположив нужные цифры на шкале, вы сможете выполнить умножение двух любых чисел гораздо быстрее, чем выполняя расчеты на бумаге.
-
1
Обратите внимание на промежутки между цифрами. В отличие от обычной линейки, расстояние между ними не одинаковое. Наоборот, оно определяется по особой «логарифмической» формуле, меньше с одной стороны и больше с другой. Благодаря этому вы можете совместить две шкалы нужным образом и получить ответ на задачу по умножению, как описано ниже.
-
2
Метки на шкале. Каждая шкала логарифмической линейки имеет буквенное или символьное обозначение с левой или правой стороны. Ниже описаны общепринятые обозначения на логарифмических линейках:[1]
- Шкалы C и D похожи на одноразрядную вытянутую линейку, метки на которой расположены слева направо. Такая шкала называется «одноразрядной десятичной» шкалой.
- Шкалы A и B — «двухразрядные десятичные» шкалы. Каждая состоит из двух небольших вытянутых линеек, расположенных впритык.
- K — это трехразрядная десятичная шкала или три вытянутые линейки, расположенные впритык. Такая шкала имеется не на всех логарифмических линейках.
- Шкалы C| и D| аналогичны C и D, но читаются справа налево. Часто они имеют красную окраску. Они присутствуют не на всех логарифмических линейках.
- Логарифмические линейки бывают разные, поэтому и обозначение шкал может быть другим. На некоторых линейках шкалы для умножения могут быть помечены как A и B и находиться сверху. Независимо от буквенных обозначений, на многих линейках рядом со шкалами есть символ π, отмеченный в подходящем месте; в большинстве своем шкалы находятся напротив друг друга, либо в верхнем, либо в нижнем промежутке. Рекомендуем решить несколько простых задач на умножение, чтобы вы могли понять, правильно ли вы используете шкалы. Если произведение 2 и 4 не равняется 8, попробуйте использовать шкалы на другой стороне линейки.
-
3
Научитесь понимать деления шкалы. Посмотрите на вертикальные линии на шкале C или D и ознакомьтесь с тем, как они читаются:
- Основные цифры на шкале начинаются с 1 от левого края и продолжаются до 9, а затем завершаются еще одной 1 справа. Обычно все они нанесены на линейку.
- Вторичные деления, обозначенные чуть меньшими вертикальными линиями, разделяют каждую основную цифру на 0,1. Вас не должно сбивать с толку, если они обозначены как «1, 2, 3»; все равно они соответствуют «1,1; 1,2; 1,3» и так далее.
- Также могут присутствовать меньшие деления, которые обычно соответствуют шагу 0,02. Следите за ними внимательно, так как они могут исчезать в верхней части шкалы, где цифры находятся ближе друг к другу.
-
4
Не ожидайте получить точные ответы. При чтении шкалы вам часто придется приходить к «наиболее вероятному предположению», когда ответ не будет попадать тютелька в тютельку. Логарифмическая линейка используется для быстрых подсчетов, а не для максимальной точности.
- Например, если ответ находится между отметками 6,51 и 6,52, запишите то значение, которое вам кажется ближе. Если совсем непонятно, то запишите ответ как 6,515.
Реклама
-
1
Запишите числа, которые вы будете умножать. Запишите числа, которые подлежат умножению.
- В примере 1 этого раздела мы подсчитаем, сколько будет 260 x 0,3.
- В примере 2 мы подсчитаем, сколько будет 410 x 9. Это немного сложнее, чем пример 1, поэтому сначала рассмотрим более простую задачу.
-
2
Переместите десятичные точки для каждого числа. Логарифмическая линейка имеет цифры от 1 до 10. Переместите десятичную точку каждого умножаемого числа, чтобы они соответствовали своим значениям. После решения задачи мы переместим десятичную точку в ответе в нужное положение, что будет описано в конце раздела.
- Пример 1: чтобы подсчитать 260 x 0.3, начинайте вместо этого с 2,6 x 3.
