В.Е. ГМУРМАНРуководствок решению задачпо теориивероятностейи математическойстатистжеИздание девятое, стереотипноеРекомендованоМинистерством образованияРоссийской Федерациив качестве учебного пособиядля студентов вузовМосква«Высшая школа» 2 0 0 4У Д К 519.2Б Б К 22.171Г 55I S B N 5-06-004212-Х© ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2004Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства«Высшая пшола», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способомбез согласия издательства запрещается.ОГЛАВЛЕНИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯГлава первая.
<§ 1. Классическое и статистическое определения вероятности…§ 2. Геометрические вероятностиГлава вторая. Осионпие теоремы§§§§1. Теорема сложения и умножения вероятностей2. Вероятность появления хотя бы одного события3. Формула полной вероятности4. Формула БейесаГлава третья. Попорешю •саытшшй§ 1. Формула Бернулли§ 2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа§ 3. Отклонение относительной частоты от постоянной верояггности в независимых испытаниях§ 4. Наивероятнейшее число появлений события в независимыхиспытаниях§ 5.
Производящая функция8121818293132373739434650ЧАСТЬ ВТОРАЯСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫГлава четвертая. Дшсшретие сяучаЛиые велрвош§ Ь Закон распределения вероетноетей дискретной случайнойвеличины. Законы биномиальный и Пуассона52523§ 2. Простейший поток событий§ 3. Числовые хараюеристики дискретных случайных величин.§ 4. Теоретические моментыГлава пятая. Запш большвх чисел§ 1. Неравенство Чебышева§ 2. Теорема Чебышева606379828285Глава шестая.
Фувкщш н nJurraocni распределеии вероятностей слу§ 1. Функция распределения вероятностей случайной величины§ 2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины§ 3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин§ 4. Равномерное распределение§ 5. Нормальное распределение§ 6. Показательное распределение и его числовые характеристики§ 7. Функция надежностиГлава седьмая. Распределение функции одного и даух слдгчайных apiyмеигов§ 1. Функция одного случайного аргумента§ 2. Функция двух случайных аргументовГлава восьмая. Система двух случайных величин§ 1.
Закон распределения двумерной случайной величины§ 2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дис1фетной двумерной случайной величины§ 3. Отыскание плотностей и условных законов распределениясоставляющих непрерывной двумерной случайной величины….§ 4. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин879194106109114119121121132137137142144146ЧАСТЬ ТРЕТЬЯЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИГлава девятая. Выборочный метод§ 1. Статистическое распределение выборки§ 2. Эмпирическая функция распределения§ 3. Полигон и гистограммаГлава десятая.
Спгпкппескне оценки нарвиетрои расиределення…..§ 1. Точечные оценки4151151152152157157§ 2. Метод моментов§ 3. Метод наибольшего правдоподобия§ 4. Интервальные оценкиГлава одиннадцатая. Методы расчета сводных характеристик выборки§ 1. Метод произведений вычисления выборочных средней идисперсии§ 2. Метод сумм вычисления выборочньпс средней и дисперсии§ 3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределенияГлава двенадцатая. Элементы теории корреляции%\.
Линейная корреляция§ 2. Криволинейная корреляция§ 3. Ранговая корреляция163169174181181184186190190196201Глава тринадцатая. Статисгаческая проверка спггастических гапотез 206§ 1. Основные сведения§ 2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей§ 3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии сгипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности§ 4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей,дисперсии которых известны (большие независимые выборки).§ 5.
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малыенезависимые выборки)§ 6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности§ 7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)§ 8. Сравнение наблюдаемой относительной частоты сгипотетической вероятностью появления события§ 9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральныхсовокупностей по выборкам различного объема.
Критерий Бартлетта§ 10. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральныхсовокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена§11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений§ 12. Проверка гипотезы о значимости выборочногокоэффициента корреляции§ 13. Проверка гипотезы о значимости выборочногокоэффициента ранговой корреляции Спирмена206207210213215218226229231234237239244§ 14.
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кецдалла§ 15. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по]фитерию Вилкоксона§ 16. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона§ 17. Графическая проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Метод спрямленных диаграмм§ 18. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности§ 19.
Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону§ 20. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности§ 21. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону ПуассонаГлава четырнадцатая. Одрюфиториый дкперсвошшй ашшв§ 1.
Одинаковое число испытаний на всех уровнях§ 2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях24624725125 9268272275279283283289ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯМОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНГлава пятнадцатая. Моделаромшю (разыгрышипе) сяучшЛшиквелпш методом Мовте-Карло§ 1. Разыгрывание дискретной случайной величины§ 2. Разыгрывание полной группы событий§ 3. Разыгрывание непрерывной случайной величины§ 4. Приближенное разыгрывание нормальной случайнойвеличины§ 5. Разыгрывание двумерной случайной величины§ 6.
Оценка надежности простейших систем методом МонтеКарло§ 7. Расчет систем массового обслуживания с отказами методомМонге-Карло§ 8. Вычисление определенных икгегралов методом Монте-Карло294294295297302303307311317ЧАСТЬ ПЯТАЯСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИГлава шестнадцатая. Корреляцрошиш теорш сяучшЁяых футщЛ ••••§ 1. Основные понятия. Характеристики случайных функций…6330330§ 2. Характеристики суммы случайных функций§ 3. Характеристики производной от случайной функции§ 4.
Характеристики интеграла от случайной функцииГлава семнадцатая. Стацкоиярные случайные функции§ 1. Характеристики стационарной случайной функции§ 2. Стационарно связанные случайные функции§ 3. Корреляционная функция производной от стационарнойслучайной функции§ 4. Корреляционная фушощя интеграла от стационарной слу>чайной функции§ 5. Взаимная корреляционная функция дифференцируемойстационарной случайной функции и ее производных§ 6.
Спектральная плотность стационарной случайной функции§ 7. Преобразование стационарной случайной функциистационарной линейной динамической системойОтветыПриложения337339342347347351352355357360369373387Часть перваяСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯГлава перваяОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ§ 1. Классическое и статистическоеопределение вероятностиПри классическом определении вероятность события опреле^-хпется равенствомР(А)^т/п.где Л1—число элементарных исходов испытания, благоприятствующихпоявлению события А; п—общее число возможных элементарныхисходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.Относительная частота события А определяется равенствомWiA)^m/n,где т—число испытаний, в которых событие А наступило; п —общеечисло произведенных испытаний.При статистическом определении в качестве вероятности событияпринимают его относительную частоту.1.
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, чтосумма очков на выпавших гранях—четная, причем на срани хотя(кд одирй из костей появится шестерка.Р е ш е н и е . На выпавшей грани «первой)^ игральной косги мо*жет появиться одно очко, два очка, . . . , шесть очков. Аналогичные шес1ъ элементарных исходов возможны при бросании «второй»кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй».
Таким образом, общеечисло возможных элементарных исходов испытания равно 6-6’=^-36.Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костейравновозможны.Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков — четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым—число очков, выпавших на «второй»кости; далее найдена сумма очков):1) 6, 2; 64-2 = 8, 2) 6, 4; 6 + 4-= 10. 3) 6, 6; 6-f6=rl2, 4) 2.
6:2 + 6-«8. 5) 4, 6; 4 + 6 = 1 0 .Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: Я = 5/36.2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартнаяя 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестнокакая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика детальоказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна:а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.Р е ш е н и е , а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, немогла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30детглей (21-Ь10 — 1 = 3 0 ) , причем среди них было 20 стандартных(21—1=20).
Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р = 20/30 =.2/3.б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартнаядеталь, Р == 10/30-^ 1/3.3. Задумано двузначное число. Найти вероятностьтого, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.4.
Указать ошибку «решения» задачи: брошены двеигральные кости; найти вероятность того, что сумлш выпавших очков равна 3 (событие А).«Р е ш е н и е>. Возможны два исхода испытания: сумма выпавшихочков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Отбытию Л 6.iaroприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность Р(>4)~1/2.Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.П р а в и л ! ь н о е р е ш е н и е .
В.Е. Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 12-е издание, переработанное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов вузов ОСНОВЫ МОСКВА • ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ • 2006
УДК 519.2 ББК22.171я73 Г 55 Книга по праву считается одной из лучших по теории вероятностей и математической статистике, переведена и издана во многих странах мира г-- ГмурманВ.Е. 1ЭЭ Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие — 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006. — 476 с. (Основы наук). ISBN 5-9692-0050-6 В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, помещены задачи для самостоятельного решения, сопровождающиеся ответами и указаниями. Большое внимание уделено методам статистической обработки экспериментальных данных. Для студентов вузов; может быть также полезно лицам, применяющим вероятностные статистические методы при решении практических задач. По вопросам приобретения обращайтесь в книготорг «Юрайт» Тел.: (495) 744-00-12. E-mail: sales@urait.ru, www.urait.ru Покупайте наши книги: — в нашем офисе: 140004, Московская область, г. Люберцы, 1-й Панковский проезд, дом 1; — через Интернет-магазин: www.books.urait.ru; e-mail: books@books.urait.ru. © Гмурман В.Е., 2005 © ООО «Высшее образование», ISBN 5-9692-0050-6 2006, переработанное
Оглавление Раздел I СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава 1. Определение вероятности 10 1.1. Классическое и статистическое определение вероятности 10 1.2. Геометрические вероятности 15 Глава 2. Основные теоремы 22 2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 22 2.2. Вероятность появления хотя бы одного события 34 2.3. Формула полной вероятности 37 2.4. Формула Бейеса 39 Глава 3. Повторение испытаний 45 3.1. Формула Бернулли 45 3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа 47 3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях 52 3.4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях 56 3.5. Производящая функция 60 Раздел П СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Глава 4. Дискретные случайные величины 64 4.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона 64
4 Оглавление 4.2. Простейший поток событий 74 4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 77 4.4. Теоретические моменты 97 Глава 5. Закон больших чисел 102 5.1. Неравенство Чебышева 102 5.2. Теорема Чебышева 105 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин 109 6.1. Функция распределения вероятностей случайной величины 109 6.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины 113 6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 117 6.4. Равномерное распределение 131 6.5. Нормальное распределение 135 6.6. Показательное распределение и его числовые характеристики 140 6.7. Функция надежности 145 Глава 7. Распределение функции одного и двух случайных аргументов 149 7.1. Функция одного случайного аргумента 149 7.2. Функция двух случайных аргументов 161 Глава 8. Система двух случайных величин 169 8.1. Закон распределения двумерной случайной величины 169 8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины 175 8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины 177 8.4. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин 180
Оглавление 5 Раздел Ш ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Глава 9. Выборочный метод 188 9.1. Статистическое распределение выборки 188 9.2. Эмпирическая функция распределения 189 9.3. Полигон и гистограмма 190 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения 196 10.1. Точечные оценки 196 10.2. Метод моментов 203 10.3. Метод наибольшего правдоподобия 210 10.4. Интервальные оценки 216 Глава 11. Методы расчета сводных характеристик выборки 224 11.1. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии 224 11.2. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии 228 11.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения 231 Глава 12. Элементы теории корреляции 236 12.1. Линейная корреляция 236 12.2. Криволинейная корреляция 242 12.3. Ранговая корреляция 247 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 253 13.1. Основные сведения 253 13.2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 255 13.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности 258 13.4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки) 262
6 Оглавление 13.5. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) 264 13.6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности 268 13.7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки) 277 13.8. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события 280 13.9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта 283 13.10. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена 287 13.11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений 290 13.12. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции 292 13.13. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена 297 13.14. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла 299 13.15. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона 301 13.16. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона 305 13.17. Графическая проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Метод спрямленных диаграмм 314 13.18. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности 324 13.19. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону 328 13.20. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности 332 13.21. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона 336
Оглавление Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ 341 14.1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях 341 14.2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях 348 Раздел IV МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Глава 15. Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло 354 15.1. Разыгрывание дискретной случайной величины... 354 15.2. Разыгрывание полной группы событий 356 15.3. Разыгрывание непрерывной случайной величины.. 358 15.4. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины 363 15.5. Разыгрывание двумерной случайной величины ... 364 15.6. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло 369 15.7. Расчет систем массового обслуживания с отказами методом Монте-Карло 374 15.8. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло 380 Раздел V СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ Глава 16. Корреляционная теория случайных функций 396 16.1. Основные понятия. Характеристики случайных функций 396 16.2. Характеристики суммы случайных функций 405 16.3. Характеристики производной от случайной функции 407 16.4. Характеристики интеграла от случайной функции 410
8 Оглавление Глава 17. Стационарные случайные функции 418 17.1. Характеристики стационарной случайной функции ч 418 17.2. Стационарно связанные случайные функции 422 17.3. Корреляционная функция производной от стационарной случайной функции 424 17.4. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции 427 17.5. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции и ее производных 429 17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции 432 17.7. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой 443 Ответы 447 Приложения 461
Раздел I СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Глава 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 1.1. Классическое и статистическое определение вероятности При классическом определении вероятность события определяется равенством где т — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; п — общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны. Относительная частота события А определяется равенством где т — число испытаний, в которых событие А наступило; п — общее число произведенных испытаний. При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту. 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем на грани хотя бы одной из костей появляется шестерка. Решение. На выпавшией грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,..., шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно
1Л. Классическое и статистическое определение вероятности 11 6 • 6 = 36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны. Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков — четная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым — число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков): 1) 6, 2; 6 + 2 = 8; 2) 6, 4; 6 + 4 = 10; 3) 6, 6; 6 + 6 = 12; 4) 2,6; 2 + 6 = 8; 5) 4,6; 4 + 6 = 10. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: Р = 5/36. 2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь. Решение, а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21 + 10 - 1 = 30), причем среди них было 20 стандартных (21-1 = 20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р = 20/30 = 2/3. б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р = 10/30 = 1/3. 3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны. 4. Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна трем (событие А). «Решение». Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна трем, сумма выпавших очков не равна трем. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность Р (А) = 1 /2. Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными. Правильное решение. Общее число равновозможных исходов равно 6 • 6 = 36 (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только
Глава 1. Определение вероятности два исхода (в скобках указаны числа выпавших очков): (1; 2) и (2; 1). Следовательно, искомая вероятность Р(А) = 2/36 = 1/18. 5. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем. 6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три. 7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 8. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке. 9. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные шести). Решение. Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из шести элементов по три, т.е. С^. Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки на одной грани и различного числа очков (не равного шести) на гранях двух других костей, равно числу сочетаний из пяти элементов по два, т.е. Су Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возможных элементарных исходов: Р = С\/С\ = 1/2. 10. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102,..., 120 и произвольно расположенных. Перфораторщи- ца наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120. 11. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2...., 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь N° 1; б) детали № 1 и № 2.
1.1. Классическое и статистическое определение вероятности 13 Решение, а) Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из десяти, т.е. Сьт. Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести деталей есть деталь № 1, и, следовательно, остальные пять деталей имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать пять деталей из оставшихся девяти, т.е. С\. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов: Р = С^/С^ = С%/С^о = 0,6. б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных деталей есть детали № \ и № 2, следовательно, четыре детали имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь четыре детали из оставшихся восьми, т.е. Cg. Искомая вероятность Р = C\lC\Q = 1/3. 12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными. 13. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. 14. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных. 15. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы. 16. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 17. В партии из N деталей имеется п стандартных. Наудачу отобраны т деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно к стандартных. Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь т деталей из N деталей, т.е. CJJ — числу сочетаний из N элементов по т.
14 Глава 1. Определение вероятности Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди т деталей ровно к стандартных): к стандартных деталей можно взять из п стандартных деталей Скп способами; при этом остальные т - к деталей должны быть нестандартными; взять же т-к нестандартных деталей из N-n нестандартных деталей можно CJJlJ способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно CknC™Zkn- Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: 18. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины. 19. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода. 20. В группе 12 студентов, среди которых восемь отличников. По списку наудачу отобраны девять студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников. 21. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие. 22. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт. 23. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг. Решение. Относительная частота события А (появление бракованных книг) равна отношению числа испытаний, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных испытаний: W(A) = 5/100 = 0,05.
1.2. Геометрические вероятности 15 24. По цели произведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель. 25. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов. 1.2. Геометрические вероятности Пусть отрезок / составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок / пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок / определяется равенством Р = Длина //Длина L Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади (Пл.) этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Р = Пл. g/Пл. G. Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру у, которая составляет часть фигуры V: Р = Объем у/Объем V. 26. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок / длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 27. На отрезок О А длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем L/3.
16 Глава 1. Определение вероятности Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 28. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса г. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения. 29. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса г < а. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых. 30. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а наудачу брошена монета радиуса г < а/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения. 31. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 32. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения. 33. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга. 34. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.
1.2. Геометрические вероятности 17 BOO C(y) A 35. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С (у), причем у > х. (Координата точки С для удобства дальнейшего изложения обозначена через у}. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше длины отрезка ОВ (рис. 1, а). Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Решение. Координаты точек В и С должны удовлетво- а\ рять неравенствам 0 < х < X < L,0 < у < L,y > х. Введем —% % % % > в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей прямоугольному треугольнику О КМ (рис. 1, б). Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют соответственно все возможные значения координат точек В и С. Длина отрезка ВС должна быть меньше длины отрезка ОВ, т.е. должно иметь место Рис.1 неравенство у - х < х} или у < 2х. Последнее неравенство выполняется для координат тех точек фигуры G (прямоугольного треугольника ОКМ), которые лежат ниже прямой у = 2х (прямая ON). И из рис. 1, б следует, что все эти точки принадлежат заштрихованному треугольнику ONM. Таким образом, этот треугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими интересующему нас событию (длина отрезка ВС меньше длины отрезка О В). Искомая вероятность Р = Пл. g/Пл. G = Пл. ONM/Пл. ОКМ = 1/2. 36. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В (х) и С (у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точке. Предполагается, что вероятность попада-
18 Глава 1. Определение вероятности ния точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 37. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С(у)у причем у > х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 38. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В (х) и С (у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 39. Задача Бюффона (французский естествоиспытатель XVIII в.). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросают иглу длиной 2/ (/ < а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Решение. Введем следующие обозначения: х — расстояние от середины иглы до ближайшей параллели; <р — угол, составленный иглой с этой параллелью (рис. 2, а). а) б) Рис. 2 Положение иглы полностью определяется заданием определенных значений х и ср, причем х принимает значения от 0 до а; возможные значения ф изменяются от 0 до л. Иными словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами аик (рис. 2, б). Таким образом, этот прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют
1.2. Геометрические вероятности 19 собой все возможные положения середины иглы. Очевидно, площадь фигуры G равна ка. Найдем теперь фигуру g, каждая точка которой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка этой фигуры может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель. Как следует из рис. 2, а, игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии х < /sincp, т.е. если середина иглы попадет в любую из точек фигуры, заштрихованной на рис. 2, б. Таким образом, заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры: Пл. g = f / sin ф dcp = -/ cos ф = 21. Искомая вероятность того, что игла пересечет прямую Р = Пл. g/Пл. G = 21/(ла). 40. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В (х) и С Су). Найти вероятность того, что из трех получившихся отрезков можно построить треугольник. Решение. Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, каждый из отрезков должен быть меньше суммы двух других. Сумма всех трех отрезков равна L, поэтому каждый из отрезков должен быть меньше L/2. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. Координаты любых двух точек В и С должны удовлетворять двойным неравенствам: 0^*^L, 0<)><L. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки М(х\у)у D <5) 0 в) L В(х)С(у) L А х С(у)В(х) А х Рис. 3 принадлежащей квадрату OLDL (рис. 3, а). Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения координат точек В и С.
20 Глава 1. Определение вероятности 1. Пусть точка С расположена правее точки В (рис. 3, 6). Как указано выше, длины отрезков ОВ, ВС, С А должны быть меньше 1/2, т.е. должны иметь место неравенства х < L/2, у - х < L/2, L-y < < L/2, или, что то же, x<L/2, y<x + L/2y y>L/2. С) 2. Пусть точка С расположена левее точки В (рис. 3, в). В этом случае должны иметь место неравенства у < L/2, х - у < L/2, L - х < < L/2, или, что то же, y<L/2, у > х-1/2, x>L/2. (**) Как показано на рис. 3, а, неравенства (*) выполняются для координат точек треугольника EFH, а неравенства (**) — для точек треугольника КЕМ. Таким образом, заштрихованные треугольники можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас событию (из трех отрезков можно построить треугольник). Искомая вероятность Р = Пл. g/Пл. G = (Пл. AEFE + Пл. аКЕМ)/Пл. uOLDL = 1/4. 41. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t(t < Т). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Г, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. Решение. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через jc и у. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: О^х^Г, 0<)/< Т. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТ AT (рис. 4). Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты 0 Ряс. 4
1.2. Геометрические вероятности 21 точек которой представляют все возможные значения моментов поступления сигналов. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше г, т.е. если у - х < < t при у> хих-у <t при х> у, или, что то же, у < x + t при у > х, (*) y>x-t при у < х. (**) Неравенство (*) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой у = х и ниже прямой у = х + + t; неравенство (**) имеет место для точек, расположенных ниже прямой у=х и выше прямой у=х - г. Из рис. 4 следует, что все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (*) и (**), принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами времени х и у. Искомая вероятность Пл. g _Т2-2(Т- г)2/2 _ t(2T -1) " Пл. G " Т2 ~ Т2 ' 42. Задача о встрече» Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов). 43*- Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более L можно построить треугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в пространственную фигуру пропорциональна объему фигуры и не зависит от ее расположения. Указание. Ввести в рассмотрение пространственную систему координат. 44. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше единицы, а частное у/х не больше двух. 45. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма jc + у не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09. * Здесь и далее звездочкой отмечены задачи повышенной сложности.
Глава 2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС) + Р(АВС). Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: = Р(А)РА(В).
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 23 В частности, для независимых событий = Р(А)Р(В\ т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий произведению вероятностей этих событий. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили: Р(А\АгАз ... Ап) = Р(АХ) • PAl(A2) • РЛ1л2(Лъ) • • • Лма...А_,(4.), где PAiA2...An-i(An) — вероятность события Апу вычисленная в предположении, что события А\, А2,..., Ап-\ наступили. В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Р(А1А2...Ап) = Р(А])Р(А2)...Р(Ап). 46. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А). Решение. Первый способ. Требование — хотя бы один из трех взятых учебников в переплете — будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: В — один учебник в переплете, С — два учебника в переплете, D — три учебника в переплете. Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: А = В + С + D. По теореме сложения Найдем вероятности событий В, С и D (см. решение задачи 17): Р(В) = С* • С2Ю/С315 = 45/91, Р(С) = С\ • С\о/С]5 = 20/91, Подставив эти вероятности в равенство (*), окончательно получим Р(А) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
24 Глава 2. Основные теоремы Второй способ. События А (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и А (ни один из взятых учебников не имеет переплета) — противоположные, поэтому Р(А) + Р(А) = 1 (сумма вероятностей двух^ротивоположных событий равна единице). Отсюда Р (Л ) = 1-Р(А). Вероятность появления события А (ни один из взятых учебников не имеет переплета) С3Ю/С315 = 24/91. Искомая вероятность Р(А) = 1 - Р(А) = 1 - 24/91 = 67/91. 47. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена. 48. Доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то Р (В) > Р (А). Решение. Событие_б можно представить в виде суммы несовместных событий А и А В: В = А + АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим _ _ Р(В) = Р(А + АВ) = Р(А) + Р(АВ). Так как Р (А В) > 0, то Р (В) > Р (А). 49. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А\ и А2 соответственно равны р\ и рг- Найти вероятность появления только одного из этих событий. Решение. Введем обозначения событий: В\ — появилось только событие А1; В2 — появилось только событие А2. __ Появление события В\ равносильно появлению события А\А2 (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. В\ = AiA2. Появление события В2 равносильно появлению события А\Аг (появилось второе событие и не появилось первое), т.е. В2 = А \А2. Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий Л1 и A2t достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий В\ и В2. События В\ и В2 несовместны, поэтому применима теорема сложения:
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 25 Остается найти вероятности каждого из событий В\ и В2. События А1 и А2_независимы, следовательно, независимы события A i и Л2, а также А \ и Л2> поэтому применима теорема умножения: Р(А2) = pw2; = Я\Рг. Подставив эти вероятности в соотношение (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий А\ и А2: P{JB\ +B2) = p\q2+q\P2. 50. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. 51. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго — 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. 52. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 53. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. 54. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. 55. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта. 56. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время i)
Глава 2. Основные теоремы первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время г безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента. 57. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках. 58. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков. 59. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани — другое число очков; б) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани — другое число очков; в) на всех выпавших гранях появится разное число очков. 60. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков? Решение. Введем обозначения событий: А — ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков; А,- — на выпавшей грани i'-й кости (/ = 1,2,..., л) не появится 6 очков. Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий ЛЬД2,... ,А„,т.е.А = AiA2 ... Ап. Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р (А,) = 5/6. События А, независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения: По условию (5/6)" < 0,3. Следовательно, п log(5/6) < log 0,3. Отсюда, учитывая, что log(5/6) < 0, найдем: п > 6,6. Таким образом, искомое число игральных костей п > 7. 61. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха? 62. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти ве-
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 27 роятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения. 63. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадает по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 64. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете. Решение. Введем обозначения событий: А — первый взятый учебник имеет переплет, В — второй взятый учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет, Р(А) = 3/6 = 1/2. Вероятность того, что второй учебник имеет переплет при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В такова: Ра (В) = 2/5. Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий такова: Р (АВ) = Р(А)- РА (В) = 1/2 • 2/5 = 0,2. 65. Среди 100 лотерейных билетов есть пять выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными. 66. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами. Решение. Введем обозначения событий: А — первым отобран мужчина; В — вторым отобран мужчина; С — третьим отобран мужчина. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина, Р(Л) = 7/10. Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, т.е. условная вероятность события В следующая: РА (В) = 6/9 = 2/3.
28 Глава 2. Основные теоремы Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность события С такова: РАв (С) = 5/8. Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, Р(АВС) = Р(А) • РА (В) • РАВ (С) = 7/10 • 2/3 • 5/8 = 7/24. 67. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными. 68. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от того, в какой последовательности они появились. 69. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. 70. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек). 71. По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891 г.) установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составили 5% обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (А В) — 7,9%, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) — 8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (А В) — 78,2%. Найти связь между цветом глаз отца и сына. Решение. _По условию Р(АВ) = 0,05; Р(АЪ) = 0,079; Р(АВ) = = 0,089; Р(АВ) = 0,782. Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец темноглазый: Р <В) = Р(АВ) = Р(АВ) = °'05 Р(А) Р(АВ) + Р(АВ) 0,05 + 0,079
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 29 Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец темноглазый: РА (В) = 1 - РА (В) = 1 - 0,39 = 0,61. Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, если отец светлоглазый: п /пч Р(АВ) Р(АВ) 0,089 _ А Р(А) Р(АВ) + А(АВ) 0,089 + 0,782 ' ' Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, если отец светлоглазый: Р-(В) = 1 - Pj(B) = 1 - 0,102 = 0,898. 72. Найти вероятность Р(А) по данным вероятностям: i = 0,72, Р(АВ) = 0,18. Решение. Событие А можно представить в виде суммы следующих двух несовместных событий: А - АВ + АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим Р(А) = Р(АВ + АЪ) = Р(АЪ) + Р(АВ) = 0,72 + 0,18 = 0,9. 73. Найти вероятность Р(АВ) по данным вероятностям: Р(Л) = а, Р(В) = Ъу Р{А + В) = с. Решение. Используя тождество Р(А) = Р(АВ) + Р{АВ\ найдем Р{АВ) = Р(А)- Р(АВ) = а- Р(АВ). (*) Из равенства Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ) выразим Р (АВ): Р(АВ) = Р(А) + Р(В) -Р(А + В) = а + Ь-с. (**) Подставив (**) в (*), получим Р(А~В) = а - (а + Ъ - с) = с - Ь. 74. Найти вероятность Р (А В) по данным вероятностям: = а, Р(В) = Ь ^Решение. Используя тождество Р(В) = Р(АВ) + Р(А5), найдем Р(АВ): Р(АВ) = Р(В) - Р(АВ) = (1 - Ь) - Р(АВ).
30 Глава 2. Основные теоремы Подставив в последнее равенство Р(АВ)-с-Ь (см. задачу 73), получим Р(АВ)= \-Ъ-(с-Ь) = 1-е. 75. Наступление события АВ необходимо влечет наступление события С. Доказать, что Р(А) + Р(В)- Р(С) < 1. Решение. По условию наступление события А В влечет наступление события С, поэтому (см. задачу 48) Р(С)>Р(АВ). (•) Используя тождества Р (А) = Р (АВ) + Р (АЪ\ Р(В) = Р (АВ) + Р (А В), Р(АВ) + Р(АЪ) + Р(АВ) = 1 -Р(АВ) и учитывая неравенство (*), получаем Р(А) + Р(В)- Р(С) < [Р(АВ) + Р(АЪ)] + [Р(АВ) + Р(АВ)}- -Р(АВ) = Р(АВ) + Р(АЪ) + /ЧЛВ) = 1 -Р(Л2?) < 1. Замечание. Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться, что и в частном случае, когда С = АВ, справедливо неравенство Р(В)-Р(АВ)< 1. 76. Доказать, что Предполагается, что Р (А) > 0. Решение. В силу замечания к задаче 75 справедливо неравенство Р(А) + Р(В)-Р(АВ)< 1. (*) Воспользуемся тождествами />(АД) = />(Д) • РА (В\ Р(В)=\- Р(В). (••) Подставив (**) в (*), получим Р(А) + 1 - Р(В) - Р(Л) • РА (В) < 1, или
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 31_ Разделив обе части неравенства на положительное число Р (Л), окончательно имеем 77. Наступление события ABC необходимо влечет наступление события D. Доказать, что Р(Л) + Р(В) + Р(С) - P(D) < 2. Решение. По условию наступление события АЯС необходимо влечет наступление события Д следовательно (см. задачу 48), P(D)> P {ABC). Таким образом, если будет доказано неравенство Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р04ДС) < 2, (•) то будет справедливо и неравенство, указанное в условии задачи. Докажем неравенство (*). Воспользуемся тождествами: Р(А) = Р(АВС) + Р(АВС) + * Р(В) = Р(АВС) + Р(АВС) + Р(ДЯС) + Р(АВС\ (**) Р(С) = Р (ABC) + Р (А #С) + Р (ЛВС) + Р (ЛВС). Из трех событий А, Ву С можно составить следующую полную группу «сложных событий», состоящих из появлений и непоявлений рассматриваемых трех событий: ABC — появились все три события, ABC, ABC, ABC — появились два события, а третье не появилось, А ВС, ABC у ABC — появилось одно событие, а два других не появились, А В С — не появились все три события. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице, поэтому Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АЪС) + Р(АВС)+ +Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) = 1. Отсюда Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АЪС) + Р(АВС) = = 1 - [Р(АВС) + Р(АЪС) + Р(АВС) + Р(АВС)1 (***)
Глава 2. Основные теоремы Подставив (**) в (*) и использовав (***), после упрощений получим Р(Л) + Р(В) + Р(С) - Р(АВС) = = 2- [2Р(Л ВС) + Р(ГВС) + Р(Л/?С) + Р(ЛБС)]. Учитывая, что каждое слагаемое в квадратной скобке неотрицательно, окончательно получаем Р(Л) + Р(В) + Р(С) - P(D) < 2. 78. Вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий: Р(А + В + С) = Р(Л) + />(#) + Р(О- -Р (АВ) - Р (ЛС) - Р (ВС) + Р (ЛВС). Предполагается, что для двух совместных событий теорема сложения уже доказана: Р(А{ + А2) = Р(АО + Р(А2) - Решение. Сведем сумму трех событий к сумме двух событий: А + В + С = (А + В) + С Воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух событий: Р(А 4- Б + С) = Р[(Л + В) + С] = = Р(Л + Б) + Р(С) - Р[(Л + Я)С] = = Р (А + Б) + Р (С) - Р [(ЛС) + (ВС)]. Применим теорему сложения вероятностей двух совместных событий дважды (для событий Л и В, а также для событий Л С и ВС): = Р(А) + Р(В) ~Р(АВ) + Р(С)- ~{Р(АС) + Р(ЯС) - Р[(ЛС)(ЯС)]}. Учитывая, что Р [(ЛС)(ЯС)] = Р (ЛВС), окончательно получаем Р(Л + В + С) = Р(Л) + Р(Я) + Р(С)- -Р(ЛЯ) - Р(АС) - Р(ЯС) + Р(АВС).
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 33 79*. Даны три попарно независимых события А, В, С, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность ру найти наибольшее возможное значение р. Решение. Первый способ. По условию Р(АВС) = О, Р(А) = = Р(В) = Р(С) = 1 - р, Р(АВ) = Р(А) • Р(В) = p2t Р(АС) = р\ Р(ВС) = р2. Найдем вероятности каждого из следующих событий, образующих полную группу: АЪС, ВАС, СА~В, ABC, АСВ, ВСА, ABQ ~АВС. Для того чтобы найти вероятность события АВСУ представим событие АВ в виде суммы двух несовместных событий: АВ = ABC + + ABC. По теореме сложения Р(АВ) = Р(АВС) + Р(АВС). Отсюда Р(АВС) = Р(АВ) - Р(АВС) = р2. Аналогично найдем Для того чтобы найти вероятность события ЛВС, представим событие АВ в виде суммы двух несовместных событий: А В = = ABC + ABC. По теореме сложения Р(АВ) = Р(А~ВС) + Р(АЪС). Отсюда Р(АВС) = Р(АВ) - Р(АВС) = р{\-р)-Р2 = р- 2р2. Аналогично найдем Р(ВАС) = Р(САВ) = р- 2р2. Найдем вероятность события ЛВС; для этого достаточно вычесть из единицы сумму вероятностей остальных событий, образующих полную группу: Р(ABC) = 1 - [3(р - 2р2) + Зр2] = Ър2 - Ър + 1. 2 3ак. 1296
34 Глава 2. Основные теоремы Учитывая, что любая вероятность заключена между нулем и единицей, потребуем, чтобы все найденные вероятности удовлетворяли этому условию: Решив каждое из неравенств системы, найдем соответственно: 0<р< 1, 0<р< 1/2, 0 < /? ^ 1. Таким образом, наибольшее возможное значение pf которое удовлетворяет всем трем неравенствам системы (*), равно 1/2. Второй способ. Введем обозначение Р (А + В+С) = к. Пользуясь теоремой сложения для трех совместных событий и учитывая, что Р(А) = Р(В) = Р(С) = р,Р(АВ) = Р(АС) = Р(ВС) = р2, Р(АВС) = О, получаем к = Р(А) + Р(В) + Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС) + Р(АВС) = Зр-Зр2. Решив это уравнение относительно ру получим Если р = (l - VI - 4fc/3) /2, то р достигает максимального значения р = 1 /2 (при fc = 3/4). Если р = (l + VI - 4£/3) /2, то, на первый взгляд, /? > 1/2. Покажем, что допущение р > 1/2 приводит к противоречию. Действительно, /7 > 1/2 при условии, что 1 - 4к/3 > 0, или, так как к = -Зр- З/?2, при условии, что р2 - р + 1/4 > 0. Отсюда р=1/2± Vl/4- 1/4= 1/2. Итак, наибольшее возможное значение /? = 1/2. 2.2. Вероятность появления хотя бы одного события Пусть события А\у А2, Аз, ...,Ап независимы в совокупности, причем Р(А\) = ри Р(А2) = рг, ...,Р(Ап) = рп\ пусть в результате
2.2. Вероятность появления хотя бы одного события 35 испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А\, А2у А3,..., Ап, независимых в совокупности, равна разности между единицей и гфоизведением вероятностей противоположных событий Л1, Л 2, Аз,..., Ап: Р(А)= 1 -q\q2 ...<?„. В частности, если все п событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P(A)=\-qn. 80. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: р\ = 0,1; Рг = ОД5; ръ = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет. Решение. Элементы включены последовательно, поэтому тока в цепи не будет (событие Л), если откажет хотя бы один из элементов. Искомая вероятность Р(А)= 1 -<7itf2<73 = 1- (1-0,1)(1-0,15)(1-0,2) = 0,388. 81. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 82. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. 83. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна ОД. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.
Глава 2. Основные теоремы 84. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами. Решение. Для вручения приза достаточно, чтобы хотя бы одна из четырех попыток была успешной. Вероятность успешной попытки р = 0,5, а неуспешной q - 1 —0,5 = 0,5. Искомая вероятность Р = 1 - q4 = 1 - 0,54 = 0,9375. 85. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз. 86. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Решение. Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна P(A)=\-q\ где q — вероятность промаха. По условию Р (А) = 0,875. Следовательно, 0,875 = 1 - q3, или q3 = 1 - 0,875 = 0,125. Отсюда q = ^0Л25 = 0,5. Искомая вероятность р = 1 - q = 1 - 0,5 = 0,5. 87. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. 88. Многократно измеряют некоторую физическую величину. Вероятность того, что при считывании показаний прибора допущена ошибка, равна р. Найти наименьшее число измерений, которое необходимо произвести, чтобы с вероятностью Р > а можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным.
2.3. Формула полной вероятности 37 2.3. Формула полной вероятности Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В\> Вг,..., Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(Вг) • PBl(A) + Р(В2) • РВ2(А) + • • • Равенство (*) называют формулой полной вероятности. 89. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). Решение. Обозначим через А событие — извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: В\ — белых шаров нет, В2— один белый шар, /?з — два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т.е. P(Bi) = P(B2) = Р(В3) = 1/3. Условная вероятности того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PBi(A) = = 1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Рв2(А) - = 2/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара РВз(А) = = 3/3=1. Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(ВХ) • PBl(A) + +Р(ВЪ) • РВъ(А) = 1/3 • 1/3 + 1/3 • 2/3 + 1/3 • 1 = 2/3. 90. В урну, содержащую п шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность
Глава 2. Основные теоремы того, что извлеченный шар окажется белым, если равновоз- можны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). 91. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. 92. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. 93. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей — на заводе №2и 18 деталей— на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. 94. В первой урне содержится 10 шаров, из них восемь белых во второй урне 20 шаров, из них четыре белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. 95. В каждой из трех урн содержится шесть черных и четыре белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым. 96. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
2.4. Формула Бейеса 2.4. Формула Бежа Пусть событие А может наступить лип при условии появления одного из несовместных событий (гштез) В\, Вг, #3, •••» #л, которые образуют полную группу событи Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могуэыть переоценены по формулам Бейеса в2№+ +Р(Вп)РВп(А). 97. Два автомата производят одинсовые детали, которые поступают на общий конвейер. 1роизводительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в средем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. Нудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного ка^ства. Найти вероятность того, что эта деталь произведенаюрвым автоматом. Решение. Обозначим через А событие -деталь отличного качества. Можно сделать два предположения ипотезы): В\ — деталь произведена первым автоматом, причем ^скольку первый автомат производит вдвое больше деталей, че второй) Р(В\) = 2/3; Вг — деталь произведена вторым автомата причем Р(Вг) - 1/3. Условная вероятность того, что детатьэудет отличного качества, если она произведена первым автомаом, РВх (А) = 0,6. Условная вероятность того, что детал>5удет отличного качества, если она произведена вторым автомапм, /^(А) = 0,84. Вероятность того, что наудачу взятая еталь окажется отличного качества, по формуле полной верояпсти такова: Р(А) = Р(Вг) • РвМ) + р(&2)' Рв2(Л) = 2/) 0,6 + 1/3 • 0,84 = 0,68. Искомая вероятность того, что взятажгличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Beica такова: Р(Вх)РвМ) 2/20,6 10 = /ЧА) = IT = 1Г 98. В пирамиде 10 винтовок, из гторых четыре снабжены оптическим прицелом. Вероятнсть того, что стрелок поразит мишень при выстреле из виговки с оптическим
40 Глава 2. Основные теоремы прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? 99. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. 100. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.) 101. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием L, 20% — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. 102. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. 103. Событие А может появиться при условии появления лишь одного из несовместных событий (гипотез) В\, 2?2> #з, •••> Вп, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, т.е. были найдены условные вероятности РА (В,-) (/ = 1,2,..., л). Доказать, что
2.4. Формула Бейеса 41 104. Событие А может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В\ В2, #з> образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, т.е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что РА (В\) = 0,6 и РА (В2) = ОД Чему равна условная вероятность РА (В3) гипотезы Б3? 105. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20,15,10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии. Решение. Обозначим через А событие — в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь. Можно сделать три предположения (гипотезы): В\ — детали извлекались из первой партии; Вг — детали извлекались из второй партии; #з ~ детали извлекались из третьей партии. Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы: Найдем условную вероятность РВх (А), т.е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому =1. Найдем условную вероятность Рв2(А)У т.е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: РВ2(А) = 15/20 • 15/20 = 9/16. Найдем условную вероятность РВз (А), т.е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали: РВз(А)= Ю/20 10/20 =1/4.
42 Глава 2. Основные теоремы Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса: />(£,)• PBl(A) + РШ ' РвгШ + Р(ВЪ) • РВз(А) = MLH1 =4/29. 1/3-1 + 1/3-9/16+1/3-1/4 ' 106. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны Решение. Обозначим через А событие — два орудия попали и цель. Сделаем два предположения (гипотезы): В\ — первое орудие попало в цель; Вг — первое орудие не попало в цель. По условию Р (В\) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию В\), Р(В2)= 1-0,4 = 0,6. Найдем условную вероятность РВх (А), т.е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй — либо вторым орудием (при этом третье орудие дало промах), либо третьим (при этом второе орудие дало промах). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения: Рв№) = Рг-дз + Рз'Я2 = 0,3 • 0,5 + 0,5 • 0,7 = 0,5. Найдем условную вероятность Рвг(А\ т.е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами, найдем вероятность того, что второе и третье орудия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения: РгРз = 0,3 0,5 = 0,15. По формуле Бейеса искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, = 0,4 • 0,5/(0,4 • 0,5 + 0,6 • 0,15) = 20/29.
2.4. Формула Бейеса 43 107. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6,0,5 и 0,4. 108. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2,0,4 и 0,3. Решение. Обозначим через А событие — отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы): В\ — отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен, причем (поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения) Р(В1) = р1-р2дз= 0,2 • 0,4 • 0,7 = 0,056; Вг — отказали первый и третий элементы, а второй элемент исправен, причем Р (В2) = px-p3.q2 = 0,2 • 0,3 • 0,6 = 0,036; 2?з — отказали второй и третий элементы, а первый — исправен, причем Р(Вз) = Р2'РзЯ\= 0,4 • 0,3 • 0,8 = 0,096; #4 — отказал только один элемент; Bs — отказали все три элемента; Be — ни один из элементов не отказал. Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали два элемента) невозможно, и значит, условные вероятности Рв4(А), Рв5(А) и Рв6(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В*) • Рв4(А), Р(В5)Рв5(А) и Р (Вб)-Рв6(А) [см. ниже соотношение (*)] при любых значениях вероятностей гипотез #4> #5 и В6. Поскольку при гипотезах В\, Вг> #з событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице: По формуле полной вероятности вероятность того, что отказали два элемента, Р(А) = />(£,) • PBl(A) + РШ • Рв2(А) + Р(ВЪ) • РВъ(А)+ • РвМ) + p(Bs) * Рв5(А) + Р(В6) • РВбШ = С) = 0,056 • 1 + 0,036 • 1 + 0,096 • 1 = 0,188.
44 Глава 2. Основные теоремы По формуле Бейеса искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы, 109*. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны: р\ = 0,1,
Глава 3 ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ 3.1. Формула Бернулли Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В 3.1 -3.4 рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова. Формула Бернулли. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно к раз (безразлично, в какой последовательности), будет или где q = 1 - р. Вероятность того, что в и испытаниях событие наступит: а) менее к раз; б) более к раз; в) не менее к раз; г) не более к раз, — находят соответственно по формулам: (к).
46 Глава 3. Повторение испытаний 110. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)? Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятности выигрыша р- 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны: Р4 (2) = Clp2q2 = 4 • 3/(1 • 2) • (1/2)2 • (1/2)2 = 6/16. Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести: Так как Ра (2) > Р6 (3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести. 111. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. 112. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. 113. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4; б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события Ву если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. 114. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время / равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время г, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что
3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа 47 резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов. 115. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 116. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 117. На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем ху а три — на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 118. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше п)
48 Глава 3. Повторение испытаний Здесь 1 ^/2 к-пр Таблица функции ф (х) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция ф (х) четная, следовательно, ф (-х) = = Ф«]. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит не менее k\ раз и не более k2 раз, приближенно равна Здесь — функция Лапласа, х' = (*i - пр)1 л/npq, х »= (*2 - np)l yjnpq. Таблица функции Лапласа для положительных значений х (0 < < х < 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Ф(х) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф (-jc) = -Ф (х)]. 119. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25. Решение. По условию п = 243; k = 70; р = 0,25; q = 0,75. Так как п = 243 — достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: где х = (к - пр)1 Л/Щ. Найдем значение г. _ к-пр _ 70- 243 • 0,25 _ 9,25 _ yjnpq " V243 • 0,25 • 0,75 " 6J5 " ' По таблице приложения 1 найдем ф(1,37) = 0,1561. Искомая вероятность ^243 (70) = 1/6,75 • 0,1561 = 0,0231.
3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа 49 120. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6. Решение. Так как п велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: Вычислим *: _ k-пр _ 1400 - 2400 • 0,6 40 _ л/npQ " л/2400 • 0,6 • 0,4 24 " Функция ф(д:) = ——е /2 — четная, поэтому ф(-1,67) = У2л; = Ф(1,67). По таблице приложения 1 найдем ср (1,67) = 0,0989. Искомая вероятность Ртаоо (1400) = 1/24 • 0,0989 = 0,0041. 121. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. 122. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. 123. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз. 124. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2т раз больше, чем надпись. 125. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз. Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: где Ф (jc) — функция Лапласа; х' = (к\ - пр)1 л/npq; х »= (к2 - пр)/ л/npq.
50 Глава 3. Повторение испытаний а) По условию п = 100; р = 0,8; q = 0,2; кх = 75; к2 = 90. Вычислим У и *": ^ fr-np 75-100.0,8 х 25> = л/пря V100 0,8 0,2 *2-*Р 90-100-0,8 Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. Ф (-х) = -Ф (*), получаем Лоо(75;9О) = Ф(2,5) - Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25). По таблице приложения 2 найдем: Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944. Искомая вероятность Лоо (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882. 6) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75, либо 76, ..., либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять к\ = 75, кг = 100. Тогда л/100 = _! 25. _ h-np _ 100-100 0,8 ^ЩЩ ~ V100 • 0,8 • 0,2 ~ По таблице приложения 2 найдем Ф (1,25) = 0,3944; Ф (5) = 0,5. Искомая вероятность />,оо(75; 100) = Ф(5)-Ф(-1,25) = Ф(5) + Ф(1,25) = = 0,5 + 0,3944 = 0,8944. в) События — «А появилось не менее 75 раз» и «А появилось не более 74 раз» — противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность Лоо (0; 74) = 1 - Лоо(75; 100) = 1 - 0,8944 = 0,1056. 126. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того,
3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа 51 что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз. 127. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний. 128. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами N - yJlNjlnN + V2N/2. 129. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз? Решение. По условию р = 0,8; q = 0,2; кх = 75; кг = п; Рп (75; п) = = 0,9. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Подставляя данные задачи, получаем ИЛИ Очевидно, число испытаний п > 75, поэтому л/п/2 > V75/2 ^ ^ 4,33. Поскольку функция Лапласа — возрастающая и Ф (4) ^ 0,5, то можно положить Ф (л/п/2) = 0,5. Следовательно, 0,9 = 0,5 - Ф 0,4 у/п Таким образом, По таблице приложения 2 найдем Ф(1,28) = 0,4. Отсюда и из соотношения (*), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получаем
52 Глава 3. Повторение испытаний Решив это уравнение, как квадратное относительно yjny получим -yjn = 10. Следовательно, искомое число испытаний п = 100. 130. Вероятность появления положительного результата в каждом из п опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат? 3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа е, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при х = е yjnlpq: 131. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности до абсолютной величине не более чем на 0,04. Решение. По условию п = 625; р = 0,8; q = 0,2; е = 0,04. Требуется найти вероятность Р(\т/625 - 0,8| < 0,04). Воспользуемся формулой Имеем По таблице приложения 2 найдем Ф(2,5) = 0,4938. Следовательно, 2Ф (2,5) = 2 • 0,4938 = 0,9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.
3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности... 53 132. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02. 133. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. 134. Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона. 135. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний п> при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02. Решение. По условию, р = 0,5; q = 0,5; е = 0,02; Р(\т/п - 0,5| < 0,02) = 0,7698. Воспользуемся формулой В силу условия или Ф (0,04 л/л) = 0,3849. По таблице приложения 2 найдем Ф(1,2) = 0,3849. Следовательно, 0,04 л/л= 1,2, или V« = 30. Таким образом, искомое число испытаний п = 900. 136. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства |т/л- 1/61 < 0,01
54 Глава 3. Повторение испытаний была не меньше чем вероятность противоположного неравенства, где т — число появлений одного очка в п бросаниях игральной кости? Решение. Воспользуемся формулой По условию р - 1/6; q = 5/6; е = 0,01. Вероятность осуществления неравенства, противоположного заданному, т.е. неравенства \т/п - 1/6| > 0,01, равна Согласно условию должно иметь место неравенство или Отсюда По таблице приложения 2 найдем Ф (0,67) = 0,2486; Ф (0,68) = = 0,2517. Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (0,6745) = = 0,25. Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функция Ф (х) — возрастающая, имеем e J— > 0,6745, или 0,01 Jrr^TTI = 0,6745. Отсюда искомое число бросаний монеты п > 632. 137. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний л, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04. 138. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет
3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности... 55 и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01? 139. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8- Найти такое положительное число £, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила е. Решение. По условию п = 400; р = 0,8; q = 0,2. Следовательно, 2Ф (е л/400/(0,8 • 0,2)) = 0,99 или Ф(50е) = 0,495. По таблице приложения 2 найдем Ф (2,57) = 0,495, значит, 50е = = 2,57. Отсюда искомое число е = 0,05. 140. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число е, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила е. 141. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число е, чтобы с вероятностью 0,98 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила е. 142. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число т стандартных деталей среди проверенных. Решение. По условию п = 900; р = 0,9; q = 0,1. Следовательно, 2Ф (е V900/(0,9-0,l)) = 0,95 или Ф (100е) = 0,475. По таблице приложения 2 найдем Ф(1,96) = 0,475, значит, 100е = 1,96. Отсюда е « 0,02. Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительной частоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенству |т/900 - 0,9| < 0,02, или 0,88 < т/900 < 0,92.
56 Глава 3. Повторение испытаний Отсюда искомое число т стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах: 792 < т < 828. 143. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число т бракованных изделий среди проверенных. 144. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число т выпадений шестерки. 3.4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях Число ко (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях ко раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число ко определяют из двойного неравенства пр - q <ь ко <: пр + р> причем: а) если число пр- q — дробное, то существует одно наивероятнейшее число ко; б) если число пр - q — целое, то существует два наивероятней- ших числа, а именно: ко и ко + 1; в) если число пр — целое, то наивероятнейшее число ко = пр. 145. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание. Решение. По условию п = 15; р = 0,9; q = 0,1. Найдем наивероятнейшее число ito из двойного неравенства пр - q < ко < пр + р.
3.4. Наивероятнейшее число появлений события ... 57 Подставив данные задачи, получим 15 • 0,9 - 0,1 < ко < 15 • 0,9 + 0,9, или 13,5 < ко < 14,4. Так как ко — целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число ко = 14. 146. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными. 147. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже. Решение. По условию п = 24; р = 0,6; q = 0,4. Найдем наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойного неравенства пр - q < ко < np + р. Подставляя данные задачи, получаем 24 • 0,6 - 0,4 < ко < 24 • 0,6 + 0,6, или 14 < ко < 15. Так как пр - q = 14 — целое число, то наивероятнейших чисел два: ко = 14 и ко + 1 = 15. 148. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,1. 149. Два равносильных противника играют в шахматы. Найти наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий. Решение. Известно, что если произведение числа испытаний п на вероятность р появления события в одном испытании есть целое число, то наивероятнейшее число В рассматриваемой задаче число испытаний п равно числу сыгранных партий 2N; вероятность появления события равна вероятности выигрыша в одной партии, т.е. р = 1/2 (по условию противники равносильны). Поскольку произведение пр = 2N • 1/2 = N — целое число, то искомое наивероятнейшее число ко выигранных партий равно N.
58 Глава 3. Повторение испытаний 150. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго — 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов. Решение. Промахи стрелков есть независимые события, поэтому применима теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что оба стрелка при одном залпе промахнутся, р = 0,2 • 0,4 = 0,08. Поскольку произведение пр - 25 • 0,08 = 2 — целое число, то наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания, Ло = пр = 2. 151. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго — 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов. 152. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25? Решение. По условию ко = 25; р = 0,4; q = 0,6. Воспользуемся двойным неравенством пр - q < ко < пр + р. Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестного числа: 0,4л - 0,6 < 25, 0,4п + 0,4 > 25. Из первого неравенства системы найдем п < 25,6/0,4 = 64. Из второго неравенства системы имеем п > 24,6/0,4 = 61,5. Итак, искомое число испытаний должно удовлетворять двойному неравенству 62 ^ п < 64. 153. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний п, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30. 154. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти число испытаний л, при котором наивероятнейшее число появлений события равно 20.
3.4. Наивероятнейшее число появлений события ... 59 155. Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30? Решение. По условию п = 49; ко = 30. Воспользуемся двойным неравенством пр - q < ко < пр + р. Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестной вероятности р: р>30, 49/?-(1-р)<30. Из первого неравенства системы найдем р > 0,6. Из второго неравенства системы найдем р < 0,62. Итак, искомая вероятность должна удовлетворять двойному неравенству 0,6 < р < 0,62. 156. Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25? 157. Батарея произвела шесть выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий. Решение. По условию п = 6; р = 0,3; q = 0,7. а) Найдем наивероятнейшее число попаданий по формуле пр - q < ко < пр + р. Подставив данные задачи, получим 6 • 0,3 - 0,7 < ко < 6 • 0,3 + 0,3, или 1,1 ^ ко < 2,1. Отсюда ко = 2. б) Найдем вероятность наивероятнейшего числа попаданий по формуле Бернулли Рв(2) = фУ = у-^0,32 • 0,74 = 0,324. в) Найдем вероятность того, что объект будет разрушен. По условию для этого достаточно, чтобы было или 2, или 3, или 4, или 5, или б попаданий. Эти события несовместны, поэтому вероятность разрушения объекта равна сумме вероятностей этих
Глава 3. Повторение испытаний событий: Р = Рь (2) + Р6 (3) + Рв (4) + Р6 (5) + Р6 (6). Однако проще сначала найти вероятность Q противоположного события (ни одного попадания или одно попадание): 6 y3'0J5 =0,42. Искомая вероятность того, что объект будет разрушен, /> = 1 - Q = 1 - 0,42 = 0,58. 158. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента. 3.5. Производящая функция В предыдущих параграфах этой главы рассматривались испытания с одинаковыми вероятностями появления события; рассмотрим испытания, в которых вероятности появления события различны. Пусть производится п независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна рь во втором — piy.. •, в л-м испытании — рп; вероятности непоявления события А соответственно равны q\, q2,... ,qn', Pn (k) — вероятность появления события А в п испытаниях ровно к раз. Производящей функцией вероятностей Рп (к) называют функцию, определяемую равенством фл (z) = (p\Z + qi)(p2Z + qi) ... (pnZ + qn)- Вероятность Рп (к) того, что в п независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна p\t во втором р2 и т. д., событие А появится ровно к раз, равна коэффициенту при г* в разложении производящей функции по степеням z. Например, если п = 2, то ф2 (z) = (p\Z + q\){piZ + qi) = pip2Z2 + (piq2 + Piq\)z + q\qi-
3.5. Производящая функция 61 Здесь коэффициент р\р2 при z2 равен вероятности Pi (2) того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент /?i<?2 + РгЯ\ ПРИ Z1 равен вероятности Рг (1) того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при z°, т.е. свободный член <7i<?2 равен вероятности Рг (0) того, что событие А не появится ни одного раза. Заметим, что если в различных испытаниях появляются различные события (в первом испытании событие Ль во втором — событие Аг и т.д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях ь Например, в приведенном выше разложении коэффициент р\рг определяет вероятность появления двух событий А\ и Аг, 159. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время г) соответственно равны: р\ = 0,7; р2 = 0,8; /?3 = ОД Найти вероятности того, что за время t будут работать безотказно: а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г) ни один из элементов. Решение. Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: р\ = 0,7; рг - 0,8; рз = 0,9, поэтому вероятности того, что элементы откажут, q\ - 0,3, цг = 0,2; <?з = 0,1. Составим производящую функцию: Фз (г) = = (0,7г + 0,3) (0,8г + 0,2) (0,9г + 0,1) = = О,5О4г3 + 0,398г2 + 0,092г + 0,006. а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при гг\ Рз (3) = 0,504. б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при г2: Ръ (2) = 0,398. в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при г1: Рз О) = 0,092. г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену: Рз (0) = 0,006. Контроль: 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1. 160. Из двух орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго — 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) два попадания в цель; 6) одно попадание; в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания. 161. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для
62 Глава 3. Повторение испытаний второго — 0,85, для третьего — 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) три попадания в цель; б) два попадания; в) одно попадание; г) ни одного попадания; д) хотя бы одно попадание. 162. Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элемента за время t равна 0,2, второго — 0,25, третьего — 0,3, четвертого — 0,4. Найти вероятность того, что за время t откажут: а) четыре элемента; б) три элемента; в) два элемента; г) один элемент; д) ни один элемент; е) не более двух элементов. 163. Две батареи по три орудия каждая производят залп по цели. Цель будет поражена, если каждая из батарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,4; 0,5; 0,6, второй — 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность поражения цели при одном залпе из двух батарей.
Раздел II СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 4 ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 4.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным). Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения дс„ а вторая — вероятности /?,: А. Х\ X"i Хц Р Р\ Рг Рп Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд р\ + рг + ... сходится и его сумма равна единице.
4.1. Закон распределения вероятностей ... Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в виде формулы) Р(х = *,) = фи-) или с помощью функции распределения (см. 6.1). Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Mi (jci ; px), Мг(хг\ рг\ ...Мп(хп\рп) (х, — возможные значения X, рх — соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения X = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу Рп(к) = \ке~х/к1 где к — число появлений события в п независимых испытаниях; \ = пр (среднее число появлений события в п испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. 164, Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 1 3 6 8 р 0,2 0,1 0,4 0,3' Построить многоугольник распределения. Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения дс,-, а по оси ординат — соответствующие вероятности р%. Построим точки Mi (1; 0,2), М2 (3; 0,1), Мъ (6; 0,4) иМ4(8; 0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 5). 165. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: а) X 2 4 5 6 . б) X 10 15 20 р 0,3 0,1 0,2 0,4' р 0,1 0,7 0,2' Построить многоугольник распределения.
Глава 4. Дискретные случайные величины Pi 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 123456789 х( Рис.5 166. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна ОД. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Решение, Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: jci = 0 (ни один из элементов устройства не отказал), *2 = 1 (отказал один элемент), х3 = 2 (отказали два элемента) и х* = 3 (отказали три элемента). Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что по условию п = 3, р = 0,1 (следовательно, q = 1 - 0,1 = 0,9), получаем: Ръ (0) = q3 = 0,93 = 0,729; Ръ (1) = C\pq2 = 3 • 0,1 • 0,92 = 0,243; />з (2) = C\p2q = 3 • 0,12 • 0,9 = 0,027; Ръ (3) = р3 = 0,13 = 0,001. Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0г001 = 1. Напишем искомый биномиальный закон распределения X: X 0 1 2 3 р 0,729 0,243 0,027 0,01* 167. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных — и построить многоугольник полученного распределения.
4.1. Закон распределения вероятностей ... 67 168. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты. 169. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. 170. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных1. Решение. Случайная величина X — число стандартных деталей среди отобранных деталей — имеет следующие возможные значения: х\ = 0; *2 = 1; *з = 2. Найдем вероятности возможных значений X по формуле (см. задачу 17 в 1.1) где N — число деталей в партии; п — число стандартных деталей в партии; т — число отобранных деталей; к — число стандартных деталей среди отобранных. Отсюда 1 Cl-Cl 8-2 16 8-7/(1-2) 28 ^5 45- Составим искомый закон распределения: X 0 1 2 р 1/45 16/45 28/45' Контроль: 1/45 + 16/45 + 28/45 = 1. 171. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных. 1 Рассматриваемый закон называют гипергеометрическим. См.: Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Высшая школа, 2005. Гл. VI, § 8.
68 Глава 4. Дискретные случайные величины 172. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины X — числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятней- шее число ко заданных студенту дополнительных вопросов. Решение, а) Дискретная случайная величина X — число заданных дополнительных вопросов — имеет следующие возможные значения: х\ = 1, х^ = 2, х$ = 3,..., х* = к,... Найдем вероятности этих возможных значений. Величина X примет возможное значение х\ = 1 (экзаменатор задаст только один вопрос), если студент не ответит на первый вопрос. Вероятность этого возможного значения равна 1 -0,9 = 0,1. Таким образом, Р(Х = 1) = 0,1. Величина X примет возможное значение х2 = 2 (экзаменатор задаст только два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого события равна 0,9) и не ответит на второй (вероятность этого события равна 0,1). Таким образом, Р(Х = 2) = = 0,9-0,1 =0,09. Аналогично найдем = 3) = 0,92-0,1 =0,081, ... , Напишем искомый закон распределения: X 1 2 3 к р 0,1 0,09 0,081 О^-ОЛ б) Наивероятнейшее число ко заданных вопросов (наивероят- нейшее возможное значение X), т.е. число заданных преподавателем вопросов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует из закона распределения, равно единице. 173. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.
4.1. Закон распределения вероятностей ... 174. Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым — 0,7. Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин X и Y — числа израсходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием. Решение. Пусть события А/ и Я, — попадание в цель^ соответственно первым и вторым орудием при /-м выстреле; Л,- и Я, — промахи. Найдем закон распределения случайной величины X — числа израсходованных первым орудием снарядов. Первое орудие израсходует один снаряд (X = 1), если оно попадет в цель при первом выстреле, или оно промахнется, а второе орудие при первом выстреле попадет в цель: = Р(Х = 1) =_ + Р{АХ) Р(ВХ) = 0,3 + 0,7 • 0,7 = 0,79. Первое орудие израсходует два снаряда, если оба орудия при первом выстреле промахнутся, а при втором выстреле первое орудие попадет в цель, или если оно промахнется, а второе орудие при втором выстреле попадет в цель: р2 = Р(Х = 2) = Р(А, В,Л2 + АХВ} В2В2) = = 0,7 • 0,3 • 0,3 + 0,7 • 0,3 • 0,7 • 0,7 = 0,21 (0,3 + 0,49) = 0,79 • 0,21. Аналогично получим Искомый закон распределения дискретной случайной величины X — числа снарядов, израсходованных первым орудием: X 1 2 3 к р 0,79 0,79 0,21 0,79 0,212 0,79-0,21^ Контроль: ^р( = 0,79/(1 - 0,21) = 0,79/0,79 = 1. Найдем закон распределения дискретной случайной величины Y — числа снарядов, израсходованных вторым орудием. Если первое орудие при первом выстреле попадет в цель, то стрельба из второго орудия не будет произведена:
70 Глава 4. Дискретные случайные величины Второе орудие израсходует лишь один снаряд, если при первом выстреле оно попадет в цель, или если оно промахнется, а первое орудие попадет в цель при втором выстреле: р2 = p(Y = 1) = Р(АХВХ + АхЪхАг) = 0,7 • 0,7 + 0,7 • 0,3 • 0,3 = 0,553. Вероятность того, что второе орудие израсходует два снаряда, ръ = P(Y = 2) = P(AiBiA2B2 + Ai Д1А2Д2А3). Выполнив выкладки, найдем рз = 0,553 -0,21. Аналогично получим P(Y = k) = 0,553 -0.21*-1. Искомый закон распределения дискретной случайной величины Y — числа снарядов, израсходованных вторым орудием: Г 0 1 2 к р 0,3 0,553 0,553 0,21 0,553 • 0.21*-1 Контроль: £/?, = 0,3 + (0,553/(1 - 0,21)) = 0,3 + (0,553/0,79) = = 0,3 + 0,7 = 1. 175. Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым — 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины X — числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками (т.е. ограничиться возможными значениями X, равными 1,2, 3 и 4). 176. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг. Решение. По условию п = 100 000; р = 0,0001; к = 5. События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, число п велико, а вероятность р мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона Найдем к \ = пр= 100000 • 0,0001 = 10.
4.1. Закон распределения вероятностей ... 71_ Искомая вероятность Ртооо (5) = 105 • е~™/5 = 105 • 0,000045/120 = 0,0375. 177. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Указание. Приняты»"2 = 0,13534. 178. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных. 179. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно. Решение. Число п - 500 велико, вероятность р = 0,002 мала и рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона а) Найдем X: \ = пр = 500 0,002= 1. Найдем вероятность того, что будет повреждено ровно 3 {к = 3) изделия: = е~х1Ъ\ = 0,036788/6 = 0,0613. 6) Найдем вероятность того, что будет повреждено менее трех изделий: ^500 (0) + />5оо (1) + = (5/2) е"х = (5/2) • 0,36788 = 0,9197. в) Найдем вероятность Р того, что будет повреждено более трех изделий. События «повреждено более трех изделий» и «повреждено не более трех изделий» (обозначим вероятность этого события через Q) — противоположны, поэтому Р + Q = 1. Отсюда
72 Глава 4. Дискретные случайные величины Используя результаты, полученные выше, имеем Р = 1 - [0,9197 + 0,0613] = 0,019. г) Найдем вероятность Р того, что будет повреждено хотя бы одно изделие. События «повреждено хотя бы одно изделие» и «ни одно из изделий не повреждено» (обозначим вероятность этого события через Q) — противоположные, следовательно, Р + Q = 1. Отсюда искомая вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие, равна р = 1 - Q = 1 - рт (0) = 1 - е"1 = 1 - 0,36788 = 0,632. 180. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну. Указание. Принять е~ъ = 0,04979. 181. а) Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98. Решение. Из условия задачи следует (поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала), что число отказов распределено по закону Пуассона, причем требуется найти параметр X (среднее число отказов). Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, по условию равна 0,98, следовательно (см. задачу 179, п. «г»), 1 — е~х = 0,98. Отсюда *ГХ = 1-0,98 = 0,02. По таблице функции е~х находим X = 3,9. Итак, за время Т работы устройства откажет примерно четыре элемента. б) Найти среднее число X бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона. Указание. Принять е~ъ = 0,05.
4.1. Закон распределения вероятностей ... 73 182. Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице. Предполагается, что испытания производятся бесчисленное количество раз. Решение. В силу закона Пуассона Используем разложение функции ех в ряд Маклорена: ех = Известно, что этот ряд сходится при любом значении ху поэтому, положив х = А., получим Найдем искомую сумму вероятностей V Рп (к), учитывая, что £~х не зависит от к и, следовательно, может быть вынесено за знак суммы: Рп (к) = Замечание. Утверждение задачи следует немедленно из того, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Приведенное доказательство преследует учебные цели. 183. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95? Решение. Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближенно распределение Пуассона. Ясно, что события «ни один из купленных билетов не является выигрышным» и «хотя бы один билет — выигрышный» — противоположные. Сумма вероятностей событий равна единице: =1, или Р=1-Л,(0). (* Положив к = 0 в формуле Пуассона Рп (к) = \ке~к/к\, получим
74 Глава 4. Дискретные случайные величины Следовательно, соотношение (*) примет вид Р = 1 - е'К По условию Р ^ 0,95, или 1 - е~х ^ 0,95. Отсюда *ГХ < 0,05. (••) По таблице функции е~х находим е~3 = 0,05. Учитывая, что функция е~х — убывающая, заключаем, что неравенство (**) выполняется при X ^ 3, или при пр ^ 3. Следовательно, п > 3/р = = 3/0,01 = 300. Итак, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них. 4.2. Простейший поток событий Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью. Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления к событий в любом промежутке времени зависит только от числа it и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления к событий за промежуток времени длительностью t есть функция, зависящая только от к и г. Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероятность появления к событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем. Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Интенсивностью потока \ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока X известна, то вероятность появления к событий простейшего потока за время t опреде-
4.2. Простейший поток событий 75 ляется формулой Пуассона Р (1л - {h)k' e'U к\ Замечание. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным, в противном случае — нестационарным. 184. Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления к событий за время длительностью t: можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока. Решение. Из формулы (*) следует, что вероятность появления к событий за время длительностью t, при заданной интенсивности X, является функцией только к и г, что отражает свойство стационарности простейшего потока. Формула (*) не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что отражает свойство отсутствия последействия. Покажем, что рассматриваемая формула отражает свойство ординарности. Положив к = 0 и к = 1, найдем вероятность непоявления событий и вероятность появления одного события: Л() Л t() Следовательно, вероятность появления более одного события />,(*> 1) = 1 - [Р,(0) + />,(1)] = 1 - [е* + he'*]. Используя разложение функции е~и в ряд Маклорена, после элементарных преобразований получаем Сравнивая Pt (1) и Pt (к > 1), заключаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что отражает свойство ординарности. Итак, формула Пуассона отражает все три свойства простейшего потока, поэтому ее можно рассматривать как математическую модель этого потока.
78 Глава 4. Дискретные случайные величины 185. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов. Решение. По условию Х = 3;/ = 2;Д: = 4. Воспользуемся формулой Пуассона а) Искомая вероятность того, что за 2 мин поступит четыре вызова, 6^ = 1296^5 =01з5 б) Событие «поступило менее четырех вызовов» произойдет, если наступит одно из следующих несовместных событий: 1) поступило три вызова; 2) поступило два вызова; 3) поступил один вызов; 4) не поступило ни одного вызова. Эти события несовместны, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий: = 0,0025-61 =0,1525. в) События «поступило менее четырех вызовов» и «поступило не менее четырех вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 2 мин поступит не менее четырех вызовов, Р(к > 4) = 1 - Р(к < 4) = 1 - 0,1525 = 0,8475. 186. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим. 187. Доказать, что для простейшего потока событий Указание. Использовать теорему о сумме вероятностей противоположных событий: При отыскании искомого предела применить правило Л о питал я.
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 77 4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М (X) — Х\Р\ + ДС2/?2 + • • • + ХпРп- Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то М(Х) = причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Математическое ожидание обладает следующими свойствами. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за ожидания: М(СХ) = СМ(Х). Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х,+Х2 + ...Х„) = Л/(Х,) + М(Х2)+ ... +М(Хп). Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: М(Х) = пр.
78 Глава 4. Дискретные случайные величины Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X) = M[X-M(X)]2. Дисперсию удобно вычислять по формуле = M(X2)-[M(X)]2. Дисперсия обладает следующими свойствами. Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю: D(C) = 0. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX) = C2D(X). Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X, +Х2+ ... +X/I) = D(X,) + D(X2)+ ... +D(Xn). Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X) = npq. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: о(Х)= yJD(X). 188. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: а) X -4 6 10 б) X 0,21 0,54 0,61 р 0,2 0,3 0,5; р 0,1 0,5 0,4 '
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 79 Решение, а) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности: М (X) = -4 • 0,2 + 6 • 0,3 + 10 • 0,5 = 6. б) Решение аналогично п. «а». 189. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: a)Z = Х+2У,М(Х) = 5, Af (У) = 3;6)Z = ЗХ+4У,М(Х) = 2, (У) 6 Решение, а) Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получаем 5 + 2-3 = 11. б) Решение аналогично п. «а». 190. Используя свойства математического ожидания, доказать, что: а) М (X - Y) = М (X) - M(Y); б) математическое ожидание отклонения X - М (X) равно нулю. 191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: х\ = 4 с вероятностью р\ = 0,5; х2 = 6 с вероятностью р2 = 0,3 и *з с вероятностью /?з- Найти jc3 и рз> зная, что М (X) = 8. 192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: jci = -1, х2 = 0, *з = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М(X) = 0,1, М(X2) = 0,9. Найти вероятности р\у р2у ръ, соответствующие возможным значениям дсь дс2, *з- Решение. Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, а также принимая во внимание, что М(Х) = 0,1, М(Х2) = 0,9, составим следующую систему трех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей: Р\ + Решив эту систему, найдем искомые вероятности: р\ = 0,4, р2 = = 0,1,/?з = 0Д
Глава 4. Дискретные случайные величины 193. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: jci = 1, *2 = 2, *з = 3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: М (X) = 2,3, М(Х2) = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X. 194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди двух отобранных. Указание. Воспользоваться решением задачи 17. 195. а) Доказать, что математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности р появления события А. Указание. Дискретная случайная величина X — число появлений события в одном испытании — имеет только два возможных значения: jci = 1 (событие А наступило) и хг = 0 (событие А не наступило). б) Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р — равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании, т.е. доказать, что математическое ожидание биномиального распределения М(Х) = пр. 196. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно 20. Решение. Воспользуемся формулой М(Х) = пР, где п — общее число испытаний (бросаний пяти костей); X — число появлений интересующего нас события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в п испытаниях; Р — вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании. По условию п = 20. Остается найти Р — вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления одного очка на грани одной кости р = 1 /6 и, следовательно, вероятность непоявления #=1-1/6 = 5/6: '-*«-*М-?£!- . б4'
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 81 Искомое математическое ожидание 197. Устройство состоит из п элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно т элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого. Решение. Обозначим через X число опытов, в которых откажет ровно п элементов. Так как опыты независимы и вероятности интересующего нас события (в одном опыте откажет ровно т элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формула M(X) = NP, (*) где N — общее число опытов; Р — вероятность того, что в одном опыте откажет ровно т элементов. Найдем вероятность Р по формуле Бернулли: р = суРт<гт. (**) Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание 198. Бросают п игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно т шестерок, если общее число бросаний равно N. 199. Бросают п игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях. Решение. Обозначим через X сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через Xt (i = 1, 2, ..., п) — число выпавших очков на грани i-й кости. Тогда, очевидно, ... +Хп. Следовательно,
Глава 4. Дискретные случайные величины Очевидно, все величины X, имеют одинаковое распределение, а следовательно, одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые математические ожидания, т.е. М (Х\) = М (Х2) = В силу (*) получим (**) Таким образом, достаточно вычислить математическое ожидание величины Xi т.е. математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости. Для этого напишем закон распределения Х\\ Хх 1 2 3 4 5 6 р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6* Найдем М(Х\): М(Х,) = 1-1/6 + 2-1/6 + 3-1/6 + 4-1/6 + 5-1/6 + 6-1/6 = 7/2. (***) Подставив (***) в (**), окончательно получим М(Х) = 200. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, — если проверке подлежит 50 партий. 201. Доказать: 1) M(Y) = аМ(Х) + Ьу если Y = аХ + Ъ\ п п 2) М (Y) = Yj <*iM (Хд + Ъ, если Y = £ (д,Х£) + Ь. 1=1 Ы\ 202. События А\уА2,...,Ап несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p\f p2f ..., рп> Если в итоге испытания появляется событие А/? (i = 1, 2, ..., л), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение *,-, равное вероятности р( появления события Л/. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы. Решение. Возможные значения величины X по условию равны вероятности /?, событий А,; вероятность возможного значения /?,, очевидно, также равна р,. Таким образом, X имеет следующее распределение:
4,3, Числовые характеристики дискретных случайных величин 83 X Р\ Pi • •• Рп Р Р\ Р2 ... Рп' Найдем математическое ожидание X: Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому Р\ +Р2+ •.. + Рп = 1. Из дифференциального исчисления известно, что если сумма независимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных. Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*), т.е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий, образующих полную группу, равны между собой, что и требовалось доказать. 203. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями. Решение. Пусть X — дискретная случайная величина, заданная законом распределения: X х\ х2 хп Р Pi Рг Рп Обозначим наименьшее и наибольшее возможные значения X соответственно через тиМ. Тогда М(Х) = xip\ + х2р2 + ... + хпрп < Мрх + Мрг + ... + Мрп = = M(pi+p2 ... +/>„) = Л/. Итак, М. (*) Аналогично легко вывести, что М(Х)>т. (•*) Объединяя (*) и (**), окончательно получаем 204. Дискретная случайная величина X принимает к положительных значений *ь *2> ••->■** вероятностями, равными соответственно р\> р2,..., р*. Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что Л+1
84 Глава 4. Дискретные случайные величины Решение. Принимая во внимание, что Р(Х*+1 = jc?+1) = Р(Х = хд = Pi и Р(Х" = jc?) = ph получаем Pk ( Pk n-*oo\ Xk Так как по условию возможные значения X записаны в возрастающем порядке, т.е. jc,- < x* (i = 1, 2 ..., к - 1), то lim (—) = о и lim (—) = 0. Следовательно, I™ M(X«) =Xk' 205. Доказать, что если случайные величины Х\, Х2,..., Хп независимы, положительны и одинаково распределены, то м\__ .. П Решение. Введем в рассмотрение случайные величины ... +ХпУ
4.3, Числовые характеристики дискретных случайных величин 85 Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Х{ (/ = 1, 2, ..., п) положительны. По условию величины X, одинаково распределены, поэтому и величины Y( также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания: (**) Легко видеть, что Y\ + Yi + ... + Yn= 1, следовательно, Л/(У1+У2+...+У„) = Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому Л/(У1) + М(Г2)+ ... + M(YH) = 1. В силу (**) имеем пМ(Yx) = 1. Отсюда Л/(УО = \/п. Учитывая (*), окончательно получаем 1 Х,+Х2 + ... +Хп\ /Г 206. Доказать, что если случайные величины Х\, Х2, Хз, Х4, X5 независимы, положительны и одинаково распределены, то 3 X1+X2+X3+X4+X5J 5' Указание. Представить дробь, стоящую под знаком математического ожидания, в виде суммы трех дробей и воспользоваться решением задачи 205. 207. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона: X 0 1 2 к _j^ he к е л» е Р € ~ 2! ~ТГ Решение, По определению математического ожидания для случая, когда число возможных значений X есть счетное множество, 2 *=0
86 Глава 4. Дискретные случайные величины Учитывая, что при к = 0 первый член суммы равен нулю, примем в качестве наименьшего значения к единицу: к=1 ' к=\ Положив к - 1 = т, получим Принимая во внимание, что > — = е , окончательно имеем Итак, т.е. математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения X. 208. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = ЗХ + 2У, если известно, Решение. Так как величины X и У независимы, то независимы также и величины ЗХ и 2Y. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получаем D(Z) = D(3X+27) = D(3X)+D(2Y) = 9D(X)+4DQ0 = 9-5+4-6 = 69. 209. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2Х + 3F, если известно, 210. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X -5 2 3 4 р 0,4 0,3 0,1 0,2'
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 87 Решение. Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой D(X) = M(X2)-[M(X)]2, которая быстрее ведет к цели. Найдем математическое ожидание X: М (X) = -5 • 0,4 + 2 • 0,3 + 3 • 0,1 + 4 • 0,2 = -0,3. Напишем закон распределения X2: X2 25 4 9 16 р 0,4 0,3 0,1 0,2* Найдем математическое ожидание X2: М(Х2) = 25 • 0,4 + 4 • 0,3 + 9 • 0,1 + 16 • 0,2 = 15,3. Найдем искомую дисперсию D(X) = М(Х2) - [М (X)]2 = 15,3 - (-0,3)2 = 15,21. Найдем искомое среднее квадратическое отклонение о(Х) = л[ЩХ) = лД^2Т = 3,9. 211. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: а) X 4,3 5,1 10,6 6) X 131 140 160 180 р 0,2 0,3 0,5 ; р 0,05 0,10 0,25 0,6' 212. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения jci и jc2, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины X равна квадрату полуразности возможных значений: Dw-pfaf Решение. Найдем математическое ожидание X, учитывая, что вероятности возможных значений х\ и *2 равны между собой и, следовательно, каждая из них равна 1/2: М (X) = jc, • (1/2) + jc2 • (1/2) = (jc, + *2)/2.
Глава 4. Дискретные случайные величины Найдем математическое ожидание X2: М(Х2) = х2 • (1/2) + 4 • (1/2) = (х? + 4)/2. Найдем дисперсию X: 213. Найти дисперсию дискретной случайной величины X — числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2. Решение. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события: D(X) = npq. По условию п = 5; р - 0,2; q = 1 - 0,2 = 0,8. Искомая дисперсия D(X) = npq = 5- 0,2 • 0,8 = 0,8. 214. Найти дисперсию дискретной случайной величины X — числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9. 215. Найти дисперсию дискретной случайной величины X — числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (X) = 1,2. Решение. Первый способ. Возможные значения величины X таковы: jci = 0 (событие не появилось), *2 = 1 (событие появилось один раз) и хз = 2 (событие появилось два раза). Найдем вероятности возможных значений по формуле Бер- нулли: 2 l P2(2) = p2. Напишем закон распределения X: возможные значения 0 12 вероятности q2 2pq p2
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 89 Найдем М(Х): М(Х) = 2pq + 2рг =2p(q + p) = 2p. В силу условия М(Х) = 1,2, т.е. 2р = 1,2. Отсюда р = 0,6 и, следовательно, q = 1 - 0,6 = 0,4. Искомая дисперсия D (X) = npq = 2- 0,6 • 0,4 = 0,48. Второй способ. Воспользуемся формулой М(Х) = пр. По условию М(Х) = 1,2; п = 2. Следовательно, 1,2 = 2р. Отсюда р = 0,6 и, значит, q = 0,4. Найдем искомую дисперсию D(X) = npq = 2- 0,6• 0,4 = 0,48. Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели. 216. Найти дисперсию дискретной случайной величины X — числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (X) = 0,9. 217. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события Л, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63. 218. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х\ и *2> причем Х2 > х\. Вероятность того, что X примет значение jci , равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: М (X) = 1,4; D(X) = 0,24. Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что X примет значение хг, равна 1 - 0,6 = 0,4. Напишем закон распределения X: X х\ х2 ,$v р 0,6 0,4 ^ ; Для отыскания jci и хг надо составить два уравнения, связывающие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через х\ и х2. Найдем М(Х): +0,4jc2.
90 Глава 4. Дискретные случайные величины По условию М(Х) = 1,4, следовательно, 0,6*, +0,4*2 =1,4- (*•) Одно уравнение, связывающее х\ и *2, получено. Для того чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через Х\ И *2. Напишем закон распределения X2: X2 х2 4 р 0,6 0,4* Найдем М(Х2): М(Х2) = 0,6*? + 0,4*?,. Найдем дисперсию D (X) = М (X2) - [М (X)]2 = 0,6*? + Q4j(2 _ 142 Подставляя D (X) = 0,24, после элементарных преобразований получаем Объединяя (**) и (***), имеем систему уравнений [0,6*! +0,4*2 = 1А { 0,6*?+0,4*| = 2,2. Решив эту систему, найдем два решения: хх = 1; *2 = 2 и *i = 1,8; *2 = 0,8. По условию *2 > *i, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение: *, = 1; *2 = 2. (••••) Подставив (****) в (*), получим искомый закон распределения: X 1 2 р 0,6 0,4" 219. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х\ и х2, причем х\ < х^. Вероятность того, что X примет значение х\, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание М (X) = 2,6 и среднее квадратическое отклонение а (X) = 0,8.
4,3, Числовые характеристики дискретных случайных величин 91 220. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: jci, хг и х^, причем jci < jc2 < х^. Вероятности того, что X примет значения jci и Х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожиданием (X) = 2,2 и дисперсию D(X) = 0,76. 221. Брошены п игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях. Решение. Обозначим через X дискретную случайную величину — сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через X/ (i =1,2,..., п) — число очков, выпавших на грани i'-й кости. Тогда X = Xi+X2+ ... +Х„. Очевидно, все величины X, имеют одинаковое распределение, следовательно, одинаковые числовые характеристики, и, в частности, одинаковые дисперсии, т.е. D(X,) = D(X2) = ... =D(Xn). (•) Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых: = D(X,+X2+... +Xn) В силу (*) получим (**) Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной величины Xj, т.е. дисперсию числа очков, которые могут выпасть на «первой» кости. Сделаем это. Напишем закон распределения Xi: X! 1 2 3 4 5 6 р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6' Найдем М(Х\): 6 о 6 о о 6 2 Напишем закон распределения Хр X] 1 4 9 1 р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X] 1 4 9 16 25 36
Глава 4. Дискретные случайные величины Найдем М(Х}) и D(Xi): 14494 1642536 D(Xi) = М(Х\) - [М(X,)]2 = 91/6 - (7/2)2 = 35/12. (••*) Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***)в(**): £>(*) = (35/12)л. 222*. Вероятность наступления события в каждом испытании равна/? (О < р < 1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа испытаний, которые надо произвести до появления события; б) дисперсию величины X. Решение, а) Составим закон распределения величины X — числа испытаний, которые надо произвести, пока событие не наступит: X 1 2 3 к ... Р Р ЯР Я2Р ••• <f~lP •• Здесь q = 1 - р — вероятность непоявления рассматриваемого события. Найдем М(Х): М(Х) = 1 • р + 2 • qp + 3 • q2p + ... + к • ^-]р + ... = Итак,М(Х)= 1/р. Пояснение. Покажем, что 1 + lq + Ъ<? + ... + к^~] + ... = 1 /(1 - ?)2. как 0 < q < 1, то степенной ряд (относительно q) S = можно почленно дифференцировать и сумма производных членов ряда равна производной от суммы ряда, т.е. ... W*+ ...= I/O-*2). б) Будем искать дисперсию величины X по формуле Учитывая, что М (X) = 1/р, получаем D(X) = M(X2)-\/f. (♦♦♦) Остается найти Л/(Х2). Напишем закон распределения X2, используя распределение (*):
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 93 X2 I2 22 З2 к2 P p qp (f-p <f-xi Найдем М{Х)2\ = I2 • p + 22 qp + 32 • <fp + ... + Jfc2 • qk~lp + = р(12 + 22 -^ + 32-^+ ... ч-it2-^"1 + ...) = 1+4 l+(l-p) 2-p Итак, Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (****) в (***): D(X) = (2 - р)/р2 - 1/р2 = (1 - р)/р2. Пояснение. Покажем, что Действительно, я J(l о = ^(1 + 2^ + 3^+ ... + V!+ ...) = ?/(l-?)2 [см. Дифференцируя обе части равенства по q, получаем 223. Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X — числа опытов, которые надо произвести; б) дисперсию X. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна ОД. Указание. Воспользоваться результатами задачи 222. 224. Доказать неравенство М [X - (jc, + xk)/2]2 > D (X), где х( ихк — любые два возможных значения случайной величины X. Решение. 1) Допустим, что (дс, + х*)/2 = М (X). Тогда
94 Глава 4. Дискретные случайные величины 2) Допустим, что (дс, + дг*)/2 Ф М (X). Докажем, что в этом случае Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства математического ожидания: Вычитая и прибавляя [М (X)]2 в правой части равенства, получаем М[Х- Ц^]1 = D(X) + [М(X)- ^]2 > D(X). (**) Объединяя (*) и (**), окончательно имеем 225. Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные а и Ъу то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями: D(X)<[(b-2)/2]2. Решение. Воспользуемся неравенством (см. задачу 224) D(X) Докажем теперь, что М [X - (а + Ь)/2]2 < [(Ь - а)/2]2. (Отсюда и из (*) следует справедливость доказываемого неравенства.) С этой целью преобразуем математическое ожидание: М [(Ь - а)/2]2 = М [X - (а + Ь)/2 + (Ъ - X)]2 = = М[Х-(а + b)/2]2 + M[(b-X)(X- а)]. Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (это следует из того, что Ъ — наибольшее и а — наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы: М [X - (а + b)/2]2 ^M[(b- а)/2]2.
4.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин 95 Учитывая, что математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, окончательно получаем M[X-(a + b)/2]2<[(b-a)/2]2. 226. Доказать, что если X и Y — независимые случайные величины, то D (XY) = D(X)D(Y) + n2D (X) + m2D (Y), Решение. По формуле для вычисления дисперсии D(XY) = M[(XY)2] - [М (XY)]2. Учитывая, что X и Y — независимые величины и, следовательно, X2 и Y2 также независимы и что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, получаем D(XY) = M[X2- Y2] - [М(Х) • M(Y)]2 = = M(X2)M(Y2)-m2n2. (*) По определению дисперсии D (X) = М (X2) - /и2, D(Y) = М (У2) - л2. Отсюда M(X2) = D(X) + /n2, M(r2) = D (У) +и2. (**) Подставив (**) в (*), после упрощений окончательно имеем D (XY) = D (X)D (Y) + n2D(X) + m2D (Y). 227. Найти дисперсию дискретной случайной величины Ху распределенной по закону Пуассона: X 0 1 2 к Р е~х h>~x/U XVx/2! XVх/*! Решение. Воспользуемся формулой = Af(X2)-[Af(X)]2.
96 Глава 4. Дискретные случайные величины Так как М (X) = \ (см. задачу 207), то = M(X2)-X2. Напишем распределение случайной величины X2, учитывая, что вероятность того, что X2 примет значение к2, равна вероятности того, что X примет значение к (это следует из того, что возможные значения X неотрицательны): X2 О2 I2 22 к2 Р е~х Xe-X/U XVV2! \ke'xlk\ Найдем математическое ожидание X2: *=0 Учитывая, что при к - 0 первый член суммы равен нулю, получаем Положив к - 1 = /п, имеем Принимая во внимание, что } т——• = А. (см. задачу 207), т=0 ZsrZ т=0 т=0 имеем Подставим (••) в (*): D(X) = ( Итак, дисперсия распределения Пуассона равна параметру X.
4.4. Теоретические моменты 4.4. Теоретические моменты Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Хк: В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины [X - М(Х)]к: В частности, центральный момент первого порядка равен нулю: центральный момент второго порядка равен дисперсии: Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные: ^4 = v4 - j | 228. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 1 3 р 0,4 0,6' Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков. Решение. Найдем начальный момент первого порядка: V! = М (X) = 1 • 0,4 + 3 • 0,6 = 2,2. Напишем закон распределения величины X2: X2 1 9 р 0,4 0,6' 4 3ак. 1296
Глава 4. Дискретные случайные величины Найдем начальный момент второго порядка: v2 = М(Х2) = 1 • 0,4 + 9 • 0,6 = 5,8. Напишем закон распределения величины X3: X3 1 27 р 0,4 0,6* Найдем начальный момент третьего порядка: v3 = М (Хг) = 1 • 0,4 + 27 - 0,6 = 16,6. 229. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 2 3 5 р 0,1 0,4 0,5' Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков. 230. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 1 2 4 р 0,1 0,3 0,6* Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: |М =0. Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные моменты: Vl =М(Х)= 1-0,1+2-0,3+ 4 0,6 = 3,1; v2 = М (X2) = 1 • 0,1 + 4 - 0,3 + 16 • 0,6 =10,9; v3 = М (X3) = 1 • 0,1 + 8 • 0,3 + 64 • 0,6 = 40,9; v4 = M(X4)= 1-0,1 + 16-0,3 + 256-0,6= 158,5. Найдем центральные моменты: \i2 = v2 - v? = 10,9 - 3,12 = 1,29; цз = v3 - 3v,v2 + 2v3 = 40,9 - 3 • 3,1 • 10,9 + 2 • 3,13 = -0,888; ^4 = v4 - 4V3V1 + 6v2Vj - 3v| = = 158,5 - 4 • 40,9 • 3,1 + 6 • 10,9 • 3,12 - 3 • 3,14 = 2,7777.
4.4. Теоретические моменты 231. Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 3 5 р 0,2 0,8' Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. Указание. Найти предварительно начальные моменты и выразить через них центральные моменты. 232. Доказать, что центральный момент второго порядка (дисперсия) |д,2 = М [Х-М (X)]2 меньше обычного момента второго порядка \l'2 = М [X - С]2 при любом С Ф М (X). Решение. Для простоты записи введем обозначение М (X) = т. Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания: \if2 = М[Х-С]2 = М[(Х - т) + (т - С)]2 = = Л/[(Х -т)2 + 2(т -С)(Х-т) + {т- С)2]. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому И2 = М[Х- т]2 + М[2(т - С)(Х - /и)] = М[т- С]2. Вынося постоянную величину 2(т-С) за знак математического ожидания и учитывая, что математическое ожидание постоянной (т-С)2 равно самой постоянной и что по определению М [Х-т]2 = = \i2, получаем 14 = ^2 + 2(m - С) • М [X - т] + (т - С)2. Принимая во внимание, что математическое ожидание отклонения Х-т равно нулю, имеем 14 = № + (т - С)2. Отсюда \12 = &-(т-С)2. Из этого равенства заключаем, что центральный момент второго порядка меньше обычного момента второго порядка при любом С* т. 233. Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством
100 Глава 4. Дискретные случайные величины Решение. По определению центрального момента цз = Л/[Х-Л/(Х)]3. Используя свойства математического ожидания и учитывая, что М (X) есть постоянная величина, получаем цз = М [X3 -ЪХ2М (X) + ЗХ - М\Х) - М3(Х)] = = М (X3) - ЪМ (X) - М (X2) + ЗЛ/2(Х) • Л/ (X) - Л/ [Л/3(X)] = = Л/ (X3) - ЗА/ (X) • Л/ (X2) + ЗМ3(Х) - М3(Х) = = Л/ (X3) - ЗА/ (X) • Л/ (X2) + 2М3(Х). (*) По определению начального момента V! = Л/(Х), v2 = М(Х2), v3 = Л/(Х3). (**) Подставив (**) в (*), окончательно получим ЦЗ = V3 -3VJV2 + 2V3. 234. Доказать, что центральный момент четвертого порядка связан с начальными моментами равенством М4 = v4 - 235. Пусть X = X\ + X2, где Х\ и Х2 ~ независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные \i\ и \л\. Доказать, что (1з = = |Лз + |я2, где цз — центральный момент третьего порядка величины X. Решение. Введем для простоты записи следующие обозначения математических ожиданий: М (Xi) = а\, М (Х2) = я2. Тогда М(Х) = Л/(Х, + Х2) = Л/(Х,) + Л/(Х2) = По определению центральный момент третьего порядка цз = Л/ [X - Л/(Х)]3 = Л/ [(X! + Х2) - (ai + а2)]3 = Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, математическое ожидание произведения независимых ве-
4.4. Теоретические моменты 101 личин равно произведению математических ожиданий сомножителей), получаем цз = М [(X, - я,)3 + 3(Х, - а,)2 • (Х2 - я2)+ +3 (X, -„,)•№- д2)2 + (Х2 - а2)3] = +М[3(Х2 - а2)2] -М[Х\-ах] + М[Х2 -а2]3. Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием) равно нулю, т.е. М [Xi -а\] = 0 и М [Х2-а2] = 0, окончательно имеем ц3 = М [X, -д,]3 + М [Х2 -а2]3 = |ij + 4
Глава 5 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 5.1. Неравенство Чебышева Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа е, не меньше чем l-D(X)/e2: Р(\Х - М(Х)\ <г)>\ -D(X)/e2. 236. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три средних квад- ратических отклонения. 237. Доказать неравенство Чебышева в форме Р(\Х - М(Х)\> 6) < D(X)/e2. Указание. Воспользоваться тем, что события \Х - М (Х)\ < е — противоположные. 238. Используя неравенство Чебышева в форме, приведенной в задаче 237, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения. 239. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что | X - М (X) | < 0,2, если D (X) = 0,004. 240. Дано: Р(\Х - М(Х)\ < е) > 0,9 и D(X) = 0,009. Используя неравенство Чебышева, оценить е снизу. 241. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время
5.1. Неравенство Чебышева 103 Т равна О,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух. Решение, а) Обозначим через X дискретную случайную величину — число отказавших элементов за время Т. Тогда М(Х) = пр= 10 0,05 = 0,5; D (X) = npq = 10 • 0,05 • 0,95 = 0,475. Воспользуемся неравенством Чебышева: Р(\Х-М(Х)\ <г)>\ - D(X)/e2. Подставив сюда М (X) = 0,5; D (X) = 0,475, е = 2, получим Р (|Х - 0,51) < 2) > 1 - 0,475/4 = 0,88. б) События | X - 0,51 < 2 и | X - 0,51 > 2 противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно, Р(\Х - 0,5| > 2) < 1 - 0,88 = 0,12. 242. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех. 243. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний. Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины X — числа появлений события А в 100 независимых испытаниях: М(X) = пр = 100• 1/2 = 50; D(X) = npq = 100• 1/2• 1/2 = 25. Найдем максимальную разность между заданным числом появлений события и математическим ожиданием М (X) = 50: е = 60 - 50 = 10.
104 Глава 5. Закон больших чисел Воспользуемся неравенством Чебышева в форме Р(\Х-М(Х)\<г)> l-D(X)/e2. Подставляя М(Х) = 50, D(X) = 25, е = 10, получаем Р(\Х-50\< 10) > 1 -25/102 = 0,75. 244. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний. 245. Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,3 0,6 р 0,2 0,8' Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х-М(Х)|< 0,2. Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X: М (X) = 0,3 • 0,2 + 0,6 • 0,8 = 0,54; D(X) = M(X2)-[M(X)]2 = = (0,32 • 0,2 + 0,62 • 0,8) - 0,542 = 0,0144. Воспользуемся неравенством Чебышева в форме Р(\Х-М(Х)\<е)> l-D(X)/e2. Подставляя М(Х) = 0,54, D(X) = 0,0144, е = 0,2, окончательно получаем Р(\ X - 0,541 < 0,2) > 1 - 0,0144/0,04 = 0,64. 246. Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 0,1 0,4 0,6 р 0,2 0,3 0,5' Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,что|Х-М(Х)|< б
5.2. Теорема Чебышева 105 5.2. Теорема Чебышева Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Х\, X-i, ...Хп, ...имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. если е — любое положительное число, то 1[тР\ - 1| =1. В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию я, т.е. если е —любое положительное число, то hmP\\-yX,-a <е =1. 247. Последовательность независимых случайных величин Х\у Х-2, •.• Хп,... задана законом распределения Хп -па 0 па р l/(2n2) l-1/n2 \/(2п2) Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева? Решение. Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии. Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется. Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий: М(Хл) = -ла(1/2и2) + 0(1- 1/л2) + жх(1/2л2) = 0. Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.
106 Глава 5. Закон больших чисел Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Напишем закон распределения Х%\ Х2п п2а2 О п2а2 р или, сложив вероятности одинаковых возможных значений X2 п2а2 О р 1/п2 l-1/w2' найдем математическое ожидание М(Х2): Найдем дисперсию D (Х„), учитывая, что D(Xn) = М(Х2) - [М(Хп)]2 = а2. Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом а2, т.е. третье требование выполняется. Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима. 248. Последовательность независимых случайных величин Х\, Хг,. •. Хпу... задана законом распределения Хп а -а р п/(2п+1) (л+1)/(2л+1)" Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева? 249. Последовательность независимых случайных величин Х\у Хг,...Хп,... задана законом распределения Хп п+\ -п р л/(2л+1) (л+1)/(2л+1)* а) Убедиться, что требование теоремы Чебышева о равномерной ограниченности дисперсий не выполняется; б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемой последовательности теорема Чебышева неприменима? 250*. Последовательность независимых случайных величин Х\ у Хг,... Хпу... задана законом распределения
5.2. Теорема Чебышева 107_ Хп -па О па р 1/2" 1-1/2""1 \/2п' Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева? Решение. Поскольку случайные величины Хп независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется. Легко найти, что М(Хп) = 0, т.е. требование конечности математических ожиданий выполняется. Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле D(Xn) = M(X2n)-[M(Xn)]\ учитывая, что М (Хп) = 0, найдем (выкладки предоставляется выполнить читателю) Временно предположим, что п изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим п через х), и исследуем на экстремум функцию ф (х) = х2/2х~1. Приравняв первую производную этой функции нулю, найдем критические точки х\ = О и х2 = 2/ In 2. Отбросим первую точку как не представляющую интереса (п не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точке х2 = = 2/In 2 функция ф(дг) имеет максимум. Учитывая, что 2/In 2 ^ ^ 2,9 и что п — целое положительное число, вычислим дисперсию D(Xn)= —j-а2 для ближайших к числу 2,9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для п = 2 и п - 3. При п - 2 дисперсия D(X2) = 2а2, при п = 3 дисперсия £)(Хз) = = (9/4) а2. Очевидно, (9/4)а2>2а2. Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4) а2, т.е. дисперсии случайных величин Хп равномерно ограничены числом (9/4) а2. Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.
108 Глава 5. Закон больших чисел 251. Последовательность независимых случайных величин Х\у Х2>..., Хп, ... задана законом распределения Хп -V5 О V3 Р 1/3 1/3 1/3 Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева? Замечание. Поскольку случайные величины X одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно конечно.
Глава 6 ФУНКЦИИ И ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.1. Функция распределения вероятностей случайной величины Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее дс, т.е. F(x) = P(X<x). Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения». Функция распределения обладает следующими свойствами. Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]: Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция: F(x2)>F(xi\ если хг>х\. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (а, Ь\ равна приращению функции распределения на этом интервале: X<b) = F(b)-F(a).
110 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например х\, равна нулю: Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежит интервалу (а, Ь), то F(x) = О при х ^ a; F(x) = 1 при х^Ь. Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения: lim F(jc) = O, limF(jt)= 1. Свойство 4. Функция распределения непрерывна слева: 252. Случайная величина X задана функцией распределения (О при *<-1, F (х) = I (3/4)* + 3/4 при -1 <* < 1/3, 1 при *> 1/3. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0,1 /3). Решение. Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(а < X < Ь) = F(b) - F(a). Положив а = О, Ъ = 1/3, получим Р(0 < X < 1/3) = F(l/3) - F(0) = = [(3/4)* + 3/4]х=1/3 - [(3/4)* + 3/4]л=0 = 1 /4. 253. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg;t)/tt. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0,1). 254. Случайная величина X задана функцией распределения г 0 при х < -2, F (х) = \ 1 /2х + (1 /я) arcsin (х/2) при -2 < х < 2, 1 при х > 2.
6.1. Функция распределения вероятностей случайной величины Ш Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (-1,1). 255. Функция распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы некоторого устройства) равна F(x) = 1 - е~х1Т {х > 0). Найти вероятность безотказной работы устройства за время х> Т. 256. Случайная величина X задана функцией распределения , Л (0 при х < 2, F(x) = <0,5x при 2<дс^4, (1 при х> 4. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти. Решение, а) Так как при jc < 2 функция F (х) = 0, то F(0,2) = 0, т.е./>(Х<0,2) = 0. ' б)Р(Х < 3) = F(3) = [0,5*- П^з = 1,5 - 1 = 0,5. в) События X > 3 и X < 3 противоположны, поэтому Р(Х >3) + + Р(Х < 3) = 1. Отсюда, учитывая, что Р(Х < 3) = 0,5 [см. п. «б»)], получим Р (X > 3) = 1 - 0,5 = 0,5. г) Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р (X > 5) + Р(Х < 5) = 1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х > 4 функция F(jc) = 1, получим Р(Х ^ 5) = = 1 - Р(Х < 5) = 1 - F(5) = 1 - 1 = 0. 257. Случайная величина X задана функцией распределения (0 при jc^O, 2 при 0<jc<1, 1 при х > 1. Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25,0,75). 258. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F (х) = 1 /2 + (1 /л) arctg (дс/2). Найти возможное значение х\ удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее х\. Решение. События X < дг, и X > хх — противоположные, поэтому Р(Х ^ х\) + Р(Х > х\) = 1. Следовательно,Р(Х < х{) = \ -Р(Х > >хх)= 1- 1/4 = 3/4.Таккак/>(Х = х1) = 0,то Р(Х < хх) = Р(Х = jc,) + Р(Х < jci) = Р(Х < jci) = 3/4.
112 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... По определению функции распределения Р(Х < *,) = F(xi) = 1/2 + (l/*)arctg(jt,/2). Следовательно, 1 /2 + (1 /к) arctg (*! /2) = 3/4, или arctg (x, /2) = л/4. Отсюда х\/2= 1, или *i = 2. 259. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = (1/2) + (l/jt)arctg(;t/2). Найти возможное значение х\, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/6 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее jci- 260. Дискретная случайная величина X задана законом распределения X 2 4 7 р 0,5 0,2 0,3* Найти функцию распределения F(x) и начертить ее график. Решение. 1. Если х < 2, то F (х) = 0. Действительно, значений, меньших числа 2, величина X не принимает. Следовательно, при х < 2 функция 2. Если 2 < х ^ 4, то F(x) - = 0,5. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5. 3. Если 4 < х < 7, то F(*) = = 0,7. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,5 + 0,2 = 0,7. 4. Если х > 7, то F(x) = 1. Действительно, событие X < 7 достоверно и вероятность его равна единице. Итак, искомая функция
6.2. Плотность распределения вероятностей... случайной величины 113 распределения имеет вид 0 при х < 2, 0,5 при 2 <х < 4, F(x) = < 0,7 при 4 <х < 7, 1 при х> 7. График этой функции приведен на рис. 6. 261. Дискретная случайная величина задана законом распределения X 3 4 7 10 р 0,2 ОД 0,4 0,3' Найти функцию распределения и построить ее график. 6.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: / (jc) = F'(X). Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция». Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а,Ь\ определяется равенством ь Р(а<Х<Ь) = Jf(x)dx. а Зная плотность распределения, можно найти функцию распре- X деления F (х) = Г / (jc) dx. —оо Плотность распределения обладает следующими свойствами: Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f(x)>0. Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распреде- оо ления в пределах от -оо до оо равен единице: Г / (jc) dx = 1.
114 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... В частности, если все возможные значения случайной величи- ъ ны принадлежат интервалу (д, Ь\ то Г / (х) dx- 1. а 262. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X (О при х < О, sinjc при 0<х<я/2, 1 при х > к/2. Найти плотность распределения / (jc). Решение. Плотность распределения равна первой производной функции распределения: 10 при х < О, cosjc при 0<дг<я/2, О при х > я/2. Заметим, что при х = 0 производная F'{x) не существует. 263. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X: (О при х ^ О, sin 2х при 0 <х < я/4, 1 при х > к/4. Найти плотность распределения / (х). 264. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения /(jc) = (3/2)sin3* в интервале (0, л/3); вне этого интервала /(*) = 0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (я/6, л/4). ь Решение. Воспользуемся формулой Р (а < X < b) = J /(*) dx. а По условию а = я/6; Ь - я/4; /(jc) = (3/2)sin3. Следовательно, искомая вероятность л/4 Р(я/6 < X < я/4) = (3/2) J sin3jc Jjc = V2/4 л/6 (выкладки предоставляется выполнить читателю).