- Пример 2: чтобы подсчитать 410 x 9, начинайте вместо этого с 4,1 x 9.
-
3
Найдите меньшие цифры на шкале D, затем передвиньте к ней шкалу C. Найдите меньшую цифру на шкале D. Сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы «1» слева (левый индекс) располагалась на одной линии с этой цифрой.
- Пример 1: сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы левый индекс совпал с 2,6 на шкале D.
- Пример 2: сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы левый индекс совпал с 4,1 на шкале D.
-
4
Переместите металлический указатель ко второй цифре на шкале C. Указатель — это металлический предмет, который перемещается по всей линейке. Совместите указатель со второй цифрой вашей задачи на шкале C. Указатель будет указывать ответ к задаче на шкале D. Если он не перемещается так далеко, переходите к следующему шагу.
- Пример 1: переместите указатель к цифре 3 на шкале C. В этом положении он также будет указывать на 7,8 на шкале D или около того. Переходите к шагу 6.
- Пример 2: постарайтесь переместить указатель так, чтобы он указывал на 9 на шкале C. Это будет невозможно на большинстве линеек или указатель будет указывать на пустое место в конце шкалы D. Решение проблемы описано в следующем шаге.
-
5
Если указатель не перемещается к ответу, используйте правый индекс. Если указатель блокируется перегородкой в центре линейки или ответ расположен за пределами шкалы, то используйте немного иной подход.[2]
Сдвиньте шкалу C таким образом, чтобы правый индекс или 1 справа располагались над большим коэффициентом вашей задачи. Переместите указатель к другому коэффициенту по шкале C и прочтите ответ на шкале D.- Пример 2: переместите шкалу C таким образом, чтобы 1 справа совпала с 9 по шкале D. Переместите указатель к 4,1 по шкале C. Указатель показывает на шкалу D в точке между 3,68 и 3,7, поэтому наиболее вероятный ответ будет 3,69.
-
6
Прикидывайте правильную десятичную точку. Независимо от производимого умножения, ваш ответ всегда будет считываться по шкале D, которая содержит лишь цифры от одного до десяти. Вам не обойтись без предположения и умственного подсчета, чтобы определить местонахождение десятичной точки в фактическом ответе.
- Пример 1: нашей первоначальной задачей было 260 x 0,3, а линейка дала ответ 7,8. Округлите первоначальную задачу до удобных чисел и решите ее в голове: 250 x 0,5 = 125. Такой ответ гораздо ближе к 78, чем к 780 или 7,8, поэтому правильный ответ будет 78.
- Пример 2: нашей первоначальной задачей было 410 x 9, а линейка дала ответ 3,69. Прикиньте первоначальную задачу как 400 x 10 = 4000. Ближайшим числом будет 3690, которое и станет фактическим ответом.
Реклама
-
1
Возведение в квадрат по шкалам D и A. Эти две шкалы обычно неподвижны. Просто переместите металлический указатель к значению по шкале D, а значение по шкале A будет соответствовать второй степени числа.[3]
Как и в случае с умножением, положение десятичной точки придется определять самостоятельно.- Например, чтобы решить 6,12, переместите указатель к 6,1 по шкале D. Соответствующее значение по шкале A будет 3,75.
- Прикиньте 6,12 как 6 x 6 = 36. Расположите десятичную точку так, чтобы получить ответ, который примерно соответствует данному значению: 37,5.
- Обратите внимание, что точный ответ будет 37,21. Ответ на линейке дает погрешность в 1 %, чего вполне достаточно для практических задач.
-
2
Возведение в куб по шкалам D и K. Только что мы увидели как шкала A, которая соответствует шкале D, уменьшенной на 1/2, позволяет возвести число в квадрат. Аналогичным образом шкала K, которая соответствует шкале D, уменьшенной на 1/3, позволяет возвести число в куб. Просто переместите указатель к значению по шкале D и прочитайте результат на шкале K. Прикиньте расположение десятичной точки.