6.2. Плотность распределения вероятностей 265. Непрерывная случайная i (О, оо) задана плотностью распредел вне этого интервала / (х) = 0. Найт! примет значение, принадлежащее v 266. Плотность распределения величины X в интервале (-я/2, к/2] вне этого интервала f(x) = 0. Най в трех независимых испытаниях > значение, заключенное в интервале 267. Задана плотность распредс чайной величины X: /(*) = 0 при cos х при 0 при Найти функцию распределения Решение. Используем формулу X F(x)= J/(x) Если х < Если 0 < Если х > О,то/(х) = jc < л/2, то F(x) = л/2, то 0 0, следователь F(x) 0 -оо л/2 = J0dx —оо X dx + Jcos. 0 / F (дг) = Г 0 dx + Г cos х dx + J -оо 0 Л/ Итак, искомая функция распределс 10 при sin х при 1 при
116 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... 268. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X: (О при х < О, sin х при 0 <jc < я/2, О при х > я/2. Найти функцию распределения F (jc). 269. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X: (О при х < 1, дг-1/2 при 1<jc^2, О при х> 2. Найти функцию распределения F (jc). 270. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X: (0 при х < я/6, 3 sin Зх при я/6 <х < я/3, 0 при х > я/3. Найти функцию распределения F (х). 271. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством / (jc) = 4C/(ex+ + е~х). Найти постоянный параметр С. Решение. Плотность распределения f(x) должна удовлетво- оо рять условию J f(x) dx = 1. Потребуем, чтобы это условие вы- —оо полнялось для заданной функции: 00 , 4С Г-£_ = !. J ех + е~х —оо Отсюда
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 117 Найдем сначала неопределенный интеграл: Jdx г ех dx — = 1 jz = arctg ex. ех + е-х J 1 4- e2x Затем вычислим несобственный интеграл: 00 j 0 * Ь , Jdx r dx r dx — = lim — + bm = ех + е-х а__«, j ех + е-х b_^oo J ех + е-х -оо а О + lim arctg e* - Ь-*оо Ю = lim [arctg I - arctg ea] + lim [arctg еь - arctg 1] = л/2. a—>-oo Ь—^оо Таким образом, Г dx _ л —00 Подставив (**) в (*), окончательно получим С = 1/2я. 272. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством / (х) = 2С/(1 + ч- х2). Найти постоянный параметр С. 273. Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале (0, я/2) равна f(x) = C sin 2x; вне этого интервала / (*) = 0. Найти постоянный параметр С. 274. Плотность распределения непрерывной случайной величины Xзадана в интервале (0,1) равенством /(х) = Сх х arctg jc; вне этого интервала f(x) = 0. Найти постоянный параметр С. 6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством оо М(Х)= j xf(x)dx, —оо где / (jc) — плотность распределения случайной величины X. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
118 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а, Ь), то ь M(X) = fxf(x)dx. а Все свойства математического ожидания, указанные выше для дискретных случайных величин (см. 4.3), сохраняются и для непрерывных величин. Если Y = ф (X) — функция случайного аргумента X, возможные значения которого принадлежат всей оси Ох, то = J4>(x)f(x)dx. В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (а, Ь\ то ь Если математическое ожидание М(Х) существует и кривая распределения симметрична относительно прямой х = С, то Модой Mq (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным. Медианой Ме (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством Р[Х<Ме(Х)]=Р[Х>Ме(Х)]. Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината / (дс) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством оо D(X) = J[x-M(X)ff(x)dx,
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 119 или равносильным равенством D(X)= J x2f(x)dx-[M(X)]\ В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (д, Ь)> то или D(X) = j[x-M(X))2f(x)dx, и = jx2f(x)dx-[M(X)]\ Все свойства дисперсии, указанные выше для дискретных случайных величин (см. 4.3), сохраняются и для непрерывных величин. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины: о(Х) = yjD(X). Если Y = ф (X) — функция случайного аргумента X, причем возможные значения X принадлежат всей оси Ох> то оо D [ф (X)] = J [Ф (х) - М [ф (*)]]2/ (х) dx, или D [ф (X)] = J <f\x)f (дс) dx - [М [ф (X)]]2. —ОО В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, Ь), то ь D [ф (X)] = |[ф (X) - М [ф (jc)]]2/ Ос) Л,
120 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... или и D [ф (X)] = J ф2(дс)/ (х) dx - [М [ф (X)]]2. (**) а Начальный теоретический момент порядка к непрерывной случайной величины X определяется равенством оо У>к= J xkf{x)dx. —оо Центральный теоретический момент порядка к непрерывной случайной величины X определяется равенством Н= j[x-M(X)ff(x)dx. В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, Ь), то ь ь у к = J **/ « dxy щ = j[x - М (X)] V (х) dx. Очевидно, что если к - 1, то vi = М (X), |ii = 0; если к = 2, то Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам: Ц2 = v2 - v?; 275. Случайная величина X задана плотностью распределения /(jc) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X. Решение. Используем формулу ь М(Х) = jxf(x)dx.
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 121 Подставив а = О, Ъ - 1, f (х) - 2х, получим 1 1 x2dx = (2/3)*3 = 2/3. 276. Случайная величина X задана плотностью распределения fix) = (1/2)jc в интервале (0; 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X. 277. Случайная величина X в интервале (-с, с) задана плотностью распределения f(x) = \/ (л Vc2 - х2\; вне этого интервала /(jc) = 0. Найти математическое ожидание величины X. ь Решение. Используем формулу М (X) = f xf (x) dx. Подставив а а = -с,Ь = с, f(x) = 1 / (к Vc2 - jc2), получим Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем, что интеграл равен нулю. Следовательно, М (X) = 0. Этот результат можно получить сразу, если принять во внимание, что кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0. 278. Случайная величина X задана плотностью вероятности (распределение Лапласа) /(jc) = (l/2)e~|jc|. Найти математическое ожидание величины X. 279. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = сС*2 + 2х) в интервале (0,1); вне этого интервала / (jc) = 0. Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание величины X. 280. Найти математическое ожидание случайной величины X, заданной функцией распределения г 0 при jc < 0, /4 при 0<jc<4, 1 при jc> 4.
122 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Решение. Найдем плотность распределения величины X: 10 при х ^ 0, 1/4 при 0<х^4, 0 при х> 4. Найдем искомое математическое ожидание: 4 4 М(Х) = J xf(x) dx = Jx • (1/4) dx = 2. о о 281. Случайная величина Ху возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения F {х) = = 1 - e-ax (a > 0). Найти математическое ожидание величины X. 282. Случайная величина X задана плотностью распределения /Ос) = (l/2)sin;c в интервале (0,л); вне этого интервала /(*) = 0. Найти математическое ожидание функции У = фСЮ = X2 (не находя предварительно плотности распределения У). Решение. Воспользуемся формулой для вычисления математического ожидания функции ф (X) от случайного аргумента X: ъ А#[<р(Х)] = fv(x)f(x)dx, а где а и Ъ — концы интервала, в котором заключены возможные значения X. Подставляя ф(дг) = *2, f(x) = (l/2)sin;c, a = 0, Ъ = л и интегрируя по частям, окончательно получаем 1 л М(Х2) = - fx2 sin* dx = (л2 - 4)/2. 2о 283. Случайная величина X задана плотностью распределения / (х) = cos х в интервале (0, л/2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание функции Y = = ф(Х) = X2 (не находя предварительно плотности распределения У). 284. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = х + 0,5 в интервале (0,1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание функции Y = X3 (не находя предварительно плотности распределения У).
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 123 285. Случайная величина X задана плотностью распределения / Ос) = 2 cos 2х в интервале (0, я/4); вне этого интервала /(лг) = 0. Найти: а) моду; б) медиану X. Решение, а) Легко убедиться, что функция /(х) = 2cos2jc в открытом интервале (0, л/4) не имеет максимума, поэтому X моду не имеет. б) Найдем медиану Ме (X) = те, исходя из определения медианы Р(Х < те) = Р{Х > те), или, что то же, Р(Х < т€) = 1/2. Учитывая, что по условию возможные значения X положительны, перепишем это равенство так: Р(0 < X < те) = 1/2, или 2 Г cos 2x dx = sin Ъпе = 1/2. о Отсюда 2те = arcsin 1/2 = я/6. Следовательно, искомая медиана те = л/12. 286. Случайная величина X в интервале (2,4) задана плотностью распределения / (jc) = -(3/4).*2 + (9/2)jc - 6; вне этого интервала /(jc) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины X. Решение. Представим плотность распределения в виде / (х) = = -(3/4) (х - З)2 + 3/4. Отсюда видно, что при х = 3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, Мо(Х) = 3. (Разумеется, можно было найти максимум методами дифференциального исчисления.) Кривая распределения симметрична относительно прямой х = = 3, поэтому М (X) = 3 и Ме (X) = 3. 287. Случайная величина X в интервале (3,5) задана плотностью распределения /(jc) = —(3/4)jc2 + 6x - 45/4; вне этого интервала /(jc) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану X. 288. Случайная величина X в интервале (-1,1) задана плотностью распределения / (jc) = 1 / (л Vl - jc2); вне этого интервала /(jc) = 0. Найти: а) моду; 6) медиану X. 289. Случайная величина X при jc > 0 задана плотностью вероятности (распределение Вейбулла) f(x) = 0 при jc < 0. Найти моду X.
124 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... 290. Доказать, что математическое ожидание непрерывной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями. Решение. Пусть X — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения / (jc) на отрезке [а, Ь]\ вне этого отрезка /(jc) = 0. Тогда а < х < Ь. Учитывая, что / (jc) > 0, получим af(x) ^ xf(x) < bf(x). Проинтегрируем это двойное неравенство в пределах от а до Ъ\ ь ь ь ajf(x) dx < Jxf(x) dx < b jf(x) dx. a a a Принимая во внимание, что ь J7(jc)</jc=1, jxf(x)dx = окончательно получим а < Л/ (Х) < b. 291. Доказать, что если lim [xF(x)] = 0 и lim[;c(l - JC—>-oo x—»oo M(X) = J[l - F(x)] dx- J F(x) dx. 0 -oo Указание. Имеем oo 0 oo M (X) = J xf(x) dx= j xf(x) dx + J xf(x) dx. -oo —oo 0 Заменить /(jc) в первом слагаемом на F'{x\ а во втором — на [1 - F (х)]'. 292. Случайная величина X в интервале {-с, с) задана плотностью распределения f(x) = l/(n Vc2 - х2), вне этого интервала /(*) = 0. Найти дисперсию X. Решение. Будем искать дисперсию по формуле ь D(X) = j[x-M(X)ff(x)dx. а Подставляя М(Х) = 0 (кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0), а = -с, b = Су f(x) = 1/Гл Vc2 - х2},
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 125 получаем Сделав подстановку х = с sin г, окончательно имеем D (X) = 293. Случайная величина X в интервале (-3,3) задана плотностью распределения /(jc) = l/(n V9- jc2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти: а) дисперсию X; б) что в результате испытания окажется вероятнее: X < 1 или X > 1? 294. Доказать, что дисперсию непрерывной случайной величины X можно вычислить по формуле со D(X)= ^ x1f(x)dx-[M(X)]2 Указание, Воспользоваться формулой оо D (X) = J [х - М (X)]2f (jc) dx —оо оо оо и равенствами J jc/(jc) dx = М{X)f J /(jc) dx = 1. -oo -oo 295. Случайная величина X в интервале (0, л) задана плотностью распределения /(jc) = (1/2) sin jc; вне этого интервала / (jc) = 0. Найти дисперсию X. Решение. Найдем дисперсию по формуле ъ D (X) = J jc2/ (jc) dx - [M (X)]2. a Подставив сюда М(Х) = я/2 (кривая распределения симметрична относительно прямой jc = я/2), а = 0, Ъ = я, /(jc) = (1/2) sin jc, получим
126 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Дважды интегрируя по частям, найдем n2~4. (*♦) Подставив (**) в (*), окончательно получим D (X) = (л2 - 8)/4. 296. Случайная величина X в интервале (0,5) задана плотностью распределения f(x) = (2/25) х\ вне этого интервала / (х) = 0. Найти дисперсию X. 297. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения F(x) = 0 при х < -2, х/4+ 1/2 при -2 1 при х > 2. Решение. Найдем плотность распределения: 10 при х < -2, 1/4 при -2<х<2, 0 при х> 2. Найдем математическое ожидание 2 2 . М(Х) = jxf(x) dx = JV - dx = О (подынтегральная функция нечетная, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Найдем искомую дисперсию, учитывая, что М (X) = 0: 2 D (X) = J[jc - М (X)]2/ (jc) dx = -2 -2 298. Случайная величина задана функцией распределения -jc^/r3 при х ^ *о С*о > 0), 0 при * < *о. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 127 Указание. Найти сначала плотность распределения, использовать формулу оо D(X) = $ j?f(x)dx-[M(X)]2. —оо 299. Случайная величина X в интервале (0, я) задана плотностью распределения f(x) = (1/2) sin jc; вне этого интервала /(jc) = 0. Найти дисперсию функции Y = ф(Х) = X2, не находя предварительно плотности распределения У. Решение. Используем формулу ь D [ф (X)] = J Ф2(*)/ (х) dx - [М [Ф (X)]]2. Подставив ф (х) = jc2, f(x) = (1/2) sin x, a = 0, b = я, = M [X2] = (л2 - 4)/2 (см. задачу 282), получим Интегрируя по частям, найдем л J x4sin jc </jc = л4 - 12л2 + 48. (♦*) о Подставив (**) в (*), окончательно имеем D(X2) = (л4 - 16л2 + + 80)/4. 300. Случайная величина X задана плотностью распределения / (х) = cos х в интервале (0, я/2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию функции Y = ф(Х) = X2, не находя предварительно плотности распределения Y. Указание. Использовать формулу ь D [ф (X)] = J ф2(*)/ (х) dx - [М [Ф (X)]]2 а и то, что Л/(Х2) = (л2 - 8)/4 (см. задачу 283). 301. Случайная величина X задана плотностью распределения /(jc) = хпе~х/п\ при х > 0; /(х) = 0 при х < 0. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию X.
128 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Решение, а) Найдем математическое ожидание М(Х) = Г */(*) dx = ~ Г х • xne~x dx=\ Г jc"+V dx. о nl о л! о Воспользуемся так называемой гамма-функцией, которая определяется равенством Как видим, аргумент (целое число л), стоящий под знаком гамма-функции, на единицу больше показателя степени буквы ху стоящей под знаком интеграла. Следовательно, 2). (**) о Подставив (**) в (*), получим Воспользуемся следующим свойством гамма-функции: Как видим, гамма-функция от целого аргумента равна факториалу от аргумента, уменьшенного на единицу. Следовательно, Г(л + 2) = (л+1)! (♦♦*♦) Подставив (♦*♦♦) в (***), получим +1) =Л+ 1. б) Найдем дисперсию. Учитывая, что
6.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин 129 получаем оо оо D(X) = J x2f(x) dx - [M(X)]2 = - JV • x" • e~x dx- o n' о 2 If и+? -r i <V9 Г (/1 + 3) л -in + 1) = —- xr e dx-(n+ 1) = (n + 1) = n! J n! 302. Случайная величина X при л ^ 0 задана плотностью распределения (гамма-распределение) = 0 при ;с < 0. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию X. Указание. Сделать подстановку у = х/р и использовать гамма-функцию. 303. Доказать, что для любой непрерывной случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю. Решение. По определению центрального момента первого порядка оо оо оо II, = j[x - M(X)]f(x) dx= J xf(x) dx - M(X) J f{x) dx. -OO -OO -OO Учитывая, что оо оо J xf(x) dx = M(X) и J f(x) dx = 1, —OO —OO получаем И1 = M (X) - M (X) = 0. 304. Доказать, что обычный момент второго порядка 14= $(x-c)2f(x)dx имеет наименьшее значение, если с = М (X). 5 3ак. 1296
130 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Решение. Преобразуем \i2 так: Иг = J (* - cff (х) dx = J [(х - М (Х))+ —оо —сю оо +(М (X) - с)]2/ (х) <*х = J [х - М (X)]2/ (х) dx+ —оо оо оо +2[М (X) - с] J [jc - Л/ (X)]f (х) dx + [М (X) - с]2 J / (х) Же. -оо оо Принимая во внимание равенства оо оо j[x-M (X)]f (х) dx = |ц = 0, J [x - M (X)]2f (x) dx = \i2, —oo —oo oo J7(x)rfx=l. —oo получаем 2 Отсюда следует, что ц2 имеет наименьшее значение при с - - М(Х), что и требовалось доказать. Заметим, что из (*) следует, что ц2 = Ц2 ~ Ш(Х) - ^]2> т-е. центральный момент второго порядка меньше любого обычного момента второго порядка, если с Ф М (X). 305. Случайная величина X задана плотностью распределения /(jc) = 0,5jc в интервале (0,2); вне этого интервала f (jc) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. Решение. По формуле 2 vk = Jxkf(x)dx о найдем начальные моменты: 2 v, = jx- (0,5jc) dx = -; v2 = jx2 • (0,5jc) dx = 2; о о 2 2 v3 = J x3 • (0,5jc) dx = 3,2; v4 = J jc4 • (0,5jc) dx = —.
6.4. Равномерное распределение 131 Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины \i\ = 0. Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные: ц2 = V2 - Vp Цз = V3 - JV1V2 + 2v\\ Щ = V4 - Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты, получим: ц2 = 2/9, ц3 = -8/135, щ = 16/135. 306. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2х в интервале (0,1); вне этого интервала, f(x) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. 6.4. Равномерное распределение Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если на интервале (я, Ь), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x) = l/(b - а); вне этого интервала 307. Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, Ь) постоянное значение, равное С; вне этого интервала / (дс) = 0. Найти значение постоянного параметра С. 308. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А. Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения /(*) = \/(Ь - а), где (Ь - а) — длина интервала, в котором заключены возможные значения, X; вне этого интервала f(x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому f(x) = 1/0,1 = 10. Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02,0,08).
132 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... ь По формуле Р (а < X < Ь) - \ f (x) dx получим 0,08 /40,02 < X < 0,08) = J 10 dx = 0,6. 0,02 309. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05. 310. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин. 311. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с. 312. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности /(jc) = \/(Ь-а)в интервале (а, Ь); вне этого интервала / (jc) = 0. Найти функцию распределения F (х). 313. Найти математическое ожидание случайной величины Ху равномерно распределенной в интервале {а, Ь). Решение. График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой х = (я + Ь)/2, поэтому М (X) = (а + + «/2. Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь), равно полусумме концов этого интервала. Разумеется, этот же результат можно получить по формуле ь M(X) = jxf(x)dx. а В частности, математическое ожидание случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), будет ЩД) = (0+0/2 =1/2. 314. Найти математическое ожидание случайной величины Ху распределенной равномерно в интервале (2,8). 315. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Ху распределенной равномерно в интервале (а, Ь).
6.4. Равномерное распределение 133 Решение. Используем формулу ъ D(X) = jx2f(x)dx-[M(X)]2. а Подставив f(x) = l/(b - а\ М(Х) = (а + Ь)/2 (см. задачу 313) и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию = (b-a)2/\2. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии: В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины /?, распределенной равномерно в интервале (0,1), соответственно равны: D (/?) = 1 /12, о (/?) = 1 / (2 л/з). 316. Найти длсперсню и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2,8). 317. Равномерно распределенная случайная величина X задана плотностью распределения f{x) = 1/(2/) в интервале {а - U а + Г)\ вне этого интервала / (х) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию X. 318. Диаметр круга х измерен приближенно, причем а < < х < Ъ. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, Ь), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга. Решение. 1. Найдем математическое ожидание площади круга — случайной величины Y = ф (К) = лХ2/4 — по формуле ь М[ф(Х)] = Jq> (*)/(*) Л. а Подставив ф (jc) = лд;2/4, f(x) = \/(b - а) и выполнив интегрирование, получим М [лХ2/4] = л ф2 + д£ + а2)/12. 2. Найдем дисперсию площади круга по формуле ь D [ф (X)] = J ф2(*)/ (х) dx - [М [Ф (X)]]2.
134 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Подставив ф(х) = лд^/4, f(x) = \/(b - а) и выполнив интегрирование, получим D [лХ2/4] = (л2/720) ф - a)2(4b2 + lab + 4а2). 319. Ребро куба х измерено приближенно, причем а < < х < Ъ. Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, Ь), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба. 320. Случайные величины X и У независимы и распределены равномерно: X — в интервале (я, b\ Y — в интервале (с, d). Найти математическое ожидание произведения XY. Указание. Воспользоваться решением задачи 313. 321. Случайные величины X и У независимы и распределены равномерно: X — в интервале {a, b), Y — в интервале (с, d). Найти дисперсию произведения XY. Решение. Воспользуемся формулой D(XY) = M[(XY)2] - [М(ХУ)]2 = М(Х2У2) - [М(ХУ)]2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому D (XY) = М (X2) • М (У2) - [М (X) - М (У)]2. (*) Найдем М (X2) по формуле ь М [ф (X)] = Г ф (x)f (x) dx. а Подставляя ф(дс) = jc2, /(*) = I/O - а) и выполняя интегрирование, получаем " 13. (••) Аналогично находим Подставив Л/(X) = (а+«/2, А#(У) = (с+Л)/2,атакже(**)и(***) в (*), окончательно получим D (XY) = (а2 + аЪ + Ь2) (с2 + а/ + </2)/9 - [(а + Ь)2(с + </)2/16].
6.5. Нормальное распределение 135_ 6.5. Нормальное распределение Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид /(JC)= оуТл где а — математическое ожидание; о — среднее квадратическое отклонение X. Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, |3), 1 Х где Ф (jc) = —=. Г е~^12 dx — функция Лапласа. V2^ Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 6, В частности, при а = 0 справедливо равенство 5) = 2Ф(5/о). Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны: As = 09 Е* = 0, М0 = а, Ме=ау гцеа = М(Х). 322. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно а = 3, и среднее квадратическое отклонение а = 2. Написать плотность вероятности X. 323. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что М(Х) = 3, D(X)= 16. 324. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью /(jc) = —— ^-<JC-1>2/50. Найти матейати- 5V2 V ческое ожидание и дисперсию X.
136 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... 325. Дана функция распределения нормированного нор- мального закона ^(jc) = —— I e~t2/2dt. Найти плотность распределения / (х). 326. Доказать, что параметры а и а — плотности нормального распределения — являются соответственно математическим ожиданием н средним квадратическим отклонением X. Указание. При нахождении М(Х) и D(X) следует ввести новую пере- оо менную z = (x- а)/о и использовать интеграл Пуассона J ё~*1г dz = V5ji. -оо 327. Доказать, что функция Лапласа нечетна: Ф (-jc) = -Ф (jc). Указание. Положить z = -t в равенстве 1 ~х Ф(-х)=-4= (e~zZ/2dz. 328. Математическое ожидание и среднее квадратиче- ское отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12,14). Решение, Воспользуемся формулой Подставив а = 12, Р = 14, а = 10 и о = 2, получим Р(\2 < < X < 14) = Ф (2) - Ф (1). По таблице приложения 2 находим: Ф (2) = = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р(\2 < X < 14) = = 0,1359. 329. Математическое ожидание и среднее квадратиче- ское отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15,25).
6.5. Нормальное распределение 137 330. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм. Указание. Из равенства Р (32 < X < 68) = 1 предварительно найти а. 331. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм. Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула Р(\Х\ < Ь) - 2Ф(6/а). Положив 6 = 15, о = 10, находим Р(\Х\ < 15) = 2Ф(1,5). По таблице приложения 2 находим Ф (1,5) = 0,4332. Искомая вероятность Р(\Х\ < 15) = 2 • 0,4332 = 0,8664. 332. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадра- тическим отклонением о = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г. 333. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением о = = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм. 334. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных. Решение. Так как X — отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то М (X) = а = 0. Воспользуемся формулой Р(\ X \ < 6) = 2Ф (6/а). Подставив 6 = = 0,7, о = 0,4, получим >(-) = Р(\Х\ < 0,7) = 2Ф -^ = 2Ф(1,75) = 20,4599 = 0,92.
138 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными. 335. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а = = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат? 336. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадра- тическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания. 337. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания X в интервал (10,20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (0,10)? Решение. Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а = 10, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0,10) и (10, 20), равны между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то Р(0 < X < 10) = />(10 < X < 20) = 0,3. 338. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания X в интервал (10,15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35,40)? 339. Доказать, что т.е. что значение удвоенной функции Лапласа при заданном t определяет вероятность того, что отклонение X - а
6.5. Нормальное распределение 139 нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше or. Указание. Использовать формулу Р(\Х - а\ < 6) = 2Ф(6/о), положив 6/а = и 340. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Указание. Использовать решение задачи 339, положив t = 3. 341. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 10 и средним квадратичес- ким отклонением о = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания. 342. Случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением а = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания. 343. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр X. Считая, что X — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а = 10 мм и средним квадратическим отклонением о = = 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков. 344. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью Найти моду и медиану X. Решение. Модой Мо (X) называют то возможное значение X, при котором плотность распределения имеет максимум. Легко убедиться, что при х = а производная f'(a) = 0; при х < а производная /'(*) > 0, при х > а производная f'(x) < 0; таким образом, точка х = а есть точка максимума, следовательно, Мо (X) = а. Медианой Ме (X) называют то возможное значение X, при котором ордината / (jc) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. Так как нормальная кривая [график функции /(*)] симметрична относительно прямой х = а, то ордината /(л)
140 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... делит пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно, Ме (X) = а. Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают с математическим ожиданием а. 345. Случайная величина X распределена нормально, причем математическое ожидание я = 0 и среднее квадрати- ческое отклонение равно о. Найти значение а, при котором вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, р) (а > О, Р > а), будет наибольшей. Указание. Воспользоваться формулой Р(а < X < р) = Ф(Р/а) - Ф(а/о) = л Р/о а/а t 4 { \^ найти о из уравнения ср'(о) = 0. 6.6. Показательное распределение и его числовые характеристики Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью О при х<0, Хе'^* при х > О, где X — постоянная положительная величина. Функция распределения показательного закона {О при х < О, \-е-и при 0 0. Вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратиче- ское отклонение показательного распределения соответственно
6.6. Показательное распределение и его числовые характеристики 141 равны: М(X) = 1 A, D(X) = 1 А2, о(Х) = 1 А- Таким образом, математическое ожидание и среднее квадра- тическое отклонение показательного распределения равны между собой. 346. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр X = 5. Решение. Подставив X = 5 в соотношения (*)и(**), получим > при х < О, \е~5х при х > О, при х < О, - е~5* при * > 0. 347. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр X = 6. 348. Найти параметр X показательного распределения: а) заданного плотностью f(x) = 0 при х < 0, f(x) = 2^"^ при х > 0; б) заданного функцией распределения F(jc) = 0 при х < 0 и F(jc) = 1 - <Г0'4* при х > 0. 349. Доказать, что если непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, то вероятность попадания X в интервал (а, Ь) равна е'^ - е'^. Решение. Первый способ. Пусть величина X задана функцией распределения F(x) = 1 - е'^ (х > 0). Тогда вероятность попадания X в интервал (а, Ь) (см. 6.1) Р(а<Х <b) = F(b) - F(a) = [1 - *"**] - [1 - е"^] = <Tb - е^. Второй способ. Пусть величина X задана плотностью распределения f(x) = Хе~кх (х > 0). В этом случае (см. 6.2) ь i P(a<X<b)= [e-kxdx = X\—- J \ X a N 350. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) = Ъе~Ъх при х > 0; при х < 0 /(*) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,13,0,7).
142 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... Решение. Используем формулу Учитывая, что по условию а = 0,13; b = 0,7; \ = 3, и пользуясь таблицей значений функции е~х, получаем Р(0,13 < X < 0,7) = е"3-0'13 - <Г30'7 = <Г°'39 - е-21 = = 0,677-0,122 = 0,555. 351. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному при х > 0 плотностью распределения f(x) = 0,04 • е~004*; при х < 0 функции f(x) = = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1,2). 352. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения F(x) = 1 - е~°'6х при х > 0; при х < 0 F(x) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (2,5). 353. Найти математическое ожидание показательного распределения f(x) = -ке-и (х > 0); /(*) = 0 (х < 0). Решение. Используем формулу оо М(Х)= j xf(x)dx. —оо Учитывая, что f(x) = (0) при х < 0 и f(x) = Хе'^ при х > 0, получаем о Интегрируя по частям по формуле оо оо J и do = uv\ - Г w/w, положив м = jc, dv = £ ** */jc и выполнив выкладки, окончательно получим М (X) = 1/Х. Итак, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра "к.
6.6. Показательное распределение и его числовые характеристики 143 354. Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при х > 0: а) плотностью /(*) = = 5е~5х\ б) функцией распределения F(x) = 1 - е~°*]х. 355. а) Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что X примет значение, меньшее математического ожидания М(Х), не зависит от величины параметра X; б) найти вероятность того, что X > М (X). 356. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности: /(jc) = l£~u при х> 0; /(jc) = 0 при х < 0. Решение, а) Используем формулу D(X)= J x1f(x)dx-[M(X))\ Учитывая, что /(jc) = 0 при х < 0, М(Х) = 1Д (см. задачу 353), получаем оо о Интегрируя дважды по частям, находим J о Следовательно, искомая дисперсия 2A2-1/X.2= 1А2, т.е. дисперсия показательного распределения равна величине, обратной X2. б) Найдем среднее квадратическое отклонение а(Х)= т.е. среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно величине, обратной X. 357. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности /(*) = Юег10* (х > 0). 358. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного закона, заданного функцией распределения F{x) = 1 - е~°>4х (х > 0).
144 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... 359. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x) = 0 при х < О, f(x) = Ce~u при х > 0; однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С. Указание. Использовать свойство плотности распределения: 360. Найти теоретический центральный момент третьего порядка цз = М[Х - М(Х)]3 показательного распределения. Указание. Использовать решения задач 353 и 356. 361. Найти асимметрию As = \1з/о*(Х) показательного распределения. Указание. Использовать решения задач 356 и 360. 362. Найти теоретический центральный момент четвертого порядка щ = М [X - М (X)]4 показательного распределения. 363. Найти эксцесс Ек = * - 3 показательного рас- пределения. 364. Доказать, что непрерывная случайная величина Т — время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока с заданной интенсивностью X (см. 4.2) — имеет показательное распределение F (/) = 1 - e~h (t > 0). Решение. Предположим, что в момент г0 наступило событие А\ потока. Пусть t\ - to + t (рекомендуем для наглядности начертить ось времени и отметить на ней точки Го и t\). Если хотя бы одно событие потока, следующее за событием А1, произойдет в интервале, заключенном внутри интервала (/о, f i), например, в интервале (Го, *г)>то время Т между появлениями двух последовательных событий окажется меньшим г, т.е. окажется, что Т <t. Для того чтобы найти вероятность Р(Т < t\ примем во внимание, что события — «внутри интервала (Го, '0 появилось хотя бы одно событие потока» и «внутри интервала (Го, t\) не появилось ни одного события потока» — противоположны (сумма их вероятностей равна единице). Вероятность непоявления за время t ни одного события пото- ° ^ ка Pt (0) = — = e~h. Следовательно, интересующая нас
6.7. Функция надежности 145 вероятность противоположного события Р(Т < t) = 1 - е~ьу или [по определению функции распределения F (t) = Р(Т < 0] имеем F (г) = 1 - e~h, что и требовалось доказать. 365. Задана интенсивность простейшего потока X = 5. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Т — времени между появлениями двух последовательных событий потока. Указание. Использовать решение задачи 364. 366. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т — времени ожидания очередной машины контролером, — если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t) = = 5<Г5'. Указание. Время ожидания машины контролером и время прохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково. 6.7. Функция надежности Элементом называют некоторое устройство, независимо от того, «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени Го = 0, а в момент t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину — длительность времени безотказной работы элемента, а через X — интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени). Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого <t)= \-e~h (k>0) определяет вероятность отказа элемента за время длительностью и Функцией надежности R{i) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:
146 Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... 367. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(f) = 1 -е~°*ои (t > 0). Найти вероятность того, что за время длительностью / = = 50 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет. Решение, а) Так как функция распределения F (t) = 1 - е~°'Ои определяет вероятность отказа элемента за время длительностью г, то, подставив t = 50 в функцию распределения, получим вероятность отказа: F(50) = 1 - е'т5° = 1 - е-°>5 = 1 - 0,606 = 0,394; б) события «элемент откажет» н «элемент не откажет» — противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет Р = 1 - 0,394 = 0,606. Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надежности R (t) = е~иу которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t: /?(5О) = е-о'О1-5О = ^а5 = 0,606. 368. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (t) = 1 - е~°'03/. Найти вероятность того, что за время длительностью / = 100 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет. 369. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение Fi (t) = 1 - e~°t02tf второго F2 (t) = 1 - e~OtO5t. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет. Решение, а) Вероятность отказа первого элемента />, = Fi (6) = 1 - е~°т'6 = 1 - е'ол2 = 1 - 0,887 = 0,113. Вероятность отказа второго элемента Р2 = 1 - <Г0'05 6 = 1 - <Г°'3 = 1 - 0,741 = 0,259. Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероятностей РХР2 = 0,113 0,259 = 0,03.
6.7. Функция надежности 147 б) Вероятность безотказной работы первого элемента Вероятность безотказной работы второго элемента Яг = Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов qx q2 = 0,887 0,741 =0,66. в) Вероятность того, что откажет только один элемент Р\Чг + РгЯ\ = 0,113 • 0,741 + 0,259 • 0,887 = 0,31. г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет р= \-qxq2 = 1-0,66 = 0,34. 370. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента F\ (t) = 1 - е~01'; для второго F2 (t) = = e~°'2t> для третьего элемента F3 (0=1- е~0'3'. Найти вероятности того, что в интервале времени (0,5) ч откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента. 371. Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента f\ (t) = 0,1е~0Д', для второго f2 (t) = 0,2е~°'2/, для третьего элемента, /з (t) = 0,Зе~03'. Найти вероятности того, что в интервале времени (0,10) ч откажут: а) хотя бы один элемент; б) не менее двух элементов. Указание. Воспользоваться результатами, полученными при решении задачи 370. 372. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством R (/) = e~h, где положительное число X — интенсивность отказов. Доказать характеристическое свойство показательного закона надежности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени длительностью t не зависит от времени
148Глава 6. Функции и плотности распределения вероятностей ... предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала / (при заданной интенсивности отказов X). Решение. Введем обозначения событий. А — безотказная работа элемента в интервале (0, to) длительностью to, В — безотказная работа элемента в интервале (to, to -1) длительностью и Тогда АВ — безотказная работа в интервале (го,*о + 0 длительностью Го +1. По формуле R (t) = е'^ найдем вероятности этих событий: Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (Го,го + t) при условии, что он уже проработал безотказно в предшествующем интервале (О, Го): Так как в полученной формуле не содержится *о> а содержится только г, то это и означает, что время работы в предшествующем интервале не влияет на величину вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины t последующего интервала (to +1)} что и требовалось доказать. Другими словами, условная вероятность РА (В) безотказной работы в интервале времени длительностью г, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности Р (В).
Глава 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО И ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ 7.1. Функция одного случайного аргумента Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины У, то У называют функцией случайного аргумента X и записывают У = Если X — дискретная случайная величина и функция У = ф (X) монотонна, то различным значениям X соответствуют различные значения У, причем вероятности соответствующих значений X и У одинаковы. Другими словами, возможные значения У находят из равенства где xt — возможные значения X; вероятности возможных значений У находят из равенства Если же У = ф (X) — немонотонная функция, то, вообще говоря, различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения У (так будет, если возможные значения X попадут в интервал, в котором функция ф (X) не монотонна). В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений У следует сложить вероятности тех возможных значений X, при которых У принимает одинаковые значения. Другими словами, вероятность повторяющегося значения У равна сумме вероятностей тех возможных значений X, при которых У принимает одно и то же значение.
ISO Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов Если X — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения / (х), и если у = ф (*) дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = \|f (у), то плотность распределения g (у) случайной величины У находят из равенства Если функция у = ф (jc) в интервале возможных значений X не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция ф(лс) монотонна, и найти плотности распределений gi (у) для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g (у) в виде суммы: Например, если функция ф(лс) монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны \|/i (у) и угОО» то g(y) = /[viOO] • MOOI + /[¥2 Су)1 • IviOOI- 373. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 1 3 5 р 0,4 0,1 0,5' Найти закон распределения случайной величины Y = ЪХ. Решение. Найдем возможные значения величины Y - ЪХ. Имеем у\ =31 = 3; уг = 3 • 3 = 9; уз = 3 • 5 = 15. Видим, что различным возможным значениям X соответствуют различные значения У. Это объясняется тем, что функция у = ф (jc) = Зх монотонна. Найдем вероятности возможных значений У. Для того чтобы У = = ух =3, достаточно, чтобы величина X приняла значение х\ = 1. Вероятность же события X = 1 по условию равна 0,4; следовательно, и вероятность события Y = у\ =3 также равна 0,4. Аналогично получим вероятности остальных возможных значений У:' />(У= 15) Напишем искомый закон распределения У: У 3 9 15 р 0,4 0,1 0,5*
7.1. Функция одного случайного аргумента 151 374. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X 3 6 10 р 0,2 0,1 0,7' Найти закон распределения случайной величины У = 375. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X -1 -2 1 2 р 0,3 0,1 0,2 0,4' Найти закон распределения случайной величины У = X2. Решение. Найдем возможные значения У: У1=*? = (-02 = 1, у2 = ** = (-2)2 = 4, Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значения Y. Это объясняется тем, что возможные значения X принадлежат интервалу, на котором функция Y = X2 не монотонна. Найдем вероятности возможных значений Y. Для того чтобы величина Y приняла значение У = 1, достаточно, чтобы величина X приняла значение X = -1 или X = 1. Последние два события несовместны, их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. В связи с этим вероятность события Y = 1 по теореме сложения = 1) = 0,3+ 0,2 = 0,5. Аналогично найдем вероятность возможного значения У = 4: P(Y = 4) = Р(Х = -2) + Р(Х = 2) = 0,1 + 0,4 = 0,5. Напишем искомый закон распределения величины У: У 1 4 р 0,5 0,5' 376. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: X я/4 я/2 Зя/4 р 0,2 0,7 0,1 "
152 Глава 7. Распределение функции ...случайных аргументов Найти закон распределения случайной величины Y = = sinX. 377. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (а,Ь). Найти плотность распределения случайной величины Y = ЗХ. Решение. Так как функция у - Зх дифференцируемая и строго возрастает, то применима формула где \|/ (у) — функция, обратная функции у = Зх. Найдем \|/ (у): Найдем/[у (у)]: (**) Найдем производную Y (у): Очевидно, что i/3. С**) Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим (**) и (♦♦♦) в (*): g(y) = (1/3)/Су/3). Так как х изменяется в интервале (а, Ь)иу = 3х,то3а<у< ЗЬ. 378. Задана плотность распределения /(*) случайной величины Ху возможные значения которой заключены в интервале (а,Ь). Найти плотность распределения g(y) случайной величины У, если: a) Y = -ЗХ; б) Y = АХ + В. 379. Случайная величина X распределена по закону Коши Найти плотность распределения случайной величины Y = X3 + 2. 380. Задана плотность распределения /(*) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0, оо). Найти плотность распределения g (у) случайной величины Y, если: a) Y = е"х\ б) Y = 1пХ; в) Y = X3; г)У=1/Х2;д)Г= VX.
7.1. Функция одного случайного аргумента 153 381. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (-оо, оо). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y, если: a) Y - X2; б) Y = е~х2; в) Y = \Х\; г) Y = cosX; д) Y = arctgX; e) Y = 1/(1 + X2). 382. В прямоугольной системе координат хОу из точки А (4;0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Оу. Найти плотность g (у) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного луча с осью Оу. Решение. Угол t можно рассматривать как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (-л/2, л/2), причем в этом интервале плотность распределения 1 л/2-(-л/2) вне рассматриваемого интервала / (г) = 0. Из рис. 7 следует, что ордината у связана с углом t следующей зависимостью: у = 4tgf. Эта функция в интервале (-л/2, л/2) монотонно возрастает, поэтому для отыскания искомой плотности распределения g Су) применима формула 1 л* где у — функция, обратная функции y = 4tgt. Найдем \|/ Су): ¥ Су) =t = arctg Су/4). Найдем \/Су): У \ 1 0 \ \ \А(4;0) X Рис. 7 /(У) = 4/(16 Следовательно, |\|/'Су)| = 4/(16 + /). Найдем / [у (у)], Так как / (г) = 1 /л, то С*) Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим 4 л(16 + ;у2)'
154 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов причем -оо < у < оо (последнее следует из того, что у = 4tgr и -л/2 < t < nil). Контроль: ? dy 4-2-я 383. Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-п/2у я/2). Найти плотность распределения g (у) случайной величины Y = sinX. Решение. Найдем плотность распределения f(x) случайной величины X. Величина X распределена равномерно в интервале (-я/2, я/2), поэтому в этом интервале 1 1 вне рассматриваемого интервала / (х) = 0. Функция у - sin х в интервале (-я/2, я/2) монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию х = \|/ (у) = = arcsiny. Найдем производную у'(у): Найдем искомую плотность распределения по формуле Учитывая, что f(x) = 1/л (следовательно, f[y(y)] = 1/я) и |у'(у)| = 1/л/1 -У2» получаем g(y) = Так как у = sin jc, причем -я/2 < х < я/2, то -1 < у < 1. Таким образом, в интервале (-1,1) имеем g(y) = l/(jiyj\ -у2), вне этого интервала g (у) = 0. г / w ] г *у 2 с dy 2 • \ g (у) dy = - = - = - arcsi = 2/л-я/2=
7.1. Функция одного случайного аргумента 155 384. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, я/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y = sin X. 385. Задана плотность распределения случайной величины X: f (jc) = 1/л в интервале (-я/2, л/2); вне этого интервала / (х) - 0. Найти плотность распределения g (у) случайной величины У = tgX. "0[ \ я / 2л х 386. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0,2л). Найти рИс. 8 плотность распределения g(y) случайной величины Y = cosX. Решение. Найдем плотность распределения / (jc) случайной величины X: в интервале (0,2л) имеем /0с)=1/(2л-0)=1/2л; вне этого интервала / (jc) = 0. Из уравнения у - cos jc найдем обратную функцию jc = \|/ (у).Так как в интервале (0,2л) функция у = cos jc не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (0, л) и (л, 2л), в которых эта функция монотонна (рис. 8). В интервале (0,л) обратная функция у\(у) = = arccos^; в интервале (л, 2л) обратная функция у2Су) = -arccosy. Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства v)]-\v\(y)\ + flV2(y)]- Найдем производные обратных функций: ху\(у) = (arccosy)' = -1/ у 1 - у2, \\r'2(y) = (-arccos^)' = 1/ у 1 - у2. Найдем модули производных: Учитывая, что /(jc) = 1/2л, получаем fb¥\(y)] = 1/2л, f[y2(y)] = 1/2л. (***) Подставляя (**) и (***) в (*), имеем 2л л/1 -
156 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов Так как у = cosjc, причем 0 < х < 2л, то -1 < у < 1. Таким образом, в интервале (-1,1) искомая плотность распределения g(y) = = 1 / (V71 ~ У2)'у вне этого интервала g (у) = 0. Контроль: 387. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (-я/2, я/2). Найти плотность распределения g (у) случайной величины Y = cos X. 388. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным а, и средним квадра- тическим отклонением, равным о. Доказать, что линейная функция Y = АХ + В также распределена нормально, причем M(Y) = Aa + B, о(У) = |Л|о\ Решение. Напишем плотность распределения случайной величины X: 1 Функция у = Ах + В монотонна, поэтому применима формула *(y) = /[vWHV(y)l- (*) Найдем х = у (у) из уравнения у = Ах + В: Найдем /[\|/ (у)]: /[У О)] = 1 Найдем у'Су): Найдем I ly'OOl = l/IAI. С**) Подставляя (**) и (***) в (*), имеем g(y)= 1 е-\у-(Аа+В))2/2(Ао)2 (|A|)VS
7Л. Функция одного случайного аргумента 157 Отсюда следует, что линейная функция Y = АХ + В распределена нормально, причем М (Y) = Аа + В и о (Y) = | А \ о, что и требовалось доказать. 389. Задана плотность/(х) = —=е~х2/2 (-оо < х < оо) V2jt нормально распределенной случайной величины X. Найти плотность распределения g (у) случайной величины Y = X2. Решение. Из уравнения у = х2 найдем обратную функцию. Так как в интервале (-оо, оо) функция у = х2 не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы (-оо, 0) и (0, оо), в которых рассматриваемая функция монотонна. В интервале (-оо,0) обратная функция Ц\(у) = - у/у\ в интервале (0, оо) обратная функция у2(у) = л/у. Искомая плотность распределения может быть найдена из равенства g(y) = /fvi (у)] • IviOOl + /IV2(y)] • IviOOl- (*) Найдем производные обратных функций: = -1/(2 Vv), ViOO = 1/(2 VS). Найдем модули производных: IviWI = 1/(2Ф), IviOOl = J/(2л^). Учитывая, что f(x) = ——е'*'2, \\f\(y) = -у/у,У2(у) = л/у, получаем / [у ,(у)] = Подставляя (**) и (***) в (*), имеем так как у - х2, причем -оо < х < оо, то 0 < у < оо. Таким образом, в интервале (0, оо) искомая плотность распределения вне этого интервала g (у) = 0. Контроль: ]g{y)dy ' ]±e-
158 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов Положив у - t2 и, следовательно, dy = 2t dt, получим 2 оо гг— Учитывая, что интеграл Пуассона Г е~^12 dt = ——, находим о ]g(y)dy У2л 390. Задана плотность / (х) = —— е"*2'2 нормально рас- У2 пределенной случайной величины X. Найти плотность распределения случайной величины У = (1/2)Х2. 391. Задана плотность распределения / (х) = Найти плотность распределения g (у) случайной величины У = (1/4)Х2. 392. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2) sin jc в интервале (0, л); вне этого интервала / (х) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y = (р(Х) = Х2} определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y. Решение. Найдем сначала плотность g (у) случайной величины У. Так как функция у = qp (x) = х2 для рассматриваемых значений х (0 < х < л) строго возрастающая, то плотность g(y) будем искать по формуле где у Су) = yjy — функция, обратная функции у = х2 . Подставляя УСУ) = у/У и учитывая, что /(*) = (1/2)sin*, = 1 /(2 у/у), получаем = sin Найдем искомое математическое ожидание величины У, учитывая, что возможные значения У заключены в интервале (0, л2) [так как у = х1и0<х<луто0<у< л2]:
7.1. Функция одного случайного аргумента 159 Пользуясь подстановкой у = г2, получаем 1 л M(Y)= - Г г2 sin r Л. 2о Интегрируя дважды по частям, окончательно имеем Замечание. Решение, приведенное выше, преследует учебные цели. Гораздо быстрее ведет к цели формула М [X2] = - Г х2 sin jc dx = (к2 - 4)/2. 2о Это же замечание относится и к задаче 393. 393. Случайная величина X задана плотностью распределения / (jc) = cos х в интервале (0, я/2); вне этого интервала /(jc) = 0. Найти математическое ожидание функции Y = (Х) Х2 394. Случайная величина X задана плотностью распределения / (jc) = (1/2) sin jc; в интервале (0, л); вне этого интервала /(jc) — 0. Найти дисперсию функции Y = ф(Х) = X2, используя плотность распределения g (у). Решение. Используем формулу d D(Y) = jy2g(y)dy-[M(Y)]\ с где с и d — концы интервала, в котором заключены возможные значения У. Подставляя g (у) = sin у/у/4ф, M(Y) = (л2 - 4)/2 (см. задачу 392) и учитывая, что с = 0 и d = л2 (так как у = х2и0 < х < к, то 0 < у < л2), получаем sin Интегрируя сначала с помощью подстановки у = г2, а потом четырежды по частям, имеем
160 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов Подставив (**) в (*), окончательно получим 395. Случайная величина X задана плотностью распределения / (jc) = cos х в интервале (0, л/2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию функции Y = ф (X) = X2. Указание. Предварительно найти плотность распределения g(y) = = cos у/у/2 у/у величины Y - Х2\ использовать формулу л2/4 D(Y)= J y2g(y)dy-[M(Y)]\ о где М(У) = (я2 - 8)/4 (см. задачу 393). При вычислении интеграла сначала воспользоваться подстановкой у = г2, а затем интегрировать по частям. 396. Ребро куба измерено приближенно, причем а < х < < Ъ. Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, Ь), найти: а) математическое ожидание объема куба; б) дисперсию объема куба. Указание. Предварительно найти плотность распределения 8(У)= Ъ{Ь-а)у^ случайной величины у = X3. Использовать формулы *3 ь3 M{Y) = jygiy) dyy D{Y) = jy2g(y) dy-[M(Y)f. a3 fl3 397. Задана функция распределения F (x) случайной величины X. Найти функцию распределения G (у) случайной величины Y = ЗХ + 2. Решение. По определению функции распределения G(y) - = P(Y < у). Поскольку функция у = Зх + 2 — возрастающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X < < х, поэтому G(у) = P(Y <y) = P(X <x) = F(x). (*) Из уравнения у = Зх + 2 выразим jc: х = (у -2)/3. (**)
7.2. Функция двух случайных аргументов 161 Подставив (**) в (*), окончательно получим 398. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G (у) случайной величины У = -(2/3) X + 2. Решение. По определению функции распределения G(y) = P(Y<y). Поскольку функция у - -(2/3)дс + 2 — убывающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X > jc, поэтому G (у) = Р{Y < у) = Р(X > х). События X < х и X > х противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: Р(Х < х) + Р(Х > х) = 1. Отсюда Р(Х >х)=\- Р(Х <х)=\ -F(x); следовательно, G(y)=\-F(x). (*) Из уравнения у = -(2/3) х + 2 выразим х: х = 3(2-у)/2. (**) Подставив (**) в (*), окончательно получим G (у) =1-F[3 (2-30/2]. 399. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G (у) случайной величины Г, если: а) У = 4Х + 6; б) Y = -5Х + 1; в) У = яХ + Ъ. 7.2. Функция двух случайных аргументов Если каждой паре возможных значений случайных величин X и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У и пишут Если X и У — дискретные независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z = X +Y, надо 6 3ак. 1296
162 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями У; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и У. Если X и У — непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g (z) суммы Z = X + У (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (-оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле g(z)= f Mx)f2(z-x)dx, —оо либо по равносильной формуле оо g(z)= j Mz-y)f2(y)dy, где /i и /2 — плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g (z) величины Z = X+Y находят по формуле либо по равносильной формуле z = $Mz-y)f2(y)dy. В том случае, когда обе плотности f\ (x) и fi(y) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g (z) величины Z = X + + У целесообразно сначала найти функцию распределения G (г), а затем продифференцировать ее по г: Если X и У — независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f\(x) и fi(y\ то вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей
7.2. Функция двух случайных аргументов 163 распределения: Р [(X, У) с D] = JJ Мх)Ш dx dy. Ф) 400. Дискретные независимые случайные величины X и У заданы распределениями: X 1 3 . У 2 4 Р 0,3 0,7' Р 0,6 0,4' Найти распределение случайной величины Z = X+Y. Решение. Для тою чтобы составить распределение величины Z = X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями У: z\ = 1 + 2 = 3; z2 = 1 + 4 = 5; гъ = 3 + 2 = 5; Z4 = 3 + 4 = 7. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение х\ = = 1 и величина У — значение у\ = 2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X и У независимы, то события X - 1 и У = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е. вероятность события Z = 3) по теореме умножения равна 0,3 • 0,6 = 0,18. Аналогично найдем: />(Z = 1 + 4 = 5) = 0,3 • 0,4 = 0,12; P(Z = 3 + 2 = 5) = 0,7 • 0,6 = 0,42; P(Z = 3 + 4 = 7) = 0,7 • 0,4 = 0,28. Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = ц = 5, Z = гъ - 5 (0,12 + + 0,42 = 0,54): Z 3 5 7 Р 0,18 0,54 0,28* Контроль: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1. 401 • Дискретные случайные величины X и У заданы распределениями:
164 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов а) X 10 12 16 У 1 2 Р 0,4 0,1 0,5; Р 0,2 0,8; б) X 4 10 У 1 7 Р 0,7 0,3' Р 0,8 0,2' Найти распределение случайной величины Z = X +Y. 402. Независимые случайные величины X и У заданы плотностями распределений: Мх) = е~х(0<х< оо),/2(у) = (1/2)е-*2 (0<у< оо). Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y. Решение. Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула Следовательно, Выполнив элементарные преобразования, получим Здесь z > 0, так как Z = X + У и возможные значения X и У неотрицательны. Итак, #(г) = e~zl2[\ - e~z/2] в интервале (0, оо), вне этого интервала g (z) = 0. оо Рекомендуем для контроля убедиться, что Г g (z) dz = 1. о 403. Независимые случайные величины X и У заданы плотностями распределений: /3 (0<jc<oo), /2(y) = (l/5)*-*/5 (0 <?<«>). Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + У.
7.2. Функция двух случайных аргументов 165_ 404. Независимые нормально распределенные случайные величины X и Y заданы плотностями распределений: = (1/ V^)*"^2, /2(у) = (1/ Доказать, что композиция этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + У, также есть нормальный закон. оо Решение. Используем формулу g(z)= Г f\ {x)f2{z - х) dx. Тогда g(z) = 2л —оо Выполнив элементарные выкладки, получим = _L Т е-*12*-**-*12 dx. 2л J Дополнив показатель степени показательной функции, стоящей под знаком интеграла, до полного квадрата, вынесем ez /4 за знак интеграла: Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равенства, равен у/п, окончательно имеем g (г) = e~z /4. У2 оо Рекомендуем для контроля убедиться, что Г g(z) dz - 1. Для —оо этого следует воспользоваться подстановкой z = V2 • t и принять оо во внимание, что интеграл Пуассона Г е l2 dt = V2ji. —со Заметим, что в рассматриваемой задаче легко убедиться, что и o(Z)=
166 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов Можно доказать, что эти формулы справедливы и при композиции общих нормальных законов т.е. если математическое ожидание отлично от нуля и среднее квадратическое отклонение не равно единице). 405. Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y: f\(x) - = 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала /i(jc) = 0; /2Су) = = 1/2 в интервале (0,2) вне этого интервала /2(у) = 0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величиныZ-Хл-У. Построить график плотности распределения g (z). Решение. По условию, возможные значения X определяются неравенством 0 < х < 2, возможные значения Y — неравенством 0 < у < 2. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; Y) расположены в квадрате О ABC (рис. 9, а). Рис. 9 4 х По определению функции распределения G(z) = P(Z < z) = Р(Х + Y < z). Неравенству х + у < z удовлетворяют те точки (jc;y) плоскости хОу, которые лежат ниже прямой х + у - z (эта прямая отсекает на осях Ох и Оу отрезки, равные г), если же брать только возможные значения х и у, то неравенство х + у < z выполняется только для точек, лежащих в квадрате О ABC ниже прямой х + у = г. С другой стороны, так как величины X и У независимы, то (S) (S)
7.2. Функция двух случайных аргументов 167 где S — величина той части площади квадрата О А ВС, которая лежит ниже прямой х+у = г. Очевидно, величина площади S зависит от значения z. Если г < 0, то S = 0, т.е. G(z) = (1/4) 0 = 0. Если 0 < z < 2,то (рис.9, a) G(г) = (1/4)5aOde = 1/4-г2/2 = г2/8. Если 2 < z < 4, то (рис. 9, б) G (г) = (\/4)SOahkc = 1 - (4 - г)2/8. Площадь фигуры ОАНКС найдена как разность между площадью квадрата О ABC, которая, очевидно, равна 22 = 4, и площадью прямоугольного треугольника НВК: SaHbk - ИВ112, причем НВ - Если z > 4, то G (z) = (1/4)5 оавс = 1/4-4=1. Итак, искомая функция распределения такова: G(z) = 0 z2/8 l-( 1 при z < о, при 0 <z < 2, 2<z<4, z > 4. при при Найдем плотность распределения 0 при z < 0, г/4 при 0 <г < 2, 1 - г/4 при 2 <г < 4, 0 при z > 4. *(*) = График плотности распределения g (г) изображен на рис. 10. g(z) 0,5 2 Ли?. 10 Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограниченная кривой распределения g (г), равна единице. 406. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин X и У: f\(x) = 1 в интервале (0,1), вне этого интервала /i(*) = 0; /г(у) = 14 в интервале (0,1), вне этого интервала fo(y) = 0.