- Например, чтобы решить 1303, переместите указатель к 1,3 по шкале D. Соответствующее значение по шкале K будет 2,2. Так как 1003 = 1 x 106, и 2003 = 8 x 106, мы понимаем, что ответ будет где-то посредине. Ответ должен быть 2,2 x 106, или 2 200 000.
Реклама
-
1
Запишите число в экспоненциальном представлении для извлечения квадратного корня. Как и всегда, на линейке есть только значения от 1 до 10, поэтому для извлечения квадратного корня вам потребуется записать число в экспоненциальном представлении.
- Пример 3: для решения √(390) запишите задачу как √(3,9 x 102).
- Пример 4: для решения √(7100) запишите задачу как √(7,1 x 103).
-
2
Определите, какую сторону шкалы A необходимо использовать. Чтобы извлечь квадратный корень числа, для начала переместите указатель к этому числу по шкале A. Но так как шкала A нанесена дважды, необходимо решить, какую использовать.[4]
В этом помогут следующие правила:- Если экспонента вашего числа четная (как 2 в примере 3), используйте левую сторону шкалы A («первый десятичный разряд»).
- Если экспонента вашего числа нечетная (как 3 в примере 4), используйте правую сторону шкалы A («второй десятичный разряд»).
-
3
Переместите указатель по шкале A. Пока опустите экспоненту десяти и переместите металлический указатель по шкале A к необходимому значению.
- Пример 3: для решения √(3,9 x 102) переместите указатель к 3,9 слева по шкале A (используем левую шкалу, так как экспонента четная).
- Пример 4: для решения √(7,1 x 103) переместите указатель к 7,1 справа по шкале A (используем правую шкалу, так как экспонента нечетная).
-
4
Находим ответ по шкале D. Прочитайте значение по шкале D, на которое наведен указатель. Прибавьте к нему «x10n«. Для подсчета n возьмите исходную степень 10, округлите в меньшую сторону до ближайшего четного числа и разделите на 2.
- Пример 3: соответствующее значение шкалы D при A=3,9 будет 1,975. Изначальная цифра в экспоненциальном представлении имела 102. 2 уже четная, поэтому просто разделите на 2, чтобы получить 1. Окончательный ответ будет 1,975 x 101 = 19,75.
- Пример 4: соответствующее значение шкалы D при A=7,1 будет 8,45. Изначальная цифра в экспоненциальном представлении имела 103, поэтому округлите 3 до ближайшего четного числа, 2, а затем разделите на 2, чтобы получить 1. Окончательный ответ будет 8,45 x 101 = 84,5.
-
5
Аналогичным способом извлекайте кубические корни по шкале K. Процесс извлечения кубического корня очень схож. Самое главное — определить, какую из трех шкал K следует использовать. Для этого разделите количество цифр вашего числа на три и узнайте остаток. Если остаток 1, используйте первую шкалу. Если 2, используйте вторую шкалу. Если 3, используйте третью шкалу (еще один способ — многократно считать от первой шкалы до третьей, пока не достигнете количества цифр в вашем ответе).[5]
- Пример 5: для извлечения кубического корня из 74 000 необходимо подсчитать количество цифр (5), разделить его на 3 и узнать остаток (1, остаток 2). Так как остаток 2, используем вторую шкалу (также можно выполнить счет по шкалам пять раз: 1–2–3–1–2).
- Переместите курсор к 7,4 по второй шкале K. Соответствующее значение по шкале D будет примерно 4,2.
- Так как 103 меньше 74 000, но 1003 больше 74 000, ответ должен быть в рамках от 10 до 100. Переместите десятичную точку, чтобы получить 42.
Реклама
Советы
- Логарифмическая линейка позволяет также выполнять расчет других функций, особенно если на ней имеется шкала логарифмов, шкала тригонометрических расчетов или другие специализированные шкалы. Попробуйте разобраться в них самостоятельно или почитайте информацию в интернете.