168 Глава 7. Распределение функции ... случайных аргументов Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + У. Построить график плотности распределения g (z). 407. Заданы плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и У: f\ (x) = = 1 /2 в интервале (1,3), вне этого интервала f\ (х) = 0; /2ОО = = 1/4 в интервале (2,6), вне этого интервала /г(у) = 0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + У. Построить график плотности распределения g (г).
Глава 8 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8.1. Закон распределения двумерной случайной величины Двумерной называют случайную величину (X, К), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие X и К, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М (X; Y) на плоскости хОу либо как случайный вектор ОМ. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения. Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x,y), определяющую для каждой пары чисел (х,у) вероятность того, что X примет значение, меньшее х и при этом У примет значение, меньшее у:
170 Глава 8. Система двух случайных величин Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x,y) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (jc, у), расположенный левее и ниже этой вершины. Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция». Функция распределения обладает следующими свойствами. Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу: 2, У) > F (*1, у), если х2 > хи F (х, у2) > F (x, yi), если у2 > у\. Свойство 3. Имеют место предельные соотношения: 1) F (-оо,;у) = 0, 2) F(x,-oo) = О, 3) F (-оо, -со) = 0, 4) F (оо, со) = 0. Свойство 4. а) При у = со функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X: б) При х = со функция распределения системы становится функцией распределения составляющей У: F(oo,y) = F2(y). Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник х\ < X < х2, у\ < У < <у2: />(*, <Х<хъу1<Г<у2) = [F(x2iy2) -F(xuy2)]- -lF(x29yx)-F(xuy])l Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения: J('y> дхду
8.1. Закон распределения двумерной случайной величины 171 Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы». Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами А* и Ду к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле F(x,y)= J J f(x,y)dxdy. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D определяется равенством (D) Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами: Свойство 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна: Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице: J j f(xyy)dxdy=L В частности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат конечной области D, то jjf(xyy)dxdy=\. 408. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
172 Глава 8. Система двух случайных величин Y 4 5 X 3 0,17 0,10 10 0,13 0,30 12 0,25 0,05 Найти законы распределения составляющих X и Y. Решение. Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X: р(Ъ) = 0,27, р(10) = 0,43, р(12) = = 0,30. Напишем закон распределения составляющей X: X Р 3 0,27 10 0,43 12 0,30* Контроль: 0,27 + 0,43 + 0,30 = 1. Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределение составляющей У: Y Р 4 0,55 5 0,45* Контроль: 0,55 + 0,45 = 1. 409. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины: Y 2,3 2,7 X 20 0,05 0,09 30 0,12 0,30 41 0,08 0,11 50 0,04 0,21 Найти законы распределения составляющих. 410. Задана функция распределения двумерной случайной величины sinjcsinj при 0 <jc< я/2, О < у < я/2, О при х < О или у < О. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, х = я/4, у = я/6, у = Я/3.
8.1. Закон распределения двумерной случайной величины 173 Решение. Используем формулу < X < x2t yi < -[F(x2tyi)-F(xuyx)l. Положив х\ = О, Х2 ~ я/4, у\ - я/6, уг - я/3, получим Р - [sin (я/4) • sin (я/3) - sin О • sin (я/3)]- -[sin (jc/4) • sin (я/6) - sin 0 • sin (я/6)] = (V6 - V5)/4 = 0,26. 411. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = = 2, у = 3, у = 5, если известна функция распределения - 2~х - 2~у + 2~х~у при х > 0, у > О, при х < 0 или у < 0. 412. Задана функция распределения двумерной случайной величины - Vх -Ту + 3"^у при jc> 0, у > О, I при х < 0 или у < 0. Найти двумерную плотность вероятности системы. Решение. Используем формулу f(x,y) = а д . Найдем частные производные: 5дс 5х ду Итак, искомая двумерная плотность вероятности I2 3 • Ух~у при х > 0, у > 0, при д: < 0 или ;у < 0. Рекомендуем читателю для контроля убедиться, что о о 413. Задана функция распределения двумерной случайной величины (1-е'4х)(1-е-2у) при х>0,у>0, 0 при х < 0, у < 0.
174 Глава 8. Система двух случайных величин Найти двумерную плотность вероятности системы (X, У). 414. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X, У) /<*00=3772Т 2° Найти функцию распределения системы. Указание. Использовать формулу У х F(x,y)= J $f(x,y)dxdy. 415. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: / (jc, у) = (1 /2) • sin (x + у) в квадрате О < jc < л/2, 0 < у < я/2; вне квадрата f(x,y) = 0. Найти функцию распределения системы (X, У). 416. В круге х2 + у2 < R2 двумерная плотность вероятности f(xfy) = C(R - У*2 + у2); вне круга f(xfy) = 0. Найти: а) постоянную С; б) вероятность попадания случайной точки (X, У) в круг радиуса г = 1 с центром в начале координат, если R = 2. Решение, а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности: JJc(tf- О» Отсюда С=\/ Jf(R- (D) Перейдя к полярным координатам, получаем 2л R С = 1 / J </Ф j(R - р)р ф = 3/(лЯ3). о о б) По условию R - 2; следовательно, С = 3/(8л) и
8.2. Условные законы распределения вероятностей ... 175 Вероятность попадания случайной точки (X, У) в круг радиуса г - 1 с центром в начале координат (область D\) Р[{Х, Y) с D,] = (3/8)л JJ(2 - Перейдя к полярным координатам, окончательно получим искомую вероятность: 2л 1 Р = (3/8я) J </cp J(2 - р)р dp = 1/2. о о 417. Поверхность распределения системы случайных величин (X, Y) представляет собой прямой круговой конус, основание которого — круг с центром в начале координат. Найти двумерную плотность вероятности системы. Указание. Перейти к полярным координатам. 418. Задана двумерная плотность вероятности f(x,y) = = C/[(9+jc2) (16+у2)] системы (X, Y) двух случайных величин. Найти постоянную С. 419. Задана двумерная плотность вероятности f(x,y) = = С/(х? + у2 + I)3 системы случайных величин (X, Y). Найти постоянную С. Указание. Перейти к полярным координатам. 420. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин: F (jc, у) = 1 +2~дг-2~у+2~*~:у; вне первого квадранта F(x,y) = 0. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в треугольник с вершинами А(1;3), В(3;3),С(2;8). 8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины Пусть составляющие X и У дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: х\, х2,..., хп;у\,у2,..., ут. Условным распределением составляющей X при Y = у; (у сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях X)
176 Глава 8. Система двух случайных величин называют совокупность условных вероятностей Аналогично определяется условное распределение У. Условные вероятности составляющих X и У вычисляют соответственно по формулам p(yj) ' Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице. 421, Задана дискретная двумерная случайная величина Y У\ = 0,4 у2 = 0,8 X 0,15 0,05 *2 = 5 0,30 0,12 *з = 8 0,35 0,03 Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение^ = 0,4; в) условный закон распределения Y при условии, что X = хг = = 5. Решение, а) Сложив вероятности «по столбцам», напишем закон распределения X: X 2 5 8 р 0,20 0,42 0,38* Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения У: У 0,4 0,8 р 0,80 0,20* б) Найдем условные вероятности возможных значений X при условии, что составляющая У приняла значение у\ = 0,4; Р(х\ \Уг) = P(xi,yi)/p(yi) = 0,15/0,80 = 3/16, Р(хг \уг) =р{хъух)1р(ух) = 0,30/0,80 = 3/8, = 0,35/0,80 = 7/16.
8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения ... 177 Напишем искомый условный закон распределения X: X 2 5 8 р(Х\ух) 3/16 3/8 7/16' Контроль: 3/16 + 3/8 + 7/16= 1. в) Аналогично найдем условный закон распределения У: У 0,4 0,8 Р СУ 1*2) 5/7 2/7' Контроль: 5/7 + 2/1 = 1. 422. Задана дискретная двумерная случайная величина У 10 14 18 X 3 0,25 0,15 0,32 6 0,10 0,05 0,13 Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y = 10; б) условный закон распределения У при условии, чтоХ = 6. 8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей: оо оо /i (*) = J / (дс, у) dy, Ш= J / (х, у) dx. —оо —см Здесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные
178 Глава 8. Система двух случайных величин значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа. Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении У = у называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей У: f(x,y) f(x,y) q>(x\y) = Ш J Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей У: v(y\*)=f(x'y)- Ях'у) Л (у) Если условные плотности распределения случайных величин X и У равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы. Равномерным называют распределение двумерной непрерывной случайной величины (X, У), если в области, которой принадлежат все возможные значения (хуу), плотность совместного распределения «вероятностей сохраняет постоянное значение. 423. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) я Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих. Решение, а) Найдем плотность распределения составляющей X: /.to = f f(x,y) dy=-J e-«W+2*>+^ dy. —оо —оо Вынесем за знак интеграла множитель е~*2/2 , не зависящий от переменной интегрирования уу и дополним оставшийся показатель
8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения ... 179 степени до полного квадрата; тогда Л (х) = (1/я) • е'х2/2 - е^ю • V275 J *"<V57%* Vtf№x —оо Х(1(л/5/2у+ лЩ5х). 00 Учитывая, что интеграл Пуассона J e~u du = yfn, окончатель- —оо но получаем плотность распределения составляющей X: Аналогично найдем плотность распределения составляющей У: ЫУ) = 6) Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим: 424. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, У) Найти: а) постоянный множитель С; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих. 425. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины f(x,y) = cosjc • cosy в квадрате 0 < х < я/2, 0 < у < л/2; вне квадрата f(x,y) = = 0. Доказать, что составляющие X и У независимы. Указание. Убедиться, что безусловные плотности распределения составляющих равны соответствующим условным плотностям. 426. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) распределена равномерно внутри прямоугольника
180 Глава 8. Система двух случайных величин с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2Ь, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих. 427*. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) распределена равномерно внутри прямоугольной трапеции с вершинами <Э(0;0), Л(0;4), #(3;4), С(6;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих. 428. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О (0; 0), А (0; 8), В (8; 0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих. 429*. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами А (-6; 0), В (-3; 4), С (3; 4), D (6; 0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих. 8.4. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин Зная плотности распределения составляющих X и У непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии: оо оо М(Х)= J xfi(x) dx, M(Y)= J у My) dy\ —оо —оо оо оо D(X)= j[x-M(X)?Mx)dx= f JfiWdx-lMiX)]2; —оо —оо оо оо D(Y) = J [у - М (Y)]2f2(y) dy= J y2f2(y) dy - [M (У)]2. Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности (двойные интегралы берутся по обла-
8А Числовые характеристики непрерывной системы ... 181 сти возможных значений системы): М (X) = JJ xf(x,y) dx dy, M(Y) = jjyf(x,y) dx dy, D(X) = JJ[* - M(X)]2/(*,y) dx dy = JJx2f(xty) dx dy - [M(X)]2. D(Y) = f$[y -M(Y)]2f(xyy) dx dy = Jjy/Uy) dx dy - [M(Y)f. Начальным моментом v*5 порядка k+s системы (X, Y) называют математическое ожидание произведения XkYs: в частности, Центральным моментом \iktS порядка k + s системы (X, У) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно к-й и 5-й степеней: \Ъ. = М{[Х-М(Х)]* • [У- М(У)Г}; в частности, О, ио,1 =М[У-М(У)] = О; Ц2,о = М [X - М (X)]2 = D (X), ио,2 - М [У - М (У)]2 = D (У). Корреляционным моментом \ixy системы (X, У) называют центральный момент ци порядка 1 + 1: Коэффициентом корреляции величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадрати- ческих отклонений этих величин: Коэффициент корреляции — безразмерная величина, причем \гху\ ^ 1. Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и У: чем ближе абсолютная величина корреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.
182 Глава 8. Система двух случайных величин Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля. Некоррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин (для нормально распределенных величин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость). Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формулам: = J 5[х~ М(Х)] Ь - M(Y))f(x,y) dx dy, —oo —oo oo oo ixy= J J xyf(x>y)dxdy-M(X)M(Y). 430. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, У): .(^хуе-У2 (х>0,у>0\ ПХуУ) {0 (х<0 или ;у Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и У. Решение, а) Найдем сначала плотность распределения составляющей X: /i(*) = jf(x,y) dy = Axe'* JV>2 dy = 2xe-xl (x > 0). о о Аналогично получим
8.4. Числовые характеристики непрерывной системы ... 183 Найдем математическое ожидание составляющей X: оо оо М (X) = J л/К*) dx = J x • (2хе-*2 dx). о о Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона сю \e"xl dx = V^/2, получаем М(Х) = V^/2. Очевидно, что Л/(У) = о = VS/2. б) Найдем дисперсию X: оо D (X) = J jcViW dx - [М(X)]2 = о оо = J x2(2xe~x2 dx) - (V^/2)2 = 1 - л/4. о Очевидно, что D (Y) = 1 - л/4. 431. Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (X, У) о (лг< 0 или у<0). Найти математические ожидания и дисперсии составляющих. 432. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f (x, у) - = 2 cos х cos у в квадрате 0 < х < л/4,0 < у < л/4; вне квадрата /(jc,y) = 0. Найти математические ожидания составляющих. 433. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f (x, у) - = (1/2) sin (jc + у) в квадрате 0 < х < л/2, 0 ^ у < л/2; вне квадрата f(x,y) = 0. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих. 434. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):f(x,y) = = (1/4) sin* sin у в квадрате 0<дс<л, 0<;у<л; вне квадрата
184 Глава 8. Система двух случайных величин f(x,y) = 0. Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент. 435. Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной двумерной случайной величины при jc<0, ГО при у<0, ^ при *>0; Ш)-\2е-2У при у > 0. Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы. Указание. Если составляющие системы независимы, то двумерная плотность вероятности равна произведению плотностей составляющих, а функция совместного распределения системы равна произведению функций распределения составляющих. 436. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в круге радиуса г с центром в начале координат. Доказать, что X и Y зависимы, но некоррелированны. Указание. Сравнить безусловные и условные плотности распределения составляющих, убедиться, что корреляционный момент равен нулю. 437. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, Y) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — только от у} то величины X и Y независимы. Решение. По условию Найдем плотности распределения составляющих: оо оо Л(*) = J / (*.y)dy = <p (x) fy(y) dy, (•*) оо оо h(y) = J /(х.У) dx = V(у) J Ф(дс) dx, (***)
8.4. Числовые характеристики непрерывной системы ... 185 Выразим ф (х) из (**) и у (у) из (***): оо оо Ф(*) = /i(*)/ J у(у)</у, у (у) = Ш/ J —оо —оо В силу (*) LOO оо оо —оо Учитывая, что, по второму свойству двумерной плотности ве- оо оо роятности, J J fix, у) dxdy-\ и, следовательно, —оо —оо ОО ОО ОО 00 J JqpWyO0</*«fy= J y(x)dx j y(y)dy= 1, -oo -oo окончательно получаем /(*,у) = f\(x) • Таким образом, двумерная плотность вероятности рассматриваемой системы равна произведению плотностей вероятности составляющих. Отсюда следует, что X и У независимы, что и требовалось доказать. 438. Доказать, что если ХиУ связаны линейной зависимостью Y = аХ + Ь, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице. Решение. По определению коэффициента корреляции, Гху где \1ху = М{[Х- M(X)][Y- Найдем математическое ожидание Y: M(Y) = M[aX + b]=aM(X) + b. (**) Подставив (**)в(*), после элементарных преобразований получим \ixy = aM[X-M (X)]2 = aD (X) = ао2х.
186 Глава 8. Система двух случайных величин Учитывая, что Y-M(Y) = (аХ + Ь)- (аМ(Х) + Ь) = а[Х - М(Х)]9 находим дисперсию Y: D(Y) = M[Y-M(У)]2 = а2М[X- М(X)]2 = а2о2х. Отсюда оу = | а \ох. Следовательно, коэффициент корреляции Гху охоу ох(\а\ох) \а\' Если а > 0, то Гху = 1; если а < 0, то г^ = -1. Итак, | Гху | = 1, что и требовалось доказать.
Раздел III ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Глава 9 ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД 9.1. Статистическое распределение выборки Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка х\, Х2,..., Xk объема п. Наблюдавшиеся значения *, признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант jc, вариационного ряда и соответствующих им частот л, (сумма всех частот равна объему выборки п) или относительных частот w/ (сумма всех относительных частот равна единице). Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал). 439. Выборка задана в виде распределения частот: jc,- 2 5 7 щ 1 3 6' Найти распределение относительных частот. Решение. Найдем объем выборки: п - 1+3 + 6= 10. Найдем относительные частоты: 0)1 = 1/10 = 0,1; (02 = 3/10 = 0,3; со3 = 6/1О = (),6. Напишем искомое распределение относительных частот: jc,- 2 5 7 о), 0,1 0,3 0,6*
9.2. Эмпирическая функция распределения 189 Контроль: 0,1 + 0,3 + 0,6 = 1. 440. Выборка задана в виде распределения частот: 4 5 7 2 8 3 12 10' Найти распределение относительных частот. 9.2. Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х: Г(х) = пх/п, где пх — число вариант, меньших х\ п — объем выборки. Эмпирическая функция обладает следующими свойствами. Свойство 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; 1]. Свойство 2. F*(x) — неубывающая функция. Свойство 3. Если Х\ — наименьшая варианта, а ** — наибольшая, то F*(x) = 0 при х ^ х\ и F*(x) = 1 при х > **. 441. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки: х, 1 4 6 щ 10 15 25' Решение. Найдем объем выборки: п = 10+ 15 + 25 = 50. F Наименьшая варианта равна единице, поэтому F*(x) = 0 при х < 1 - Значение X < 4, а именно *i = 1, наблюдалось 10 раз, следовательно, 0,5 F*(x) = 10/50 = 0,2 при 1 < х ^ 4. Значения х < 6, а именно х\ = 1 и *2 = 4, наблюдались 10 + 15 = 25 раз; следовательно, F*(x) = 25/50 = = 0,5 при 4 < х < 6. Так как х = 6 — наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > 6.
190 Глава 9. Выборочный метод Напишем искомую эмпирическую функцию: 0 при jc ^ 1, 0,2 при 1<*<4, 0,5 при 4<jc<6, 1 при х > 6. График этой функции изображен на рис. 11. 442. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки: a) jc,- 2 5 7 8. б) *,- 4 7 8 л,- 1 3 2 4' щ 5 2 3" 9.3. Полигон и гистограмма А. Дискретное распределение признака X. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х\,п\), (х\, пг),... (*ь пк), где х, — варианты выборки и л„ — соответствующие им частоты. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (jci; Wi), (ед (1)2), ..., (я*; о>*), где *, — варианты выборки и со, — соответствующие им относительные частоты. Б. Непрерывное распределение признака X. При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят щ — сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению rii/h (плотность частоты). Площадь частичного /-го прямоугольника равна h (л,/Л) = щ — сумме частот вариант, попавших в /-й интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки п. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины Л, а высоты равны отношению со,/Л (плотность относительной частоты). Площадь частичного /-го
9.3. Полигон и гистограмма 191 прямоугольника равна h (а>,7Л) = Щ — относительной частоте вариант, попавших в 1-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. 443. Построить полигон частот по данному распределению выборки: *,- 1 4 5 7 щ 20 10 14 6' 0,45 Я/ 20 14 10 6 0 - Q \ - - 1 1 \ А V N i i 4 5 \ \ 1 7 Xi Рис 12 2 4 5 7 Рис.13 10 Решение. Отложим на оси абсцисс варианты х„ а на оси ординат — соответствующие им частоты л,-; соединив точки (*;, л,) отрезками прямых, получим искомый полигон частот (рис. 12). 444. Построить полигон частот по данному распределению выборки: а) jc, 2 3 5 6. и, 10 15 5 20' б) Xi 15 20 25 30 35 щ 10 15 30 20 25' 445. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки: a) Xi 2 4 5 7 10 . (о, 0,15 0,2 0,1 0,1 0,45' б) 1 8 9 . (о, в) х{ щ 0,15 0,25 0,3 0,2 0,1 20 40 65 80 0,1 0,2 0,3 0,4'
Глава 9. Выборочный метод Решение, а) Отложим на оси абсцисс варианты xit а на оси ординат — соответствующие относительные частоты со,. Соединив точки (дс,; со,) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот (рис. 13). 446. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема п = 100: Номер интервала / 1 2 3 4 5 Частичный интервал X, - Х\+\ 1-5 5-9 9-13 13-17 17-21 Сумма частот вариант интервала щ 10 20 50 12 8 Плотность частоты n,lh 2,5 5 12,5 3 2 Решение. Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h - 4. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты щ1Н. Например, над интервалом (1,5) построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии щ/h = 10/4 = 2,5; аналогично строят остальные отрезки. h 13 12 5 3 2 1 0 - - > s ) 13 17 21 * Рис. 14 Искомая гистограмма частот изображена на рис. 14. 447. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
9.3. Полигон и гистограмма 193 а) Номер интервала i 1 2 3 4 5 Частичный интервал Xj ' JC.+ l 2-7 7-12 12-17 17-22 22-27 Сумма частот вариант интервала щ 5 10 25 6 4 Плотность частоты б) Номер интервала i 1 2 3 4 5 6 7 Частичный интервал Xi - ХМ 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 Сумма частот вариант интервала л, 4 6 20 40 20 4 6 Плотность частоты Указание. Найти предварительно плотность частоты л,/Л для каждого интервала и заполнить последний столбец таблицы. 448. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки: Номер интервала i 1 2 3 Частичный интервал *i-*i+i 0-2 2-4 4-6 Сумма частот вариант интервала л, 20 30 50 л = £п, = 100 Решение. Найдем относительные частоты: 0)1=20/100 = 0,2, (02 = 30/100 = 0,3, w3 = 50/100 = 0,5. 7 3ак. 1296
194 Глава 9. Выборочный метод Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h - 2: (Oi/Л = 0,2/2 = 0,1, ш2/Л = 0,3/2 = 0,15, со3jh = 0,5/2 = 0,25. Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (0,2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма относительных частот изображена на рис. 15. 0,25 0,15 0,1 0 2 4 Рис. 15 6 х 449. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки: а) Номер интервала i 1 2 3 4 5 Частичный интервал Xi - Xi+i 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 Сумма частот вариант частичного интервала щ 2 4 8 4 2 п = £/», = 20
9.3. Полигон и гистограмма 195 б) Номер интервала i 1 2 3 4 Частичный интервал *» - *«+! 2-5 5-8 8-11 11-14 Сумма частот вариант частичного интервала л, 6 10 4 5 п = £ щ■ = 25 Указание. Найти сначала относительные частоты, соответствующие плотности относительной частоты для каждого интервала.
Глава 10 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 10.1. Точечные оценки Статистической оценкой 0* неизвестного параметра 0 теоретического распределения называют функцию /(Х],Х2,...,ХП) от наблюдаемых случайных величин Хь Х2,..., Х„. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом 0* = / (jci , *2,..., хп), где х\, JC2,..., хп — результаты п наблюдений над количественным признаком X (выборка). Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя Хв = где jc,- — варианта выборки; щ — частота варианты *,; п = V щ — /=i объем выборки. Замечание 1. Если первоначальные варианты х, — большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т.е. перейти к условным вариантам щ - дс, - С (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку
ЮЛ. Точечные оценки 197 выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда Зсв = С + (^л/и*) / п. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия DBH]n/te-;tB)2 /л; к »=1 эта оценка является смещенной, так как п-\ M[DB]=—-Dr. п Более удобна формула Замечание 2. Если первоначальные варианты я, — большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число С, равное выборочной средней или близкое к ней, т.е. перейти к условным вариантам щ = Xj-C (дисперсия при этом не изменится). Тогда Замечание. 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с к десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число С = 10*, т.е. переходят к условным вариантам щ = *,-. При этом дисперсия увеличится в С2 раз. Поэтому, найдя дисперсию условных вариант, надо разделить ее на С2: Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия 2 _ п _ S — г • Оъ — п\ г Оъ — п-\ п-\ Более удобна формула
198 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения В условных вариантах она имеет вид и п - 1 причем если щ = xt - С, то s\ = s2u\ если м, = Cxit то ^ = sl/C2. Замечание. 4. При большом числе данных используют метод произведений (см. 11.1) или метод сумм (см. 11.2). 450. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 50: варианта дг, 2 5 7 10 частота л, 16 12 8 14* Найти несмещенную оценку генеральной средней. Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя хв = л,*/) / п = (16 • 2 + 12 • 5 + 8 • 7 + 14 • 10)/5О = 5,76. 451. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 60: xt: 1 3 6 26 щ 8 40 10 2 ' Найти несмещенную оценку генеральной средней. 452. Задано распределение первоначальных вариант выборки объема п: Xi Х\ Х2 Хк Щ П\ Л 2 Пк Доказать, что где условные варианты щ = х-х - С. Решение. Так как щ = дс,- - С, то щщ - щ (jc, - С); суммируя левую и правую части равенства по всем значениям /, получаем щщ = Yj щ ^Xi" с)> или 2 щщ = X ЩХ[" с X П| = 2 niXi" Сп' Отсюда Х1 = Сп
ЮЛ. Точечные оценки 199 Следовательно, (Tj "'*') I n = C + (Yj П|М|) / Л' или *в = С + что и требовалось доказать. 453. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п = 10: Xi 1250 1270 1280 гц 2 5 3 Решение. Первоначальные варианты — большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам щ = *, - 1270. В итоге получим распределение условных вариант: щ -20 0 10 щ 2 5 3' Найдем искомую выборочную среднюю: 10 454. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п = 20: jc, 2560 2600 2620 2650 2700 щ 2 3 10 4 1 Указание. Перейти к условным вариантам щ = *, - 2620. 455. По выборке объема п = 41 найдена смещенная оценка DB = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности. Решение. Искомая несмещенная оценка равна исправленной дисперсии: ^ = -^DB = H. 3 = 3,075. л-1 40 456. По выборке объема п = 51 найдена смещенная оценка DB = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности. 457. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
200 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Решение, а) Найдем выборочную среднюю: хв = 92 + (0 + 2 + 11 + 13 + 14)/5 = 92 + 8 = 100. б) Найдем выборочную дисперсию: = [(92 - 100)2 + (94 - 100)2 + (103 - 100)2]/5+ +[(105 - 100)2 + (106 - 100)2]/5 = 34. Найдем исправленную дисперсию: п- 1 ^.34 = 42,5. 4 458. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора. 459. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов. Рост Число студентов 154-158 10 158-162 14 162-166 26 166-170 28 170-174 12 174-178 8 178-182 2 Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов. Указание. Найти середины интервала и принять их в качестве вариант. 460. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 10: х( 186 192 194 щ 2 5 3 ' Решение. Варианты — сравнительно большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам щ = jc/ -191 (мы вычли из вариант число С = 191, близкое к выборочной средней). В итоге получим распределение условных вариант: Щ щ -5 1 3 2 5 3*
ЮЛ. Точечные оценки 201 Найдем искомую выборочную дисперсию: ям) / л]2 = (2 • 52 + 5 • I2 + 3 • З2)/10- -[(2 • (-5) + 5 • 1 + 3 • 3)/1О]2 = 8,2 - 0,16 = 8,04. 461. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 100: xi 340 360 375 380 щ 20 50 18 12' Указание. Перейти к условным вариантам м, = jc, - 360. 462. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 100: xi 2502 2804 2903 3028 щ 8 30 60 2 Указание. Перейти к условным вариантам щ - *, - 2844. 463. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 10: х( 0,01 0,04 0,08 л,- 5 3 2 Решение. Для того чтобы избежать действий с дробями, перейдем к условным вариантам щ - IOOjc,-. В итоге получим распределение и,- 1 4 8 щ 5 3 2* Найдем выборочную дисперсию условных вариант: А, (и) = (^ гци]) In - [(^ щи) /nf. Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получим DB (и) = 7,21. Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант: DB(X) = DB(w)/1002 = 7,21/10000 = 0,0007. 464. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 50:
202 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Xi 0,1 0,5 0,6 0,8 щ 5 15 20 10' Указание. Перейти к условным вариантам щ = Юл:,. 465. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 50: Xi 18,4 18,9 19,3 19,6 щ 5 10 20 15 ' Указание. Перейти к условным вариантам щ - \0х,- 195. 466. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки п = 10: Xi 102 104 108 щ 1 3 5 ' Решение. Перейдем к условным вариантам м, = jc, - 104. В итоге получим распределение щ -2 0 4 щ 2 3 5* Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант: / U л П — 1 Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем выборки, получим s*u = 6,93. Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же постоянное число С = 104, поэтому дисперсия не изменилась, т.е. искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: s$ = = 5? = 6,93. 467. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 100: х( 1250 1275 1280 1300 щ 20 25 50 5 Указание. Перейти к условным вариантам щ-х\- 1275. 468. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п - 10: jt, 0,01 0,05 0,09 л, 2 3 5
10.2. Метод моментов Решение. Для того чтобы избежать действий с дробями, перейдем к условным вариантам щ = 100*,. В итоге получим распределение м, 1 5 9 я/ 2 3 5* Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант 2/ 2_ Su~ Подставив в эту формулу данные задачи, получим si = 10,844. Найдем искомую исправленную дисперсию первоначальных вариант: s\ = s2j 1002 = 10,844/10000 * 0,0085. 469. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 20: Xi 0,1 0,5 0,7 0,9 п,- 6 12 1 1 ' Указание. Перейти к условным вариантам щ = 10*/. 470. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 10: Xi 23,5 26,1 28,2 30,4 щ 2 3 4 1 Указание. Перейти к условным вариантам м, = IOjc, - 268. 10.2. Метод моментов Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно
204 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: vi = M\. Учитывая, что vj = М(Х) и Mi = Зсв, получаем М(Х) = хъ. (*) Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (*) относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку. Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка: Vi Л/ь Ц2 Я*2- Учитывая, что vj = М(Х), М\ = хв, ц2 = D(X), m2 = Db, имеем хв, D V ' Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив систему (**) относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки. Разумеется, для вычисления выборочной средней ~хв и выборочной дисперсии DB надо располагать выборкой х\, *2,..., хп. 471. Случайная величина X распределена по закону Пуассона Рт(хд = \*е-х/х(и где т — число испытаний, произведенных в одном опыте; jc/ — число появлений события в i-u опыте. Найти методом моментов по выборке х\, х2,..., хп точечную оценку неизвестного параметра X, определяющего распределение Пуассона. Решение. Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка vi начальному эмпирическому моменту первого порядка М\: vi -M\.
10.2. Метод моментов 205 Приняв во внимание, что vj = М (X), М\ = jcb, получим М(Х) = = хв. Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру X этого распределения (см. задачу 207), окончательно имеем X = *в. Итак, точечной оценкой параметра X распределения Пуассона служит выборочная средняя: X* = хъ. 472. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в л = 1000 пробах зерна (в первой строке указано количество х, сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота щ — число проб, содержащих jc, семян сорняков): jc, 0 1 2 3 4 5 6 щ 405 366 175 40 8 4 2 Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона. Указание. Использовать решение задачи 471. 473. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в л = 200 партиях (в первой строке указано количество jc, нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота щ — число партий, содержащих хх нестандартных изделий): х{ 0 12 3 4 щ 132 43 20 3 2 Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона. 474. Найти методом моментов по выборке jci, хг, ..., хп точечную оценку параметра р биномиального распределения где дг,- — число появлений события в j'-м опыте (i = 1,2,..., п), т — количество испытаний в одном опыте. Указание. Приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка. 475. Случайная величина X (число появлений события Авт независимых испытаниях) подчинена биномиальному
206 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по пять испытаний в каждом (в первой строке указано число jc, появлений события А в одном опыте; во второй строке указана частота щ — количество опытов, в которых наблюдалось jc; появлений события Л): jc, 0 1 2 3 4 л,- 5 2 1 1 Г Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения. Указание. Использовать решение задачи 474. 476. Найти методом моментов по выборке х\> хг> ..., jcw точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения, плотность которого / (jc) = Xe~Xx (jc > 0). 477. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x) = "ke"1^ (jc > 0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы п = 200 элементов (в первой строке приведено среднее время jc; работы элемента в часах; во второй строке указана частота и, — количество элементов, проработавших в среднем jc, часов): jc, 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 щ 133 45 15 4 2 1 Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения. Указание. Использовать решение задачи 476. 478. Найти методом моментов точечную оценку параметра р (вероятности) геометрического распределения Р (X = = jc,) = (1 -p)Xi~] -р, где jc/ — число испытаний, произведенных до появления события; р — вероятность появления события в одном испытании. Указание. Принять во внимание, что М(X) = \/р (см. задачу 222). 479. Найти методом моментов оценку параметра р геометрического распределения Р(Х = jc;) = (1 - p)Xi~] • р, если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний. 480. Найти методом моментов по выборке jci, JC2, ..., хп точечные оценки неизвестных параметров аир гамма-рас-
10.2. Метод моментов 207 пределения, плотность которого /(Х) = p^'IXa+l)^"^ <« > "»• Р > 0. х > 0). Решение. Для отыскания двух неизвестных параметров необходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретический момент первого порядка М\ начальному эмпирическому моменту первого порядка М, и центральный теоретический момент второго порядка Ц2 центральному эмпирическому моменту второго порядка тг. vi = Mi, \i2 = mi. Учитывая, что vj = М(X), М, = IB, \i2 = D(X), тг - DB, имеем [D(X) = DB. W Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения соответственно равны М (X) = (а + 1 )(5, D (X) = (а + 1) f}2 (см. задачу 302), поэтому (*) можно записать в виде (a+l)p2 = DB. Решив эту систему, окончательно получим искомые точечные оценки неизвестных параметров: a* = (xB)2/DB - 1, Р* = DB/xB. 481. Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами а и ($ (а > > -1, Р > 0): Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным п = 45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды jc, (см); во второй строке приведена частота л,- — количество паводков со средним уровнем воды jc,): хг 37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 250 350 л, 136 7 7 5 484' Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров аир рассматриваемого гамма-распределения.
208 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Решение. Используем точечные оценки параметров гамма-распределения (см. задачу 480): а* = (xB)2/DB - 1, p = DJxB. (•) По заданному распределению легко найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию: jcb = 166, DB = 6782. Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получим искомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемого гамма-распределения: а* = 3,06, (3* = 40,86. 482. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50,75,125,250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров аир, которыми определяется гамма-распределение. Указание. Использовать решение задачи 480. Учесть, что объем выборки л = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления параметров аир вместо выборочной дисперсии подставить исправленную дисперсию s2 = = 2>,(.*,-*в)2/(л-1). 483. Найти методом моментов по выборке х\, х2у .. .У хп точечные оценки неизвестных параметров а и а нормального распределения, плотность которого е-(х-а)2/(2о2) Указание. Приравнять начальный теоретический момент первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка соответствующим эмпирическим моментам. 484. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала) подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами аи о. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала п = 200 изделий (в первой строке указано отклонение jc/ (мм); во второй строке приведена частота щ — количество изделий, имеющих отклонение *,-): 0,3 6 0,5 9 0,7 26 0,9 25 1,1 30 1,3 26 1,5 21 1,7 24 1,9 20 2,2 g 2,3 5 Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров аи о нормального распределения.
10.2. Метод моментов 209 Указание. Использовать задачу 483. 485. Найти методом моментов по выборке х\> х2у ..., хп точечные оценки параметров а и b равномерного распределения, плотность которого / (х) = \/{Ь- а) (Ь > а). Указание. Использовать решения задач 313,315. 486. Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами а и Ь. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки/г = 2О0 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка х,; во второй строке указана частота щ — количество измерений, имеющих среднюю ошибку jc,): х{ ? 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 щ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25* Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и Ь равномерного распределения. Указание. Использовать задачу 485. 487. Найти методом моментов по выборке х\, х2у ..., хп точечные оценки неизвестных параметров \\ и \2 «двойного распределения» Пуассона где xt — число появлений события в щ испытаниях, X] и \2 ~ положительные числа, причем Х2 > Xi. Решение. Если случайная величина Z распределена по закону Пуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты первого и второго порядка соответственно равны (см. задачи 207, 227): v,=M(Z) = X, v, =M(Z2) X + X2 Найдем начальные теоретические моменты первого и второго порядка рассматриваемой случайной величины X, учитывая соотношения (*): v2 = M(X2) = (1/2) (X, + X2) + (1/2)(Х2 + X2) = v, + (X2 + Х?,)/2.
210 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Отсюда Решив эту систему относительно неизвестных параметров, приняв во внимание, что Х2 > ^ь получим А.1 = vi - у v2 - vi - vj, X2 = vi -h yv2 - V! - v*. 488. Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона: Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в п = 327 испытаниях (в первой строке указано число jc,- появлений события; во второй строке приведена частота я, — количество испытаний, в которых появилось jc, событий): xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 щ 28 47 81 67 53 24 13 8 3 2 Г Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров \\ и Х2 «двойного распределения» Пуассона. Указание. Использовать решение задачи 487. Вычислить по выборке начальные эмпирические моменты первого и второго порядков: 10.3. Метод наибольшего правдоподобия Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. А. Дискретные случайные величины. Пусть X — дискретная случайная величина, которая в результате п опытов приняла возможные значения *ь хг,..., хп. Допустим, что вид закона распреде-
10.3. Метод наибольшего правдоподобия 211 ления величины X задан, но неизвестен параметр 0, которым определяется этот закон; требуется найти его точечную оценку 0* = Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение jc, через р (jc/*, 0). Функцией правдоподобия дискретной случайной величины X называют функцию аргумента 0: Оценкой наибольшего правдоподобия параметра 0 называют такое его значение 0*, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Функции L и In L достигают максимума при одном и том же значении 0, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут, что удобнее, максимум функции In L. Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию lnL. Точку максимума функции In L аргумента 0 можно искать, например, так: 1. Найти производную —■—. 2. Приравнять производную нулю и найти критическую точку 0* — корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия). 2 3. Найти вторую производную ; если вторая производ- а0 ная при 0 = 0* отрицательна, то 0* — точка максимума. Найденную точку максимума 0* принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра 0. Б. Непрерывные случайные величины. Пусть X — непрерывная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х\, дс2,..., хп. Допустим, что вид плотности распределения — функции / (jc) — задан, но неизвестен параметр 0, которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины X называют функцию аргумента 0: Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной случайной величины. Если плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами 0] и 02,
212 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов 01 и 02: Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему ajnL д®2 489. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р (вероятность появления события в одном испытании) биномиального распределения: где Xi — число появлений события в /-м опыте, т — количество испытаний в одном опыте, п — число опытов. Решение. Составим функцию правдоподобия: L = р(Х1;®) р(х2;в)...р(хп;®). Учитывая, что 0 = р и Р(Х = *,) = С„рХ1(\ - p)m~Xiy получаем ИЛИ L = (С*\С% .. . О • р*+х*+~+х» • (1 - р)пт-(х1+х2+...+хп) Напишем логарифмическую функцию правдоподобия Найдем первую производную по р: d\nL dp Приравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точку
10.3. Метод наибольшего правдоподобия 213 Найдем вторую производную по р: dp2 ~~ p2 + (\-p)2 ' Легко убедиться, что при р - (£ хг) /(пт) вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и ее надо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности р биномиального распределения: Очевидно, что если jc, появлений события наблюдалось в щ опытах, то р* - 490. Случайная величина X (число появлений события А в т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число Х( появлений события в одном опыте из т = 10 испытаний, во второй строке приведена частота щ — число опытов, в которых наблюдалось jc/ появлений события А): х{; 0 1 2 3 4 5 6 7 щ 2 3 10 22 26 20 12 5' Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распределения. Указание. Использовать задачу 489. 491. Случайная величина X (число появлений события Аът независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром X: где т — число испытаний в одном опыте; jc,- — число появлений события в /-м опыте (/ = 1,2,..., л). Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке х\, х2,..., хп точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.
214 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения 492. Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром X. Ниже приведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строке указано количество xt поврежденных изделий в одном контейнере, во второй строке приведена частота и, — число контейнеров, содержащих jc, поврежденных изделий): jc, 0 1 2 3 4 5 7 7 щ 199 169 87 31 9 3 1 Г Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона. Указание. Использовать задачу 491. 493. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке х\у Х2,..., хп точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения, плотность которого f(x) = = Хе-^ (х > 0). Решение. Составим функцию правдоподобия учитывая, что 0 = X и, следовательно, / (*; 0) = / (х; X) = Х L = (ке~^) • (ке-^2) ... (ке'^) = Хп • е'***. Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: In L = п In X - X Найдем первую производную по X: dlnL — =п/Х Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: л/Х - V jc, = 0. Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно X: Найдем вторую производную по X:
10.3. Метод наибольшего правдоподобия 215 Легко видеть, что при X = 1/*в вторая производная отрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину, обратную выборочной средней: \* = 1/Зсв. 494. Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение /(jc) = Хе'^ (х > 0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время jc, безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота щ — количество элементов, проработавших в среднем jc, часов): xi 5 15 25 35 45 55 65 щ 365 245 150 100 70 45 25' Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения. Указание. Использовать задачу 493. 495. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке х\у Х2,..•, хп точечную оценку параметра |3 гамма-распределения (параметр а известен), плотность которого "^ < L Р ° > 0) 496. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50,75,125,250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку одного неизвестного параметра |3 гамма-распределения, если второй параметр этого распределения а = 1,12. Указание. Использовать задачу 495. 497. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке jci , *2,..., хп точечную оценку параметра р геометрического распределения: где Xj - число испытаний, произведенных до появления события; р — вероятность появления события в одном испытании.
216 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения 498. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке jci, хг,..., хп точечную оценку параметра а (параметр а известен) распределения Кэптейна, плотность которого ал/2л где g(x) — дифференцируемая функция. 499. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке х\, хг,. •., хп точечную оценку параметра а (параметр а известен) распределения Кэптейна (см. задачу 498). 500. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке jci, JC2, ..., хп точечные оценки параметров а и о нормального распределения, плотность которого. /(*)=—1—е-^'а >2/(2о2) Указание. Составить и решить систему dlnL d\nL 0 10.4. Интервальные оценки Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью у покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой (с надежностью у) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней ~хв при известном среднем квадратическом отклонении о генеральной совокупности служит доверительный интервал a<xB + t(o/ Vw), где t(o/ л/п) = 6 — точность оценки; п — объем выборки; t — значение аргумента функции Лапласа Ф(г) (см. приложение 2), при
10.4. Интервальные оценки 217 котором Ф (г) = у/2; при неизвестном о (и объеме выборки п < 30) *ъ - ty{sl y/n)<a<xB+ ty(s/ где s — «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, rY находят по таблице приложения 3 по заданным п и у. 2. Интервальной оценкой (с надежностью у) среднего квадра- тического отклонения о нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квад- ратическому отклонению s служит доверительный интервал s(\ -q) < о < s(l +q) (при*? < 1), 0 < о < s{\ + q) (при q > 1), где q находят по таблице приложения 4 по заданным пиу. 3. Интервальной оценкой (с надежностью у) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте о служит доверительный интервал (с приближенными концами Р\ и рг) Р\<Р< Ръ где Р\ = (I) + -— i где п — общее число испытаний; т — число появлений события; со — относительная частота, равная отношению т/п; t — значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором Ф(0 = = у 12 (у — заданная надежность). Замечание. При больших значениях п (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала 501. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение а = 5, выборочная средняя jcb = 14 и объем выборки и = 25.
218 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Решение. Требуется найти доверительный интервал хв -1— <a< xB +t—. (*) уп уп Все величины, кроме г, известны. Найдем t из соотношения Ф(г) = 0,95/2 = 0,475. По таблице приложения 2 находим t = 1,96. Подставив t = 1,96, ~хв = 14, а о = 5, п = 25 в (*), окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 < а < 15,96. 502. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратиче- ское отклонение о, выборочная средняя хв и объем выборки п: а) а = 4, хв = 10,2, п = 16; б) а = 5, хв = 16,8, п = 25. 503. Одним и тем же прибором со средним квадратиче- ским отклонением случайных ошибок измерений о = 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью у = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений хв = = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. 504. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы а = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально. 505. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема п = 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность б, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение а = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально. 506. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней
10.4. Интервальные оценки 219_ равна 6 = 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение а = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности. Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность опенки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: 6 = to/ yfn. Отсюда п = rV/62. (*) По условию, у = 0,975; следовательно, Ф (г) = 0,975/2 = 0,4875. По таблице приложения 2 найдем t = 2,24. Подставив t = 2,24, о = = 1,2 и 6 = 0,3 в (*), получим искомый объем выборки п = 81. 507. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности о = = 1,5. 508. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 10: варианта jc, -2 1 2 3 4 5 частота щ 2 1 2 2 2 Г Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала. Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам: Zj ЩХ[ \ X щ ^Xi ~ Хв^2 п У п-\ Подставив в эти формулы данные задачи, получим хв = 2, s = 2,4. Найдем ty. Пользуясь таблицей приложения 3, по у = 0,95 и п = 10 находим гу = 2,26. Найдем искомый доверительный интервал: ^в - tys/ л/п < а < хъ + tys/ л/п.
220 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Подставляя jcb = 2, ty - 2,26, s = 2,4, п = 10, получаем искомый доверительный интервал 0,3 < а < 3,7, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95. 509. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема л = 12: варианта х{ -0,5 -0,4 -0,2 0 0,2 0,6 0,8 1 1,2 1,5 частота щ \ 2 1111112 1* Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала. 510. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений хв = 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию я, поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверительного интервала хв -tys/Tjn<a<xB + tys/ Vw. (*) Все величины, кроме rY, известны. Найдем rY. По таблице приложения 3 по у = 0,99 и п = 9 находим ty = 2,36. Подставив хв = 30,1, rY = 2,36, s = 6, и = 9в(*), получим искомый интервал: 25,38 < а < 34,82. 511. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений хв = 42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5 = 8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью у = 0,999. 512. По данным выборки объема п = 16 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,95.
10.4. Интервальные оценки 221 Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала s(\-q)<o <s(\+q) (если q< 1), (*) или О < о < s{\ + q) (если q > 1). По данным у = 0,95 ип= 16 по таблице приложения 4 найдем q = 0,44. Так как q < 1, то, подставив s = 1, q = 0,44 в соотношение (*), получим искомый доверительный интервал 0,56 < о < 1,44. 513. По данным выборки объема п из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение а с надежностью 0,999, если: а) п = 10, s = 5,1; б) п = 50, s = 14. 514. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. Решение. Точность прибора характеризуется средним квадра- тическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего а с заданной надежностью у = 0,99: По данным у = 0,99 и п - 12 по таблице приложения 4 найдем q = 0,9. Подставив s - 0,6, q - 0,9 в соотношение (*), окончательно получим 0,06 < а < 1,14. 515. Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально. 516. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.
222 Глава 10. Статистические оценки параметров распределения Решение. По условию п = 60, т = 15, у = 0,95. Найдем относительную частоту появления события Л: со = т/п = 15/60 = 0,25. Найдем t из соотношения Ф(г) = у/2 = 0,95/2 = 0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим t = 1,96. Найдем границы искомого доверительного интервала: Р\ = Подставив в эти формулы п = 60, со = 0,25, / = 1,96, получим рх = 0,16,р2 = 0,37. Итак, искомый доверительный интервал 0,16 < р < 0,37. 517. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз. 518. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился пять раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью у = 0,999. Решение. Найдем относительную частоту появления выигрыша: со = т/п = 5/400 = 0,0125. Найдем t из соотношения Ф(/) = = у/2 = 0,999/2 = 0,4995. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим t = 3,3. Учитывая, что п = 400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы: р\ - со -1 Vto(l -со)/я, рг - со + / V<*>(1 -со)/л. Подставив в эти формулы со = 0,0125, / = 3,3, п - 400, получим рх = -0,0058, рг = 0,0308. Итак, искомый доверительный интервал 0 < р < Э,0308. 519. Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А постоян-
10.4. Интервальные оценки на. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95. 520. В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95. 521. Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность р изготовления станком нестандартной детали. 522. При испытаниях 1000 элементов зарегистрировано 100 отказов. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р отказа элемента с надежностью: а) 0,95; б) 0,99.
Глава 11 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ 11.1. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии А. Равноотстоящие варианты. Пусть выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант и соответствующих, им частот. В этом случае удобно находить выборочные среднюю и дисперсию методом произведений по формулам хв = M\h + С, DB = [Щ - (Мр2]Л2, где h — шаг (разность между двумя соседними вариантами); С — ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда); щ = (*,- - C)/h — условная варианта; М\ = (^ л/и,) /п — условный момент первого порядка; М*2 = = yS_j п1иТ) ln ~ условный момент второго порядка. Как практически использовать метод произведений, указано в задаче 523. 523. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п = 100: варианта х( 12 14 16 18 20 22 частота щ 5 15 50 16 10 4 ' Решение. Составим расчетную табл. 1; для этого: 1) запишем варианты в первый столбец;
11.1. Метод произведений вычисления ... средней и дисперсии 225 2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца; 3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (16), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, а под нулем 1,2, 3; 4) произведения частот щ на условные варианты щ запишем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (-25) отрицательных чисел и отдельно сумму (48) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (23) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца; 5) произведения частот на квадраты условных вариант, т.е. л,м2 запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: щщ • щ - л,ы2); сумму чисел столбца (127) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца; 6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, т.е. щ (и,- + I)2, запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (273) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца. В итоге получим расчетную табл. 1. Таблица 1 1 Xi 12 14 16 18 20 22 2 5 15 50 16 10 4 п= 100 3 Щ -2 -1 0 1 2 3 4 щщ -10 -15 -25 16 20 12 48 2>м/ = 23 5 щи] 20 15 - 16 40 36 2>,w2=127 6 я/(и,-+ D2 5 - 50 64 90 64 2>/(«/+1)2 = 273 Для контроля вычислений пользуются тождеством щ (и,- + I)2 = ]Г щи] + 2 8 3ак. 1296
226 Глава П. Методы расчета сводных характеристик выборки Контроль: V щ (щ + I)2 = 273, V n(uf + 2 V щщ + п = = 127 + 2-23+100 = 273. Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений. Вычислим условные моменты первого и второго порядков: М\ = {^щи)1п = 23/100 = 0,23; Щ = (^л,-и?)/л = 127/100 = 1,27. Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами): h = 14-12 = 2. Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая, что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 16: хв = M\h + С = 0,23 • 2 + 16 = 16,46; DB = [М\ - (Лф2] Л2 = [1,27 - 0,232] • 22 = 4,87. 524. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки: а) варианта jc/ 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6 частота и, 4 6 30 40 18 2 ; б) варианта *,- 65 70 75 80 85 частота щ 2 5 25 15 3 ' Б. Неравноотстоящие варианты. Если первоначальные варианты не являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины h, частичных интервалов (каждый частичный интервал должен содержать не менее 8-10 вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант. В качестве частоты каждой середины интервала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал. При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шеппарда, а именно вычитают из вычисленной дисперсии 1/12 квадрата длины частичного интервала.
ИЛ. Метод произведений вычисления ... средней и дисперсии 227 Таким образом, с учетом поправки Шеппарда дисперсию вычисляют по формуле D'B = DB- (1/12) h\ 525. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п = 100: дг, 2 3 7 9 11 12,5 16 18 23 25 26 щ 3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9' Решение. Разобьем интервал 2-26 на следующие четыре частичных интервала длины h = 6 : 2 - 8; 8 - 14; 14 - 20; 20 - 26. Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант yit получим равноотстоящие варианты: у\ = 5,у2 = Н,уз = 17,у4 = = 23. В качестве частоты пх варианты yi = 5 примем сумму частот вариант, попавших в первый интервал: п\ - 3 + 5 + 10 = 18. Вычислив аналогично частоты остальных вариант, получим распределение равноотстоящих вариант: уг 5 11 17 23 щ 18 20 25 37* Пользуясь методом произведений, найдем ув = 15,86, DB = = 45,14. Принимая во внимание, что число частичных интервалов (4) мало, учтем поправку Шеппарда: D'B = DB - (1/12)Л2 = 45,14 - 62/12 = 42,14. 526. При вычислении дисперсии распределения неравноотстоящих вариант выборка была разбита на пять интервалов длины А = 12. Выборочная дисперсия равноотстоящих вариант (середин частичных интервалов) Д, = 52,4. Найти выборочную дисперсию, учитывая поправку Шеппарда. 527. а) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению неравноотстоящих вариант выборки объема п = 50: х, 6 8 11 13 15,5 17,5 20 23,5 24,5 26 л, 19664 6 85 4 1' б) найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда.
228 Глава 11. Методы расчета сводных характеристик выборки Указание. Разбить интервал 6-26 на пять частичных интервалов длиной И = 4. 528. а) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению неравноотстоящих вариант выборки объема п- 100: Xi 10 13 15 17 19 23 24 26 28 32 34 35 щ 2 4 6 8 9 6 20 15 10 8 7 5' б) найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеп- парда. Указание. Разбить интервал 10-35 на пять частичных интервалов длины h = 5. Частоту варианты х = 15, т.е. частоту 6, распределить поровну между первым и вторым частичными интервалами (так как варианта 15 попала на границу интервала). 11.2. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии Пусть выборка задана в виде распределения равностоящих вариант и соответствующих им частот. В этом случае, как было указано в 11.1, выборочные среднюю и дисперсию можно вычислить по формулам: Зсв = M\h + С, DB = [М*2 - (Л/;)2] h2. При использовании метода сумм условные моменты первого и второго порядков находят по формулам: М\ -dxln, Щ = (5, +252)/w, где d\ = а\ - b\, s\ = а\ + Ь\, $2 = Д2 + ^2- Таким образом, в конечном счете надо вычислить числа а\,а2, b\, b2. Как практически вычислить эти числа, указано в задаче 529. 529. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п = 100: варианта *,• 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 частота щ 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5*
11.2. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии 229 Решение. Составим расчетную табл. 2, для этого: 1) запишем варианты в первый столбец; 2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца; 3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (68), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одному нулю; 4) в оставшихся незаполненными над нулем клетках третьего столбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 2; 2 + 4 = 6; 6 + 6 = 12; 12 + 8 = 20; 20 + 12 = 32; сложив все накопленные частоты, получим число Ъ\ = 72, которое поместим в верхнюю клетку третьего столбца. В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самую нижнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 5; 5 + 7 = 12; 12 + 8 = 20; 20 + 18 = 38; сложив все накопленные частоты, получим число а\ - 75, которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца; 5) аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца; сложив все накопленные частоты, расположенные над нулем, получим число Ь2 = 70, которое поместим в верхнюю клетку четвертого столбца; сумма накопленных частот, расположенных под нулем, равна числу a2i которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца. В итоге получим расчетную табл. 2. Найдем d\,s\f S2: d\=ax-b{=15-12 = 3; sx =ax+bx =75 + 72= 147; s2 = a2 + Z>2 = 59 + 70 = 129. Найдем условные моменты первого и второго порядков: M\ = dx/n = 3/100 = 0,03; Щ = (sx + 2s2)/n = (147 + 2 • 129)/100 = 4,05. Вычислим искомые выборочную среднюю и выборочную дисперсию, учитывая, что шаг (разность между двумя соседними вариантами) h = 4 и ложный нуль С = 68 : хв = M\h + С = 0,03 • 4 + 68 = 68,12; DB = [Щ - (Л#р2] • Л2 = [4,05 - 0,032] • 42 * 64,78.