- Можно использовать метод умножения для преобразования между двумя единицами измерения. Например, поскольку 1 дюйм = 2,54 сантиметра, задачу «преобразовать 5 дюймов в сантиметры» можно трактовать как пример умножения 5 x 2,54.
- Точность логарифмической линейки зависит от количества различимых масштабных отметок. Чем больше длина линейки, тем выше ее точность.
Реклама
Предупреждения
- Не допускайте воздействия на логарифмическую линейку тепла и влаги. Коробление и усыхание конструкции приведет к снижению точности линейки.[6]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 146 308 раз.
Была ли эта статья полезной?
Год выпуска — 1986. Московский опытный завод контрольных приборов «Контрольприбор»
Круговая логарифмическая линейка КЛ-1 предназначена для выполнения наиболее часто встречающихся в практике математических операций: умножения, деления, комбинированных действии, возведения в квадрат и в куб,извлечения квадратного корня, нахождения тригонометрических функций синуса и тангенса, а также соответствующих обратных тригонометрических функций, вычисления площади круга, подсчета веса деталей круглого сечения.
Логарифмическая линейка состоит из корпуса с двумя головками, двух циферблатов, один из которых вращается при помощи головки с черной точкой, и двух стрелок, которые вращаются при помощи головки с красной точкой. Против головки с черной точкой над подвижным циферблатом имеется неподвижный указатель.
На подвижном циферблате нанесены две шкалы: внутренняя (основная) — счетная и наружная — шкала квадратов чисел.
На неподвижном циферблате нанесены три шкалы: наружная шкала — счетная, аналогичная внутренняя шкале на неподвижном циферблате, средняя шкала — значений углов для отсчетов их синусов и внутренняя шкала — значений углов для отсчетов их тангенсв.
О правилах выполнения математических операций на линейке КЛ-1 можно прочитать в руководстве пользователя.
Ниже круговая логарифмический линейка, с логотипом 50-летия Октябрьской революции, жаль, стрелка потеряна.
Руководство пользователя 
Содержание
- Уильям Отред — изобретатель логарифмической линейки
- Возможности
- История изобретения
- Споры об авторстве
- Разновидности
- Как пользоваться логарифмической линейкой
- 1. Сложение
- 2. Умножение
- Как считать на логарифмической линейке
- Инструкция к линейке
- Круговая логарифмическая линейка “КЛ-1”
- I. Умножение
- II. Деление
- III. Комбинированные действия
- IV. Возведение в квадрат
- V. Извлечение квадратного корня
- VI. Нахождение тригонометрических функций угла
- VII. Нахождение обратных тригонометрических функций
- Устройство
Уильям Отред — изобретатель логарифмической линейки
Уильям Отред, выпускник Итонской школы и Кембриджского Королевского колледжа, пастор церкви Олсбери в графстве Суррей, был страстным математиком и любил преподавать свой любимый предмет многочисленным студентам, от которых он не получал никакого вознаграждения. «Невысокого роста, с черными волосами и черными глазами, с острым взглядом, он постоянно о чем-то размышлял, рисовал в пыли какие-то линии и схемы», — описал один из биографов Отреды. «Когда он столкнулся с особенно интересной математической задачей, случилось так, что он не спал и не ел, пока не нашел решение». Он первый изобретатель логарифмической линейки.
Возможности
Обычная логарифмическая линейка может делить и умножать числа, возводить их в квадрат и куб, извлекать корень, решать уравнения. Кроме того, на шкалах под определенными углами производились тригонометрические (синус и тангенс) расчеты, определялись мантиссы логарифмов и обратных действий — числа находились по их значениям.
Точность расчетов во многом зависела от качества линейки (длины ее шкалы). В идеале можно было бы надеяться на точность до третьего знака после запятой. Таких индикаторов было вполне достаточно для технических расчетов в XIX веке.