230 Глава П. Методы расчета сводных характеристик выборки Таблица 2 1 *i 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 2 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5 л= 100 3 Ъ{ =72 2 6 12 20 32 0 38 20 12 5 ах =75 4 /?2 = 70 2 8 20 40 0 0 0 37 17 5 я2 = 59 530. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема л = 100 : а) варианта хх 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75. частота л, 4 6 8 15 25 20 8 7 5 2' б) варианта х{ 122 128 134 140 146 152 158 164 170 176. частота л, 7 8 12 16 4 20 13 10 7 3 ' в) варианта дг, 12 14 16 18 20 22. частота л, 5 15 50 16 10 4' г) варианта *,-10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0 частота щ 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1
11.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения 231 11.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения определяются соответственно равенствами а5 = /п3/Ов, ек = /и4/о4 - 3; здесь ов — выборочное среднее квадратическое отклонение; /пз и т4 — центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков: т3 = Q] Щ (л, - хв)3) /л, т4 = (^ гц (*, - хв)4) /п. Эти моменты в случае равноотстоящих вариант с шагом h (шаг равен разности между любыми двумя соседними вариантами) удобно вычислять по формулам: т3 = [М* - ЪЩЩ + 2 (Мр3] Л3, т4 = [Щ - ЩЩ + 6 (Лф2М; - 3 (Мр4] h\ где М£ = (V w,wf) /л — условные моменты fc-ro порядка и, = (х, - -С)/Л — условные варианты. Здесь хх — первоначальные варианты; С — ложный нуль, т.е. варианта, имеющая наибольшую частоту (либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда). Итак, для отыскания асимметрии и эксцесса необходимо вычислить условные моменты, что можно сделать методом произведений или методом сумм. А. Метод произведений 531. Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п = 100: варианта jc, 12 14 16 18 20 22 частота щ 5 15 50 16 10 4 ' Решение. Воспользуемся методом произведений. Составим расчетную табл. 3. В 11.1 при решении задачи 523 уже было указано, как заполняются столбцы 1-5 расчетной таблицы, поэтому ограничимся краткими пояснениями.
232 Глава 11. Методы расчета сводных характеристик выборки Для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки столбцов 3 и 5. Для заполнения столбца 7 удобно перемножать числа каждой строки столбцов 3 и 6. Столбец 8 служит для контроля вычислений с помощью тождества и,- (и,- + I)4 = Yj п^ + 4 Приведем расчетную табл. 3. щщ + п' Таблица 3 1 Xi 12 14 16 18 20 22 2 Щ 5 15 50 16 10 4 п = = 100 3 Щ -2 -1 0 1 2 3 4 -10 -15 -25 16 20 12 48 = 23 5 riiuj 20 15 - 16 40 36 = 127 6 щи] -40 -15 -55 16 80 108 204 = 149 7 щи) 80 15 - 16 160 324 = 595 8 л,-(и/+О4 5 - 50 256 810 1024 2>.-(и,- + + 1)4 = = 2145 /Сои/га/юлъ: л,-и4 + 4 ^ л/и? + 6 ^ л,-и? + 4 ^ и,-!*/ + п = = 595 + 4 • 149 + 6 • 127 + 4 • 23 + 100 = 2145. Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений. Найдем условные моменты третьего и четвертого порядков (условные моменты первого и второго порядков вычислены в задаче 523: М\ = 0,23, М\ = 1,27):
11.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения 233 Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков: тъ = [Щ - ЪМ\М*2 + 2(M;)3]/i3; т4 = \щ - 4ЩЩ + 6 {М\)2М\ - 3 (Л/;)4] Л4. Подставляя h = 2 и М\ = 0,23, М* = 1,27, М* = 1,49, AfJ = 5,95, получаем ги3 = 5,104, пц = 79,582. Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что DB = 4,87 (см. задачу 523): а5 = m3/oi = 5,124/ (VW)3 = 0,47; ^ = W4/o4 - 3 = 79,582/ (V?^7)4 - 3 = 0,36. 532. Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п = 100: a) Xi 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 б) xt 1 6 11 16 21 щ 8 20 45 15 12; щ 5 25 40 20 10' Б. Метод сумм 533. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п = 100: Xi 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 щ 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5 ' Решение. Воспользуемся методом сумм, для этого составим расчетную табл. 4. В 11.2 при решении задачи 529 уже было указано, как заполняются столбцы 1-4 расчетной таблицы, поэтому ограничимся краткими пояснениями. Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (68); над этим нулем и под ним поставим еще по два нуля. В клетках над нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 сверху вниз; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты: 2; 2 + 8 = 10; 2 + 8 + 20 = 30. Сложив накопленные частоты, получим число Ъъ = 2 + 10 + 30 = 42, которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца. В клетках под нулями запишем накопленные частоты, для чего просуммируем частоты столбца 4 снизу вверх; в итоге будем иметь следующие накопленные частоты: 5; 5 + 17 = 22. Сложив накопленные частоты, получим число аз = 5 + 22 = 27, которое поместим в нижнюю клетку пятого столбца.
234 Глава 11. Методы расчета сводных характеристик выборки Аналогично заполняют столбец 6, причем суммируем частоты столбца 5. Сложив накопленные частоты, расположенные над нулями, получим число £>4 = 2 + 12 = 14, которое запишем в верхнюю клетку шестого столбца. Сложив числа, расположенные под нулями (в нашей задаче есть лишь одно слагаемое), получим число а\ - - 5, которое поместим в нижнюю клетку шестого столбца. В итоге имеем расчетную табл. 4. Таблица 4 1 *i 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 2 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5 п= 100 3 by =72 2 6 12 20 32 0 38 20 12 5 ах =75 4 Ь2 = 10 2 8 20 40 0 0 0 37 17 5 я2 = 59 5 fc3=42 2 10 30 0 0 0 0 0 22 5 «3 = 27 6 fc4= 14 2 12 0 0 0 0 0 0 0 5 я4 = 5 Контроль: сумма чисел, расположенных непосредственно над нулем третьего столбца, слева от него и под ним, должна быть равна объему выборки (32 + 30 + 38 = 100); сумма двух чисел, расположенных над двумя ступеньками ступенчатой линии (обведены жирными отрезками), должна быть равна соответственно числам Ь^ стоящим над предшествующей ступенькой (при движении по «лесенке» вверх): 32+40 = 72 = Ь\\ 40+30 = 70 = Ь2;30+12 = = 42 = &з- Аналогично проверяется совпадение сумм двух чисел, стоящих под «ступеньками лесенки», ведущей вниз: 38 + 37 = 75 = = ах; 37 + 22 = 59 = а2; 22 + 5 = 27 = а3. При несовпадении хотя бы одной из указанных сумм следует искать ошибку в расчете.
11.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения 235 Найдем di (/ = 1,2,3) и s, (i = 1,2,3.4): dx =ax-bx =75-72 = 3, d2 = я2 -*>2 = 59 -70 = -11, d3 = a3-b3 = 27-42 = -15; j, = ax + ft, = 75 + 72 = 147; s2 = <*2 + b2 = 59 + 70 = 129, s3 = a3 + ft3 = 27 + 42 = 69, 54 = я4 + ft4 = 5 + 14 = 19. Найдем условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков: 2 п 100 100 • 2 п 100 = 100 = ■Зб53 51 М4 — п 147 +14 129 + 36 -69 + 24 -19 _ 4g 100 Найдем центральные эмпирические моменты третьего н четвертого порядков: тъ = [М* - ЪМ\М\ + 2 (Мр3] • Л3 = = [-1,53 - 3 • 0,03 • 4,05 + 2 • (0,03)3] • 43 = -121,245, т4 = [щ - 4м;л/; + б (мр2л/* - з (мр4]. л4 = = [48,93-4-0,03-(-1,53)+ +6 • (0,03)2 • 4,05 - 3 (0,03)4] • 44 = 12578,679. Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что ов = = yfol = V64J8 (дисперсия DB была найдена ранее, см. задачу 529): as = тз/а3 = -121,245/(V64J8)3 = -0,25; ек = m4/oi - 3 = 12578,679/ (V64J8)4 - 3 = 26,97. 534. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п = 100: а) х( 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0 щ 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1 ; б) Xi 12 14 16 18 20 22 щ 5 15 50 16 10 4'
Глава 12 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ 12.1. Линейная корреляция Если обе линии регрессии Y на X и X на У — прямые, то корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y наХ имеет вид где ух — условная средняя; * и у — выборочные средние признаков X и Y; ох и оу — выборочные средние квадратические отклонения; гв — выборочный коэффициент корреляции, причем ПхуХу " ) Выборочное уравнение прямой линии регрессии ХнаУ имеет вид *у-х = гв^(у-у). (**) Оу Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам: где С\ — «ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую
12.1. Линейная корреляция 237 частоту); h\ — шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами X; Сг — ложный нуль вариант Y; h2 — шаг вариант Y. В этом случае выборочный коэффициент корреляции Гв = причем слагаемое £ пти\> удобно вычислять, используя расчетную табл. 7 (см. далее решение задачи 535). Величины и, v, ow, а„ могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам: и = V пии/п, v = 2_jnvv/n, ои = у]и2 - (н)2, ov = Зная эти величины, можно определить входящие в уравнения регрессии (*)и(**) величины по формулам: Зс = Hh\ + С\у у = ох = Для оценки силы линейной корреляционной связи служит выборочный коэффициент корреляции гв. Для обоснованного суждения о наличии связи между количественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент корреляции (см. 13.12). 535. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной табл. 5. Таблица 5 Y 16 26 36 46 56 пх X 20 4 - - - - 4 25 6 8 - - - 14 30 - 10 32 4 - 46 35 - - 3 12 1 16 40 - - 9 6 5 20 пу 10 18 44 22 6 п= 100 Решение. Составим корреляционную табл. 6 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С\ - 30 и Сг = 36 (каждая
Глава 12. Элементы теории корреляции из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда). Таблица 6 V -2 -1 0 1 2 пи и -2 4 - - - - 4 -1 6 8 - - - 14 0 ~ 10 32 4 - 46 1 - - 3 12 1 16 2 - - 9 6 5 20 л„ 10 18 44 22 6 п = 100 Найдем и и v: и = 0]пии)/л = (4 • (-2) + 14 • (-1) + 46 • 0+ + 16-1 + 20-2)/100 = 0,34; Ъ = (X п"у) /п = (1°' ("2) + 18 * (""!) + М'0+ +22-1+6-2)/100 = -0,04. Найдем вспомогательные величины и2 и и2: и2 = (£ "*У)/л = (4 • 4 + 14 • 1 + 16 • 1 + 20- 4)/100 = 1,26; И* = (^ лУ) /я = (10 • 4 + 18 • 1 + 22 • 1 + 6 • 4)/100 = 1,04. Найдем аи и ау: ам = = VU6-0,342 = 1,07; - (v)2 = л/1.04-0,042 = 1,02. Найдем 2 Лиуми» для чего составим расчетную табл. 7. Суммируя числа последнего столбца табл. 7, находим = 82.
12.1. Линейная корреляция 239 Для контргая вычислений находим сумму чисел последней строки: Совпадениесумм свидетельствует о правильности вычислений. Пояснения: составлению табл. 7. 1. Произве^ние частоты пш на варианту н, т. е. nuvii, записывают в правом взхнем углу клетки, содержащей значение частоты. Например, в пцвых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: • (-2) = -8; 6 • (-1) = -6. 2. Складывют все числа, помещенные в правых верхних углах клеток одной сроки, и их сумму помещают в клетку этой же строки «столбца U* Например, для первой строки и = -8 + (-6) = -14. 3. Наконецумножают варианту v на U и полученное произведение записьпют в соответствующую клетку «столбца vU». Например, в перьй строке таблицы v = -2, U = -14, следовательно, rf/ = (-2X-14):28. 4. Сложив ice числа «столбца vU», получают сумму ^ vU, которая равна искомой сумме Vh^mu. Например, для табл. 7 = 82, сле.овательно, искомая сумма V nuvuv = 82. о Для контроя аналогичные вычисления производят по столбцам: произведсия nmv записывают в левый нижний угол клетки, содержащей зачение частоты; все числа, помещенные в левых нижних углах петок одного столбца, складывают и их сумму помещают в «стрку W, наконец, умножают каждую варианту и на V и результат зашсывают в клетках последней строки. Сложив вскисла последней строки, получают сумму V uV, и которая также рвна искомой сумме V nmuv. Например, для табл. 7 V uV = 82, сле,овательно, V nuvuv = 82. V uV 82, сле,овательно, V nu Найдем исюмый выборочный коэффициент корреляции: _ ^\uvuv - rim _ 82-100-0,34-(-0,04) Гв " nouov " 100-1,07-1,02 " ' ' Найдем шал h\ и Кг (разности между любыми двумя соседними вариантами 'Ъ =25-20 = 5; Л2 = 26-16=10.
240 Глава 12. Элементы теории корреляции IN. I- tS II CN О CN / VO 00 я 7 F? loo N 1 00 00 2} О lo I7 00 1 7 о CN 00 F CO CN CO 1 1 о я я CN «о F CN F i i CN CN О Ю F i 1 1 CN и S 11 S 8 00 1 II | о 1 II т ^ CN 00 3 II CN О 8
12.1. Линейная корреляция 241 Найдем х и у, учитывая, что С\ = 30, Сг = 36: х = и • hx + С\ = 0,34 • 5 + 30 = 31,70; у = v • h2 + C2 = (-0,04) • 10 + 36 = 35,60. Найдем ох и оу ох = /цом = 5 • 1,07 = 5,35; а^ = h2ov = 10 • 1,02 = 10,2. Подставив найденные величины в соотношение (*), получим искомое уравнение прямой линии регрессии У на X: 102 ух - 35,60 = 0,76 —j-(jc - 31,70), или окончательно у* = 1,45jc - 10,36. 536. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на У по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах: а) Y 100 120 140 160 180 пх X 5 2 3 - - - 5 10 1 4 - - - 5 15 - 3 5 - - 8 20 - - 10 1 - 11 25 - - 8 - - 8 30 - - - 6 - 6 35 - - - 1 4 5 40 - - - 1 1 2 Пу 3 10 23 9 5 п = = 50 б) Y 125 150 175 200 225 250 пх X 18 - 1 - - - - 1 23 1 2 3 - - - 6 28 - 5 2 1 - - 8 33 - - 12 8 - - 20 38 - - - 7 3 - 10 43 - - - - 3 1 4 48 - - - - - 1 1 Пу 1 8 17 16 6 2 п = = 50
242 Глава 12. Элементы теории корреляции в) Y 100 120 140 160 180 пх X 5 - - - 3 2 5 10 - - - 4 1 5 15 - - 8 3 - 11 20 - - 10 - 1 11 25 - - 5 - - 5 30 6 4 - - - 10 35 1 2 — — - 3 пу 7 6 23 10 4 л = = 50 12.2. Криволинейная корреляция Если график регрессии — кривая линия, то корреляцию называют криволинейной. В частности, в случае параболической корреляции второго порядка выборочное уравнение регрессии Y на X имеет вид ух = Ах2 + Вх + С. Неизвестные параметры А, В, и С находят (например, методом Гаусса) из системы уравнений: в Аналогично находится выборочное уравнение регрессии X на Y: Для оценки силы корреляции Y на X служит выборочное корреляционное отношение (отношение межгруппового среднего квад- ратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y) Цху —
12.2. Криволинейная корреляция 243 или в других обозначениях Цух = OyJ Здесь где п — объем выборки (сумма всех частот); пх — частота значения х признака X; пу — частота значения у признака У; ух — условная средняя признака У; у — общая средняя признака У. Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение X к У: 537. Найти выборочное уравнение регрессии ух = Ал2 + Вх + С по данным, приведенным в корреляционной табл. 8. Оценить силу корреляционной связи по выборочному корреляционному отношению. Таблица 8 Y 25 45 ПО пх X 2 20 - - 20 3 - 30 1 31 5 - 1 48 49 Пу 20 31 49 п= 100 Решение. Составим расчетную табл. 9. Таблица 9 X 2 3 5 Z Пх 20 31 49 100 Ух 25 47 Л 108,67 пхх 40 93 245 378 ПхХ2 80 279 1225 1584 ПхХ3 16 837 6125 7122 пхх4 320 2511 30625 33456 ПхУх 500 1460 5325 7285 ПхУхХ 1000 4380 26624 32004 ПхУхХ2 2000 13141 133121 148 262
244 Глава 12. Элементы теории корреляции Подставив числа, содержащиеся в последней строке табл. 9, в (*), получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов Л, В, С: 33456Л + 7122Я + 1584С = 148262; 7122Д + 15845 + 378С = 32004; 1584Д + 378Я + 100С = 7285. Решив эту систему (например, методом Гаусса), найдем: А = = 2,94, В = 7,27, С = -1,25. Подставив найденные коэффициенты в уравнение регрессии ух = Ах2 + Вх + С, окончательно получим у, = 2,94л2 + 7,27* -1,25. Для того чтобы вычислить выборочное корреляционное отношение г\ух, предварительно найдем общую среднюю у, общее среднее квадратическое отклонение оу и межгрупповое среднее квад- ратическое отклонение оу/. пуУ) 1п = (20 • 25 + 31 • 45 + 49 • 110)/100 = 72,85; = V(10(25 - 72,85)2 + 31 (45 - 72,85)2 + 49(110 - 72,85)2)/100 = 37,07; ^х" ^)2)/п= = л/(20(25 - 72,85)2 + 31 (47,1 - 72,85)2 +49(108,67 -72,85)2)/100 = = 35,95. Найдем искомое выборочное корреляционное отношение: Цух = oyjoy = 35,95/37,07 = 0,97. 538. Найти выборочное уравнение регрессии ух = Ах2 + + Вх + С и выборочное корреляционное отношение г\ух по данным, приведенным в корреляционной таблице: а) Y 0 3 5 10 17 пх X 0 18 1 3 22 1 1 20 5 26 2 1 10 7 18 3 2 12 14 4 20 20 пу 20 21 20 19 20 п= 100
12.2. Криволинейная корреляция 245 б) Y 1 13 40 80 200 Пх X 0 19 2 21 4 1 14 3 18 6 1 22 23 7 2 15 17 10 21 21 Пу 21 16 27 15 21 «=100 в) Y 1 35 50 пх X 0 50 50 4 5 44 5 54 5 1 45 46 Пу 56 44 50 п= 150 г) Y 10 11 20 35 50 "х X 0 20 7 27 1 5 15 3 23 2 3 17 8 28 3 1 4 13 5 23 4 7 42 49 Пу 25 26 24 28 47 п= 150
246 Глава 12. Элементы теории корреляции д) Y 200 300 400 пх X 1 41 1 42 8 7 52 8 67 9 1 40 41 Пу 48 54 48 и = 150 539. Найти выборочное уравнение регрессии ху = Ау2 + + By + С и выборочное корреляционное отношение т^ по данным, приведенным в корреляционной таблице: а) Y 1 3 4 пх X 6 15 1 16 30 14 2 16 50 18 18 Пу 15 15 20 л = 50 б) Y 0 2 3 л* X 1 13 2 1 16 9 10 1 11 19 23 23 Пу 13 12 25 л = 50
12.3. Ранговая корреляция 247 12.3. Ранговая корреляция А. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спир- мена. Пусть выборка объема п содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками: А и В. Под качественным подразумевают признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности условимся располагать объекты в порядке ухудшения качества. Расположим сначала объекты в порядке ухудшения качества по признаку А. Припишем объекту, стоящему на /-м месте, число — ранг ДС|, равный порядковому номеру объекта: jc, = i. Затем расположим объекты в порядке убывания качества по признаку В и припишем каждому из них ранг (порядковый номер) yit причем (для удобства сравнения рангов) индекс / при у по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А. В итоге получим две последовательности рангов: по признаку А х\ хг ... х„; по признаку В ух у2 ... уп- Для оценки степени связи признаков А и В служат, в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла (см. п. Б). Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена находят по формуле кв ' п*-п где di = Xi - yh n — объем выборки. Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Спирмена не превышает единицы: | p\teb | < 1. Для обоснованного суждения о наличии связи между качественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена (см. 13.13). 540. Знания десяти студентов проверены по двум тестам: Л и В. Оценки по стобалльной системе оказались следующими (в первой строке указано количество баллов по тесту Л, а во второй — по тесту В): 95 90 86 84 75 70 62 60 57 50 ,„ 92 93 83 80 55 60 45 72 62 70* < ' Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками по двум тестам.
248 Глава 12. Элементы теории корреляции Решение. Присвоим ранги jc, оценкам по тесту А. Эти оценки расположены в убывающем порядке, поэтому их ранги *,• равны порядковым номерам: ранги хг 123456789 10 оценки по тесту Л 95 90 86 84 75 70 62 60 57 50' Присвоим ранги у, оценкам по тесту /?, для чего сначала расположим эти оценки в убывающем порядке и пронумеруем их: 123456789 10 _. 93 92 83 80 72 70 62 60 55 45 ' ( ' Напомним, что индекс i при у должен быть равен порядковому номеру оценки студента по тесту А. Найдем ранг у\. Индекс i = 1 указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту Л в ряду ( *) первое место (эта оценка равна 95); из условия видно, что по тесту В студент получил оценку 92, которая в (**) расположена на втором месте. Таким образом, рангу! = 2. Найдем ранг уг. Индекс i = 2 указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) второе место; из условия видно, что студент получил по тесту В оценку 93, которая в (**) расположена на первом месте. Таким образом, ранг у2 = 1. Аналогично найдем остальные ранги: уз = 3, у4 = 4, у5 = 9, Уь = 8,^7 = Ю,;у8 = 5,уд = 7,ую = 6. Выпишем последовательности рангов jc, и ус. jc/123456 7 89 10 у{-2 1 3 4 9 8 10 5 7 6 " Найдем разности рангов: d\ = х\ - у\ - 1 - 2 = -1; di = хг - уг = 2-1 = 1. Аналогично получим: d$ = 0, d4 = 0, ds = -4, d6 = -2, d-j = -3, ds =3,d9 = 2, d\o = 4. Вычислим сумму квадратов разностей рангов: =1 + 1 + 16 + 4 + 9 + 9 + 4+ 16 = 60. Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Спирме- на, учитывая, что п = 10: Итак, рв = 0,64. 541. Два преподавателя оценили знания 12 учащихся по стобалльной системе и выставили им следующие оценки
12.3. Ранговая корреляция 249 (в первой строке указано количество баллов, выставленных первым преподавателем, а во второй — вторым): 98 94 88 80 76 70 63 61 60 58 56 51 99 91 93 74 78 65 64 66 52 53 48 62' Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками двух преподавателей. 542. Тринадцать цветных полос расположены в порядке убывания окраски от темной к светлой и каждой полосе присвоен ранг — порядковый номер. В итоге получена последовательность рангов xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13. При проверке способности различать оттенки цветов испытуемый расположил полосы в следующем порядке: у, 6 3 4 2 1 10 7 8 9 5 11 13 12. Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между «правильными» рангами jc, и рангами yif которые присвоены полосам испытуемым. 543. Два товароведа расположили девять мотков пряжи в порядке убывания толщины нити. В итоге были получены две последовательности рангов: х,- 123456789 у,- 4 1 5 3 2 б 9 8 7' Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами jc,- и у,-. 544. Специалисты двух заводов проранжировали 11 факторов, влияющих на ход технологического процесса. В итоге были получены две последовательности рангов: Xi; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 yt1 2 3 5 4 9 8 11 6 7 10* Определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена. 545. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов, в итоге были получены три последовательности рангов (в первой строке приведены ранги арбитра Л, во второй — ранги арбитра В, в третьей — ранги арбитра С):
250 Глава 12. Элементы теории корреляции х/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 у,- 3 10 7 2 8 5 6 9 1 4- z,- 6 2 1 3 9 4 5 7 10 8 Определить пару арбитров, оценки которых наиболее согласуются, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена. 546. Два контролера А и В расположили образцы изделий, изготовленных девятью мастерами, в порядке ухудшения качества (в скобках помещены порядковые номера изделий одинакового качества): (A) 1 2 (3, 4, 5) (6, 7, 8, 9) (B) 2 1 4 3 5 (6, 7) 8 9 ' Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами изделий, присвоенными им двумя контролерами. Решение, Учитывая, что ранги изделий одинакового качества равны среднему арифметическому порядковых номеров изделий: (3 + 4 + 5)/3 = 4, (6 + 7 + 8 + 9)/4 = 7,5, (6 + 7)/2 = 6,5, напишем последовательности рангов, присвоенные изделиям контролерами: л, 1 2 4 4 4 7,5 7,5 7,5 7,5 Уч 2 1 4 3 5 6,5 6,5 8 9 ' Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, учитывая, что V dj = 8,5, п = 9: к (л-1)л(л+1) 8-9-10 Итак, рв = 0,93. 547. Два инспектора А и В проверили 12 водителей на быстроту реакции и расположили их в порядке ухудшения реакции (в скобках помещены порядковые номера водителей с одинаковой реакцией): (A) 1 (2, 3, 4) 5 (6, 7, 8) 9 10 11 12 (B) 3 1 2 6 4 5 7 8 11 10 9 12' Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами водителей, присвоенными им двумя инспекторами.
12.3. Ранговая корреляция 251 Б. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендал- ла. Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема п (здесь сохранены все обозначения п. А): по признаку А х\ jc2 xn; по признаку В ух у2 уп- Допустим, что справа от у \ имеется R\ рангов, ббльших у\; справа от уг имеется Ri рангов, ббльших уг\ справа от уп-\ имеется Rn-\ рангов, ббльших уп.\. Введем обозначение суммы рангов: R-Rx + Д2 + .. +Rn-\- Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла находят по формуле 4R 1 где п — объем выборки, R — сумма рангов /?,- (i = 1,2,..., л - 1). Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кендалла не превышает единицы: | тв | < 1. Для обоснованного суждения о наличии связи между качественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла (см. 13.14). 548. Знания 10 студентов проверены по двум тестам: А и В. Оценки по стобалльной системе оказались следующими (в первой строке указано количество баллов по тесту Л, а во второй — по тесту В): 95 90 86 84 75 70 62 60 57 50 92 93 83 80 55 60 45 72 62 70' Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла между оценками по двум тестам. Решение. При решении задачи 540, условие которой совпадает с условием настоящей задачи, были получены две последовательности рангов (в первой строке приведены ранги по тесту Л, во второй — по тесту В): *« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 у,- 2 1 3 4 9 8 10 5 7 б" Справа от у\ =2 имеется R\ = 8 рангов (3,4,9,8,10,5,7,6), ббльших у\ = 2; справа от уг = 1 имеется /?2 = 8 рангов, ббльших
252 Глава 12. Элементы теории корреляции уг = 1. Аналогично получим: /?3 = 7, Я4 = 6, R5 = 1, /?6 = 1, /?7 = О, /?8 = 2, /?9 = 0. Следовательно, сумма рангов Я = /?, +/?2+... +/?9 = 8 + 8 + 7 + 6+1 + 1+2 = 33. Найдем коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что/? = 33, л = 10: Итак, тв = 0,47. 549. Два контролера расположили 10 деталей в порядке ухудшения их качества. В итоге были получены две последовательности рангов: х{? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 у,- 1 2 4 3 б 5 7 10 9 8 " Используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить, согласуются ли оценки контролеров. 550. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по условию задачи 542. 551. По условию задачи 544, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов. 552. По условию задачи 545, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить пару арбитров, оценки которых наиболее совпадают. 553. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по условию задачи 547.
Глава 13 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 13.1. Основные сведения Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Щ. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Яь которая противоречит нулевой. Различают гипотезы, которые содержат одно и более одного предположений. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через а. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через р. Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы. Наблюдаемым (эмпирическим) значением АГНабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
254 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Критическими точками {границами) ккр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > kKpt где ккр — положительное число. Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < ккр, где ккр — отрицательное число. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < к\, К > к^ где кг > к\. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что ккр > 0) К < —ккр, К > ккр, или равносильным неравенством Для отыскания критической области задаются уровнем значимости а и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений: а) для правосторонней критической области б) для левосторонней критической области в) для двусторонней симметричной области Р(К > *кр) = (а/2) (*кр > 0), Р(К < -ккр) = а/2. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.
13.2. Сравнение двух дисперсий ... совокупностей 255 13.2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей По независимым выборкам, объемы которых иь п2, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии s\ и s\. Требуется сравнить эт\ дисперсии. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости с проверить нулевую гипотезу Щ: D(X) - D (У) о равенстве гене рольных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующег гипотезе Н\: D(X) > D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей^ и по таблице критических точек распределения Фишера—Снедеко ра, по заданному уровню значимости а и числам степеней свободь k\ = щ - 1, к2 - п2 - 1 (к\ — число степеней свободы большег исправленной дисперсии) найти критическую точку FKp (а; к\, к2) Если FHa^ < ^кР — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Если ^абл > ^кр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезеH\:D(X)± D(У) кри тическую точку FKp (a/2; k\ Д2) ищут по уровню значимости а/'< (вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы k\ и к2 (к\ - число степеней свободы большей дисперсии). Если FHJ^ < ^Кр " нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если FHa^ > ^кр - нулевую гипотезу отвергают. 554. По двум независимым выборкам, объемы которы: п\ = 11 и пг = 14, извлеченным из нормальных генеральны: совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии s2x = 0,76 и s2Y = 0,38. При уровне значимости а = = 0,05, проверить нулевую гипотезу Яо: D(X) = D(Y) о pa венстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипо Решение. Найдем отношение большей исправленной диспер сии к меньшей: = 0,76/0,38 = 2. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D (X) > D (У; поэтому критическая область — правосторонняя. По таблице приложения 7, по уровню значимости а = 0,0; и числам степеней свободы к\ = щ - 1 = 11-1 = 10 и fa = п2 -
256 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез -1 = 14-1 = 13 находим критическую точку FKp (0,05; 10; 13) = 2,67. Так как FH£^ < ^кр — нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются незначимо. 555. По двум независимым выборкам, объемы которых п\ = 9 и пг = 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены исправленные выборочные дисперсии s2x = 34,02 и s\ = 12,15. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Щ: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Hl:D(X)>D(Y). 556. По двум независимым выборкам, объемы которых Л1 = 14ия2 = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены исправленные выборочные дисперсии s^ = 0,84 и s\ = 2,52. При уровне значимости а = = 0,1 проверить нулевую гипотезу Яо: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H0:D(X)*D(Y). Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: = 2,52/0,84 = 3. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D (X) Ф D (Y)> поэтому критическая область — двусторонняя. В соответствии с правилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровень значимости, вдвое меньший заданного. По таблице приложения 7, по уровню значимости а/2 = 0,1 /2 = = 0,05 и числам степеней свободы *1 = 10-1=9и*2= 14-1 = 13 находим критическую точку FKp(0,05;9;13) = 2,72. Так как Fhsl6ji > FKp — нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. 557. По двум независимым выборкам, объемы которых п\ = 9 и Л2 = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены выборочные дисперсии DB (X) = = 14,4 и DB (Y) = 20,5. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу Яо: D(X) = D (Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Яо: D (X) Ф D (У).
13.2. Сравнение двух дисперсий ... совокупностей 257 Указание. Найти сначала исправленные дисперсии по формулам: 558. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты: а) в первом случае х\ = 9,6; х2 = 10,0; jc3 = 9,8; х4 = 10,2; х5 = 10,6; б) во втором случае у\ = 10,4; у2 = 9,7; уъ = 10,0; У4 = Ю,3. Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости а = 0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы. Решение. Будем судить о точности методов по величинам дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид Н$. D(X) = = D(Y). В качестве конкурирующей примем гипотезу Н\. D(X) Ф Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам: щ = IOjc/ - 100, и( = 10у{ - 100. В итоге получим условные варианты щ -4 0 -2 2 6 у/4-3 0 3 Найдем исправленные выборочные дисперсии: ] Z 36)-22/5 лло 14* 2 _ 5 5-1 ^f 1П2 _ (16 + +9 + 9)-42/4 Я2-1 4-1 Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей (каждая из дисперсий увеличилась в 102 раз, но их отношение не изменилось): ^„абл = 4/4 = sllsl = 14>8/10 = !>48- По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D{X) Ф D (У), поэтому критическая область двусторонняя и в соответствии с правилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровень значимости, вдвое меньший заданного. 9 3ак. 1296
258 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез По таблице приложения 7, по уровню значимости а/2 = 0,1 /2 = = 0,05 и числам степеней свободы к\ = щ■- 1 =5-1 = 4 и £2 - п2 - -1=4-1=3 находим критическую точку FKp (0,05; 4; 3) = 9,12. Так как FHafa < FKp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Другими словами, исправленные дисперсии различаются незначимо и, следовательно, оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений. 559. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых п\ - 10 и п2 = = 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты: Xi 1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42 yi 1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38 Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью [Но: D (X) = D (F)], если принять уровень значимости а = 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н\\ D(X) Ф Указание. Для упрощения вычислений перейти к условным вариантам щ = 100*, - 124, Of = lOQy, - 126. 13.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности Обозначим через п объем выборки, по которой найдена исправленная дисперсия 52. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Но: о2 = о% о равенстве неизвестной генеральной дисперсии а2 гипотетическому (предполагаемому) значению Oq при конкурирующей гипотезе Н\: о2 > Oq, надо вычислить наблюдаемое значение критерия , .. Лнабл -.2 ао и по таблице критических точек распределения у&, по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к = п— 1 критиче-
13.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии ... 259 скую точку ХкР (а; к). Если х£абл < Хкр ~~ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если у^1а6л > Хкр ~~ нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н\: о2 ± а2, находят левую х^ев. кР (1 -а/2'» *)м правую х2 рав> кр (а/2; *) критические точки. Если xLb. кР < Х^абл к Хправ. кр ~ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если х2абл < Хлев. кр или Х2^ > Хправ. кр ~ нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н\: о2 < о\ находят критическую точку х£р (1 - а; к). Если Хнабл > Хкр (^-о.;к) — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если х2абл < Хкр (1 - а; ^) — нулевую гипотезу отвергают. Замечание. Если число степеней свободы к > 30, то критическую точку Хкр (а»*) можно найти из равенства Уилсона—Гильферти: Х^р (а; к) = к [1 - 2/9* + Za ФШ)]\ где Za находят, используя функцию Лапласа (см. приложение 2), из равенства 560. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 21, и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s2 = 16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу #о: °2 - °о = 15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н\.о*> 15. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: 2 _(n-l)s2 _(21-1) 16,2 Хнабл - 12 ~ fs ~ Z >О< °0 По условию конкурирующая гипотеза имеет вид о2 > 15, поэтому критическая область — правосторонняя (правило 1). По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы £ = /1-1=21-1=20 находим критическую точку Х2р(0,01;20) = 37,6. Так как Х„абл < Хкр ~~ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению Oq = 15. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (16,2) и гипотетической генеральной дисперсией (15) незначимо. 561. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 17, и по ней найдена исправленная
260 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез выборочная дисперсия s? = 0,24. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Но: о2 = с^ = 0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Hi'.o2> 0,18. 562. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 31: варианты х( 10,1 10,3 10,6 11,2 11,5 11,8 12,0 частоты л,- 1 3 7 10 6 3 1 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яо: о2 = с£ = 0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н\\о2> 0,18. Указание. Принять условные варианты и, = 10*, - 110; вычислить сна- 2 ZtfiZmif/ £ чала szu = ■—— , а затем гх = ~^-. 563. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать о2 = 0,1. Взята проба из 25 случайных отобранных изделий, причем получены следующие результаты измерений: контролируемый изделий пробы частота размер Hi 3,0 2 3,5 6 3,8 9 4,4 7 4,5 1 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность. Решение. Нулевая гипотеза Яо: о2 = о\ = 0,1. Примем в качестве конкурирующей гипотезы Н\\ а2 > 0,1. Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для упрощения расчета перейдем к условным вариантам. Приняв во внимание, что выборочная средняя примерно равна 3,9, положим щ = = \0xi- 39. Распределение частот принимает вид щ -9-4-15 6 я, 2 6 9 7 1" Найдем вспомогательную исправленную дисперсию условных вариант: f подставив данные задачи, получим ^ = 19,75.
13.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии ... 261 Найдем искомую исправленную дисперсию: s2x = s2u/\02 = 19,75/100 = 0,2. Найдем наблюдаемое значение критерия: (л-1)4 (25-1)-0,2 ло Конкурирующая гипотеза имеет вид а2 > а2,, поэтому критическая область — односторонняя (правило 1). Найдем по таблице приложения 5 критическую точку Хкр (0,05; 24) = 36,4. Имеем Х„абл > ХкР> следовательно, нулевую гипотезу отвергаем; станок не обеспечивает необходимую точность и требует подналадки. 564. В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени о* = 2 мин2. Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы: время сборки одного узла в минутах *, частота щ 56 1 58 4 60 10 62 3 64 2 Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)? Указание. Нулевая гипотеза Но: о2 = о\ = 2; конкурирующая гипотеза Н\:оФ Oq. Принять щ = хх - 60 и вычислить 52. 565. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема п = 121, оказалась равной s2x = 0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01? Решение. Нулевая гипотеза Щ: о2 = Од = 0,2. Конкурирующая гипотеза Н\.о2 > 0,2. Найдем наблюдаемое значение критерия: Хнабл = (Л - 1) • 4/°0 = 120 ' 0>3/°>2 = 18°- Конкурирующая гипотеза имеет вид а2 > 0,2, следовательно, критическая область правосторонняя. Поскольку в таблице
262 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез приложения 5 не содержится числа степеней свободы к - 120, найдем критическую точку приближенно из равенства Уилсона— Гильферти: ;к) = к [\ - 2/(9*) + za Найдем предварительно (учитывая, что по условию а = 0,01) za = zo.oi из равенства Ф(го,О1) = (1 - 2а)/2 = (1 - 2 • 0,01)/2 = 0,49. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2), используя линейную интерполяцию, находим: годм = 2,326. Подставив к = 120, za = 2,326 в формулу Уилсона—Гильферти, получим ХкР(0,01; 120) = 158,85. (Это приближение достаточно хорошее: в более полных таблицах приведено значение 158,95). Так как > ^кр ~~ нулевую гипотезу отвергаем. Партию принять нельзя. 566. Решить задачу 565, приняв уровень значимости а = = 0,05. 13.4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки) Обозначим через пит объемы больших (п > 30, т > 30) независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние Зс и у. Генеральные дисперсии D (X) и D(Y) известны. Правило 1,Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Hq: M(X) = M(Y) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе Н\: М (X) Ф M(Y)t надо вычислить наблюдаемое значение критерия y/D(X)/n- и по таблице функции Лапласа найти критическую точку zKp равенства
13.4. Сравнение двух средних генеральных совокупностей ... 263 Если | ZHB.en I < 2кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 12„абл I > гкр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н\: М(Х) > M(Y) находят критическую точку гкр по таблице функции Лапласа из равенства Если Zhqujy < zKp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если ZH&6n > zKp ~ нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н\: М(Х) < M(Y) находят «вспомогательную точку» zKp wo правилу 2. Если 2НЪ&Л > > -zKp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 2набл < < -гкр — нулевую гипотезу отвергают. 567. По двум независимым выборкам, объемы которых п = 40 и т = 50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: jc = 130 и у - 140. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 80, D(Y) = 100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Но: М(Х) = М(У) при конкурирующей гипотезе Н\\ М(X) Ф М(Y). Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: Z - *-? 130-140 5 набл " V80/40 + 100/50 По условию конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) Ф M(Y) поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем правую критическую точку из равенства Ф(гкр) = О - а)/2 = (1 - 0,00/2 = 0,495. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим zKp = 2,58. Так как |2набл I > zKP, то в соответствии с правилом 1 нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо. 568. По выборке объема п = 30 найден средний вес х = = 130 г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема т = 40 найден средний вес у = 125 г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 60 г2, D(Y) = 80 г2. Требуется, при уровне
264 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу Щ\ М{Х) = = М (Y) при конкурирующей гипотезе М(Х) * M(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы. 569. По выборке объема п = 50 найден средний размер х = 20,1 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом № 1; по выборке объема т = 50 найден средний размер у = = 19,8 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом № 2. Генеральные дисперсии известны: D (X) = 1,750 мм2, D(Y) = = 1,375 мм2. Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу Но: М(Х) = M(Y) при конкурирующей гипотезе М (X) Ф M(Y). Предполагается, что случайные величины X и У распределены нормально и выборки независимы. 13.5. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) Обозначим через пит объемы малых независимых выборок (п < 30 и т < 30), по которым найдены соответствующие выборочные средние х и у и исправленные выборочные дисперсии s2 и s2Y. Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Но: М(Х) = M(Y) о равенстве мате- матических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе Н\: М (X) ± M(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия ^набл — х - у 1пт(п + т - 2) (п - 1) 4 + (т - 1) 4 V п + т и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы k = п + + т - 2 найти критическую точку /двуст. кр (а; к). Если \ Гнабл I <
13.5. Сравнение... нормальных генеральных совокупностей... 265 < Гдвуст. кр (а'у к) — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | Г„абл I > 'двуст. кр (а; к) — нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе М(Х) > M(Y) находят критическую точку /правост. кР(«;^) по таблице приложения 6 по уровню значимости а, помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы k = п+т-2. Если Гнабл < 'правост. кр ~ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тн&вл > гправост. кр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе М(Х) < M(Y) находят сначала критическую точку ?Правост. кр по правилу 2 и полагают /левост. кр = ""^правост. кр* &СЛи Тнабл > ~^правост. кр НвШ 0С- нований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тнабл < -гпРавост. кр — нулевую гипотезу отвергают. 570. По двум независимым малым выборкам, объемы которых п = 12 и т = 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены выборочные средние: ]с = 31,2, у = 29,2 и исправленные дисперсии: s2x = 0,84 и Sy = 0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яо- М(Х) = M(Y) при конкурирующей гипотезе Н{:М(Х)±М (Y). Решение. Исправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера—Снедекора (см. 13.2). Найдем отношение большей дисперсии к меньшей: ^набл = = 0,84/0,40 = 2,1. Дисперсия s2x значительно больше дисперсии s\y поэтому в качестве конкурирующей примем гипотезу Н\\ D(X) > > D (Y). В этом случае критическая область — правосторонняя. По таблице приложения 7, по уровню значимости а = 0,05 и числам степеней свободы fci =л-1 = 12-1 = 11и £2=^-1 = 18-1 = 17 находим критическую точку FKp (0,05; 11; 17) = 2,41. Так как FH^ < ^Kp> то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, поэтому сравним средние. Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента: х - у 1пт(п + т-2) набл = (л-1)4 +Ой-1)4 V nTn~i ' Подставив числовые значения входящих в эту формулу величин получим Гнабл = 7,1. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х)Ф М (К), поэтому критическая область — двусторонняя. По уровню значи-
266 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез мости 0,05 и числу степеней свободы к = п + т - 2 = 12+18- - 2 = 28 находим по таблице приложения б критическую точку ^двуст.кр (0,05; 28) = 2,05. Так как Г„абл > 'двуст. кр — нулевую гипотезу о равенстве средних отвергаем. Иными словами, выборочные средние различаются значимо. 571. По двум независимым малым выборкам, объем которых п = 10 и т = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: jc = = 142,3, у = 145,3 и исправленные дисперсии: s2x = 2,7 и s\ = = 3,2. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Яо*. М(Х) - M(Y) при конкурирующей гипотезе Н\\ М(Х)ФМ(У). Указание. Предварительно проверить равенство дисперсий, используя критерий Фишера—Снедекора. 572. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых л = 10 и /и = 12. Получены следующие результаты: контролируемый размер изделий первого станка jc,- 3,4 3,5 3,7 3,9. частота (число изделий) щ 2 3 4 1 контролируемый размер изделий второго станка у, 3,2 3,4 3,6 частота т, 2 2 8 Требуется при уровне значимости 0,02 проверить гипотезу Но: М(Х) = M(Y) о равенстве средних размеров изделий при конкурирующей гипотезе Н\\ М(Х) Ф М(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально. Решение. По формулам *'•*') А* и У = Q] miy) 1 1т найдем выборочные средние: I = 3,6, у = 3,5. Для упрощения вычислений исправленных дисперсий перейдем к условным вариантам щ = 10*, - 36, у, = Юу, - 35.
13.5. Сравнение... нормальных генеральных совокупностей... 267 По формулам Su' л-1 USv~ m-1 найдем si = 2,67 и ^ = 2,55. Следовательно, s* = s2u/\O2 = 2,67/100 = 0,0267, s\ = s2v/\02 = 2,55/100 = 0,0255. Таким образом, исправленные дисперсии различны; рассматриваемый в этом параграфе критерий предполагает, что генеральные дисперсии одинаковы, поэтому надо сравнить дисперсии, используя критерий Фишера—Снедекора. Сделаем это, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H\.D(X) Ф D(Y) (см. 13.2, правило 2). Найдем наблюдаемое значение критерия: Fнaбл = 0,0267 ч- 4-0,0255 = 1,05. По таблице приложения 7 находим FKp (0,01; 9; 11) = = 4,63. Так как ^„абл < ^Кр — дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что допущение о равенстве генеральных дисперсий выполняется. Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента: х-у jn- m(n + m - 2) ■* набл = i + m Подставив в эту формулу числовые значения входящих в нее величин, получим Гнабл = 1,45. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х)Ф М (Г), поэтому критическая область — двусторонняя. По уровню значимости 0,02 и числу степеней свободы к = п + т - 2 = 10+12- - 2 = 20 находим по таблице приложения 6 критическую точку ^двуст.кр (0,02; 20) = 2,53. Так как „абл < 'двуст. кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних. Таким образом, средние размеры изделий существенно не различаются. 573. На уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Яо: М(X) = М (Y) о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей ХиУ при конкурирующей гипотезе Н\\ М(Х) > M(Y)no малым независимым выборкам, объемы которых п = 10 и т = 16. Получены следующие результаты: Xi 12,3 12,5 12,8 13,0 13,5. in I 2 4 2 1 '
268 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез у,- 12,2 12,3 13,0 /я,- 6 8 2 Указание. Предварительно проверить нулевую гипотезу Но: D(X) = = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Hl:D(X)>D(Y) (см. 13.2). 13.6. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности А. Дисперсия генеральной совокупности известна. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Но: а = яо о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией о2 гипотетическому (предполагаемому) значению а0 при конкурирующей гипотезе Н\: а Ф ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерия t/набл = и по таблице функции Лапласа найти критическую точку икр двусторонней критической области из равенства Если | £/Набл | < мкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | £/Набл | > мКр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н\: а > ао критическую точку правосторонней критической области находят из равенства Если £/Набл < мкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 1/н&вл > иКр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н\. а < ао сначала находят вспомогательную критическую точку мкр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области "кр.
13.6. Сравнение выборочной средней с ... генеральной средней ... 269 Если инавл > ~"кр ~ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/набл < ~"кр — нулевую гипотезу отвергают. Мощность критерия проверки нулевой гипотезы Но: а = а$ о равенстве генеральной средней гипотетическому значению oq при известном среднем квадратическом отклонении о находят в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. При конкурирующей гипотезе Н\: а > ао для гипотетического значения генеральной средней а = а\ > ао мощность правостороннего критерия 1-Р = 0,5-Ф(мкр-Х), (•) где мкр находят из равенства Ф(мкр) = (1 - 2а)/2, X = (а\ - При различных значениях а\ функция мощности одностороннего критерия При конкурирующей гипотезе Н\: а Ф ао для гипотетического значения генеральной средней а - а\ мощность двустороннего критерия 1 — Р = 1 — [Ф(икр - А.) + Ф("кР + X)], (••) где мкр находят из равенства Ф(нкр) = (1 - а)/2, X = (а\ - ао) фг/о. При различных значениях а\ фикция мощности двустороннего критерия Щ(ах) = 1 - [Ф(wKp - X) + Ф(мкр + Щ В формулах (*) и (**) Ф (х) = —==. Г е~**12 dz— функция Лапласа. 574. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о = 5,2 извлечена выборка объема п = 100, и по ней найдена выборочная средняя ]с = 27,56. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу #о: а = ао = 26 при конкурирующей гипотезе Н\:аФ 26. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: £/набл = (х - а0) • V"/a + (27,56 - 26) • VlOO/5,2 = 3. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф ао, поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства Ф (икр) = О - а)/2 = (1 - 0,05)/2 = 0,475.
270 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим икр = 1,96. Так как 1/кр > икр — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо. 575. а) Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о = 40 извлечена выборка объема п = 64, и по ней найдена выборочная средняя jc = 136,5. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Щ: а = яо = 130 при конкурирующей гипотезе Н\\аФ 130. б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезе Н\: а> 130. в) Установлено, что средний вес таблетки лекарства сильного действия должен быть равен ао = 0,50 мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки этой партии 1 = 0,53 мг. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу #0: а = я0 = &,50 при конкурирующей гипотезе Н\\ а > 0,50. Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, поставляемых фармацевтическим заводом, было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением о = = 0,11мг. 576. а) По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а, найдена выборочная средняя jc. При уровне значимости а требуется: 1) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза Но. а = = яо о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению яо при конкурирующей гипотезе Н\.а> ао; 2) найти функцию мощности рассматриваемого критерия, приняв в качестве аргумента гипотетическое значение генеральной средней а = а\ (а\ > ао); 3) убедиться, что увеличение объема выборки влечет увеличение мощности критерия; 4) убедиться, что увеличение уровня значимости влечет увеличение мощности критерия. Решение. 1) Конкурирующая гипотеза имеет вид а > ао, поэтому критическая область — правосторонняя. Используя правило 2, найдем критическую точку мкр из равенства Ф(мКр) = (1 - 2а)/2. Следовательно, правосторонняя критическая область определяет-
13.6. Сравнение выборочной средней с ... генеральной средней ... 271 ся неравенством U > икр, или подробнее -? > икр. Отсюда х > икр (а/ у/п) + а0. При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в этом смысле ~х = икр (о/ л/п) + ao можно рассматривать как критическое значение выборочной средней. 2) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т.е. при а = а\)у положив х = = wKp (a/ >Jn) + а0: х - ах цкр (а/ у/п) + до - а\ -д0 о а/ V" кр о/ л/п Таким образом, U = икр - X, где X = (ai - до) V«/a. При i/ > кКр - Д нулевая гипотеза отвергается, поэтому мощность рассматриваемого критерия при а = а\ равна 1 - р = Р (U > икр - X) = 1 - Р (U < икр - X) = = 1 - [Р(-оо < £/ < 0) + Р(0 < U < икр - X)] = = 1 - [0,5 + Ф(икр - X)] = 0,5 - Ф(икр - X). Каждому значению а\ соответствует определенное значение мощности, поэтому мощность критерия есть функция от а\\ обозначим ее через щ(а\). Итак, искомая мощность правостороннего критерия где Ф(х) — функция Лапласа, X = (а\ - ao)V^/a> "кр находят из равенства Ф (икр) = (1 - 2а)/2. 3) Убедимся, что увеличение объема выборки влечет увеличение мощности критерия. Действительно, из соотношения X = (а\ - - ao) yjnlo видно, что увеличение объема выборки приводит к увеличению величины X, а значит, к уменьшению величины аргумента икр - X и тем самым к уменьшению значения функции Лапласа Ф (мкр-^) (Ф (х) — возрастающая функция) и, следовательно, к увеличению мощности 1 - р = 0,5 - Ф (икр - X). 4) Убедимся, что увеличение уровня значимости а влечет увеличение мощности критерия. Действительно, из соотношения
272 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Ф(иКр) = (1 - 2а)/2 видно, что увеличение а приводит к уменьшению икр, а значит, к уменьшению величины аргумента мкр - X и в итоге к увеличению мощности 1 - р = 0,5 - Ф (мкр — X). б) По выборке объема п = 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квад- ратическим отклонением а = 4, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Щ: а = uq = 2 а равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао = 2 при конкурирующей гипотезе Н\\ а > 2. Требуется: 1) найти мощность правостороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней а = а\ = 3; 2) найти объем выборки п\у при котором мощность критерия равна 0,6. Решение. 1) Используем формулу 1-р = 0,5-Ф(икр-Х). (•) По правилу 2 найдем критическую точку правосторонней критической области мкр = 1,65. Вычислим X, учитывая, что, по условию, а\ = 3, а0 = 2, п = 16, о = 4: X = (ai - до) л/л/о = (3 - 2) V16/4 = 1. Подставив wKp = 1,65 и X = 1 в формулу (*), получим 1 - р = 0,5 - Ф (1,65 - 1) = 0,5 - Ф (0,65). По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Ф (0,65) = 0,2422. Искомая мощность 1 - р = 0,5 - 0,2422 = 0,2578. 2) Для отыскания «нового» объема выборки п\, при котором мощность критерия равна 0,6, найдем «новое» значение параметра X (обозначим его через Х\) из соотношения 0,6 = 0,5-Ф (1,65-Х\). Отсюда - 1,65) = 0,1. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Xi - - 1,65 = 0,253. Следовательно, Xi = 1,903. Учитывая, что Xi = (а\ - ао) л/п\/о, причем, по условию, а\ = 3, а0 = 2, о = 4, получим 1,903 = (3 - 2) л/щ/4. Отсюда искомый объем выборки щ =58. в) По выборке объема п = 9, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квад- ратическим отклонением а = 4, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Но', а = ао = 15 о равенстве
13.6. Сравнение выборочной средней с ... генеральной средней ... 273 генеральной средней а гипотетическому значению ао = 15 при конкурирующей гипотезе а > 15. Требуется: 1) найти мощность правостороннего критерия для гипотетического значения генеральной средней а = а\ = 17; 2) найти объем выборки п\у при котором мощность критерия равна 0,8. 577. а) По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квад- ратическим отклонением о, найдена выборочная средняя х. При уровне значимости а требуется найти функцию мощности критерия проверки нулевой гипотезы Hq. а = аоо равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао при конкурирующей гипотезе Н\\а-а\ * а^. Решение. Конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф ао, поэтому критическая область — двусторонняя. Используя правило 1, найдем критическую точку мкр из равенства Ф(мкр) = (1 - а)/2. Следовательно, двусторонняя критическая область определяется неравенством | UKp | > мкр, или подробнее о/л/п > и кр- Найдем мощность рассматриваемого критерия, т.е. вероятность попадания критерия в критическую область при допущении, что справедлива конкурирующая гипотеза а-а\Ф а^\ 1-В = - х-а0 о/л/п р; а-ах Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля: х - а\ где Ъ = -=гУ К = о/ уп 1 - (3 = Р(\Ь + о/ л/п о/ -у/л а\ - . Используя эти соотношения, получаем о/ уп | > мкр) = Р(Ь мкр) -мкр) = икр -Х) = = [ 1 - Р ф < икр - X.)] + Р ф < - икр - X) = Таким образом, мощность двустороннего критерия при а - а\ равна V 1р=1 гдеХ =
274 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Каждому значению а\ соответствует определенное значение мощности, поэтому мощность критерия есть функция от а\, обозначим ее через л2 (а\). Итак, искомая мощность двустороннего критерия я2 (fli) = 1 - [Ф(wKp - X) + Ф(мкр +Х)]у где Ф(х) — функция Лапласа, X = (а\ - ао)л/п/о, икр находят из равенства Ф (икр = (1 - а)/2. б) По выборке объема п = 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квад- ратическим отклонением а = 5, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Щ: а = а0 = 20 о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению до = 20 при конкурирующей гипотезе Н\\ а Ф 20. Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней а\ = = 24. Решение. Используем формулу 1 - Р = 1 - [Ф(икР - X) + Ф(ккр + X)]. (•) По правилу 1 найдем критическую точку икр - 1,96. Вычислим Xt учитывая, что, по условию а\ = 24, а0 = 20» л = 16, X = (fli - д0) V^/a = (24 - 20) VT6/5 = 3,2. Подставив мкр = 1,96 и X = 3,2 в формулу (*), получим 1 - Р = 1 - [Ф(1,96 - 3,2) + Ф(1,96 + 3,2)] = 1 +Ф(1,24) - О(5,16). По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Ф(1,24) = 0,3925, Ф(5,16) = 0,5. Искомая мощность 1 - Р = 1 + + 0,3925 - 0,5 = 0,8925. в) По выборке объема п = 36, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квад- ратическим отклонением о = 6, при уровне значимости 0,01 проверяется нулевая гипотеза Но: а = а0 = 15 при конкурирующей гипотезе Н\\аф а0. Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней а = а\ = 12. 578. а) По выборочной медиане X при уровне значимости а проверяется нулевая гипотеза #о: а = а$ о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао при конкурирующей гипотезе Н\\аФ ао- Найти функцию мощности лз (я0 рассматриваемого двустороннего критерия.