Возникает вопрос: как пользоваться логарифмической линейкой? Знания назначения весов и способов нахождения на них чисел недостаточно для проведения расчетов. Чтобы использовать все возможности линейки, необходимо понимать, что такое логарифм, знать его характеристики и свойства, а также принципы построения и зависимости лестницы.
История изобретения
В 1631 году Отред опубликовал главный труд своей жизни: учебник Clavis Mathematicae («Ключ к математике»), который на протяжении почти двух столетий неоднократно переиздавался. Однажды, обсуждая «механическое исчисление» с использованием линейки Гюнтера со своим учеником Уильямом Форстером, Отред заметил несовершенство этого метода. Тем временем учитель продемонстрировал свое изобретение: несколько концентрических колец с логарифмическими шкалами и нанесенные на них две стрелки.
Форстер был в восторге и позже написал: «Он был лучше любого инструмента, который я знал. Мне было интересно, почему он скрывал это очень полезное изобретение в течение многих лет… »Сам Отред сказал, что« он просто сложил и свернул шкалу Гюнтера в кольцо », и, кроме того, он был уверен, что« истинное искусство математики ему не нужны инструменты… », он считал их использование допустимым только после овладения этим искусством. Однако ученик настоял на публикации, и в 1632 году Отред написал (на латыни), а Форстер перевел на английский брошюру« Круги пропорции и горизонтальный инструмент », в котором описана логарифмическая линейка.
Споры об авторстве
Авторство этого изобретения оспаривал другой его ученик — Ричард Деламейн, опубликовавший в 1630 году книгу «Граммелогия, или математическое кольцо». Кто-то может возразить, что он просто украл изобретение правителя у учителя, но, возможно, он нашел подобное решение самостоятельно. Другой претендент на авторство — лондонский математик Эдмунд Вингейт, который в 1626 году предложил использовать две линейки Гюнтера, которые текли друг относительно друга. Инструмент был доведен до современного состояния Робертом Биссакером, сделавшим линейку прямой (1654 г.), Джоном Робертсоном, снабдившим его курсором (1775 г.), и Амедом Мангеймом, который оптимизировал положение шкал и курсора.
Логарифмическая линейка значительно упростила сложные вычисления для инженеров и ученых. В двадцатом веке, до появления калькуляторов и компьютеров, логарифмическая линейка была таким же символом инженерии, как стетоскоп для врачей.
Разновидности
Стандартная логарифмическая линейка имеет длину измерительной шкалы 25 см. Также был карманный вариант длиной 12,5 см и прибор с повышенной точностью до 50 см. Было разделение линейок на первую и вторую степень в зависимости от качество исполнения. Обращено внимание на четкость штрихов, символов и вспомогательных линий. Двигатель и кузов должны были быть плоскими и идеально подходить друг к другу. Второсортные изделия могли иметь небольшие царапины и точки на целлулоиде, но не искажали обозначения. Также может быть небольшая отдача в канавках и прогиб.
Существовали и другие карманные варианты (аналог часов диаметром 5 см) устройства: логарифмический диск (типа «Спутник») и круговые линейки (КЛ-1). Они отличались как конструкцией, так и меньшей точностью измерения. В первом случае для выставления чисел на замкнутых круговых логарифмических шкалах использовалась прозрачная крышка с видоискателем. Во втором на корпусе был установлен механизм управления (две поворотные ручки): одна управляла дисковым двигателем, другая — видоискателем.
Как пользоваться логарифмической линейкой
Давайте посмотрим, как выполнять основные математические операции с помощью логарифмической линейки. Принцип его работы основан на том, что умножение и деление чисел заменяются соответственно сложением и вычитанием их логарифмов.
1. Сложение
Добавить логарифмическую линейку РЕКЛАМА — ПРОДОЛЖАЙТЕ СЛЕДУЮЩИЕ СЛЕДУЮЩИЕ СООБЩЕНИЯ — ПРОДОЛЖАЙТЕ ПОДПИСАТЬСЯ
Допустим, нам нужно найти сумму двух и четырех. На одной (нижней) линейке мы откладываем два деления (сегмент a на рисунке), перемещаем вторую (верхнюю) линейку вправо от тех же двух делений, после чего откладываем на нее еще четыре деления (сегмент b на рисунке) фигура). Смотрим на линейку внизу, над которой цифра — точка, куда мы пришли: это шесть.
2. Умножение
Умножение с помощью логарифмической линейки РЕКЛАМА — ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Для начала введем переменные: a ∙ b = c для a = 2, b = 3. Затем возводим обе части равенства в логарифм и получаем Lg (a) + lg (b) = lg (c) . Взяв две линейки с логарифмической шкалой, мы увидим, что сумма значений lg2 и lg3 дает lg6, то есть произведение 2 на 3.
На основной шкале корпуса линейки (второй снизу) выберите первый коэффициент и установите для него начало основной, нижней, моторной шкалы (она находится на лицевой стороне последней и в точности совпадает с основной корпус весов).
Затем в основной шкале каре для волос каре устанавливается второй фактор. На основной шкале тела линейки под волосы смотрим ответ. Если при этом волосы выходят за пределы шкалы, то первому множителю ставится не начало, а конец движка (с цифрой 10).
Как считать на логарифмической линейке
Для уверенной работы с устройством требовались определенные навыки. Относительно простые вычисления с курсором. Для удобства мотор (чтобы не отвлекаться) можно снять. Установив линию на значения любого числа на основной шкале (D), вы можете мгновенно получить результат возведения в квадрат на шкале выше (A) и куба на верхней шкале (K) с помощью средства просмотра. Внизу (L) будет значение его логарифма.
Деление и умножение чисел производится с помощью движка. Применяются свойства логарифмов. По их словам, результат умножения двух чисел равен результату сложения их логарифмов (аналогично: деление и разность). Зная это, вы можете быстро производить расчеты, используя графические шкалы.
В чем сложность логарифмической линейки? К каждому экземпляру прилагаются инструкции по его правильному использованию. Помимо знания свойств и характеристик логарифмов, необходимо было уметь правильно находить исходные числа на шкалах и уметь считывать результаты в нужном месте, включая самостоятельное определение точного положения запятой.
Инструкция к линейке
Инструкции к линейке у меня очень потрепанные, потому что они уже 1966 года выпуска. Поэтому я решил оцифровать ее для корпуса в электронном формате.
Полная инструкция к логарифмической линейке «КЛ-1”:
- Рамка.
- Черная голова.
- Голова с красной точкой.
- Мобильный циферблат.
- Фиксированный указатель.
- Основная шкала (количество).
- Масштаб квадратов чисел.
- Стрелка.
- Фиксированный циферблат.
- Счетная шкала.
ВНИМАНИЕ! Вынимать головки из корпуса не разрешается.
Круговая логарифмическая линейка «KL-1» предназначена для выполнения наиболее распространенных на практике математических операций: умножения, деления, комбинированных действий, возвышения в кладку, извлечения квадратного корня, поиска тригонометрических функций синуса и тангенса, а также а также соответствующие обратные тригонометрические функции, вычисляющие площадь круга.
Логарифмическая линейка состоит из двуглавого корпуса, двух циферблатов, один из которых вращается вместе с заводной головкой с черной точкой, и двух стрелок, вращающихся вместе с заводной головкой с красной точкой. Перед черной пунктирной головкой над подвижным циферблатом находится фиксированный указатель.
На подвижном циферблате расположены 2 шкалы: внутренняя — основная — счетная и внешняя — шкала числовых квадратов.
В фиксированном квадранте есть 3 шкалы: внешняя шкала для подсчета, аналогичная внутренней шкале в подвижном квадранте, центральная шкала S-значений углов для подсчета их груди и внутренняя шкала « T «-значения углов для считывания их касательных.