13.6. Сравнение выборочной средней с ... генеральной средней ... 275 Указание. При больших значениях объема выборки выборочная медиана X распределена приближенно нормально с математическим ожиданием М(Х) и средним квадратическим отклонением —= л —. у/п V 2 б) По выборке объема п = 50, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о = 5, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н0:а = oq = 18 о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению яо = 18 при конкурирующей гипотезе Н\. а Ф 18. Сравнить мощности двусторонних критериев л 2 (oi) и яз (а\) при а\ - 20. Можно ли предвидеть результат сравнения мощностей, не производя вычислений? Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину ■ ' 4 m где S = Л| — ^=т исправленное среднее квадра- 1 л - 1 тическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента с к = п - 1 степенями свободы. Правило 1.Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Hq: a = ао о равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению ао при конкурирующей гипотезе Н\:аФ ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы к-п-\ найти критическую точку *двуст. кр (в; л). Если | Г„абл I < 'двуст. кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если \ Тнг^л \ > tAByCT. кр ~~ нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н\. а > ао по уровню значимости а, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы к - п - 1 находят критическую точку Гправост. кр (а; к) правосторонней критической области. Если Т^набл < 'правост. кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Гнабл > 'правост. кр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н\. а < ао сначала находят «вспомогательную» критическую точку (по правилу 2)
276 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 'правост. кр(а;*) и полагают границу левосторонней критической области глев. кр = -'правост. кР- Если Г„абл > -/прав, кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если ГнабЛ < -*правост. кр ~ нулевую гипотезу отвергают. 579. а) По выборке объема п = 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя х = 118,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 3,6. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яо: а = ао = 120 при конкурирующей гипотезе Н\\а* 120. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия _ (х-ао)л/Л _ 118,2- 120У1б _ Iнабл — — 7TZ — ~2- S 3,6 По условию конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а0, поэтому критическая область — двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы £ = л - 1 = = 16-1 = 15 находим критическую точку гДВуст. кР (0,05; 15) = 2,13. Так как | Гнабл I < 'двуст. кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, выборочная средняя х - 118,2 незначимо отличается от гипотетической генеральной средней ао = 120. б) Решить эту задачу, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н\\ а < а0 = 120. 580. Проектный контролируемый размер изделий, изготовляемых станком-автоматом, а = а0 = 35 мм. Измерения 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты: контролируемый размер *,- 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3 частота (число изделий) щ 2 3 4 6 5 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яо: а = ао = 35 при конкурирующей гипотезе Нх:аФЪ5. Решение. Найдем средний размер изделий выборки: - _ TdniXi _ 2 • 34,8 + 3 - 34,9 + 4 ■ 35,0 + 6 • 35,1 + 5 • 35,3 _ п 20 - . • Найдем исправленную дисперсию. Для упрощения расчета перейдем к условным вариантам щ = Юдг, - 351. В итоге получим распределение:
13.7. Сравнение ... совокупностей с неизвестными дисперсиями ... 277 щ -3 -2 -1 0 2 л,- 2 3 4 6 5' Найдем исправленную дисперсию условных вариант 2 __ 1п _ 54-[-6]2/20 _ *«~ я_! " 19 "А/4Л Следовательно, исправленная дисперсия первоначальных вариант 4 = 2,747/102=0,027. Отсюда «исправленное» среднее квадратическое отклонение sx= VO527 = 0,16. Найдем наблюдаемое значение критерия: ^ (х-ао)л& (35,07-35,0) V20 Гнабл = ; = — = 1,96. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф ао, поэтому критическая область — двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы £ = «-1=20-1 = 19 находим критическую точку ГдВуст. кр (0,05; 19) = 2,09. Так как Гнабл < гдвуст. кР - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, станок обеспечивает проектный размер изделий. 13.7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки) Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Из этих совокупностей извлечены зависимые выборки одинакового объема /г, варианты которых соответственно равны х, и у,. Введем следующие обозначения: Ф = Xi - yt — разности вариант с одинаковыми номерами, d - V di/n — средняя разностей вариант с одинаковыми номерами, л-1 ческое отклонение. — «исправленное» среднее квадрати-
278 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Щ: М(Х) - М (Y) о равенстве двух средних нормальных совокупностей XuYc неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе Н\: М(Х) Ф M(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия: _ Унабл = d • y/n/sd и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = п - 1 найти критическую точку 'двуст. кР (а; *)• Если | Г„абл I < 'двуст. кр — wem оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если \ Тн&^л \ > tABycT. кр — нулевую гипотезу отвергают. 581. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра): X] =2, х2 = 3, jc3 = 5, *4 = 6, *5 = 8, х6 = 10, У\ = Ю, уг = 3, уз = 6, у4 = 1, у5 = 7, у6 = 4. При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально. Решение. Найдем разности dt - дг, -у,; вычитая из чисел первой строки числа второй, получаем: d{ = -8, d2 = 0, йъ = -1, d4 = 5, d5 = 1, d6 = 6. Найдем выборочную среднюю, учитывая, что V dx■ = 3: d = = 3/6 = 0,5. Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение sdt учитывая, что V df = 127 и V d/ = 3: 127-9/6=V25l /127- Найдем наблюдаемое значение критерия: Гнабл = d • yfi/sd = 0,5 • VS/ VSJ = 0,24. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы А: = л-1 =6-1=5 находим критическую точку tAByCTm кр (0,05; 5) = 2,57.
13.7. Сравнение ... совокупностей с неизвестными дисперсиями ... 279 Так как Тна^л < /ДВуСт. кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо. 582. На двух аналитических весах, в одном и том же порядке, взвешены 10 проб химического вещества и получены следующие результаты взвешиваний (в мг): х( 25 30 28 50 20 40 32 36 42 38 у( 28 31 26 52 24 36 33 35 45 40* При уровне значимости 0,01 установить, значимо или незначимо различаются результаты взвешиваний, в предположении, что они распределены нормально. 583. Физическая подготовка девяти спортсменов была проверена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах оказались следующими (в первой строке указано число баллов, полученных каждым спортсменом при поступлении в школу; во второй строке — после обучения): Xi 76 71 57 49 70 69 26 65 59 у,- 81 85 52 52 70 63 33 83 62' Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число баллов распределено нормально. 584. Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ восьми проб двумя методами. Получены следующие результаты (в первой строке указано содержание некоторого вещества в процентах в каждой пробе, определенное первым методом; во второй строке — вторым методом): Xi 15 20 16 22 24 14 18 20 у,- 15 22 14 25 29 16 20 24* Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нормально. 585. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке, определяли содержание углерода в 13 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты анализов (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке — второй лабораторией):
280 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез *, 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0,19 0,32 0,27 у,- 0,16 0,09 0,08 0,05 0,13 0,10 0,14 0,30 0,31' Xi 0,22 0,34 0,14 0,46 у,- 0,24 0,28 0,11 0,42' Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализа в предположении, что они распределены нормально. 13*8* Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события Пусть по достаточно большому числу п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, но неизвестна, найдена относительная частота /и/л. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетической вероятности ро. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Щ: р = ро о равенстве неизвестной вероятности р гипотетической вероятности р0 при конкурирующей гипотезе Н\: р ± ро, надо вычислить наблюдаемое значение критерия - рр] у/п и по таблице функции Лапласа найти критическую точку мкр из равенства Если | £/Набл | < мкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | £/набл I > мкр ~ нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н\: р > ро находят критическую точку правосторонней критической области из равенства Если £/набл < мкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/Набл > мКр — нулевую гипотезу отвергают.
13.8. Сравнение ... частоты с гипотетической вероятностью ... 281 Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н\. р < ро находят сначала «вспомогательную»' критическую точку мкр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области и'кр = -мкр . Если С/набл > -«кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/Набл < -мкр — нулевую гипотезу отвергают. Замечание. Удовлетворительные результаты обеспечивает выполнение неравенства npoqo > 9. 586. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота т/п = 0,14. При уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Яо: р = ро = 0,20 при конкурирующей гипотезе Н\:рФ 0,20. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия, учитывая, что <?о = 1 - Ро = 1 ~ 0,20 = 0,80: (т/п-р0). yfii (0,14-0,20)- УТРО t/набл = . = . = -1,5. Vwo V0,20.0,80 По условию конкурирующая гипотеза имеет вид р * ро, поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем критическую точку икр по равенству Ф (икр) = О - а)/2 = (1 - 0,05)/2 = 0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим «кр = 1,96. Так как | £/Набл I < "кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, наблюдаемая относительная частота 0,14 незначимо отличается от гипотетической вероятности 0,20. 587. Решить задачу 586 при конкурирующей гипотезе Нх:р<р0. Решение. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид р < < ро, поэтому критическая область — левосторонняя. Найдем сначала «вспомогательную» точку — границу правосторонней критической области из равенства (правило 2) Ф (икр) = (1 " 2а)/2 = (1 - 2 ■ 0,05)/2 = 0,45. По таблице функции Лапласа находим мкр = 1,645. Следовательно, граница левосторонней критической области и'кр = -1,645. Так как £/набл > и'кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (правило 3).
282 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 588. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,02. Среди случайно отобранных 480 изделий оказалось 12 дефектных. Можно ли принять партию? Решение. Нулевая гипотеза Щ имеет вид р - ро = 0,02. Найдем относительную частоту брака: т/п = 12/480 = 0,025. Примем в качестве конкурирующей гипотезы Н\\ р > 0,02 и уровень значимости а = 0,05. Найдем наблюдаемое значение критерия: „ (т/п-ро)- у/Л (0,025-0,02)- V480 ^набл = . = 7=- yfPoqo V0,02 • 0,98 По условию конкурирующая гипотеза имеет вид р > ро, поэтому критическая область — правосторонняя. Найдем критическую точку мкр правосторонней критической области из равенства (правило 2) По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим «кр = 1,645. Так как £/набл < икр — нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что вероятность брака в партии не превышает 0,02. Таким образом, партию можно принять. 589. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию? Указание. Принять нулевую гипотезу Но', р = Ро = 0,03, а в качестве конкурирующей И\\р> 0,03; уровень значимости а = 0,05. 590. Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность тога, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась значимо эффективнее первой? Указание. Принять нулевую гипотезу Щ: р = р0 = 0,08, а в качестве конкурирующей Н\.р> 0,08; уровень значимости а = 0,05.
13.9. Сравнение нескольких дисперсий ... Критерий Барт лота 283 591. В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство А, равна 0,8. Новое лекарство В назначено 800 больным, причем 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимо эффективнее лекарства А на пятипроцентном уровне значимости? Указание. Принять Hq\ р = 0,8; Н\\ рФ 0,8. 13.9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта Пусть генеральные совокупности Х\, Хг, ..., X/ распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов щ (некоторые объемы могут быть одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена, который приведен в следующем параграфе). По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии s\y s\t..., sf. Требуется при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, т.е. гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий: Яо Введем обозначения: fc, = л,- - 1 — число степеней свободы дисперсии sj; к = /_*&/ — сумма чисел степеней свободы; s2 = = V kisf \ I к — средняя арифметическая исправленных дисперсий, взвешенная по числам степеней свободы; V = 2,303 С= 1 + —
284 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез В = V/C — случайная величина (критерий Бартлетта), которая при условии справедливости гипотезы об однородности дисперсий распределена приближенно как х2 с / - 1 степенями свободы, если объем каждой выборки щ > 4. Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта #набл = У/С и по таблице критических точек распределения х2, по уровню значимости а и числу степеней свободы 1-Х (I — число выборок) найти критическую точку ХкР (а; / - 1) правосторонней критической области. Если #Набл < Хкр ~~ нет ос~ нований отвергнуть нулевую гипотезу. Если #Набл > Хкр ~~ нулевую гипотезу отвергают. Замечание 1. Не следует торопиться вычислять постоянную С. Сначала надо найти V и сравнить с х2кр> если окажется, что V < х^р, то подавно (так как С > 1) В = VIС < ХкР и» следовательно, С вычислять не нужно. Если же V > Хкр, то надо вычислить С и затем сравнить В с х«р. Замечание 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам, полученным по этому критерию, надо относиться осторожно. Замечание 3. При условии однородности дисперсии в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы: 592. По трем независимым выборкам, объемы которых п\ - 9, пг = 13 и /2з = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 3,2; 3,8 и 6,3. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий. Решение. Составим расчетную табл. 10 (столбец 8 пока заполнять не будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычислять С). Используя расчетную таблицу, найдем: ^ = СЕ kiS$ /k = 159'4/34 = 4>688' Jg ^ = 0,6709; V = 2,303 [* lg 7 = Yj *' JS *?] = 2>303 f34' °>6709 ~ 22>l 886J = 2'43- По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы / - 1 =3-1 =2 находим критическую точку х£р(0,05;2) = 6Д
13.9. Сравнение нескольких дисперсий ... Критерий Бартлетта 285 Таблица 10 1 Номер выборки 1 1 2 3 I 2 Объем выборки Я/ 9 13 15 3 Число степеней свободы ki 8 12 14 к = 34 4 Исправленные дисперсии *? 3,2 3,8 6,3 5 25,6 45,6 88,2 159,4 6 Ig*? 0,5051 0,5798 0,7993 7 */lgJ? 4,408 6,9576 11,1902 22,1886 8 1/*/ Так как У < ХкР> то подавно (поскольку С > 1) £„абл = V/C < < ХкР и> следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований. Другими словами, выборочные дисперсии различаются незначимо. 593. По данным задачи 592 требуется оценить генеральную дисперсию рассматриваемых генеральных совокупностей. Решение. Поскольку в результате решения предыдущей задачи установлена однородность дисперсий, то в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы: D*r = 7 = S?) Ik = 159,4/34 * 4,7. 594. Можно ли воспользоваться критерием Бартлетта для проверки гипотезы об однородности дисперсий по выборкам объема п\ = 3, пг = 2, и3 = 20? 595. По четырем независимым выборкам, объемы которых п\ - 17, п-i = 20, «з = 15, щ = 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 2,5; 3,6; 4,1; 5,8. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию. 596. Четыре исследователя параллельно определяют процентное содержание углерода в сплаве, причем первый исследователь произвел анализ 25 проб, второй — 33, третий —
286 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 29, четвертый — 33 проб. «Исправленные» выборочные средние квадратические отклонения оказались соответственно равными 0,05; 0,07; 0,10; 0,08. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий, в предположении, что процентное содержание углерода в сплаве распределено нормально. Указание. Для упрощения вычислений принять г, = 1005,. 597. Сравниваются четыре способа обработки изделий. Лучшим считается тот из способов, дисперсия контролируемого параметра которого меньше. Первым способом обработано 15, вторым — 20, третьим — 20, четвертым — 14 изделий. Исправленные выборочные дисперсии соответственно равны: 0,00053; 0,00078; 0,00096; 0,00062. Можно ли отдать предпочтение одному из способов при уровне значимости 0,05? Предполагается, что контролируемый параметр распределен нормально. Указание. Для упрощения вычислений принять г? = 100 0005?. 598. Требуется сравнить точность обработки изделий на каждом из трех станков. С этой целью на первом станке было обработано 20, на втором — 25, на третьем — 26 изделий. Отклонения X, Y и Z контролируемого размера от заданного оказались следующими (в десятых долях мм): отклонения для изделий первого станка jc, 2 4 6 8 9. частота л,- 5 6 3 2 4' отклонения для изделий второго станка у, 12 3 5 7 8 12. частота /и, 2 4 4 6 3 5 1 ' отклонения для изделий третьего станка г/ 2 3 4 7 8 10 14 частота #35463 2 3 ' а) Можно ли считать, что станки обеспечивают одинаковую точность при уровне значимости 0,05 в предположении, что отклонения распределены нормально? б) Исключив из рассмотрения третий станок (дисперсия отклонений этого станка — наибольшая), с помощью критерия Фишера—Снедекора убедиться, что первый и второй станки обеспечивают одинаковую точность обработки изделий.
13.10. Сравнение нескольких дисперсий ... Критерий Кочрена 287 13.10. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена Пусть генеральные совокупности Хь Хг, ..., X/ распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены / независимых выборок одинакового объема л и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии , все с одинаковым числом степеней свободы к = п - 1. Требуется при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, т.е. гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий: Но: D(X,) = D(X2) = ... = D(X/). В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий: G= Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы к - п - 1 и количества выборок /. Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область. Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия <?набл = sljis] + s\ + . .. 4- s}) и по таблице критических точек распределения Кочрена (см. приложение 8) найти критическую точку GKp (а; к; Г). Если бНабл < < Окр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если бнабл > > GKp — нулевую гипотезу отвергают. Замечание. При условии однородности дисперсий независимых выборок одинакового объема в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дисперсий. 599. По четырем независимым выборкам одинакового объема п = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,21; 0,25; 0,34; 0,40.
288 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя); б) оценить генеральную дисперсию. Решение, а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочре- на — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий: Сабл = 0,40/(0,21 + 0,25 + 0,34 + 0,40) = ^. Найдем по таблице критических точек распределения Кочрена (см. приложение 8) по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы £ = л-1 = 17-1 = 16и числу выборок / = 4 критическую точку GKP (0,05; 16; 4) = 0,4366. Так как £набл < GKp ~ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо. б) Поскольку однородность дисперсий установлена, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дисперсий: D; = (0,21 + 0,25 + 0,34 + 0,40)/4 = 0,3. 600. По шести независимым выборкам одинакового объема п = 37, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,34; 2,66; 2,95; 3,65; 3,86; 4,54. Требуется проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий: а) при уровне значимости 0,01; б) при уровне значимости 0,05. 601. Доказать, что наблюдаемое значение критерия Кочрена не изменится, если все исправленные дисперсии умножить на одно и то же постоянное число. 602. По пяти независимым выборкам одинакового объема п = 37, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены «исправленные» средние квадратиче- ские отклонения: 0,00021; 0,00035; 0,00038; 0,00062; 0,00084. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий. Указание. Умножить предварительно все средние квадратические отклонения на 105. 603. Четыре фасовочных автомата настроены на отвешивание одного и того же веса. На каждом автомате отвесили по 10 проб, а затем эти же пробы взвесили на точных
13.10. Сравнение нескольких дисперсий ... Критерий Кочрена 289 весах и нашли по полученным отклонениям исправленные дисперсии: 0,012; 0,021; 0,025; 0,032: а) можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что автомат обеспечивают одинаковую точность взвешивания? б) оценить генеральную дисперсию. Предполагается, что отклонения зарегистрированного веса от требуемого распределены нормально. 604. Каждая из трех лабораторий произвела анализ 10 проб сплава для определения процентного содержания углерода, причем исправленные выборочные дисперсии оказались равными 0,045; 0,062; 0,093: а) требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию. Предполагается, что процентное содержание углерода в сплаве распределено нормально. 605. Проверяется устойчивость (отсутствие разладки) работы станка по величине контролируемого размера изделий. С этой целью каждые 30 мин отбирали пробу из 20 изделий; всего взяли 15 проб. В итоге измерения отобранных изделий были вычислены исправленные дисперсии (их значения приведены в табл. 11). Таблица 11 Номер пробы 1 2 3 4 5 Исправленная дисперсия 0,082 0,094 0,162 0,143 0,121 Номер пробы 6 7 8 9 10 Исправленная дисперсия 0,109 0,121 0,094 0,156 0,110 Номер пробы 11 12 13 14 15 Исправленная дисперсия 0,112 0,109 0,110 0,156 0,164 Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что станок работает устойчиво (разладка не произошла)? Предполагается, что контролируемый размер изделий распределен нормально. Указание. Используя таблицу приложения 8, выполнить линейную интерполяцию. 10 Зак. 1296
290 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 13.11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений Пусть в двух генеральных совокупностях производятся независимые испытания: в результате каждого испытания событие А может появиться в первой совокупности с неизвестной вероятностью рь а во второй — с неизвестной вероятностью р2. По выборкам, извлеченным из первой и второй совокупностей, найдены соответственные частоты: 0)1 (А) = ТП\1П\ И 0)2 (А) = Ш2/п2у где т\, /л2 — числа появлений события А; щ, п2 — количества испытаний. В качестве оценок неизвестных вероятностей примем относительные частоты: р\ ^ щ и р2 ^ о)2. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что вероятности р\ и pi равны между собой: Щ: р\ = р2. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются относительные частоты o)i и о)2. Предполагается, что выборки имеют достаточно большой объем. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Щ: р\ = /?2 = Р ° равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющих биномиальные распределения) при конкурирующей гипотезе Н\:р\ ± рг, надо вычислить наблюдаемое значение критерия т\1п\ -т2/п2 Ь'набл = \т\ + т2 L _ mi +m2\ M _1\ \ пх +п2 \ ni+n2j [щ п2) и по таблице функции Лапласа найти критическую точку икр по равенству Ф(икр) = (1 - а)/2. Если \ £/набл I < «кр — «w* оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если \ 17набл I > "кР — нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н\: р\ > р2 находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф (мКр) = (1 - а)/2. Если £/Набл < икр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/набл > икр — нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н\: р\ < р2 находят критическую точку икр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области икр = -икр. Если £/набл > -Икр —
13.11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений 291 нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/набл < -иКр — нулевую гипотезу отвергают. 606. За смену отказали 15 элементов устройства 1, состоящего из 800 элементов, и 25 элементов устройства 2, состоящего из 1000 элементов. При уровне значимости а = = 0,05 проверить нулевую гипотезу Но: р\ = рг = р о равенстве вероятностей отказа элементов обоих устройств при конкурирующей гипотезе Н\\ р\ Ф р2. Решение. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид р\ ± ± Р2у поэтому критическая область двусторонняя. Найдем наблюдаемое значение критерия: - т2/п2 \т\ + т2 L _ пц+т2\ (\_ + J_\ \ щ + п2 \ щ +п2 ) \п\ п2) Подставив mi = 15, щ - 800, т2 = 25, п2 = 1 000, получим f/набл = -0,89. Найдем критическую точку по равенству Ф(икр) = (1 - а)/2 = (1 - О,О5)/2 = 0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Икр = 1,96. Так как |£/Набл1 < икр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, вероятности отказа элемента обоих устройств различаются незначимо. 607. В партии из 500 деталей, изготовленных первым станком-автоматом, оказалось 60 нестандартных; из 600 деталей второго станка 42 нестандартных. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Щ: р\ = р2 = р о равенстве вероятностей изготовления нестандартной детали обоими станками при конкурирующей гипотезе Н\. р\ Ф ±Рг. 608. Для оценки качества изделий, изготовленных двумя заводами, взяты выборки п\ = 200 и п2 = 300 изделий. В этих выборках оказалось соответственно т\ = 20 и т2 = 15 бракованных изделий. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яо: р\ = р2 = р о равенстве вероятностей изготовления бракованного изделия обоими заводами при конкурирующей гипотезе Н\\ р\ > р2. Указание. Построить правостороннюю критическую область.
292 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 609. Из 100 выстрелов по цели каждым из двух орудий зарегистрировано соответственно т\ = 12 и тг = 8 промахов. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Но'. р\ = рг- ро равенстве вероятностей промаха обоих орудий при конкурирующей гипотезе Н\\ р\ Ф рг. 13.12. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции Пусть двумерная генеральная совокупность (X, Y) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и по ней найден выборочный коэффициент корреляции гв Ф 0. Требуется проверить нулевую гипотезу Щ: гГ = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что X и У некоррелированы, в противном случае — коррелированы. Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Н\: гГ Ф 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Т'набл = и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к = п - - 2 найти критическую точку tKp (a; k) двусторонней критической области. Если \ Гнабл I < 'кр ~ нет основании отвергнуть нулевую гипотезу. Если \ Гнабл I > *кР — нулевую гипотезу отвергают. 610. По выборке объема п - 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, У), найден выборочный коэффициент корреляции гв = 0,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н\\гГФ 0. Решение. Найдем наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия: = гъ -у]п-2/
13.12. ... о значимости выборочного коэффициента корреляции 293 По условию конкурирующая гипотеза имеет вид гг ± 0, поэтому критическая область — двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы к - п - 2 = = 100 - 2 = 98 находим критическую точку двусторонней критической области гкр (0,05; 98) = 1,99. Так как Гнабл > *кр — отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно, ХиУ коррелированы. 611. По выборке объема п = 62, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, Y)y найден выборочный коэффициент корреляции гв = 0,3- Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н\: гг Ф 0. 612. По выборке объема п = 120, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, У), найден выборочный коэффициент корреляции гв = 0,4. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н\.ггФ 0. 613. По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, У), составлена корреляционная табл. 12. Таблица 12 Y 35 45 55 65 75 пх X 10 5 - - - - 5 15 1 6 - - - 7 20 - 2 5 2 - 9 25 - - 40 8 4 52 30 - - 5 7 7 19 35 - - - - 8 8 пу 6 8 50 17 19 п= 100 Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую ги-
294 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез потезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе Н\\ггФ 0. Решение, а) Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам u V( = (у, - С2)/Л2, где С\ и Сг — ложные нули (в качестве ложного нуля выгодно взять варианту, расположенную примерно в середине вариационного ряда; в данном случае принимаем С\ - 25, Сг - 5; h\ = ui+\ - uif т.е. разность между двумя соседними вариантами (шаг); кг = ty+i - -Щ- Практически корреляционную таблицу в условных вариантах составляют так: в первой строке вместо ложного нуля С\ = 25 пишут нуль; слева от нуля пишут последовательно -1, -2, -3, а справа от нуля записывают 1, 2, 3. Аналогично, в первом столбце вместо ложного нуля Сг - 55 записывают нуль; над нулем пишут последовательно -1, -2, -3, а под нулем 1, 2, 3. Частоты переписывают из корреляционной таблицы в первоначальных вариантах. В итоге получают корреляционную табл. 13. Таблица 13 V -2 -1 0 1 2 и -3 5 - - - - 5 -2 1 6 - - - 7 -1 - 2 5 2 - 9 0 - - 40 8 4 52 1 - - 5 7 7 19 2 - - - - 8 8 Пи 6 8 50 17 19 п = 100 Воспользуемся формулой для вычисления выборочного коэффициента корреляции в условных вариантах: Гв = Вычислив входящие в эту формулу величины и, у, ои, о„ методом произведений или непосредственным расчетом, получим: м = = -0,03; и = 0,35; ои = 1,153; а, = 1,062. Пользуясь расчетной таблицей (см. задачу 535, табл. 7), найдем = 99.
13.12. ...о значимости выборочного коэффициента корреляции 295 Следовательно, выборочный коэффициент корреляции uuv -nuv 99 - 100 • (-0,03) • 0,35 nouov 100 1,153 1,062 = 0,817. б) Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Вычислим наблюдаемое значение критерия: •*набл — = 14,03. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид гг ± 0, поэтому критическая область — двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы & = л - 2 = 100-2 = 98 находим критическую точку двусторонней критической области /Кр (0,05; 98) = 1,99. Так как Тна£Л > tKp, нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергаем. Другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно, X и У коррелированы. 614. По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, У), составлена корреляционная табл. 14. Таблица 14 Y ПО 120 130 140 150 пх X 2 2 - - - - 2 7 4 6 - - - 10 12 - 2 3 1 - 6 17 - - 50 10 4 64 22 - - 2 6 7 15 27 - - - - 3 3 Пу 6 8 55 17 14 л= 100 Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции гг при конкурирующей гипотезе Н\\гтФ 0. Указание. Перейти к условным вариантам и, = (*,- - 17)/5, и, = (у, - - 130)/10.
296 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 615. По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (Ху Y)> составлена корреляционная табл. 15. Таблица 15 Y 65 70 75 80 85 90 95 пх X 12 - - - - - 1 1 2 22 - - - - 4 5 2 11 32 - - 2 1 6 8 6 23 42 - - 7 25 - 2 - 34 52 10 - 4 - 1 - - 15 62 6 4 2 - - - - 12 72 2 1 - - - - - 3 Пу 18 5 15 26 11 16 9 п = = 100 Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,001 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции гг при конкурирующей гипотезе Н\: гг Ф 0. Указание. Перейти к условным вариантам м, = (*, - 42)/10, у, = (у, - - 80)/5. 616. По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, У), получена корреляционная табл. 16. Таблица 16 Y 35 45 55 65 75 пх X 100 4 5 6 - 5 20 105 - 5 7 6 1 19 ПО 6 2 - 5 2 15 115 7 10 - 4 4 25 120 8 - 2 - 3 13 125 3 - 3 2 - 8 Пу 28 22 18 17 15 л= 100 Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую ги-
13.13. ... о значимости... ранговой корреляции Спирмена 297 потезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции гг при конкурирующей гипотезе Н\.гг Ф 0. Указание. Перейти к условным вариантам щ = (д:, - 115)/5, у, = (у, - -45)/10. 13.13. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена Пусть генеральная совокупность состоит из объектов, которые обладают двумя качественными признаками: А и В. Из этой совокупности извлечена выборка объема л, и по ней найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв Ф 0 (см. 12.3, А). Требуется проверить нулевую гипотезу Яо: рг = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что между признаками А и В нет значимой ранговой корреляционной связи (выборочный коэффициент рв незначим); в противном случае между признаками имеется значимая ранговая корреляционная связь (выборочный коэффициент рв значим). Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции рг Спирмена при конкурирующей гипотезе Н\: рг Ф 0, надо вычислить критическую точку Ткр = tKp (а, к) где п — объем выборки; рв — выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена; гкр (а, к) — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а и числу степеней свободы к-п-2. Если | рв I < Ткр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если \ рв | > Гкр — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.
298 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 617. В задаче 540 по выборке объема п = 10 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,64 между оценками знаний студентов по двум тестам. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, требуется проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам. Решение. Найдем критическую точку двусторонней критической области распределения Стьюдента по уровню значимости а = = 0,01 и числу степеней свободы £ = л-2=10-2 = 8 (см. приложение 6): гкр (0,01; 8) = 3,36. Найдем критическую точку. Итак, Гкр = 0,92, рв = 0,64. Так как рв < Гкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая. 618. В задаче 541 по выборке объема п = 12 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,92 между оценками, выставленными одним и тем же учащимся двумя преподавателями. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, требуется проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками двух преподавателей. 619. В задаче 542 по выборке объема п = 13 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,75 между правильными рангами оттенков цветов и рангами, которые им присвоил испытуемый. При уровне значимости 0,02 проверить, значим ли найденный коэффициент ранговой корреляции Спирмена. 620. В задаче 543 по выборке объема п = 9 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,73 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
13.14. ... о значимости ... ранговой корреляции Кендалла 299 621. В задаче 544 по выборке объема п = И вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,82 между двумя последовательностями рангов, установленными специалистами двух заводов при ранжировании факторов, влияющих на ход технологического процесса. При уровне значимости 0,01 проверить, значима ли ранговая корреляционная связь между последовательностями рангов. 622. По выборке объема п = 42 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,6 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,02 проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена. 13.14. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла Пусть генеральная совокупность состоит из объектов, которые обладают двумя качественными признаками: А и В. Из этой совокупности извлечена выборка объема п, и по ней найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла хг Ф 0 (см. 12.3, Б). Требуется проверить нулевую гипотезу Hq: тг = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла. Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что между признаками Аи В нет значимой ранговой корреляционной связи (выборочный коэффициент хв незначим); в противном случае между признаками имеется значимая ранговая корреляционная связь (выборочный коэффициент хв значим). Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н\: хв Ф 0, надо вычислить критическую точку где п — объем выборки;гкр — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Ф (zKp) = (1 - а)/2.
300 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Если | тв I < Гкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима. Если | тв | > Гкр — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. 623. В задаче 548 по выборке объема п - 10 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла хв = 0,47 между оценками знаний студентов по двум тестам. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла. Другими словами, требуется проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам. Решение. Найдем критическую точку гкр: Ф(гкр) = (1 - а)/2 = (1 - 0,05)/2 = 0,475. По таблице Лапласа (см. приложение 2) находим zKp = 1,96. Найдем критическую точку: 5) , _ /2(2-10 + 5) 10(10- 1) Итак, Гкр = 0,49, тв = 0,47. Так как тв < Гкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая. 624. В задаче 549 по выборке объема п = 10 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла тв = 0,78 между оценками качества деталей, которые были выставлены двумя контролерами. При уровне значимости 0,01 проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками двух контролеров. 625. По выборке объема п = 13 найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла тв = 0,54 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,05 проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между последовательностями рангов. 626. По выборке объема п = 20 найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла хв = 0,24 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,01 проверить, является ли значимой ранговая корреляция между последовательностями рангов.
13.15. ... об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона 301 13.15. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности независимых выборок х\,Х2,...,хП1иу],у2,~.,Уп2ъ предположении, что X и Y — непрерывные случайные величины. Нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через х) функции распределения равны между собой: Конкурирующие гипотезы: f i (*) Ф F2 (х), F, (х) < F2 (дг), F, (х) > F2 (x). Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы Н\\ F\ (x) < < F2 (х) означает, что X > Y. Аналогично, если справедлива конкурирующая гипотеза Н{: Fx (x) > F2 (х), то X < У. Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) второй: п\ ^ п2; если это не так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами). А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25. Правило 1. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Щ: F\ (x) = F2 (x) об однородности двух независимых выборок объемов п\ип2{п\<, п2) при конкурирующей гипотезе Н\: F\ (x) Ф F2 (x), надо: 1) расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т.е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду ^набл ~" сумму порядковых номеров вариант первой выборки; 2) найти по таблице нижнюю критическую точку сонижн. кр (Q,n\,n2), где Q = а/2; 3) найти верхнюю критическую точку по формуле кр = (Щ + П2 + 1)И1 - (Онижн. кр- Если u>nkr < И^набл < (*>верхн. кр — «^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если \Унабл < о)„Ижн. кр или И^набл > а)верхн. кР — нулевую гипотезу отвергают. 627. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Но'. F\ (jc) = F2 (x) об однородности двух выборок, объемы которых щ = 6, п^ - 1 (в первой строке приведены варианты первой выборки; во второй строке — варианты второй выборки):
302 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Xi 3 4 6 10 13 17 у,- 1 2 5 7 16 20 22' Принять в качестве конкурирующей гипотезу Н\: F\ (x) Ф *F2(x). Решение. Конкурирующая гапотеза имеет вид Н\: F\(x) Ф Ф F2 (х)} поэтому критическая область — двусторонняя. Расположим варианты обеих выборок в виде одного вариационного ряда и пронумеруем их: порядковый номер варианта 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 10 9 13 10 16 11 17 12 20 13 22 Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона — сумму порядковых номеров (они набраны курсивом) вариант первой выборки: И'набл =3 + 4 + 6 + 8 + 9+11=41. Найдем по таблице1 нижнюю критическую точку критической области, учитывая, что Q - 0,01/2 = 0,005, щ = 6, пг = 7: <*>нижн. кр (0,005; 6,7) = 24. Найдем верхнюю критическую точку: о>веРхн. кр = (я1+л2+1)/11-а)нижн. кР (6+7+1)6-24 = 60. Поскольку о)„„жн. кр < И'набл < а)верхн. кР(24 < 41 < 60) - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок. 628. Предложены два метода (А и В) увеличения выхода продукции. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об их одинаковой эффективности по двум выборкам объемов п\ = 6 и пг = 9 (в первой строке приведены проценты прироста продукции в каждом опыте па методу А; во второй строке — по методу В): х( 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 у,- 0,1 0,4 0,6 0,7 0,9 1,4 1,7 1,8 1,9' Принять в качестве конкурирующей гипотезу: эффективность методов А и В различна. 629. Производительность труда двух смен завода характеризуется выборками объемов щ = 9 и пг - 10: первая смена 28 33 39 40 41 42 45 46 47 вторая смена 34 40 41 42 43 44 46 48 49 52* 1 При решении задач 627-630 использовать таблицу, помещенную в приложении 11.
13.15. ... об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона 303 Используя критерий Вилкоксона, при уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу об одинаковой производительности обеих смен, приняв в качестве конкурирующей гипотезу: производительность труда смен различна. Указание. При вычислении наблюдаемого значения критерия Вилкоксона учесть, что ранги совпадающих вариант различных выборок равны среднему арифметическому порядковых номеров вариант в общем вариационном ряде, составленном из вариант обеих выборок. 630. Эффективность каждого из двух рационов (А и В) откорма скота характеризуется выборками объемов п\ = 10 и пг - 12 (в первой строке приведен вес (в кг) животных, которых откармливали по рациону А, во второй строке — по рациону В): xt 24 26 27 27 30 32 33 34 35 36 у,- 21 21 22 23 25 25 25 25 27 27 29 ЗГ Используя критерий Вилкоксона, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об одинаковой эффективности рационов А и В, приняв в качестве конкурирующей гипотезу: рацион А эффективнее рациона В (Н\: F\ (jc) < Указание. Критическая область — правосторонняя. Б. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы одной из выборок превосходит 25. 1. При конкурирующей гипотезе F\ (х) Ф Fi (x) нижняя критическая точка Юнижн. кр(£^»Я1»И2/ = (п, 4- Пп. -Х~ \\ . Пл 1 in. пщ. (п, Л. Ил _|_ 1 Ч (*) (П\ + «2 + О * И] - 1 _ П1Пг(П\ +П2 + 1) V 12 -скр ' где Q = а/2; гкр находят по таблице функции Лапласа с помощью равенства Ф (гкр) = (1 - а)/2; знак | а \ означает целую часть числа а. В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохраняется. 2. При конкурирующих гипотезах F\ (х) < Fi (х) и F\ (х) > F2 (x) нижнюю критическую точку находят по формуле (*), положив Q = - а; соответственно zKp находят по таблице функции Лапласа с помощью равенства Ф(гкр) = (1 - 2а)/2. В остальном правила 2-3, приведенные в п. А, сохраняются. 631. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов: щ = 40 и П2 = 50 при конкурирующей гипотезе Н\\ F\ (x) Ф
304 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез если известно, что в общем вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки И^набл = 1800. Решение. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид F] (х) = F2 (х), поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем гкр с помощью равенства Ф(гкр) = О - а)/2 = (1 - 0,05)/2 = 0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим £кР = 1,%. Подставив щ = 40, п2 = 50, гкр = 1,96, Q = 0,05/2 = = 0,025 в формулу кр\и;пип2) = I ! zKpyj- ^ ПОЛуЧИМ (0„ижн. кр = 1578. Найдем верхнюю критическую точку: о)верхн. кр = (п\ + п2 + + 1)п,-сониж„. кр = (40+50+1)40-1578 = 2062. Так как соНИжн. кР < < И^набл < wBepxH. кр(1578 < 1800 < 2062), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок. 632. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов: щ =40 и п2 = 60 при конкурирующей гипотезе Н\\ F\ (х) Ф F2(x), если известно, что в общем вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки Н^набЛ = 3020. 633. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов п\ = 25 и п2 = - 30 при конкурирующей гипотезе H\\F\ (jc) Ф F2 (x): варианты пер- 12 14 15 18 21 25 26 27 30 31 32 35 38 вой выборки 41 43 46 48 52 56 57 60 65 68 73 75; варианты вто- 11 13 16 17 19 20 22 23 24 26 28 29 рой выборки 33 34 36 37 39 40 42 44 45 47 49 51 53 55 58 61 63 66.
13.16. ... о нормальном распределении ... по критерию Пирсона 305 13.16. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона А. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот: Xi Х\ X2 ДС/у Щ П\ П2 Пн Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо: 1. Вычислить непосредственно (при малом числе наблюдений) или упрощенным методом (при большом числе наблюдений), например методом произведений или сумм, выборочную среднюю Зсв и выборочное среднее квадратическое отклонение ов. 2. Вычислить теоретические частоты nh () где п — объем выборки (сумма всех частот), h — шаг (разность между двумя соседними вариантами), Xi — Хв 1 _и2 п и,-= — ; Ф(м)= -=е u/z. Ов V2jt 3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого: а) составляют расчетную таблицу (см. табл. 18), по которой находят наблюдаемое значение критерия (и/ - п\)2 б) по таблице критических точек распределения %2, по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы k - s - 3 (s — число групп выборки) находят критическую точку х£р (ct; k) правосторонней критической области.
306 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Если Хнабл < Хкр ~~ нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно). Если Х„абл > &ф ~ гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. Замечание 1. Малочисленные частоты (л, < 5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле k = s - 3 следует в качестве s принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот. 634. Почему при проверке с помощью критерия Пирсона гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности число степеней свободы находят по формуле к = Решение. При использовании критерия Пирсона число степеней свободы к - s - 1 - г, где г — число параметров, оцениваемых по выборке. Нормальное распределение определяется двумя параметрами: математическим ожиданием а и средним квадрати- ческим отклонением а. Так как оба эти параметра оценивались по выборке (в качестве оценки а принимают выборочную среднюю, в качестве оценки а — выборочное среднее квадратическое отклонение), то г = 2, следовательно, к = s- \ -2 = s-3. 635. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема п = 200: xt 5 7 9 11 13 15 17 19 21 щ 15 26 25 30 26 21 24 20 13' Решение. 1. Используя метод произведений, найдем выборочную среднюю Зсв и выборочное среднее квадратическое отклонение ав = 4,695. 2. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что п = 200, h = = 2, ов = 4,695, по формуле nh 200 • 1 Составим расчетную табл. 17 (значения функции ф («) помещены в приложении 1).
13.16. ... о нормальном распределении ... по критерию Пирсона 307 Таблица 17 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 9 11 13 15 17 19 21 х, - хъ "' ов -1,62 -1,20 -0,77 -0,35 0,08 0,51 0,93 1,36 1,78 ф(М|) 0,1074 0,1942 0,2966 0,3752 0,3977 0,3503 0,2589 0,1582 0,0818 л; = 85,2-<р fa) 9,1 16,5 25,3 32,0 33,9 29,8 22,0 13,5 7,0 3. Сравним эмпирические и теоретические частоты, а) Составим расчетную табл. 18, из которой найдем наблюдаемое значение критерия Таблица 18 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Л/ 15 26 25 30 26 21 24 20 13 9,1 16,5 25,3 32,0 33,9 29,8 22,0 13,5 7,0 200 я, - п] 5,9 9,5 -0,3 -2,0 -7,9 -8,8 2,0 6,5 6,0 (п, -п\)2 34,81 90,25 0,09 4,00 62,41 77,44 4,00 42,25 36,00 3,8 5,5 0,0 0,1 1,8 2,6 0,2 3,1 5,1 Х2набл = 22>2 Из табл. 18 находим xLfin = 22,2.
308 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез б) По таблице критических точек распределения х2 (см. приложение 5), по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = s -3 = 9-3 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области х£р(0,05;6)=12,6. Так как х^абл > Хкр ~~ гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. 636. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема п - 200: xt 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 щ 6 9 26 25 30 637. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами щ и теоретическими частотами п\у которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X. щ 8 16 40 72 36 18 10 п\ 6 18 36 76 39 18 7 " Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона: = £ (я/ ~ rii)2ln'r Составим расчетную табл. 19. Таблищ 19 1,3 26 1,5 21 1,7 24 1,9 20 2,1 8 2,3 5 i 1 2 3 4 5 6 7 Z и* 8 16 40 72 36 18 10 г\ П'г 6 18 36 76 39 18 7 = 200 щ-п\ 2 -2 4 -4 -3 - 3 (ni - п])2 4 4 16 16 9 - 9 (п,-л;)2/л; 0,667 0,222 0,444 0,211 0,231 - 1,286 Х2набл= 3,061
13.16. ... о нормальном распределении ... по критерию Пирсона 309 Из табл. 19 находим наблюдаемое значение критерия: Хнабл = = 3,061. По таблице критических точек распределения х2 (см. приложение 5), по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы к - =s-3=7-3=4 находим критическую точку правосторонней критической области ХкР(0,01; 4) = 13,3. Так как Х^абл < Хкр ~~ нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо (случайно). 638. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами щ и теоретическими частотами п\, которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X: . щ 5 10 20 8 7. *> п' 6 14 18 7 5' щ 6 8 13 15 20 16 10 7 5. п\ 5 9 14 16 18 16 9 6 7' щ 14 18 32 70 20 36 10. п\ 10 24 34 80 18 22 12' щ 5 7 15 14 21 16 9 7 6 Т) п\ 6 6 14 15 22 15 8 8 б' Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов (*,-,*,-+0 и соответствующих им частот щ (п, — сумма частот, которые попали в /-й интервал): Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально. Правило 2. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо выполнить следующие действия.
310 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 1. Вычислить, например методом произведений, выборочную среднюю х и выборочное среднее квадратическое отклонение ов, причем в качестве вариант х* принимают среднее арифметическое концов интервала: 2. Пронормировать X, т.е. перейти к случайной величине Z = = (X - **)/о*, и вычислить концы интервалов:ц = (х, - Зс7)/^*, Zi+i = = (jci+i - 1?)1о*, причем наименьшее значение Z, т.е. zu полагают равным -оо, а наибольшее, т.е. zs+i, полагают равным оо. 3. Вычислить теоретические частоты где п — объем выборки (сумма всех частот); Р, = Ф fe+i) - вероятности попадания X в интервалы (xi9Xi+\); <D(Z) — функция Лапласа. 4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого: а) составляют расчетную таблицу (см. табл. 18), по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона 6) по таблице критических точек распределения у?, по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы k = s - 3 (s — число интервалов выборки) находят критическую точку правосторонней критической области х£р (а*> &)• Если Х^абл < 5Скр ~~ нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если Х^абл > > ХкР — гипотезу отвергают. Замечание 2. Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (и, < 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. Если производилось объединение интервалов, то при определении числа степеней свободы по формуле k = s - 3 следует в качестве s принять число интервалов, оставшихся после объединения интервалов. 639. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X, эмпирическим распределением выборки объема п = 100, приведенным в табл. 20. Решение. 1. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для
13Л6. ... о нормальном распределении ... по критерию Пирсона 311 Таблица 20 Номер интервала i 1 2 3 4 Границы интервала xt 3 8 13 18 8 13 18 23 Частота 6 8 15 40 Номер интервала i 5 6 7 Границы интервала 23 28 33 28 33 38 Частота л, 16 8 7 л = 100 этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты х* среднее арифметическое концов интервала: jc* = (х, + Х/+0/2. В итоге получим распределение: jc* 5,5 10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5 л, 6 8 15 40 16 8 7 Выполнив выкладки по методу произведений, найдем выборочную среднюю н выборочное среднее квадратическое отклонение: х* = 20,7, о* = 7,28. _ 2. Найдем интервалы (г,, ц+\), учитывая, что х* = 20,7, о* = 7,28, 1/о* = 0,137. Для этого составим расчетную табл. 21 (левый конец первого интервала примем равным -со, а правый конец последнего интервала оо). 3. Найдем теоретические вероятности Р,- и теоретические частоты п\- и- Р( = 100. Для этого составим расчетную табл. 22. 4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона: а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 23. Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле Контроль: £ [п]1п[) - п = 113,22 -100= 13,22 = х^бл- Вычисления произведены правильно; б) по таблице критических точек распределения х2 (приложение 5), по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы
312 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Таблица 21 1 1 2 3 4 5 6 7 Границы интервала 3 8 13 18 23 28 33 8 13 18 23 28 33 38 Xj - X* -12,7 -7,7 -2,7 2,3 7,3 12,3 xi+i - х* -12,7 -7,7 -2,7 2,3 7,3 12,3 Границы интервала х. - х* м о* —оо -1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69 о* -1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69 оо Таблица 22 1 1 2 3 4 5 6 7 I Границы интервала Zi - -1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69 -1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69 -0,5000 -0,4591 -0,3554 -0,1443 0,1255 0,3413 0,4545 -0,4591 -0,3554 -0,1443 0,1255 0,3413 0,4545 0,5000 р. = (J) (у. . \ __ 0,0409 0,1037 0,2111 0,2698 0,2158 0,1132 0,0455 1 п\ = 100Р, 4,09 10,37 21,11 26,98 21,58 11,32 4,55 100 fc = s-3 = 7-3=4 (s — число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области х£р (0,05; 4) = 9,5. Так как Х^абл > Хкр ~~ отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X; другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. Это означает, что данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
13.16. ... о нормальном распределении ... по критерию Пирсона 313 Таблица 23 1 / 1 2 3 4 5 6 7 2 2 я/ 6 8 15 40 16 8 7 100 3 л/ 4,09 10,37 21,11 26,98 21,58 11,32 4,55 100 4 и, - л; 1,91 -2,37 -6,11 13,02 -5,58 -3,32 2,45 5 (я,- - л;)2 3,6481 5,6169 37,3321 169,5204 31,1364 11,0224 6,0025 6 -л;)2/л; 0,8920 0,5416 1,7684 6,2833 1,4428 0,9737 1,3192 ^набл ~~ = 13,22 7 п] 36 64 225 1600 256 64 49 8 п]1п\ 8,8019 6,1716 10,6584 59,3052 11,8628 5,6537 10,7692 113,22 640. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с заданным эмпирическим распределением. а) Номер интервала i 1 2 3 4 Границы интервала Xi -20 -10 0 10 -10 0 10 20 Частота Щ 20 47 80 89 Номер интервала / 5 6 7 Границы интервала Xi 20 30 40 30 40 50 Частота Щ 40 16 8 « = 300 б) Номер интервала i 1 2 3 4 5 6 Границы интервала Xi 1 3 5 7 9 11 хм 3 5 7 9 11 13 Частота И/ 2 4 6 10 18 20 Номер интервала / 7 8 9 10 11 Границы интервала Xi 13 15 17 19 21 хм 15 17 19 21 23 Частота л, 16 И 7 5 1 п = 100
314 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез в) Номер интервала / 1 2 3 4 5 Границы интервала Xi 6 16 26 36 46 Xi+l 16 26 36 46 56 Частота л, 8 7 16 35 15 Номер интервала i 6 7 8 Границы интервала 56 66 76 66 76 86 Частота т 8 6 5 п = 100 г) Номер интервала / 1 2 3 4 5 Границы интервала х. 5 10 15 20 25 Xi+\ 10 15 20 25 30 Частота Щ 1 8 15 18 23 Номер интервала / 6 7 8 9 Границы интервала Xi 30 35 40 45 Xi+i 35 40 45 50 Частота л, 19 14 10 6 п= 120 Указание. Объединить малочисленные частоты первых и последних двух интервалов, а также сами интервалы. 13.17. Графическая проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Метод спрямленных диаграмм А. Сгруппированные данные. Пусть эмпирическое распределение выборки из генеральной совокупности X задано в виде последовательности интервалов (*o,jci), (Х],х2), ..., (дг*_ьлг*) и соответствующих им частот л,- (л,- — число вариант, попавших в i-й ин-
13.17. ... проверка гипотезы о нормальном распределении ... 315 тервал). Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распределении X. Предварительно введем определение р-квантили случайной величины X. Если задана вероятность /?, то р-квантилъю {квантилем) X называют такое значение аргумента ир функции распределения F (jc), для которого вероятность события X < ир равна заданному значению р. Например, если величина X распределена нормально и р = 0,975, то ир = ио,975 = 1,96. Это означает, что Р(Х < < 1,96) = 0,975. Заметим, что поскольку функции распределения общего и нормированного нормальных распределений связаны равенством F (х) = Fo( L то F (хр) = Fol — 1 и, следовательно, ир = (хр - а)/о. Правило 1. Для того чтобы графически проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X по эмпирическому распределению, заданному в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот, надо: 1. Составить расчетную табл. 24. Квантили находят по таблице (см. приложение 10). _ . Таблица 24 1 Номер интервала 2 Правый конец интервала Xi 3 Частота Л/ 4 Накопленная частота 5 Относительная накопленная частота 6 Относительная накопленная частота, % Pt -100% 7 Квантили В столбце 6 табл. 24 относительные накопленные частоты умножены на 100, так как в таблице приложения 10 эти частоты указаны в процентах. 2. Построить в прямоугольной системе координат (дс; и) точки (*i;wO, (JC2;«2)> ••• (значок р при квантилях опущен для простоты записи). Если эти точки лежат вблизи некоторой прямой, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X; если же построенные точки удалены от прямой, то гипотезу отвергают. Замечание 1. Следует иметь в виду, что «начальные» и «конечные» точки (*,-; щ) могут заметно отклоняться от прямой и = (х - а)/о. Замечание 2. Если построенные точки оказались вблизи прямой, то легко графически оценить параметры а и <т нормального распределения. В качестве оценки математического ожидания а можно принять абсциссу точки L(xL;0) пересечения построенной прямой с осью Ох. В качестве
316 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез оценки среднего квадратического отклонения о можно принять разность абсцисс точки L(xL;0) и точки N(xN;-l) пересечения построенной линии с прямой и = -1: о* = Jt/, - дглг (рис. 16). а) 6) х- а а 44—^\Xn i У s и / 1° X / /l -1) *XL — а / а у / X XN Рис. 16 Замечание 3. При наличии вероятностной бумаги надобность в отыскании квантилей отпадает: на соответствующей оси откладывают накопленные относительные частоты. 641. Пусть метод спрямленных диаграмм подтверждает гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Ху т.е. точки (*,; щ) оказались вблизи прямой и = (х- а)/о. (*) а) Почему в качестве оценки математического ожидания а нормального распределения можно принять абсциссу xl точки L пересечения прямой (*) с осью Ох (рис. 16, а)? б) Почему в качестве оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения можно принять разность абсцисс xL ~ xN (рис. 16, б)? Решение, а) В точке L пересечения прямой (*) с осью Ох ордината и = 0, абсцисса х = xL (рис. 16, а). Положив в уравнении (*) и = 0, х = xl, получим 0 = (xL - а)/о. Отсюда а = xL. б) Обозначим через JV такую точку прямой (*), ордината которой и = -1; абсциссу этой точки обозначим через х^. Подставим координаты точки N в уравнение (*): -1 =(xN-a)/o.
13.17. ... проверка гипотезы о нормальном распределении ... 317 Отсюда о = а-хн. Учитывая, что а = х^у окончательно получим о = xL - xN. 642. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 100, которая задана в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот щ (я, — число вариант, попавших в i-й интервал). Эмпирическое распределение приведено в табл. 25. Таблица 25 Номер интервала 1 2 3 4 5 6 Границы интервала 1 3 5 7 9 11 3 5 7 9 7 13 Частота Hi 4 4 6 10 6 20 Номер интервала 7 8 9 10 11 Границы интервала * 13 15 17 19 21 15 17 19 21 23 Частота Я/ 16 11 7 5 1 /2=100 Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х\ б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X. Решение, а) 1. Составим расчетную табл. 26. Квантили для столбца 7 взяты из таблицы приложения 10. 2. Построим в прямоугольной системе координат точки (дг,; uPi) (рис. 17). Построенные точки лежат вблизи прямой, поэтому нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X. Другими словами, данные выборки согласуются с этой гипотезой. б) Найдем графически оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения предполагаемого нормального распределения. В качестве оценки математического ожидания а примем абсциссу xL = 12,1 точки L пересечения построенной прямой с осью Ох Оценим о, для чего проведем через точку М(0; -1) вертикальной оси прямую и = -1 до пересечения с построенной прямой в точке ЛГ; опустим из точки N перпендикуляр на ось Ох; абсцисса основания этого перпендикуляра xn - 8. В качестве оценки сред-
318 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез него квадратического отклонения примем разность абсцисс: о* =xL-xN = 12,1 -8 = 4,1. Таблица 26 1 Номер интервала i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 Правый конец интервала 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 3 Частота Л/ 2 4 6 10 18 20 16 11 7 5 1 4 Накопленная частота 2 6 12 22 40 60 76 87 94 99 100 5 Относительная накопленная частота л = = 2Лг/л 0,02 0,06 0,12 0,22 0,40 0,60 0,76 0,87 0,94 0,99 1,00 6 Относительная накопленная частота, % Pi • 100% 2 6 12 22 40 60 76 87 94 99 100 7 Квантили -2,054 -1,555 -1,175 -0,772 -0,253 0,253 0,706 1,126 1,555 2,326 3,09 Xn *}yS 3 5 7?9^J 13 15 17 19 21 23 а « XL = 12,1 о *Xl-;Qv = 12,1-8 = 4,1 Рис. 17
13.17. ... проверка гипотезы о нормальном распределении ... 319 Разумеется, полученные оценки грубые. В действительности а= 12,04; о = 4,261. 643. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 120, которая задана в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот (табл. 27). Таблица 27 Номер интервала 1 1 2 3 4 5 Границы интервала Xi-\ 5 10 15 20 30 Xi 10 15 20 25 35 Частота Щ 7 8 15 18 23 Номер интервала / 6 7 8 9 Границы интервала Xi-\ 30 35 40 45 Xi 35 40 45 50 Частота rii 19 14 10 6 w= 120 Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X; б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X. 644. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 100, заданная табл. 28. Таблица 28 Номер интервала i 1 2 3 4 Границы интервала ДГ/-1 6 16 25 36 Xi 16 26 36 46 Частота 8 16 7 15 Номер интервала i 5 6 7 8 Границы интервала *ы 46 56 66 76 Xi 56 66 76 86 Частота rii 35 6 5 8 л= 100
320 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Требуется методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X. Б. Несгруппированные по интервалам данные. Пусть эмпирическое распределение выборки задано в виде последовательности вариант jc,, расположенных в возрастающем порядке, т.е. в виде вариационного ряда, и соответствующих им частот щ. Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распределении X. Правило 2. Для того чтобы по несгруппированной по интервалам выборке объема п проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Ху из которой извлечена выборка, надо сделать следующее. 1. Составить расчетную табл. 29. Сразу укажем, что при заполнении столбца 4 принято из суммы частот вычитать 1/2; значения квантилей для заполнения столбца 7 находят по таблице (см. приложение 10). Таблица 29 1 Номер варианты / 2 Варианта 3 Частота л/ 4 Накопленная частота N, = 2 пг - I /■=1 5 Относительная накопленная частота п 6 Относительная накопленная частота, % Pi = = F*(xi)- 100 7 Квантили uPi 2. Построить в прямоугольной системе координат точки (х\\щ), (хг'уМг), ..., (xk'yUk) (значок р при и опущен для простоты записи). Если эти точки лежат вблизи некоторой прямой (в случае справедливости гипотезы о нормальном распределении X уравнение этой прямой и = (х - х)/ов), то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X; в противном случае гипотезу отвергают. Замечание 4. Замечания 1-3, приведенные выше для сгруппированной по интервалам выборки, остаются в силе. 645. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 50, несгруппированная по интервалам (в первой строке указаны варианты, а во второй — соответствующие частоты):
13.17. . .. проверка гипотезы о нормальном распределении ... Xi 1,40 1,52 1,63 1,69 1,73 1,78 1,89 1,92 1,95. щ 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ' Xi 1,98 1,99 2,03 2,07 2,12 2,16 2,20 2,23 2,26 2,31. щ1 1 2 1 3 2 1 1 1 3 ' Xi 2,36 2,40 2,44 2,47 2,50 2,52 2,55 2,60 2,64. л,- 3 3 1 1 1 1 1 1 3 ' Xi 2,71 2,74 2,78 2,86 2,93 3,02 3,30 w, 1 12 12 1 1 * Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X; б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X. Решение. 1. Составим расчетную табл. 30. 2. Построим в прямоугольной системе координат точки (*,; и,-) (рис. 18). Построенные точки лежат вблизи прямой, поэтому нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X; данные выборки согласуются с этой гипотезой. ,4 2,6 2,8 3 3,2 х Рис. 18 б) Найдем графически, используя рис. 18, оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения предполагаемого нормального распределения. 11 Зак. 1296
322 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Таблица 30 1 Номер варианты i 1 2 3 4 5-6 7 8 9 10 11 12 13-14 15 16-18 19-20 21 22 23 24-26 27-29 30-32 33 34 35 36 37 38 39-41 42 43 44-45 46 47-48 49 50 2 Варианта */ 1,40 1,52 1,63 1,69 1,73 1,78 1,89 1,92 1,95 1,98 1,99 2,03 2,07 2,12 2,16 2,20 2,23 2,26 2,31 2,36 2,40 2,44 2,47 2,50 2,52 2,55 2,60 2,64 2,71 2,74 2,78 2,86 2,93 3,02 3,30 3 Частота Щ 1 1 1 1 2 2 1 3 2 1 1 1 3 3 3 1 3 1 1 2 1 2 1 1 4 Накопленная частота минус 1 /2 0,5 1,5 2,5 3,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 13,5 14,5 17,5 19,5 20,5 21,5 22,5 25,5 28,5 31,5 32,5 33,5 34,5 35,5 36,5 37,5 40,5 41,5 42,5 44,5 45,5 47,5 48,5 49,5 5 Относительная накопленная частота п 0,01 0,03 0,05 0,07 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,27 0,29 0,35 0,39 0,41 0,43 0,45 0,51 0,57 0,63 0,65 0,67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,81 0,83 0,85 0,89 0,91 0,95 0,97 0,99 6 Относительная накопленная частота, % Л = = r(xi)\00% 1 3 5 7 11 13 15 17 19 21 23 27 29 35 39 41 43 45 51 57 63 65 67 69 71 73 75 81 83 85 89 91 95 97 99 7 Квантили Up, -2,326 - - - - 1,881 1,645 1,476 1,227 1,126 1,036 -0,954 -0,878 -0,806 -0,739 -0,613 -0,553 -0385 -0,279 -0,228 -0,176 -0,126 0,025 0,176 0,332 0,385 0,440 0,496 0,553 0,613 0,674 0,878 0,954 1,036 1,227 1,341 1,645 1,881 2,326
13.17. ... проверка гипотезы о нормальном распределении ... 323 В качестве оценки математического ожидания а примем абсциссу xl = 2,30 точки L пересечения построенной прямой с осью Ох. Оценим о, для чего проведем через точку М (0; -1) вертикальной оси прямую и = -1 до пересечения с построенной прямой линией в точке N; опустим из точки N перпендикуляр на ось Ох; абсцисса основания этого перпендикуляра xN = 1,90. В качестве оценки среднего квадратического отклонения о примем разность абсцисс: о = *L-** = 2,30-1,90 = 0,40, 646. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 50. Составлены следующие таблицы (в первой строке указаны варианты, а во второй — соответствующие частоты): jcf -20,0 -17,0 -14,1 -11,5 -10,5. и, 1 1 1 1 1 ' xi -9,0 -8,0 -6,5 -5,5. щ \ 1 1 1 ' xi -4,0 -3,0 -1,5 -1,0 0,0 0,5. /2/1 1 1 112' Xi 1,0 1,5 2,0 2,5 3,5 4,0 4,5. и,- 1 1 2 1 1 2 1 ' jc, 5,0 6,0 6,5 7,0 7,5 8,5 9,5 10,0 10,5 11,0 12,0 12,5. л,- 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ' хг 13,0 14,0 14,5 17,0 18,0 19,0 19,5 21,0 23,5 щ \ 1 1 1 1 1 1 1 1 Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X; б) оценить графически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X. Указание. Использовать таблицу квантилей (см. приложение 10).
324 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 13.18. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов *, — xt+\ и соответствующих им частот л,-, причем V* щ■- п (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение. Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо: 1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю хв. Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину х* = (*, + xJ+i)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. 2. Принять в качестве оценки параметра А. показательного распределения величину, обратную выборочной средней: Г = 1/*в. 3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (xuxi+i) no формуле Pi = 4. Вычислить теоретические частоты: 5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s - - 2, где s — число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s — число интервалов, оставшихся после объединения. 647. Почему при проверке по критерию Пирсона гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности число степеней свободы определяется равенством к = = 5-2, где s — число интервалов выборки? Решение. При использовании критерия Пирсона число степеней свободы к = s -1 - г где г — число параметров, оцениваемых по
13.18. Проверка гипотезы о показательном распределении ... 325 выборке. Показательное распределение определяется одним параметром X. Так как этот параметр оценивается по выборке, то г = 1 и, следовательно, число степеней свободы k = s-\-\=s-2. 648. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 31 (в первом столбце указаны интервалы времени в часах, во втором столбце — частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала). Таблица 31 х,-хм 0-5 5-10 10-15 Щ 133 45 15 15-20 20-25 25-30 Щ 4 2 1 Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по показательному закону. Решение. 1. Найдем среднее время работы всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент): хв = (133-2,5 + 45-7,5 + + 15 • 12,5 + 4 • 17,5 + 2 • 22,5 + 1 • 27,5)/200 = 1000/200 = 5. 2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения: \= 1ДВ = 1/5 = 0,2. Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид 3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле Например, для первого интервала Л = Р(0 < X < 5) = £- = 1-*-1 = 1-0,3679 = 0,6321. - «г0'2'5 =
326 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Аналогично вычислим вероятности попадания X в остальные интервалы: Р2 = 0,2326; Ръ = 0,0855; РА = 0,0315; Р5 = 0,0116; Р6 = = 0,0042. 4. Найдем теоретические частоты: nj = л-Л = 200-Pif где Pi — вероятность попадания X в i-й интервал. Например, для первого интервала п\ = 200 • Л = 200 • 0,6321 = 126,42. Аналогично вычислим остальные теоретические частоты: л'2 = 46,52; п'з = 17,10; п'А = 6,30;\п'5 = 2,32; /£ = 0,84. 5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 32, причем объединим малочисленные частоты (4 + 2+1 = 7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30 + 2,32 + 0,84 = 9,46). Таблица 32 i 1 2 3 4 I щ 133 45 15 7 »; 126,42 46,52 17,10 9,46 л = 200 т - п\ 6,58 -1,52 -2,10 -2,46 {п<-п\)2 43,2964 2,3104 4,4100 6,0516 (*,-ир2/*; 0,3425 0,0497 0,2579 0,6397 Х2набл = 1>29 Замечание. Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты, в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала, получим один интервал (15,30). В этом случае теоретическая частота п'А = п ■ /415 < X < 30) = 200 • 0,0473 = 9,46 совпадает с суммой теоретических частот (9,46), приведенной в табл. 32. Из табл. 32 находим: Хнабл = 1,29. По таблице критических точек распределения Х2 (см. приложение 5), по уровню значимости а = О,05 и числу степеней свободы * = £-2 = 4-2 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области х2р (0,05; 2) = 6,0.
13.18. Проверка гипотезы о показательном распределении ... 327 Так как Х*абЛ < ХкР ~~ нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой. 649. В итоге испытания 450 ламп было получено эмпирическое распределение длительности их горения, приведенное в табл. 33 (в первом столбце указаны интервалы в часах, во втором столбце — частота п\> т.е. количество ламп, время горения которых заключено в пределах соответствующего интервала). Таблица 33 Xi - Xj+\ 0-400 400-800 800-1200 1200-1600 л, 121 95 76 56 xi - Xi+\ 1600-2000 2000-2400 2400-2800 Л/ 45 36 21 л = 450 Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время горения ламп распределено по показательному закону. 650. В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 34 (в первом столбце указаны интервалы времени в часах; во втором столбце — частота щ> т.е. количество отказавших элементов в i'-м интервале). Таблица 34 Xi - -*/+1 0-10 10-20 20-30 30-40 Щ 365 245 150 100 xt -xt+\ 40-50 50-60 60-70 70 45 25 л =1000 Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время безотказной работы элементов распределено по показательному закону.
328 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 651. В итоге регистрации времени прихода 800 посетителей выставки (в качестве начала отсчета времени принят момент открытия работы выставки) получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 35 (в первом столбце указаны интервалы времени; во втором столбце — частоты л,-, т.е. количество посетителей, пришедших в течение соответствующего интервала). Таблица 35 Х\ ~ Xj+\ 0-1 1-2 2-3 3-4 nt 259 167 109 74 X, - *,_i 4-5 5-6 6-7 7-8 Щ 70 47 40 34 800 Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время прихода посетителей выставки распределено по показательному закону. 13.19. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону Произведено п опытов. Каждый опыт состоит из N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же. Регистрируется число появлений события А в каждом опыте. В итоге получено следующее распределение дискретной случайной величины X — числа появлений события А (в первой строке указано число jc, появлений события А в одном опыте; во второй строке — частота л,, т.е. число опытов, в которых зарегистрировано х, появлений события А): Xi 0 1 2 л, 0 1 2 N
1319. ... о распределении ... по биномиальному закону 329 Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении дискретной случайной величины X по биномиальному закону. Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X (число появлений события А) распределена по биномиальному закону, надо: 1. Найти по формуле Бернулли вероятности Pi появления ровно iсобытий AeNиспытаниях (i = 0,1,2,...,s, где s — максимальное число наблюдавшихся появлений события А в одном опыте, т.е. s < 2. Найти теоретические частоты где п — число опытов. 3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона, приняв число степеней свободы k = s - 1 (при этом предполагается, что вероятность р появления события А задана, т.е. не оценивалось по выборке и не производилось объединение малочисленных частот). Если же вероятность р была оценена по выборке, то k = s - - 2. Если, кроме того, было произведено объединение малочисленных частот, то s — число групп выборки, оставшихся после объединения частот. 652. Произведено п = 100 опытов. Каждый опыт состоял из N = 10 испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события А равна 0,3. В итоге получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано число jc/ появлений события А в одном опыте; во второй строке — частота щ, т.е. число опытов, в которых наблюдалось Xi появлений события Л): jc,- 0 1 2 3 4 5 щ 2 10 27 32 23 б" Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X (число появлений события А) распределена по биномиальному закону. Решение. 1. По формуле Бернулли найдем вероятность Pt (i = 0,1,2,3,4,5) того, что событие А появится в N = 10 испытаниях ровно i раз.
330 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Учитывая, что р = 0,3, q = 1 - 0,3 = 0,7, получаем: Л) = Ло (0) = 0,710 = 0,0282; Р, = рю (1) = 10 • 0,3 • 0,79 = 0,1211. Аналогично вычислим Р2 = 0,2335; Ръ = 0,2668; Рд = 0,2001; Р5 = 0,1029. 2. Найдем теоретические частоты п\ = п • Р,. Учитывая, что л = = 100, получаем: п'о = 2,82; п\ = 12,11; п'г = 23,35; л^ = 26,68; л; = = 20,01 ;п'5 = 10,29. 3. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 36. Поскольку частота ло = 2 малочисленная (меньше пяти), объединим ее с частотой п\ = 10 и в таблицу запишем 2+10 = 12; в качестве теоретической частоты, соответствующей объединенной частоте 12, запишем сумму соответствующих теоретических частот: п'о + п\ = = 2,82+12,11 = 14,93. Таблищ 36 i 1 2 3 4 5 Z л, 12 27 32 23 6 п = 14,93 23,35 26,68 20,01 10,29 100 щ - п\ -2,93 3,65 5,32 2,99 -4,29 (л,-л;)2 8,5849 13,3225 28,3024 8,9401 18,4041 <Пг-п\)21п\ 0,5750 0,5706 1,0608 0,4468 1,7886 Х2 =4,44 Из табл. 36 находим Хнабл = ^'^* По таблице критических точек распределения х2 по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = 5-1 =4 находим критическую точку правосторонней критической области Х2р(0,05;4) = 9,5. Так как Х^л < Хкр ~~ нет оснований отвергнуть гипотезу о биномиальном распределении X. 653. Опыт, состоящий в одновременном подбрасывании четырех монет, повторили 100 раз. Эмпирическое распределение дискретной случайной величины X — числа появившихся «гербов» — оказалось следующим (в первой строке указано число дс, выпавших «гербов» в одном бросании монет; во второй строке — частота л,-, т.е. число бросаний, при которых выпало jc£ «гербов»): х( 0 1 2 3 4 щ 8 20 42 22 8'
13.19, ... о распределении ... по биномиальному закону 331 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по биномиальному закону. Указание. Принять вероятность выпадения «герба» р = 0,5. 654. Отдел технического контроля проверил п = 100 партий изделий по N = 10 изделий в каждой партии и получил следующее эмпирическое распределение дискретной случайной величины X — числа нестандартных изделий (в первой строке указано число xt нестандартных изделий в одной партии; во второй строке — частота nit т.е. количество партий, содержащих х, нестандартных изделий): х/ 0 1 2 3 4 5 6 7 щ 2 3 10 22 26 20 12 5' Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по биномиальному закону. Указания. 1. Найти сначала относительную частоту появления нестандартных изделий и принять ее в качестве оценки р* вероятности того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным. 2. При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона следует объединить эмпирические частоты (2 + 3 = 5) и соответствующие им теоретические частоты (0,60 + 4,03 = 4,63); учесть, что после объединения частот число групп выборки s = 7. 3. Один параметр (вероятность р) оценивался по выборке, поэтому при определении числа степеней свободы надо вычесть из s не единицу, а два: 5-2 = 7-2 = 5. 655. В библиотеке случайно отобрано 200 выборок по пять книг. Регистрировалось число поврежденных книг (подчеркивания, помарки и т.д.). В итоге получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано число xi поврежденных книг в одной выборке; во второй строке — частота я,-, т.е. количество выборок, содержащих х,- поврежденных книг): х,- 0 1 2 3 4 5 щ 72 77 34 14 2 Г Требуется, используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X (число поврежденных книг) распределена по биномиальному закону. Указание. Принять во внимание указания к задаче 654.
332 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 13.20. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов jc,_i - *, и соответствующих им частот л,, причем У* л, = л (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно. Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X, т.е. по закону {1 /(Ь -а) в интервале (а, Ь), О вне интервала (а, Ь), надо: 1. Оценить параметры а и Ъ — концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через а* и Ь* обозначены оценки параметров): о* = хв- V3aB, Ь* = хв + V3aB. 2. Найти плотность вероятности предполагаемого распреде- ления fix) = 1Kb*-а*). 3. Найти теоретические частоты: п'г - пъ = 4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s - 3, где s — число интервалов, на которые разбита выборка. 656. Почему параметры аи b равномерно распределенной случайной величины X оцениваются по формулам а* = хв- V3aB, fc* = JcB+ V3aB? Решение. Известно, что в качестве оценок математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины X можно принять соответственно выборочную среднюю хв и выборочное среднее квадратическое отклонение ав - = п [f (х) • (*, - а*)) = л • £ -(дг,- - x,_i) при i = 2,3,..., s - 1;
13.20. Проверка гипотезы о равномерном распределении ... 333 Известно также (см. гл. 6, задачи 313, 315), что для равномерного распределения математическое ожидание и среднее квадра- тическое отклонение соответственно равны: о(Х)= Поэтому для оценки параметров равномерного распределения получаем систему двух линейных уравнений г- Или \ г- ^ (Ь* - а*)/2 V3 = ов, [Ь* - а* = 2 V3 ов. Решив эту систему, получим а* - jcb - V3 ов, Ъ* - хв + ^/Зов. 657. Почему при проверке с помощью критерия Пирсона гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности X число степеней свободы определяется из равенства к = s - 3, где s — число интервалов выборки? Решение. При использовании критерия Пирсона число степеней свободы к = s-1 - г, где г — число параметров, оцениваемых по выборке. Равномерное распределение определяется двумя параметрами а и Ъ. Так как эти два параметра оцениваются по выборке, то г = 2 и, следовательно, число степеней свободы к = s-1 -2 - s-3. 658. Произведено п = 200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итоге было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 37 (в первом столбце указаны интервалы времени в минутах, во втором столбце — соответствующие частоты, т.е. число появлений события А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно. Таблица 37 Интервал *i-l - Xi 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 Частота л, 21 16 15 26 22 Интервал Xi-[ - Xj 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 Частота Щ 14 21 22 18 25
334 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез Решение. 1. Найдем оценки параметров а и Ь равномерного распределения по формулам: а* = хв - V3 ав, Ь* = хв + \5ав. Для вычисления выборочной средней хв и выборочного среднего квадратического отклонения ав примем середины х* интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант: х* 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 щ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25* Пользуясь, например, методом произведений, найдем: *в = = 12,31, ов = 5,81. Следовательно, а* = 12,31 - 1,73 • 5,81 = 2,26, Ь* = 12,31 + 1,73 • 5,81 = 22,36. 2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения: /(*) = \/(b* - а*) = 1/(22,36 - 2,26) = 0,05. 3. Найдем теоретические частоты: п\ = п • f {х) • (хх - а*) = 200 • 0,05 • (4 - 2,26) = 17,4; п'2 = 200 • 0,05 • (х2 - *i) = 10 • (6 - 4) = 20. Длины третьего — девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам, и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е. П3 = ПА = П5 = П6 = "l = П8 = П9 = 20' л'1О = 200 • 0,05 • (Ь* - х9) = 10 • (22,36 - 20) = 23,6. 4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы к = s~3 = \0- -3=7. Для этого составим расчетную табл. 38. Из расчетной табл. 38 получаем Х„абл = 7,17. Найдем по таблице критических точек распределения Х2 (см- приложение 5) по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = s-З = 10-3 = 7 критическую точку правосторонней критической области x^j,(0,05; 7) = 14,1. Так как Х^л < Хкр "" нет оснований отвергнуть гипотезу о равкр номерном распределении X. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
13.20. Проверка гипотезы о равномерном распределении ... 335 Таблица 38 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Щ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25 17,3 20 20 20 20 20 20 20 20 23,6 щ-п\ 3,7 -4 -5 6 2 -6 1 2 -2 1,4 {п,-п\)2 13,69 16 25 36 4 36 1 4 4 1,96 0,79 0,80 1,25 1,80 0,20 1,80 0,05 0,20 0,20 0,08 Х2„абл=7Л7 659. В результате взвешивания 800 стальных шариков получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 39 (в первом столбце указан интервал веса в граммах, во втором столбце — частота, т.е. количество шариков, вес которых принадлежит этому интервалу). Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что вес шариков X распределен равномерно. Таблица 39 ДГ/_1 - Xi 20,0-20,5 20,5-21,0 21,0-21.5 21,5-22,0 22,0-22,5 Л/ 91 76 75 74 92 */-1 " Xi 23,0-23,5 23,5-24,0 24,0-24,5 24,5-25,0 22,5-23,0 гц 79 73 80 77 83 и = 800 660. В некоторой местности в течение 300 сут регистрировалась среднесуточная температура воздуха. В итоге наблюдений было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 40 (в первом столбце указан интервал температуры в градусах, во втором столбце — частота л,-, т.е.
336 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез количество дней, среднесуточная температура которых принадлежит этому интервалу). Таблица 40 д-0 _х0 -40-(-30) -30-(-20) -20-(-10) -10-0 Щ 25 40 30 45 хо _хо 0-10 10-20 20-30 30-40 и. 40 46 48 26 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что среднесуточная температура воздуха распределена равномерно. 661. В течение 10 ч регистрировали прибытие автомашин к бензоколонке и получили эмпирическое распределение, приведенное в табл. 41 (в первом столбце указан интервал времени в часах, во втором столбце — частота, т.е. количество машин, прибывших в этом интервале). Всего было зарегистрировано 200 машин. Таблица 41 Xi-\ - Xi 8-9 9-Ю 10-11 11-12 12-13 Щ 12 40 22 16 28 -*/-i -x-t 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 Я/ 6 11 33 18 14 Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время прибытия машин распределено равномерно. 13.21. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины X. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить
13.21. Проверка гипотезы о распределении ... по закону Пуассона 337 гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, надо: 1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю jcb. 2. Принять в качестве оценки параметра \распределения Пуассона выборочную среднюю \ - хв. 3. Найти по формуле Пуассона (или по готовым таблицам) вероятности Pi появления ровно i событий в п испытаниях (i = = 0,1,2,..., г, где г — максимальное число наблюдавшихся событий; п — объем выборки). 4. Найти теоретические частоты по формуле п\-п- Рх. 5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = 5-2, где s — число различных групп выборки (если производилось объединение малочисленных частот в одну группу, то s — число оставшихся групп выборки после объединения частот). 662. Отдел технического контроля проверил п = 200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество Xi нестандартных изделий в одной партии; во второй строке — частота и,-, т.е. количество партий, содержащих xt нестандартных изделий); jc, 0 12 3 4 щ 116 56 22 4 2 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий X распределено по закону Пуассона. Решение. 1. Найдем выборочную среднюю: хв = riiXi) /л = (116-0 +56-1+22-2 + 4-3 + 2- 4)/200 = 0,6. 2. Примем в качестве оценки параметра \ распределения Пуассона выборочную среднюю: А. = 0,6. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид
338 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез 3. Положив i = 0,1,2,3,4, найдем вероятности Р, появления i нестандартных изделий в 200 партиях: = 0,5488; Р]=РЖ(\) = 0,3293; Р2 = Рщ> (2) = 0,0988; = 0,0198; РА = Рш (4) = 0,0030. Л) = 4. Найдем теоретические частоты по формуле п\ = п • Pi = 200P,. Подставив в эту формулу найденные в п. 3 значения вероятностей Ph получим n'Q = 200 • 0,5488 = 109,76. Аналогично найдем: п\ = 65,86; п'2 = 19,76; п\ - 3,96; п\ = 0,60. 5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 42. Учитывая замечание 1 (см. 13.16), объединим малочисленные частоты (4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты (3,96+ +0,60=4,56), результаты объединения частот запишем в табл. 42. Таблица 42 1 i 0 1 2 3 I 2 m 116 56 22 6 200 3 «i 109,76 65,86 19,76 4,56 4 л, - л; 6,24 -9,86 2,24 1,44 5 (m-ntf 38,9376 97,2196 5,0176 2,0736 6 (л,- - п\)21п\ 0,3548 1,4762 0,2539 0,4547 *набл=2'54 Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона: х£абл = 2,54. По таблице критических точек распределения Х2 (см. приложение 5), по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = 4 - 2 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области: ХкР (0,05; 2) = 6,0. Так как Хнабл < *кр ~ нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины X по закону Пуассона. 663. В итоге проверки на нестандартность 2О0 ящиков консервов получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество xt нестандартных
13.21. Проверка гипотезы о распределении ... по закону Пуассона 339 коробок консервов в одном ящике; во второй строке — частота л,-, т.е. число ящиков, содержащих лг, коробок нестандартных консервов): дг,- 0 12 3 4 щ 132 43 20 3 2 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — число нестандартных коробок — распределена по закону Пуассона. Указание. Объединить малочисленные частоты двух последних групп. 664. Для определения засоренности партии семян клевера семенами сорняков было проверено 1000 случайно отобранных проб и получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество jc/ семян сорняков в одной пробе; во второй строке — частота л,-, т.е. число проб, содержащих jc,- семян сорняков): Xi 0 1 2 3 4 5 6 Ш 405 366 175 40 8 4 2 Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что случайная величина X (число семян сорняков) распределена по закону Пуассона. Указание. Объединить малочисленные частоты последних двух групп. 665. В результате эксперимента, состоящего из л = 1000 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число jc, появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество Xi появлений события; во второй строке — частота л,-, т.е. число испытаний, в которых наблюдалось jc, появлений события): х( 0 1 2 3 4 5 щ 505 336 125 24 8 2 Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — число появлений события — распределена по закону Пуассона. Указание. Объединить частоты двух последних групп. 666. В результате проверки 500 контейнеров со стеклянными изделиями установлено, что число поврежденных
340 Глава 13. Статистическая проверка статистических гипотез изделий X имеет следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество jc, поврежденных изделий в одном контейнере; во второй строке частота л,-, т.е. число контейнеров, содержащих х, поврежденных изделий): х( 0 1 2 3 4 5 6 7 л,- 199 169 87 31 9 3 1 Г Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — число поврежденных изделий — распределена по закону Пуассона. Указание. Объединить частоты трех последних групп. 667. Задача Борткевича. На основании 200 донесений, полученных в течение двадцати лет, о количестве кавалеристов прусской армии, которые погибли в результате гибели под ними коня, было получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество дс, погибших кавалеристов, указанных в одном донесении; во второй строке — частота щу т.е. число донесений, в которых сообщено о гибели jc, кавалеристов): jc, 0 12 3 4 щ 109 65 22 3 Г Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины X (числа погибших кавалеристов) по закону Пуассона. Указание. Объединить малочисленные частоты 3 и 1 в одну.
Глава 14 ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 14.1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях Пусть на количественный нормально распределенный признак X воздействует фактор F, который имеет р постоянных уровней F\, F2,..., Fp. На каждом уровне произведено по q испытаний. Результаты наблюдений — числа (jc/;, где i — номер) испытания (i = 1,2,..., q), j — номер уровня фактора (у = 1,2,..., р) — записывают в виде таблицы (табл. 43). Таблица 43 Номер испытания / 1 2 Я Групповая средняя ]сгр Уровни фактора Fx х\\ хг\ Xq\ *rpl F2 Х\2 ^22 ХЦ2 ^гр2 Xlp Х2р Xqp ХГрр Ставится задача: на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних при допущении, что групповые генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но одинаковы. Для решения этой задачи вводятся: общая сумма квадратов откло-
342 Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ нений наблюдаемых значений признака от общей средней р я j=\ 1=1 факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней (характеризует рассеяние «между группами») - х)2; остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней (характеризует рассеяние «внутри групп») Socr = ^(ХП - ^rpl)2 + JjU/2 - *гр2)2 + • •. + ^(Xip - Хгрр)2. 1=1 1=1 1=1 Практически остаточную сумму находят по формуле « ост = «J общ ~" & факт* Для вычисления общей и факторной сумм более удобны следующие формулы: р Л У=1 /(И). ч где Pj = J\x}j — сумма квадратов наблюдаемых значений при- i=i знака на уровне F/, Rj = V хц — сумма наблюдаемых значений признака на уровне Fj. Если наблюдаемые значения признака — сравнительно большие числа, то для упрощения вычислений вычитают из каждого наблюдаемого значения одно и то же число С, примерно рав-
14.1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях 343 ное общей средней. Если уменьшенные значения у у - ху - С, то р \ р 2 S общ = YJQj-\YJTj 1=1 W=l 5факт = р \я- /(W). р ж 1 2 /(wx где Qj = y\y2ij — сумма квадратов уменьшенных значений при- ч знака на уровне F/, Tj = У^У/у ~~ сумма уменьшенных значений ы признака на уровне Fj. Разделив уже вычисленные факторную и остаточную суммы на соответствующее число степеней свободы, находим факторную и остаточную дисперсии: Наконец, сравнивают факторную и остаточную дисперсии по критерию Фишера—Снедекора (см. 13.2). Если ^„абл < ^кр — различие групповых средних незначимое. Если FH2^ > ^кр — различие групповых средних значимое. Замечание 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда непосредственно следует справедливость нулевой гипотезы о равенстве групповых средних, поэтому дальнейшие вычисления (сравнение дисперсий с помощью критерия F) излишни. Замечание 2. Если наблюдаемые значения *,; — десятичные дроби с к знаками после запятой, то целесообразно перейти к целым числам где С — примерно среднее значение чисел 10**,,. При этом факторная и остаточная дисперсии увеличатся каждая в 102* раз, однако их отношение не изменится. 668. Произведено по четыре испытания на каждом из трех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 44.
344 Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ Таблица 44 Номер испытания i 1 2 3 4 ^ГР; Уровни фактора ^1 38 36 35 31 35 Fi 20 24 26 30 25 21 22 31 34 27 Решение. Для упрощения расчета вычтем из каждого наблюдаемого значения jc,; общую среднюю jc = 29, т. е. перейдем к уменьшенным величинам:уу = ;с/;-29. Например,уи = хц-29 = 38-29 = 9; У2] = ДС21 - 29 = 36 - 29 = 7 и т.д. Составим расчетную табл. 45. Таблица 45 Номер испытания i 1 2 3 4 Tj = Zytj j Уровни фактора Fx Уа 9 1 6 2 24 576 A 81 49 36 4 170 F2 Уа -9 -5 -3 1 -16 256 A 81 25 9 1 116 F, ya -8 -7 2 5 -8 64 A 64 49 4 25 142 Итоговый столбец 26; =428 £Г,=0 2Гу2 = 896 Используя итоговый столбец табл. 45, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений, учитывая, что число уровней
14.1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях 345 фактора р = 3, число испытаний на каждом уровне q = 4: I2 / = 428-0 = 428; 3 факт ~ / J J Li=l Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: = 428 - 224 = 204. Найдем факторную дисперсию; для этого разделим 5факт на число степеней свободы р - 1 = 3 - 1 = 2: *факт = 5Факт/(/> - 1) = 224/2 = 112. Найдем остаточную дисперсию; для этого разделим SOCT на число степеней свободы p{q - 1) = 3 (4 - 1) = 9: 4т = Socr/P(q - 1) = 204/9 = 22,67. Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью критерия Фишера—Снедекора (см. 13.2). Для этого сначала найдем наблюдаемое значение критерия: ^„абл = 4»«т/4г = 112/22,67 = 4,94. Учитывая, что число степеней свободы числителя к\ = 2, а знаменателя к^ = 9 и что уровень значимости а = 0,05, по таблице приложения 7 находим критическую точку FKp(0,05;2;9) = 4,26. Так как FH£^ > ^кр — нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние «в целом» различаются значимо. 669. Произведено по пять испытаний на каждом из четырех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних Зсгр;. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 46.
346 Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ Таблица 46 Номер испытания г 1 2 3 4 5 xrpj Уровни фактора Fx 36 47 50 58 67 51,6 F2 56 61 64 66 66 62,6 52 57 59 58 79 61,0 39 57 63 61 65 57,0 Указание. Принять у,; = *,у- - 58. 670. Произведено по восемь испытаний на каждом из шести уровней фактора. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 47. Указание. Принять^ = дг,7 - 100. Таблица 47 Номер испытания / 1 2 3 4 5 6 7 8 ЗГгру Уровни фактора Fi 100 101 126 128 133 141 147 148 128 F2 92 102 104 115 119 122 128 146 116 F3 74 87 88 93 94 101 102 105 93 Fa 68 80 83 87 96 97 106 127 93 64 83 83 84 90 96 101 111 89 Fe 69 71 80 80 81 82 86 99 81 671. Произведено по четыре испытания на каждом из трех уровней фактора F. Методом дисперсионного анали-
14.1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях 347 за при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 48. Таблица 48 Номер испытания i 1 2 3 4 *гру Уровни фактора /Ч 35 32 31 30 32 F2 30 24 26 20 25 F3 21 22 34 31 27 Указание. Принять jjy = jc,; - 28. 672. Произведено по семь испытаний на каждом из четырех уровней фактора. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 49. Таблица 49 Номер испытания 1 1 2 3 4 5 6 7 ЗГгру Уровни фактора Fx 51 59 53 59 63 69 72 60,9 F2 52 58 66 69 70 72 74 65,9 Fi 56 56 58 58 70 74 78 64,3 FA 54 58 62 64 66 67 69 62,9 Указание. Принять у,; = *и - 63. Воспользоваться замечанием 1. 673. Произведено по четыре испытания на каждом из трех уровней фактора. Методом дисперсионного анализа
348 Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 50. Таблица 50 Номер испытания i 1 2 3 4 Xrpj Уровни фактора Fx 27 23 29 29 27 Fi 24 20 26 30 25 F3 22 21 36 37 29 Указание. Принять ^ = *,, - 27. Использовать замечание 1. 14.2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях Если число испытаний на уровне F\ равно q\, на уровне Fi — q2,..., на уровне Fp — qp, то общую сумму квадратов отклонений вычисляют, как и в случае одинакового числа испытаний на всех уровнях (см. 14.1). Факторную сумму квадратов отклонений находят по формуле Т\ Т\ —+ — Я\ Яг где п = q\ + <?2 + • • • + Яр ~ общее число испытаний. Остальные вычисления производят, как и в случае одинакового числа испытаний: *-> ост = «Ь общ "~ Ь факт» 4>акт = ЯфактЛР - 1). &т = *ост/(Я - Р)-
14,2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях 349 674. Произведено 13 испытаний, из них 4 — на первом уровне фактора, 4 — на втором, 3 — на третьем и 2 — на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 51. Таблица 51 Номер испытания I 1 2 3 4 Xrpj Уровни фактора Fi 1,38 1,38 1,42 1,42 1,40 F2 1,41 1,42 1,44 1,45 1,43 ^3 1,32 1,33 1,34 - 1,33 FA 1,31 1,33 - - 1,32 Решение. Используя замечание 2 в 14.1, перейдем к целым числам yij = 102 Xij - 138. Составим расчетную табл. 52. Таблица 52 Номер испытания 1 2 3 4 Tj = J]yu Tf Уровни фактора Ft Уп 0 0 4 4 8 64 3?. 0 0 16 16 32 Fi Уа 3 4 6 7 20 400 V2 Уа 9 16 36 49 ПО F3 Ув -6 -5 -4 - -15 225 V2 Лз 36 25 16 - 77 Fa Ун -7 -5 - - -12 144 у1 49 25 - - 74 Итоговый столбец £ Су = 293
350 Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ Используя итоговый столбец и нижнюю строку табл. 52, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений: = £ Qj - [J] Tjf ln = 293 " l2/13 = 293 - 0,08 = 292,92; Я\ Яг Яъ Ял п = 64/4 + 400/4 + 255/3 + 144/2 - 0,08 = 262,92. Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: S ост = S общ - S факт = 292,92 - 262,92 = 30. Найдем факторную и остаточную дисперсии: 4>акт = ЯфактДр - « = 262,92/(4 - 1) = 262,92/3 = 87,64; 4т = socr/(n - р) = 30/(13 - 4) = 30/9 = 3,33. Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью критерия F (см. 13.2). Для этого сначала вычислим наблюдаемое значение критерия: ^набл = 4.акт/4т = 87,64/3,33 = 26,32. Учитывая, что число степеней свободы числителя к\ == р - 1 = 4-1 =3, знаменателя к2 - п- р - 13 -4 = 9и что уровень значимости а = 0,05, по таблице приложения 7 находим критическую точку FKp (0,05; 3; 9) = 3,86. Так как FHE^ > FKp — нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние различаются значимо. 675. Произведено 14 испытаний, из них 5 — на первом уровне фактора, 3 — на втором, 2 — на третьем, 3 — на четвертом и 1 — на пятом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 53. Указание. Принять^, = 10jcj; - 78. 676. Произведено 13 испытаний, из них 4 — на первом уровне фактора, 6 — на втором и 3 — на третьем. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних.
14.2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях 351 Таблица 53 Номер испытания 1 1 2 3 4 5 *гр/ Уровни фактора F\ 7,3 7,6 8,3 8,3 8,4 7,98 Fi 5,4 7,1 7,4 6,63 F3 6,4 8,1 7,25 F4 7,9 9,5 9,6 9,0 F5 7,1 7,1 Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 54. Таблица 54 Номер испытания i 1 2 3 4 5 6 Xrpj Уровни фактора Fx Ъ1 47 40 60 46 F2 60 86 67 92 95 98 83 F3 69 100 98 89 Указание. Принять у,, = дг,у - 73. 677. Произведено 14 испытаний, из них 7 — на первом уровне фактора, 3 — на втором и 4 — на третьем. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 55. Указание. Принять у,, = 100дг|у - 3900.
352 Глава 14. Однофакторный дисперсионный анализ Таблица 55 Номер испытания 1 1 2 3 4 5 6 7 xrpj Уровни фактора Fx 30,56 32,66 34,78 35,50 36,63 40,20 42,28 36,09 F2 43,44 47,51 53,80 48,25 Fi 31,36 36,20 36,38 42,20 36,54 678. Произведено 26 испытаний, из них 7 — на первом уровне фактора, 5 — на втором, 8 — на третьем и 6 — на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 56. Таблица 56 Номер испытания i 1 2 3 4 5 6 7 8 xrpj Уровни фактора Fi 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1800 1677 F2 1580 1640 1640 1700 1750 1662 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 1638 FA 1510 1520 1530 1570 1600 1680 1568 Указание. Принять yij - xi} - 1630. Использовать замечание 1 в 14.1.
Раздел IV МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Глава 15 МОДЕЛИРОВАНИЕ (РАЗЫГРЫВАНИЕ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО 15.1. Разыгрывание дискретной случайной величины Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:М(Х) = а. Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) п возможных значений дс,- случайной величины X, находят их среднее арифметическое и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а: а ^ а* = Зс. Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину. В этом параграфе требуется разыграть дискретную) случайную величину X, т.е. вычислить последовательность ее возможных значений jc, (i = 1,2,...), зная закон распределения X. Введем обозначения: R — непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,1); г7 (J = 1,2,...) — случайные числа (возможные значения R).
15.1. Разыгрывание дискретной случайной величины 355 Правило. Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину X, заданную законом распределения X х\ х2 хл Р Pi Рг Рп надо: 1. Разбить интервал (О,1) оси Or на п частичных интервалов: Ai -(0;/?i), A2-(pi;pi + Р2),..., К - (р\ + Р2 + ... + Рп-и 1). 2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число rj. Если rj попало в частичный интервал Д„ то разыгрываемая величина приняла возможное значение *,-. 679. Разыграть шесть возможных значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы: X 2 10 18 р 0,22 0,17 0,бГ Решение. Разобьем интервал (0,1) оси Or точками с координатами 0,22; 0,22 + 0,17 = 0,39 на три частичных интервала: Ai — (0; 0,22), А2 - (0,22; 0,39), А3 - (0,39; 1). 2. Выпишем из таблицы приложения 9 шесть случайных чисел, например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05; 0,97; 0,87 (пятая строка таблицы снизу). Случайное число г\ = 0,32 принадлежит частичному интервалу А2, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение хг - 10; случайное число г-i = 0,17 принадлежит частичному интервалу Аь поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение ;ti = 2. Аналогично получим остальные возможные значения. Итак, разыгранные возможные значения таковы: 10; 2; 18; 2; 18; 18. 680. Разыграть восемь возможных значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы: X 3 8 12 23 р 0,2 0,12 0,43 0,23' Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,33; 0,18; 0,51; 0,62; 0,32; 0,41; 0,94; 0,15. 681. Разыграть пять опытов по схеме Бернулли: опыт состоит из трех независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.
356 Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ... методом Монте-Карло Указание, а) Составить сначала закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4; б) принять для определенности случайные числа: 0,945; 0,572; 0,857; 0,367; 0,897. 682. Разыграть шесть опытов по схеме Бернулли: опыт состоит из четырех испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5. Указание. Принять для определенности случайные числа: 0,1009; 0,7325; 0,3376; 0,5201; 0,3586; 0,3467 (первая строка таблицы приложения 9). 15.2. Разыгрывание полной группы событий Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины. Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А\, А2у..., Ап полной группы, вероятности которых р\, р2,..., рп известны, достаточно разыграть (по правилу из 15.1) дискретную случайную величину X со следующим законом распределения: X 1 2 п Р Pi Pi Рп' Если в испытании величина X приняла возможное значение Xi = i, то наступило событие А,. 683. Заданы вероятности трех событий: Ль А2, Аз, образующих полную группу: р\ = Р(А\) = 0,22, р2 = Р(Аг) = = 0,31, Ръ = Р(Аз) = 0,47. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех рассматриваемых событий. Решение. В соответствии с правилом настоящего параграфа надо разыграть дискретную случайную величину X с законом распределения: X 1 2 3 р 0,22 0,31 0,47' По правилу из 15.1 разобьем интервал (0,1) на три частичных интервала: Ai - (0;0,22), Л2 - (0,22;0,43), А3 - (0,43,1).
15.2. Разыгрывание полной группы событий 357 Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например 0,61; 0,19; 0,69; 0,04; 0,46. Случайное число г\ = 0,61 принадлежит интервалу Д3, поэтому X = 3 и, следовательно, наступило событие Лз. Аналогично найдем остальные события. В итоге получим искомую последовательность событий: Лз» ^ь Лз, Ль ^з- 684. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: рх = Р(АХ) = 0,15, р2 = Р(А2) = 0,64, р3 = = Р(АЪ) = 0,05, рА = Р(А4) = 0,16. Разыфать 10 испытаний, в каждом из которых появляется одно из рассматриваемых событий. Указание. Принять для определенности случайные числа: 0,37; 0,54; 0,20; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42; 0,96. 685. События Аи В независимы и совместны. Разыграть четыре испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,7, а события В — 0,4. Решение. Возможны четыре исхода испытания: Л] = ЛЯ, причем в силу независимости событий Р (АВ) = Р (Л) х xP(B) = 0J- 0,4 = 0,28 Л2 = АВ, причем Р{АВ) = 0,7 • 0,6 = 0,42; Лз = А В, причем Р(АВ) = 0,3 • 0,4 = 0,12; Л4 = АВ, причем Р(АВ) = 0,3 • 0,6 = 0,18. Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: Л1 с вероятностью р\ = 0,28, А2 с вероятностью р2 - 0,42, Лз с вероятностью рз = 0,12, М с вероятностью /?4 = 0,18. Эта задача в соответствии с правилом настоящего параграфа сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X с законом распределения X 1 2 3 4 р 0,28 0,42 0,12 0,18* Выберем из таблицы приложения 9 четыре случайных числа, например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05. Используя правило из 15.1, легко находим искомую последовательность результатов четырех испытаний: Л2, Л], Л4, Л]. 686. События А и В независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а события В — 0,8. ^Указание^Сосгавитъ полную группу событий: Л1 = АВ, Аг = АВ, Лз = = А В, Л4 = А В; для определенности принять случайные числа: 0,69; 0,07; 0,49; 0,41; 0,38.
358 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло 687. События А, В и С независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, события В — 0,2, события С — 0,4. Указание. Составить полною группу^обытий: Д^_= ABC, А^=_АВС, А3 = ЛЯС, А* = АВС,А5 = АВСУАЬ = АВСуАп = А ВС, Л8 = ABC; для определенности принять случайные числа: 0,541; 0,784; 0,561; 0,180; 0,993. 688. События А и В зависимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых заданы вероятности: Р(А) = 0,5, Р (В) = 0,6, Р(АВ) = 0,2. ^е^Доставить полную группу событий: А\ = АВ, Аг = АВ, Лз = = А В, А4 = А В. Учесть, что Р(А2) = Р(А)- Р(АВ), Р(А3) = Р(В)~ Р(АВ), Р (Л4) = 1 - [Р (А 1)+Р (А2)+Р (Аз)]. Для определенности принять случайные числа: 0,66; 0,06; 0,57; 0,47; 0,17. 15.3. Разыгрывание непрерывной случайной величины Известна функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X. Требуется разыграть X, т.е. вычислить последовательность возможных значений х, (/ = 1,2,...). А. Метод обратных функций. Правило 1. Для того чтобы разыграть возможное значение дс,- непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число г/, приравнять его функции распределения и решить относительно xt полученное уравнение F (*,) = г,. Если известна плотность вероятности / (х), то используют правило 2. Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение xt непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности f (jc), надо выбрать случайное число г* и решить относительно Х[ уравнение J f(x)dx = rh -оо или уравнение Xi jf(x)dx = rh а где а — наименьшее конечное возможное значение X.
15.3. Разыгрывание непрерывной случайной величины 359 Б. Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины X, функция распределения которой F(x) = ClFl(x) + C2F2(x)+ ... +CnFn(x\ где Fk (x) — функции распределения (к = 1,2,... и), С* > О, С\ + Сг + + ... Сп = 1, надо выбрать два независимых случайных числа г\ и г2 и по случайному числу г\ разыграть возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1): Z 1 2 ... п Р С, С2 ... Сп Если окажется, что Z = к, то решают относительно х уравнение Fk(x) = r2. Замечание. Если задана плотность вероятности непрерывной (случайной величины X в виде fix) = d/, Or) + С2/2 (jc) + ... + CJn (дг), где ft (x) — плотности вероятностей, коэффициенты С* положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Z = it, то решают (по правилу 2) относительно х, уравнение J /* (х) dx = г2 или уравнение Г/* (лг) */jc = r2. -00 а 689. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, Ь\ зная ее функцию распределения F (jc) = = (x-a)/(b-a) (a<x<b). Решение. В соответствии с правилом 1 приравняем заданную функцию распределения случайному числу rz: (дг,- - а)/ф - а) = п. Решив это уравнение относительно хх получим явную формулу для разыгрывания возможных значений X: *, = ф - а) г, + а. 690. Разыграть четыре возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (4,14). Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,74, 0,02, 0,94,0,36. 691. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, заданному функцией распределения
360 Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ... методом Монте-Карло 692. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины, заданной плотностью вероятности /(jc) = Ь/{\ + ах)2 в интервале [О, \/(Ь - а)]; вне этого интервала / (х) = 0. Решение. Используя правило 2, напишем уравнение ^J 1/(1+ад:)2 dx = n. о Решив это уравнение относительно *,-, окончательно получим xi = n/(b - an). 693. Разыграть пять возможных значений непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f(x) = 10/(1 + 2х)2 в интервале (0,1/8); вне этого интервала Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,186; 0,333; 0,253; 0,798; 0,145. 694. Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f(x) = 2 в интервале (О; 0,5); вне этого интервала /(х) = 0. 695. Разыграть пять возможных значений непрерывной равномерно распределенной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f(x) = 0,1 в интервале (0,10); вне этого интервала / (jc) = 0. Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,690; 0,749; 0,413; 0,887; 0,637. 696. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, заданному плотностью вероятности / (jc) = = l£~u в интервале (0, оо); вне этого интервала / (х) = 0. 697. Разыграть пять возможных значений непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, заданному плотностью вероятности /(jc) = 0,l^"°'ljc в интервале (0, оо); вне этого интервала /(jc) = 0. Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,80; 0,33; 0,69; 0,45; 0,98. 698. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной по закону Вейбулла, заданного плотностью вероятности /(jc) = = (п/хо)хп-1е-хП/х° при jc > 0; /(jc) = 0 при jc < 0.