Выполнение математических операций на линейке «КЛ-1» выглядит следующим образом:
I. Умножение
- Поверните головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный диск, пока первый коэффициент на шкале счета не совместится с указателем.
- Поверните голову с красной точкой, чтобы совместить стрелку с отметкой «1”.
- Поверните головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный диск, пока второй коэффициент не совместится со стрелкой на шкале счета.
- Подсчитайте желаемое значение продукта по индикатору на счетной шкале.
II. Деление
- Поверните заводную головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный циферблат, пока делимое на шкале подсчета не совпадет с указателем.
- Вращая головку с красной точкой, совместите стрелку с разделителем на счетной шкале.
- Поверните заводную головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный диск, пока отметка «1» не совместится со стрелкой.
- По индикатору на счетной шкале посчитайте желаемое значение частного.
III. Комбинированные действия
- Поверните головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный диск, пока первый коэффициент на шкале счета не совместится с указателем.
- Вращая головку с красной точкой, совместите стрелку с разделителем на счетной шкале.
- Поверните головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный диск, пока второй коэффициент не совместится со стрелкой на шкале счета.
- Подсчитайте окончательный результат по стрелке на шкале подсчета.
Пример: (2×12) / 6 = 4
IV. Возведение в квадрат
- Поверните головку с черной точкой, чтобы вращать подвижный циферблат, пока значение квадрата числа на шкале счета не совместится с указателем.
- Против того же указателя на шкале квадратов прочтите искомое значение квадрата этого числа.
V. Извлечение квадратного корня
- Поверните голову с черной точкой, чтобы вращать подвижный диск, пока значение радикального числа на квадратной шкале не совместится с указателем.
- Против того же указателя на внутренней (счетной) шкале считайте искомое значение квадратного корня.
VI. Нахождение тригонометрических функций угла
- Поворачивая заводную головку с красной точкой, совместите стрелку над фиксированным циферблатом со значением угла, указанным на шкале синусов (шкала «S») или шкале касательных (шкала «T”).
- Против той же стрелки в том же квадранте внешней шкалы (count) прочтите соответствующее значение синуса или тангенса этого угла.
VII. Нахождение обратных тригонометрических функций
- Вращая головку с красной точкой, совместите стрелку над фиксированным квадрантом внешней (счетной) шкалы с указанным значением тригонометрической функции.
- Сравните с той же стрелкой на шкале синусов или тангенса значение соответствующей обратной тригонометрической функции.
Устройство
Логарифмическая линейка (стандартная) изготовлена из твердого дерева, устойчивого к истиранию. Для этого в промышленных масштабах использовали грушевое дерево. Из него были изготовлены корпус и двигатель: меньшая планка, установленная во внутренней канавке. Его можно перемещать параллельно основанию. Бегунок был сделан из алюминия или стали со смотровым окном из стекла или пластика. На нем проводится тонкая вертикальная линия (вид). Ползун скользит по боковым направляющим и подпружинен из стальной пластины. Корпус и мотор покрыты светлым целлулоидом, на котором отпечатана чешуя. Их отделы набиты типографскими чернилами.
На лицевой стороне линейки семь шкал: четыре на корпусе и три на курсоре. На боковых гранях простая мерная выемка (25 см) с делениями по 1 мм. Шкалы (C) на ползунке ниже и (D) на теле непосредственно под ним считаются основными. Над основанием — кубическая разметка (K), ниже — квадратичная разметка (A). Внизу (над ползунком) точно такая же симметричная вспомогательная шкала (В). Внизу корпуса все еще есть разметка для значений логарифма (L). В центре лицевой стороны линейки между отметками (B) и (C) находится обратная числовая шкала (R). С другой стороны двигателя (планку можно вынуть из пазов и перевернуть) есть еще три шкалы для расчета тригонометрических функций. Верхний (Sin) предназначен для груди, нижний (Tg) — для касательных, а средний (Sin и Tg) — для общего.