15.3. Разыгрывание непрерывной случайной величины 361 699. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной по закону Релея, заданного плотностью вероятности f(x) = = (xlo2)e-^l2°2 при х > 0; /(*) = 0 при х < 0. 700. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины Х> заданной плотностью вероятности /(jc) = \[\ - (кх)12\ в интервале (0;2); вне этого интервала / (jc) = 0. 701. Разыграть четыре возможных значения непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f(x) = 1 - х/2 в интервале (0; 2); вне этого интервала Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,35; 0,96; 0,31; 0,53. 702. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности / (jc) = (1/2) sin x в интервале (0, я); вне этого интервала / (jc) = 0. 703. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины Ху заданной плотностью вероятности f(x) = се~сх/(1 - е~Ьс) в интервале (0,Ь); вне этого интервала f(x) = 0. 704. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины Ху заданной функцией распределения F(X) - 1 - (\/3)(2е~2х + е~3х) (0 < х < оо). Решение, соответствии с правилом 3 представим заданную функция в виде F(x) = (1/3) (1 - е~Ъх) + (2/3) (1 - е~2х). Функции, заключенные в скобках, являются функциями распределения показательного закона, поэтому можно принять: F, (jc) = 1 - <Г3х, F2 (jc) = 1 - е~2х, С, = 1/3, С2 = 2/3. Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения Z 1 2 р 1/3 2/3* Выберем независимые случайные числа г\ и гг. Разыграем Z по случайному числу г\, для чего по правилу из 15.1 построим частичные интервалы Aj - (0,1/3) иА2- (1/3,1). Если г\ < 1/3, то Z = 1; еслип > 1/3, то Z- 2.
362 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло Итак, возможное значение X находят, решая относительно х уравнение 1 - е~Ъх = г2, если г\ < 1/3, или 1 - е"2* == г^, если гх > 1/3. Решив эти уравнения, получим: х= [-1п(1 -г2)]/3, если и < 1/3; х = [-1п(1 - г2)]/2, если и £ 1/3. Приняв во внимание, что случайные величины R и 1 - /? в интервале (0,1) распределены одинаково, окончательно имеем более простые формулы: х = (- In r2)/3, если г\ < 1/3; jc = (- In г2)/3, если ri > 1/3. 705. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины Х> заданной функцией распределения F (х) = 1 - 0,25 (е~2х + Зе~х) (0 < < х < оо). Указание. Принять Fi (jc) - 1 - е~2х, F2 (jc) = 1 — е~х. 706. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения F(x) - 1 - (1/5)(2г~3* + Зе~4х) (0<*<оо). • Указание. Принять F\ (х) = 1 - e~3xt F2 (jc) = 1 - е~Ах. 707. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины Ху заданной функцией распределения F(x) = 1 - (1/7) (е~х + le"1* + + Аё^х) (0 < х < с»). Указание. Принять F\ (jc) = 1 - е~х, F2 (jc) = 1 - е"2*, F3 = 1 - е~Ъх. 708. а) Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f{x) - (4/27) [1 ■»-(*- I)3] в интервале (0,3); вне этого интервала / (*) = 0. б) Показать, что метод обратных функций требует решения уравнения четвертой степени (jc,- -1)4+4л, - (27/-, +1) = 0. Указание. Принять ft (jc) = 4/9, /2 (jc) = (2/9) (х - I)3, Q = 1/3, С2 = 2/3.
15.4. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины 363 709. а) Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(jc) = (5/12) [1 + (jc - I)4] в интервале (0,2); вне этого интервала /(jc) = 0. б) Показать, что метод обратных функций требует решения уравнения пятой степени (jc, - 1)^ + 5х, - (12гг- - 1) = 0. Указание. Принять/, (jc) = 1/2,/2 (х) = (5/2)(х- I)4, С, = 5/6, С2 = 1/6. 15*4. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины Требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину. Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение дг/ нормальной случайной величины X с параметрами а = = 0 и а = 1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6: 12 г,- - 6 = Si - 6. Замечание. Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а и средним квадратиче- ским отклонением о, то, разыграв возможное значение jc,- по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле Zt = axi + a. 710. Разыграть четыре возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а = 0, о = 1; б) а = 2, о = 3. Решение, а) В соответствии с правилом разыграем возможное значение х\ нормальной случайной величины X с параметрами а = = 0 и а = 1 по формуле 12 Выберем из второй строки таблицы приложения 9 первых 12 случайных чисел: 0,37; 0,54; 0,20; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42; 0,96;
364 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло 0,24; 0,80. Сложив эти числа, получим S \ = 6,06. Искомое возможное значение х\ = S \ - 6 = 6,06 - 6 = 0,06. Аналогично, выбрав из третьей, четвертой и пятой строк таблицы по 12 первых случайных чисел, получим: 52 = 4,90,5з = 4,48, 54 = 6,83. Следовательно, х2 = 4,90-6 = -1,10; хъ = 4,48-6 = -1,52; jc4 = 6,83 - 6 = 0,83. б) Найдем возможные значения нормальной случайной величины Z с параметрами а = 2, а = 3 по формуле ц = са, + а. Подставив возможные значения х\ = 0,06, а = 2, а = 3, получим z\ =3 0,06 + 2 = 2,18. Аналогично найдем остальные возможные значения: zi = -1,3, Z3 = -2,56, Z4 = 4,49. 711. Разыграть пять возможных значений нормальной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а = 1; б) а = 10, а = 2. Указание. Для определенности выбрать по 12 первых двузначных чисел последних пяти строк таблицы приложения 9 и умножить каждое двузначное число на 0,01. 712. Разыграть пять возможных значений нормальной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а = 1; б) а = 4, а = 0,1. Указание. Для определенности выбрать по 12 первых трехзначных чисел из первых пяти строк таблицы приложения 9 и умножить каждое трехзначное число на 0,001. 713. Разыграть 50 возможных значений нормальной случайной величины X с параметрами а = 0, а = 1 и оценить параметры разыгранной величины. Указание. Для определенности при разыгрывании возможного значения jc, выбрать первые 12 двузначных чисел i-й строки таблицы приложения 9 и умножить каждое двузначное число на 0,01. 15.5. Разыгрывание двумерной случайной величины А. Дискретная двумерная случайная величина. Разыгрывание дискретной двумерной случайной величины (X, Y) сводится к разыгрыванию ее составляющих — одномерных дискретных случайных величин X и Y.
15.5. Разыгрывание двумерной случайной величины 365 Пусть задан закон распределения двумерной случайной величины (X, У). Если составляющие X и У независимы, то находят законы их распределения и по ним разыгрывают X и У по правилу из 15.1. Если составляющие зависимы, то находят закон распределения одной из них, условные законы распределения другой и по ним разыгрывают X и У по правилу из 15.1. 714. Дискретная двумерная случайная величина (X, У), составляющие которой независимы, задана законом распределения: У У\ Уг X х\ 0,18 0,12 хг 0,30 0,20 *з 0,12 0,08 Разыграть случайную величину (X, У). Решение. Найдем закон распределения составляющей X: рх = Р(Х = jci) = 0,18 + 0,12 = 0,30; р2 = Р(Х = х2) = 0,30 + 0,20 = 0,50; рз = Р(Х = хъ) = 0,12 + 0,08 = 0,20. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид X JCi Х2 *3 р 0,30 0,50 0,20' Аналогично найдем закон распределения У: У У\ Уг р 0,60 0,40 Составляющие X и У разыгрывают по правилу из 15.1. 715. Разыграть пять пар возможных значений двумерной случайной величины (X, У), составляющие которой независимы, зная закон ее распределения: У У\ Уг X Х\ 0,20 0,30 хг 0,08 0,12 хъ 0,12 0,18 Указание. Для определенности принять при разыгрывании X случайные числа: 0,98; 0,52; 0,01; 0,77; 0,67, а при разыгрывании У - числа 0,11; 0,80; 0,50; 0,54; 0,31.
366 Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ... методом Монте-Карло 716. Дискретная двумерная случайная величина (X, У) задана законом распределения: У У\ Уг X 0,10 0,06 хг 0,30 0,18 *з 0,20 0,16 Разыграть пять пар возможных значений (X, У). Указание. Найти закон распределения составляющей X я разыграть ее. Найти условные законы распределения р (yj1 дс,) = %^-J— составляющей У и разыграть ее. Для определенности принять случайные числа, приведенные в задаче 715. Б. Непрерывная двумерная случайная величина. Разыгрывание непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) сводится к разыгрыванию ее составляющих — одномерных случайных величин X и У. Пусть задан закон распределения двумерной случайной величины (X, У). Если составляющие X и У независимы, то находят законы их распределения и по ним разыгрывают X и У по правилам из 15.1. Если составляющие X и У зависимы, то находят закон распределения одной из них, условный закон распределения другой и по ним разыгрывают X и У по правилам из 15.1. Замечание. Составляющие X и У независимы, если выполняется любое из условий: 1. Плотность совместного распределения равна произведению плотностей составляющих. 2. Функция совместного распределения равна произведению функций распределения составляющих. 3. Условные плотности распределения составляющих равны их безусловным плотностям. 4. Плотность совместного распределения равна произведению двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — только от у (задача 437). 717. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, У), заданной плотностью вероятности /(х, у) = (3/4) ху2 в области, ограниченной прямыми х = О, у = 0, х = 1, у = 2. Решение. Составляющие X и У независимы, так как совместную плотность вероятности f(x,y) = (3/4)xy2 можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от дс, а другая — только от у.
15.5. Разыгрывание двумерной случайной величины 367 Найдем плотность распределения составляющей X: 2 2 Л (х) = J/Uу) dy = (3/4)х Jy2 dy = 2х. о о Разыграем X по правилу 2 (см. 15.1): 2Jxdx = n. о Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений X: х\ = л/п. Найдем плотность распределения составляющей У: 1 1 Л (У) = J7(*O>) dx = (Wfjxdx = (3/8)/. о о Разыграем по правилу 2 (см. 15.3): Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений у: 718. Найти явные формулы для разыгрывания двумерной непрерывной случайной величины (X, У), заданной плотностью вероятности f(x,y) = 4дгу в области, ограниченной прямыми х = 0, у - 0, х = 1, у = 1. 719. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, У), если составляющая X задана плотностью вероятности /i (х) = */2 в интервале (0;2); составляющая У равномерно распределена в интервале (*,-,*,• + 3) с плотностью /2(у) = 1/3, где X — разыгранное возможное значение X.
368 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло Решение. Разыграем составляющую X по правилу 2 из 15.3: Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений X: Найдем условную функцию распределения составляющей У, учитывая, что величина У распределена равномерно в интервале (*,>*/+ 3). Используем правило 1 из 15.3: (у-, - */)/3 = rj, где г< — случайное число. Решив это уравнение относительно у,, получим явную формулу для вычисления возможных значений у: yi - Ъг\ + *,, где Xi находят по формуле (*). 720. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, Y\ если составляющая X задана плотностью вероятности f\ (jc) = (2*)/9 в интервале (0,3); составляющая Y равномерно распределена в интервале (jc, - 2, jc, + 2) с плотностью fz (у) = 1/4, где jc, — разыгранное возможное значение X. 721. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, Y), заданной плотностью вероятности f(x,y) = 6у в области, ограниченной прямыми у = 0, у = х, х = 1. Решение. Найдем плотность вероятности составляющей X: А (*) = $f(x>y) dy = 6$ydy = 3x2(O<x< 1). о о Разыграем X по правилу 2 из 15.3: Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений X:
15.6. Оценка надежности простейших систем ... 369 Найдем условную плотность вероятности составляющей У: V(yl*) = /Uy)//i (x) = (6у)/(3х2) = Разыграем Y по правилу 2 из 15.3: у» у» (2/x2)jydy=r'i. Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений Y: где xi находят по формуле (*). 722. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, У), заданной плотностью вероятности f(x,y) = 3у в области, ограниченной прямыми х = О, у = jc, у = 1. Указание. Найти сначала плотность вероятности составляющей У и разыграть У; найти условную плотность распределения составляющей X и разыграть X. 723. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (Х,У), заданной плотностью вероятности /(jc,у) = 4х в области, ограниченной линиями у = jt2, у = 0, jc = 1. 15.6. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло 724. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система отказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента: Л, В (они соединены параллельно) и отказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй блок содержит один элемент С и отказывает при отказе этого элемента, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности (вероятности безотказной работы) системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,85, Р(С) - 0,6;
370 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло б) найти абсолютную погрешность \Р - Р*\, где Р — надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний. Решение, а) Выберем из таблицы приложения 9 три случайных числа: 0,10; 0,09; 0,73 и разыграем события А, Ву С, состоящие в безотказной работе соответственно элементов А, В, С, по правилу: если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не наступило. Результаты испытания будем записывать в расчетную табл. 57. Поскольку Р(А) = 0,8 и 0,10 < 0,8, то событие А наступило, т.е. элемент А в этом испытании работает безотказно. Так как Р(В) = = 0,85 и 0,09 < 0,85, то событие В наступило, т.е. элемент В работает безотказно. Таким образом, оба элемента первого блока работают; следовательно, работает и сам первый блок. В соответствующих клетках табл. 57 ставим знак плюс. Таблица 57 Номер испытания 1 2 3 4 Блок Первый Второй Первый Второй Первый Второй Первый Второй Следующие числа, моделирующие элементы А 0,10 0,25 0,52 0,86 В 0,09 0,33 0,01 0,34 С 0,73 0,76 0,35 0,67 Заключение о работе элементов А + + + — В + + + + С _ _ + блоков + + + + системы - - + - Так как Р{С) = 0,6 и 0,73 > 0,6, то событие С не наступило, т.е. элемент С получает отказ; другими словами, второй блок, а значит, и вся система, получают отказ. В соответствующих клетках табл. 57 ставим знак «минус». Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. 57 приведены результаты четырех испытаний. Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности Р примем относительную частоту Р* = 28/50 = 0,56. б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно
15.6. Оценка надежности простейших систем ... 371 равны: р] = 1 - Р(А) • Р(В) = 1 - 0,2 • 0,15 = 0,97, Р2 = Р(С) = 0,6. Вероятность безотказной работы системы Р = Рх.р2 = о,97 • 0,6 = 0,582. Искомая абсолютная погрешность \Р = Р*\ = 0,582 - 0,56 = = 0,022. 725. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Первый блок содержит три элемента: А, В, С, а второй — два элемента: Д Е. Элементы каждого блока соединены параллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р(А) = 0,8, Р(В) = 0,9, Р(С) = 0,85, P(D) = 0,7, Р(Е) = 0,6; б) найти абсолютную погрешность \Р - Р*\, где Р — надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 20 испытаний. Указание. Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9, начиная с шестой строки сверху. 726. Система состоит из трех блоков, соединенных последовательно. Первый блок содержит два элемента: Л, Ву второй — три элемента: С, Д Е> третий — один элемент F. Элементы первого и второго блоков соединены параллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,9; Р(С) = 0,7; P(D) = 0,75; Р(Е) = 0,8; б) найти абсолютную погрешность \Р - Р*|, где Р — надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 30 испытаний. Указание. Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. 727. Устройство состоит из двух узлов, соединенных последовательно. Первый узел содержит два элемента: Л, В, которые соединены параллельно. Второй узел содержит один элемент С. Время безотказной работы элементов распределено по показательному закону с параметрами, соответственно равными 0,04; 0,05; 0,10. Найти методом Монте-Карло: а) оценку Р* вероятности безотказной работы устройства за время длительностью 10 ч; б) среднее время безотказной работы устройства. Произвести 50 испытаний.
372 Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ... методом Монте-Карло Решение, а) Разыграем время (в ч) безотказной работы элементов: tA = -(1/0,04) Inn = 25 (-In г,); tB = -(1/0,05) In г2 = 25 (- In г2); tc = -(1/0,10) In г3=25(- In r3), где r\, Г2, гз — случайные числа. Например, для первого испытания возьмем из таблицы приложения 9 три случайных числа: 0, 10, 0,09, 0,73 и по ним разыграем время безотказной работы элементов: tA = 25 (- In 0,10) = 25 • 2,30 = 57,50; tB = 20 (- In 0,09) = 20 ■ 2,41 = 48,20; tc = 10 (-In 0,73) = 10-0,32 = 3,2. Элементы А, В первого узла соединены параллельно, поэтому для его работы достаточно, чтобы работал хотя бы один элемент. Следовательно, в первом испытании первый узел будет работать max (57,50; 48,20) = 57,50 ч. Первый и второй узлы соединены последовательно, поэтому устройство работает, если оба узла работают одновременно. Следовательно, в первом испытании устройство будет работать min (57,50; 3,2) = 3,2 ч. Составим расчетную табл. 58. Таблица 58 Номер испытания 1 2 3 4 Следующие числа, моделирующие элемент А 0,10 0,25 0,52 0,86 В 0,09 0,33 0,01 0,34 С 0,73 0,76 0,35 0,67 Время безотказной работь элементов А 57,50 34,75 16,25 3,75 В 48,20 22,20 92,00 21,60 С 3,2 2,7 10,5 4,0 узлов первого 57,50 34,75 92,00 21,60 второго 3,2 2,7 10,5 4,0 устройства 3,2 2,7 10,5 4,0 В табл. 58 приведены результаты только четырех испытаний. Если произвести 50 испытаний, то окажется, что в 18 испытаниях устройство работало 10 ч (и более). Искомая оценка надежности устройства (вероятности его безотказной работы за время длительностью 10 ч) Р* = 18/50 = 0,36.
15.6. Оценка надежности простейших систем ... 373 Для сравнения приведем аналитическое решение. Вероятности безотказной работы элементов: Вероятность безотказной работы первого узла за время длительностью 10 ч />, = 1-(1-0,67) (1-0,61) = 0,87. Вероятность безотказной работы устройства за время длительностью 10 ч Р = Рх • Rc (10) = 0,87 • 0,37 = 0,32. Абсолютная погрешность \Р-Р*\ = |0,32 - 0,36| = 0,04. б) Найдем среднее время безотказной работы устройства, учитывая, что в 50 испытаниях оно работало безотказно всего 450 ч: F = 450/50 = 9. Для сравнения приведем аналитическое решение. Среднее_вре- мя работы элементов: 1А = 1/0,04 = 25, 1В = 1/0,05 = 20, 1С = = 1/0,10=10. Среднее время работы узлов: t\ = max (25,20) = 25, 72=10. Среднее время работы устройства: 1\ - min (25,10) = 10. Абсолютная погрешность 17 - 7* | = 10 - 9 = 1. 728. Устройство состоит из трех узлов, соединенных последовательно. Первый узел содержит два элемента: Л, В> которые соединены параллельно. Второй узел содержит один элемент С, третий узел — один элемент D. Время безотказной работы элементов (в ч) распределено по показательному закону с параметрами, соответственно равными 0,02; 0,05; 0,08; 0,01. Найти методом Монте-Карло: а) оценку Р* вероятности безотказной работы устройства за время длительностью 6 ч; б) среднее время безотказной работы устройства. Произвести 50 испытаний. Указание. Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. 729. Устройство состоит из двух узлов, соединенных последовательно. Первый узел содержит три элемента: Л, В, Су а второй — два элемента: Д Е. Элементы каждого узла соединены параллельно. Время безотказной работы элементов распределено по показательному закону с параметрами,
374 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло соответственно равными 0,01; 0,02; 0,04; 0,01; 0,05. Найти методом Монте-Карло: а) оценку Р* вероятности безотказной работы устройства за время длительностью 60 ч; б) среднее время безотказной работы устройства. Произвести 50 испытаний. Указание. Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. 15.7. Расчет систем массового обслуживания с отказами методом Монте-Карло 730. В трехканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону /(т) = 5е~5т. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Т = 4 мин. Решение. Пусть Т\ = 0 — момент поступления первой заявки. Заявка поступит в первый канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания первой заявки Т\ + 0,5 = О + 0,5 = 0,5. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу. Моменты поступления последующих заявок найдем по формуле где х,- — длительность времени между двумя последовательными заявками с номерами i - 1 и /. Возможные значения х, разыгрываем по формуле Учитывая, что по условию \ - 5, получаем т, = 0,2 (- In r,-). Случайные числа г/, берем из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. Для нахождения времени между поступлениями первой и второй заявок возьмем случайное число г = = 0,10. Тогда х2 = 0,2 • (- In0,10) = 0,2 • 2,30 = 0,460. Первая заявка поступила в момент Т\ = 0. Следовательно, вторая заявка поступит в момент Тг = Т\ + 0,460 = 0 + 0,460 = 0,460. В этот момент первый канал еще занят обслуживанием первой заявки, поэтому вторая
15.7. Расчет систем массового обслуживания с отказами ... 375 заявка поступит во второй канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания второй заявки Тг + 0,5 = 0,460 + 0,5 = = 0,960. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу. По очередному случайному числу г = 0,09 разыграем время тз между поступлениями второй и третьей заявок: тз = 0,2 (- In 0,09) = 0,2 • 2,41 = 0,482. Вторая заявка поступила в момент Т2 = 0,460. Поэтому третья заявка поступит в момент Г3 = Т2 + 0,482 = 0,460 + 0,482 = 0,942. В этот момент первый канал уже свободен и третья заявка поступит в первый канал. Момент окончания обслуживания третьей заявки Гз + 0,5 = 0,942 + 0,5 = 1,442. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу. Дальнейший расчет производят аналогично (табл. 59), причем если в момент поступления заявки все каналы заняты (момент поступления заявки меньше каждого из моментов окончания обслуживания), то в счетчик отказов добавляют единицу. Заметим, что обслуживание 20-й заявки закончится в момент 4,148 > 4, поэтому эта заявка получает отказ. Испытание прекращают (в таблице записывают «Стоп»), если момент поступления заявки Т > 4. Из табл. 59 находим, что за 4 мин всего поступило 20 заявок; обслужено xi = 12 заявок. Выполнив аналогично еще пять испытаний, получим: хг = 15, хъ = 14, дс4 = 12, х5 = 13, х6 = 15. В качестве оценки искомого математического ожидания а числа обслуженных заявок примем выборочную среднюю а* = х = (2 • 12 + 13 + 14 + 2 • 15)/6 = 13,5. 731. В трехканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону / (т) = 4е'4х. Длительность обслуживания каждой заявки равна 1 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Т = 5 мин. Указание. Произвести шесть испытаний. Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9 с двумя знаками после запятой, начиная с первой строки сверху. 732. В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных
376 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло Таблица 59 Номер заявки i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Слу- чаи- ное число г' 0,10 0,09 0,73 0,25 0,33 0,76 0,52 0,01 0,35 0,86 0,34 0,67 0,35 0,48 0,76 0,80 0,95 0,90 0,91 0,17 - In г, 2,30 2,41 0,32 1,39 1,11 0,27 0,65 4,60 1,05 0,15 1,08 0,40 1,05 0,73 0,27 0,22 0,05 0,10 0,09 1,77 Время между двумя последовательными заявками т, =0,2 (In г,) 0,460 0,482 0,064 0,278 0,222 0,054 0,130 0,920 0,210 0,030 0,216 0,080 0,210 0,146 0,054 0,044 0,010 0,020 0,018 0,354 Момент поступления заявки Т{ = r,--i + т, 0 0,460 0,942 1,006 1,284 1,506 1,560 1,690 2,610 2,820 2,850 3,066 3,146 3,356 3,502 3,556 3,600 3,610 3,630 3,648 4,002 (Стоп) Момент 7*, + 0,5 окончания обслуживания заявки каналом 1 0,500 1,442 2,006 3,110 3,646 4,148 2 0,960 1,506 2,060 3,320 3,856 3 1,784 3,350 4,002 Итого Счетчик обслуженных заявок 1 1 1 1 1 1 1 xi =12 отказов 1 1 1 1 1 1 1 8 заявок распределено по закону /(х) = 0,%е °'8т; время обслуживания заявок случайное и распределено по закону /i (г) = l,5e~lt5t. Найти методом Монте-Карло за время Т - = 30 мин: а) среднее число обслуженных заявок; б) среднее время обслуживания одной заявки; в) вероятность обслуживания; г) вероятность отказа. Произвести шесть испытаний. Решение. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону /(т) = О,8е~°-8т, поэтому
15.7. Расчет систем массового обслуживания с отказами ... 377 значения т, разыграем по формуле т,- =-0/0,8)111/7= 1,25 (-In г,-). Случайные числа берем из таблицы приложения 9, начиная с первой строки снизу. Время обслуживания заявок распределено по закону f\ (r) = = \,5e~]'5t, поэтому значения /, разыграем по формуле U = -0/1,5) In Я,- = 0,67 (-In Я,). Случайные числа /?, берем из той же таблицы, начиная с первой строки сверху. Пусть Т\ = 0 — момент поступления первой заявки. По случайному числу R\ = 0,10 разыграем длительность времени обслуживания первой заявки (в мин): г, = 0,67 (- In 0,10) = 0,67 • 2,30 = 1,54. Момент окончания обслуживания первой заявки Т\ = 1,54 = = 0 + 1,54 = 1,54. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу. По случайному числу г2 = 0,69 разыграем время (в мин) между моментами поступления первой и второй заявок1: т2 = 1,25 (- In 0,69) = 1,25 • 0,37 = 0,46. Первая заявка поступила в момент Т\ = 0. Следовательно, вторая заявка поступит в момент Тг = Т\ + 0,46 = 0 + 0,46 = 0,46. В этот момент канал занят обслуживанием первой заявки (0,46 < < 1,54), поэтому вторая заявка получит отказ. В счетчик отказов записываем единицу. По очередному случайному числу г3 = 0,07 разыграем время между моментами поступления второй и третьей заявок: тз = 1,25(-In0,07) = 1,25 • 2,66 = 3,32. Вторая заявка поступила в момент Тг = 0,46. Следовательно, третья заявка поступит в момент Г3 = Т2 + 3,32 = 0,46 + 3,32 = 3,78. В этот момент канал уже свободен (3,78 > 1,54), поэтому он обслужит третью заявку. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу. Дальнейший расчет ясен из табл. 60 и 61. Испытание заканчивают, когда момент поступления заявки Г, ^ 30. Например, 1У первого случайного числа намеренно поставлен индекс 2, чтобы не вносить расхождений с обозначениями табл. 60.
378 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло в первом испытании, как видно из табл. 60, 23-я заявка поступила в момент Тгъ - 31,35 > 30, поэтому эту заявку исключаем («Стоп») и первое испытание заканчиваем. Аналогично производят и остальные испытания. Таблица 60 Номер заявки i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Случайное число г, 0,69 0,07 0,49 0,41 0,38 0,87 0,63 0,79 0,19 0,76 0,35 0,58 0,40 0,44 0,01 0,10 0,51 0,82 0,16 0,15 0,48 0,32 -In г, 0,37 2,66 0,71 0,89 0,97 0,14 0,46 0,24 1,66 0,27 1,05 0,54 0,92 0,82 4,60 2,30 0,67 0,20 1,83 1,90 0,73 1,14 Время между двумя последовательными заявками т( = 1,25(-1пг,) 0,46 3,32 0,89 1,11 1,21 0,18 0,58 0,30 2,08 0,34 1,31 0,68 1,15 1,02 5,75 2,88 0,84 0,25 2,29 2,38 0,91 1,42 Момент поступления заявки т — т i " i-1 t, 0 0,46 3,78 4,67 5,78 6,99 7,17 7,75 8,05 10,13 10,47 11,78 12,46 13,61 14,63 20,38 23,26 24,10 24,35 26,64 29,02 29,93 31,35 (Стоп) Аналогично производят и остальные испытания. В табл. 62 приведены результаты шести испытаний, включая первое. Используя табл. 62, найдем искомые величины: а) среднее число обслуженных за 30 мин заявок Л^обсл = 93/6 = 15,5, б) среднее время обслуживания одной заявки 7обсл = 4,49/6 = = 0,748, в) вероятность обслуживания Робел = 3,974/6 = 0,662, г) вероятность отказа Ротк = 1 ~ Л>бсл = 1 - 0,662 = 0,338. Таким образом, примерно 66% заявок будут обслужены, а 34% получат отказ.
15.7. Расчет систем массового обслуживания с отказами ... 379 733. В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону / (х) = О,5^"°'5т, время обслуживания случайное и распределено по закону f\ (0 = 2e~2t. Найти методом Монте-Карло за время Т - 20 мин: а) среднее число обслуженных заявок; б) среднее время обслуживания одной заявки; в) вероятность обслуживания; г) вероятность отказа. Таблица 61 Номер заявки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 I Случайное число Ri 0,10 0,09 0,73 0,25 0,33 0,76 0,52 0,01 0,35 0,86 0,34 0,67 0,35 0,48 -In Я, 2,30 2,41 0,32 1,39 1,11 0,27 0,65 4,60 1,05 0,15 1,08 0,40 1,05 0,73 Длительности обслуживания заявки /,=0,67(-1п/?,) 1,54 1,61 0,21 0,93 0,74 0,18 0,44 3,08 0,70 0,10 0,72 0,27 0,70 0,49 11,71 поступления заявки 0 0,46 3,78 4,67 5,78 6,99 7,17 7,75 8,05 10,13 10,47 11,78 12,46 13,61 14,63 20,38 23,26 24,10 24,35 26,64 29,02 29,93 Момент начала живания 0 3,78 5,78 6,99 8,05 10,13 10,47 11,78 20,38 23,26 24,10 26,64 29,02 30,42 окончания об- служи- вания 1,54 5,39 5,99 7,92 8,79 10,31 10,91 14,86 21,08 23,36 24,82 26,91 29,72 Счетчик женных заявок 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 отказа 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
380Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ...методом Монте-Карло Указание. Произвести шесть испытаний. Для определенности брать случайные числа с двумя десятичными знаками после запятой из таблицы приложения 9 при разыгрывании т„ начиная с первой строки снизу, а при разыгрывании г, — начиная с первой строки сверху. Таблица 62 Номер испытания j 1 2 3 4 5 6 Е Поступило заявок ^У/пост 22 25 24 22 20 27 140 Обслужено заявок Njo6cn 13 17 16 15 13 19 93 Длительность обслуживания ';обсл 11,71 8,80 13,46 12,19 11,99 9,57 Среднее время обслуживания ';обсл = = ^обсл "уОбсЛ 0,90 0,52 0,84 0,81 0,92 0,50 4,49 Вероятность обслуживания "/обсл NjUOC7 0,591 0,680 0,667 0,682 0,650 0,704 3,974 Вероятность отказа PjOTK = = 1-^обсл 0,409 0,320 0,333 0,318 0,350 0,296 15.8. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло А. Способ усреднения. ъ В качестве оценки определенного интеграла / = \<$(x)dx принимают v 1=1 где п — число испытаний, jc, — возможные значения случайной величины ху распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, Ь); их разыгрывают по формуле где г/ — случайное число.
15.8, Вычисление определенных интегралов ... 381 Дисперсия о2 усредняемой функции (Ь - а) ф (X) равна: В качестве оценки интеграла / = jj/(*,;y) dx dy, где область D интегрирования D принадлежит единичному квадрату (0 < х < 1, О ^ у < 1), принимают о где 5 — площадь области интегрирования; N — число случайных точек fayi), принадлежащих области интегрирования. Если вычислить площадь S трудно, то в качестве ее оценки можно принять S* = N/n; в этом случае формула (*) имеет вид где п — число испытаний. В качестве оценки интеграла / = J jj f(xyy>z) dx dy dzy где v область интегрирования V принадлежит единичному кубу (0 < х < < 1,0 < у < 1, 0 < z < 1)> принимают где V — объем области интегрирования; N — число случайных точек (*,,)>„£,), принадлежащих области интегрирования. Если вычислить объем трудно, то в качестве его оценки можно принять V* = N/n; в этом случае формула (**) имеет вид N f{xiyyiyZi) П где п — число испытаний.
382 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло Б. Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения». В качестве оценки инте- ъ грала / = Г ф (jc) dx принимают где п — число испытаний; / (jc) — плотность распределения «вспо- ь могательной» случайной величины X, причем Г/(jc) dx = 1; jc, — а возможные значения X, которые разыгрывают по формуле JfMdx-n. а Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношение / (*)/ф (jc) при различных значениях jc изменялось незначительно. В частности, если /(jc) = l/(b - а), получим оценку /J. В. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади. Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: 0 ^ ф (jc) ^ с, а двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием (Ь - а) и высотой с. Тогда двумерная плотность вероятности / (jc, у) = 1 /ф - а)с для точек, принадлежащих D; f (jc, у) = 0 вне D. ъ В качестве оценки интеграла 1\ = Г ф (jc) dx принимают где п — общее число случайных точек С*,,^), принадлежащих D\ п\ — число случайных точек, которые расположены под кривой у - Г. Способ «выделения главной части». В качестве оценки ин- ъ теграла / = Г ф (jc) dx принимают , п = — Yto (*.') - 8 (*.)] + Г g (х) dx, п ы i где х-, — возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, Ь), которые разыг-
15.8. Вычисление определенных интегралов ... 383 рывают по формуле дт, = а + (Ь - а) г,; функция g (х) а ф (дс), причем интеграл Г £ (jc) dx можно вычислить обычными методами. J а 734. Вывести формулу где я* = я + (£ - я) г/, для оценки определенного интеграла ь fq>(x)dx. а Решение. Введем в рассмотрение случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (я, Ъ) с плотностью /(jc) = l/(b- а). Тогда математическое ожидание ь j ь ф W/W Л = ^ Отсюда Заменив математическое ожидание Л/ [ф (X)] его оценкой — выборочной средней, получим оценку искомого интеграла где Xi — возможные значения X. Так как случайная величина X распределена равномерно в интервале (ayb) с плотностью / (jc) = \/(b - а), то jc, разыгрывают по 1 ? формуле dx = г, (см. 15.3, правило 2). Отсюда *, = а + Ь — a J а + (Ь -а)г„ где г,- — случайное число. 735. Найти: а) оценку определенного интеграла з / = | (д+1) dx; б) абсолютную погрешность I/-/JI; в) дис- 1 Персию о2 усредняемой функции (Ь - а) ф (X).
384 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло Решение, а) Используем формулу Г1=ф-а) '=1 По условию а = 1; Ъ - 3; ф(дг) = х + 1. Примем для простоты число испытаний п = 10. Тогда оценка 10 10 1) 1=1 = 2 1=1 1 w ' 10 " 10 где возможные значения дс, разыгрывают по формуле хх; = а + (Ъ- а)п = 1 + (3 - 1)г,- = 1 + 2г,. Результаты испытаний приведены в табл. 63. Случайные числа г, взяты из первой строки приложения 9. Таблица 63 Номер испытанияi 1 8 10 п х( = \+ 2г, ф (Xj) = JC, + 1 0,100 1,200 0,973 0,253 0,376 0,520 2,946 1,506 2,200 3,946 2,506 1,752 2,752 2,040 3,040 0,135 0,863 0,467 1,270 2,726 0,354 0,876 2,270 3,726 1,934 2,934 1,708 2,752 2,708 3,752 Из табл. 63 находим V ф (*,-) = 29,834. Искомая оценка Найдем абсолютную погрешность |/ - /J|. Приняв во внимание, что получим искомую погрешность: |/-/;| = |6-5,967| = 0,033. в) Найдем дисперсию о2 усредняемой функции (Ь - а) ф (X) = (3 - 1) (X + 1) = 2Х + 2 по формуле
15.8. Вычисление определенных интегралов ... 385 По условию а = 1; Ъ = 3; ф (х) - х + 1, следовательно, 4 Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию о2 = -. Заметим, что а2 можно было вычислить непосредственно, используя свойства дисперсии: D(X + C) = D(X)y D(CX) = C2-D(X). Действительно, о2 = D(2X + 2) = D(2X) = 4D(X). Поскольку случайная величина X распределена равномерно в интервале (1; 3), то ее дисперсия (см. задачу 315) 12 " 12 Следовательно, 736. В качестве приближенного значения интеграла / = ¥ У><*) = cosjc dx: принята оценка 1\ = (Ь - а) . Найти о дисперсию а2 усредняемой функции ф - а) ф (X). Решение. Используем формулу По условию а = О, Ъ - л/2, ф (х) = cos x. Следовательно, л/2 Гл/2 I2 л/2, - Гл/2 "|2 Г ЯГ 2 j Г j Я г 1 + COS 2* г , сг = — J cos xdx-\ J cosjcdx\ = — J аде- I cosjc Jx Выполнив выкладки, полним искомую дисперсию: 13 3ак. 1296
386Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ...методом Монте-Карло 737. В качестве приближенного значения интеграла 7 = я/2 = I sin х dx принята оценка /J. Найти дисперсию а2 усред- о няемой функции | sin X. 5 738. Найти: а) оценку определенного интеграла 7 = I х1 dx 2 по данным десяти испытаний; б) дисперсию а2 усредняемой функции ЗХ2. Указание. Для определенности взять случайные числа г, из первой строки табл. 63. 1 739. Найти: а) оценку I* определенного интеграла Г ех dx о по данным 10 испытаний; б) дисперсию усредняемой функции ф (X) = ех. 740. Найти оценки 1\ определенных интегралов: л/4 4 а)7= ftg'xdx; б) 7 = Г ** J J (1 + V*)2 по данным 10 испытаний. 741. Найти оценку Гг определенного интеграла I о по данным 10 испытаний. Случайные числа г^ взять из первой строки табл. 63. Решение. Разыграем 10 возможных значений X по формуле Xi = 0+ -г, = 1,571 г/. л/2 Результаты испытаний приведены в табл. 64. Таблица 64 Номер испытанияi п *, = (л/2)г, <pU) = COSJCJ 1 0,100 0,157 0,988 2 0,973 1,529 0,042 3 0,253 0,398 0,922 4 0,376 0,591 0,830 5 0,520 0,817 0,684 6 0,135 0,212 0,978 7 0,863 1,356 0,213 8 0,467 0,734 0,742 9 0,354 0,556 0,849 10 0,876 1,376 0,194 Учитывая, что V ф(х,) = 6,442, найдем искомую оценку интеграла: /Г = (л/2) (6,442/10)= 1,01.
15.8. Вычисление определенных интегралов ... 387 742. В качестве приближенного значения определенного Уф(*|) го интеграла qp(jc) dx принята оценка I* = (Ь- а)— . J п а Доказать, что дисперсия о2 усредняемой функции (Ь-а) <р (X) равна Ь "• 2 г ь <p2(x)dx- n< la <p(x)f(x)dx а la Решение. Учитывая, что D (СХ) = C2D (X), ползаем o2 = D [(b - а) ф (X)] = (^ - a)2Z> [ф(Х)]. Используем формулу (**) (см. 6.3) ь D [ф (X)] = J ф2(л) dx - [М [Ф (X)]]2. а По формуле (*) (см. 6.3) ъ Следовательно, ъ ь I2 Я[<Р(Х)] = Jq^W/Wrfx f<p(x)f(x)dx\ . а а J Так как случайная величина X распределена равномерно в интервале (я, Ь)у то ее плотность /(лс) = — -, а значит, (Ь-а) Подставив (**) в (*), окончательно получим ъ ь I = (b-a)fcp2(X)dx- fv(x)f(x)dx\ а а \ I 1 743. Найти оценку /* интеграла I = Г dx \(x + у) dy. о о Произвести 10 испытаний.
388Глава 15. Моделирование (разыгрывание) ...методом Монте-Карло Решение. Область интегрирования ограничена линиями у - = ху у - 1, х - О и, очевидно, принадлежит единичному квадрату. Площадь области интегрирования (прямоугольного треугольника) S = (1 • 1)/2 = 0,5. Используем формулу Г =S N = 0,5- N (*) где N — число случайных точек (x^yi), которые принадлежат области интегрирования; у этих точек у, > xt (при каждом испытании, в котором это условие выполняется, в счетчик N записывают единицу). Пары независимых случайных чисел (jc,, yi) берем из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. Результаты 10 испытаний приведены в табл. 65. Таблица 65 НохМер испытания i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Z 0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474 >v 0,973 0,376 0,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296 Счетчик yi > Xi 1 1 1 1 4 1,073 0,629 1,230 0,545 3,477 Из табл. 65 находим N = 4, ^/U,,;y,) = 3,477. Подставив эти числа в формулу (*), получим искомую оценку: Г = 0,5 • (3,477/4) = 0,435. Сравнительно большое расхождение полученной оценки с точным значением /"= 0,5 объясняется малым числом испытаний. 744. Найти оценку Г интегралов: J
15.8. Вычисление определенных интегралов ... 389 1 \-x-y д) J dx\ dy \ xyzdz. 0 0 0 Произвести по 10 испытаний. Случайные числа брать из таблицы приложения 9 с тремя знаками после запятой, начиная с первой строки сверху. 745. Вывести формулу /* = - V ^ для оценки опре- Ъ деленного интеграла / = | ф(дг) dx, где f(x) — плотность а распределения «вспомогательной» случайной величины X в интервале интегрирования (a,b); jc/ — возможные значения X, разыгранные по известной плотности /(jc); n — число испытаний. Решение. Пусть /(jc) — плотность распределения некоторой случайной величины X в интервале интегрирования (а,Ь)у т.е. ь Г / (jc) dx = 1. Представим интеграл / так: Таким образом, интеграл / представлен в виде математического ожидания функции F(X) = y(X)/f(X). В качестве оценки этого математического ожидания, а следовательно, равного ему интеграла /, примем выборочную среднюю 1 2 = £ где Xi — возможные значения случайной величины X, которые разыгрывают по известной плотности / (jc); n — число испытаний. Искомая оценка получена. Заметим, что желательно выбрать /(jc) так, чтобы по возможности отношение / (jc)/| ф (jc) | = const. 1 746. Найти оценку Гг интеграла / = I ex dx. о
390 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло Решение. Так как ех = 1 + х +..., то в качестве плотности «вспомогательной» случайной величины X примем функцию f(x) = = С(1 + X). Из условия С J(l + jc) dx = 1 найдем С = 2/3. Итак, Запишем искомый интеграл так: ех (2/3) (х +1) (2/3)(x+l)dx. Таким образом, интеграл / представлен в виде математического ожидания функции —. В качестве искомой оценки при- \JeJ J) \Х -Г 1 ) мем выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями): 10 10 10' где jc, — возможные значения Ху которые надо разыграть по известной плотности / (jc) = (2/3) (jc + 1). По правилу 2 (см. 15.3), имеем (2/3)J(jc+1) </* = /•„ Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных значений X: Xi = >/1 + 3r,- - 1. В табл. 66 приведены результаты 10 испытаний. Таблица 66 Номер испытания i 1 10 JC. + l 0,100 0,973 0,140 0,980 1,150 1,140 1,009 2,664 1,980 1,345 0,253 0,326 1,385 1,326 1,044 0,37 6 0,459 1,582 1,459 1,084 0,520 0,600 1,822 1,600 1,139 0,135 0,185 1,203 1,185 1,015 0,863 0,467 0,354 0,876 0,894 2,445 1,894 1,291 0,550 0,436 0,905 1,733 1,550 1,118 1,546 2,472 1,436 1,077 1,905 1,298 ю _ eXi Сложив числа последней строки табл. 66, получим } г = 11,42. Искомая оценка в силу (*) равна Г2 = 0,15 • 11,4-2 = 1,713.
15.8. Вычисление определенных интегралов ... 747. Найти оценки Гг определенных интегралов: 1 л/2 dx a) \{x+\)dx; б) ( е2* dx; в) \ smxdx; г) Г i { { J (1 + Указание. Принять в качестве «вспомогательной плотности» / (х) функцию соответственно, равную: а) (1 /4) х; 6) 0,5( 1 + 2jc); в) (8/л2) х; г) 1,092/( 1 + + JC). 748. Вывести формулу /* = (Ь - а)с(п\/п) для оценки ъ определенного интеграла / = I ф (jc) dxf где подынтеграль- а ная функция неотрицательна и ограничена (0 < ф (х) < с), исходя из истолкования интеграла как площади. Решение. Введем в рассмотрение двумерную случайную величину (X, У), распределенную равномерно в прямоугольнике D с основанием (b - а) и высотой с, плотность вероятности которой / (*> у) - 11Ф-а) с. Составляющая X распределена в интервале (а, Ь) равномерно с плотностью \/(Ь - а); составляющая Y распределена в интервале (0, с) с плотностью 1/с. Если разыграно п точек (х^уй, принадлежащих прямоугольнику D, из которых п\ точек оказались под кривой у = ср (х), то отношение площади, определяемой интегралом /, к площади прямоугольника D ь S {Ь- а) с п Отсюда ь j y(x) dx = (Ь - а)с(пхп). а Таким образом, в качестве оценки интеграла / можно принять 2 749. Найти оценку /3 интеграла I (4 - jc2) dx. о Решение. Используем формулу Г3=(Ь-а)с(П1/п). В интервале (0,2) подынтегральная функция ф (jc) = 4 - х2 неотрицательна и ограничена, причем ф (х) < ф (0) = 4; следовательно,
392 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло можно принять с = 4. Введем в рассмотрение двумерную случайную величину (X, У), распределенную равномерно в прямоугольнике D с основанием Ь-д = 2-0 = 2и высотой с = 4, плотность вероятности которой / (*, у) = 1/(2 • 4) = 1/8. Разыграем п = 10 случайных точек (xityi)t принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью f\ {x) - 1/2 и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью /2 Су) = 1/4, разыграем координаты случайной точки (дс/.у/)» принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел (г„ /?,-): Xi >•,- -(*£/*= г,-, - Г dy = /?,. 2 J 4 J о о Отсюда д:, = 2г„ у, = 4/?,. Если окажется, что yi < 4 - jc?, то точка (д:м>',) лежит под кривой у = ф (х) и в «счетчик ni» надо добавить единицу. Результаты десяти испытаний приведены в табл. 67. Таблица 67 Номер испытания i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 г, 0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474 Xi = 2г, 0,200 0,506 1,040 1,726 0,708 1,618 1,822 1,084 0,112 0,948 А 0,040 0,256 1,082 2,979 0,501 2,618 3,320 1,175 0,013 0,899 4-х? 3,960 3,744 2,918 1,021 3,499 1,382 0,680 2,825 3,987 3,101 0,973 0,376 0,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296 у, = ARi 3,892 1,504 0,540 1,868 3,504 2,360 2,948 0,192 1,956 1,184 У( < 4-*? 1 1 1 1 1 1 Из табл. 67 находим щ - 6. Искомая оценка интеграла /3* = ф - а)с(пх/п) = 2 • 4 • (6/10) = 4,8. 4 , 750. Найти оценку /3 интеграла - dx. J х Указание. Для определенности взять 20 пар случайных чисел с тремя знаками после запятой из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. 1 751. Найти оценку /* интеграла I ex dx.
15.8. Вычисление определенных интегралов ... 393 Указание.1 Для определенности взять 10 пар случайных чисел с тремя знаками после запятой из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. 752. Вывести формулу /4 = / Дф С**) ~ 8 Ш] + \ g (x) dx, *=1 а где xt = а + (Ь - а) г„ g (x) ^ ф (х), для оценки интеграла ъ / = Решение. Введем в рассмотрение случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а,Ь)с плотностью f(x) = \/(b - a). Допустим, что найдена такая функция g (д:), которая «мало отличается» от cp(jt) и интеграл от которой можно вычислить, не прибегая к методу Монте-Карло. Тогда математическое ожидание функции а равно /. Действительно, учитывая, что величина X распределена в интервале интегрирования (д, Ь) равномерно с плотностью 1 /(Ь - а), получим ь ъ M[F(X)] = (b- a)J[<p(x)-g(x)] • —— - dx + jg(x) dx = а ^ ' а Таким образом, в качестве оценки математического ожидания M[F(X)], а следовательно, интеграла / можно принять среднее арифметическое п значений функции F (X): , п Ъ = — У[Ф(х,) -g(л»)] +(g(x) dx, П Ы a 'Это указание относится и к задачам 754,755.
394 Глава 15. Моделирование (разыгрывание)... методом Монте-Карло где Xi — возможные значения X, которые разыгрывают по формуле xtj = a + (b - а) г,. 1 753. Найти оценку ГА интеграла / = J Vl + x2 dx. о Решение. Так как Vl + х2 = 1 + (1/2)*2 + ... (| jc | ^ 1), то примем g(x) - 1 + (1/2)*2. Тогда, полагая число испытаний п = 10, имеем оценку Выполнив элементарные преобразования, получим С) Учитывая, что а = 0, Ъ = 1, возможные значения х\ разыграем по формуле jc, = а+(Ь-а) г, = г,. Результаты вычислений приведены в табл. 68. Таблица 68 Номер испытания f 1 8 10 jc, = 0Д00 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,010 0,947 0,064 0,141 0,270 0,018 1,010 1,947 1,064 1,141 1,270 1,018 1,005 1,395 1,032 1,068 1,127 1,009 2,000 1,843 2,000 1,995 1,984 2,000 0,863 0,467 0.745 1,745 1,321 1,897 0,218 1,218 1,104 1,990 0,354 0,125 1,125 1,061 1,997 0,876 0,767 1,767 1,329 1,891 Сложив числа последней строки табл. 68, найдем сумму 19,597, подставив которую в соотношение (*), получим искомую оценку интеграла /; = (19,597/20) + (1/6) = 1,145. Заметим, что точное значение / = 1,147. 1 754. Найти оценку /* интеграла J ex dx. о Указание. Принять функцию g (х) = 1 + jc, так как е* = 1 + jc + ... 1 755. Найти оценку /* интеграла I е~**/2 dx. Указание. Принять функцию g (jc) = 1-0^/2), так как е"*2'2 = 1-
Раздел V СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава 16 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 16.1. Основные понятия. Характеристики случайных функций Случайной функцией X (г) называют функцию неслучайного аргумента г, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Сечением случайной функции X(t) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Реализацией случайной функции X (г) называют неслучайную функцию аргумента г, которой может оказаться равной случайная функция в результате испытания. Таким образом, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин [X (г)}, зависящих от параметра t, или как совокупность ее возможных реализаций. Характеристиками случайной функции называют ее моменты, которые являются неслучайными функциями. Математическим ожиданием случайной функции X (/) называют неслучайную функцию mx(t\ значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента: Свойства математического ожидания случайной функции. Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной функции ср (t)
16.1. Основные понятия. Характеристики случайных функций 397 равно самой неслучайной функции: Свойство 2. Неслучайный множитель ф (О можно выносить за знак математического ожидания: М [ф (г) • X (г)] = Ф (г). М [X «] = ф (0 • тх (г). Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых: Свойство можно обобщить на п слагаемых функций: п м Следствие. Если X (О — случайная функция, ф (0 — неслучайная функция, то Дисперсией случайной функции X(t) называют неслучайную неотрицательную функцию Dx (r), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента: Средним квадратическим отклонением случайной функции называют квадратный корень из дисперсии: о,(0= VAc (0. Свойства дисперсии случайной функции. Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции ф (0 равна нулю: Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функции X (0 и неслучайной функции ф (Нравна дисперсии случайной функции:
398 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции X (г) на неслучайную функцию ф (г) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции: Центрированной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием: X(t) = X(t)-mx(t). Корреляционной функцией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию Kx(t\yt2) двух независимых аргументов t\ и t2y значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: При равных между собой значениях аргументов t\ = t2 - t корреляционная функция случайной функции равна дисперсии этой функции: Kx(ttt) = Dx(t). Свойства корреляционной функции. Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симметрии): Свойство 2. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого ср (t) не изменяет ее корреляционной функции: если Свойство 3' При умножении случайной функции X (О на неслучайный множитель ф (г) ее корреляционная функция умножается на произведение ф (t\) • ф (t2): если Y (r) =X (t)y (t\ то Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений: )< y/Dx(h)Dx(t2).
16.1. Основные понятия. Характеристики случайных функций 399 Нормированной корреляционной функцией случайной функции X(t) называют неслучайную функцию двух независимых переменных t\ и t2, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: Kx{tuh) Абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает единицы: | рх (гь t2) \ < 1. Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t) и У (О называют неслучайную функцию Rxy(t\,h) двух независимых аргументов t\ и t2, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих функций, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю. Некоррелированными называют две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю. Свойства взаимной корреляционной функции. Свойство 1. При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется: Свойство 2. Прибавление к случайным функциям X(t) и Y(t) неслучайных слагаемых <р(г) и у (0 не изменяет их взаимной корреляционной функции: если Хг (0 = X (0 + Ф (г), У, (г) = У (0 + у (г), то Свойство 3. При умножении случайных функций X(t) и Y(t) на неслучайные множители, соответственно ф (0 и \|/ (г), взаимная корреляционная функция умножается на произведение ф(*О если
400 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций то RXiyi (f 1, t2) = Rxy (t\, t2) • Ф (fi )V ('2). Свойство 4. Абсолютная величина взаимной корреляционной функции двух случайных функций X(t)uY (t) не превышает среднего геометрического их дисперсий: \Rxy(tbt2)\< Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (0 и У (г) называют неслучайную функцию двух независимых аргументов t\ и t2: Pxy(t\yt2) = Абсолютная величина нормированной взаимной корреляционной функции не превышает единицы: | р^ (t\, t21 < 1. 756. Случайная функция X(t) = (r2 + 1) (/, где U — случайная величина, возможные значения которой принадлежат интервалу (0,10). Найти реализации функции X (0 в двух испытаниях, в которых величина U приняла значения: а) и\ = = 2;6)и2 = 3,54. 757. Случайная функция X (О = U sin г, где U — случайная величина. Найти сечения X (0, соответствующие фиксированным значениям аргумента: a) t\ = л/6; б) t2 = Jt/2. 758. Доказать, что неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания: 759. Найти математическое ожидание случайной функции X (/) = Ue\ где U — случайная величина, причем М (U) = = 5. 760. Доказать, что математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых. Указание. Принять во внимание, что при любом фиксированном значении аргумента сечение случайной функции есть случайная величина. 761. Найти математическое ожидание случайной функции: a) X(t) = Ut2 + It + 1; 6) X(t) = U sin 4/ + Vcos4f, где U и V — случайные величины, причем M(U) = М (У) = 1.
16,1. Основные понятия. Характеристики случайных функций 401 762. Доказать, что корреляционная функция случайной функции X{t) равна корреляционной функции центриро- о ванной случайной функции: X(t) = X (t) - тх (/). 763. Доказать, что при равных между собой значениях аргументов корреляционная функция случайной функции X (t) равна ее дисперсии: Кх (/, t) = Dx (t). Указание. Принять во внимание, что, по определению дисперсии случайной величины XtDx = M [(X - тх)2] = М [(X)2]. 764. Доказать, что от прибавления к случайной функции X(t) неслучайной функции ф(/) корреляционная функция не изменяется: если Y (t) = X (t) + ф (г), то Ку (tx, t2) = Кх (t\, t2). Решение. Найдем математическое ожидание ту (г) = М [X(t) + Ф (г)] = тх (t) + ф (г). Найдем центрированную функцию Y(O = Y(t) -ту(/) = [Х(г) + ф(01 - imx(t) + Ф(г)] = о Таким образом, Y (/) = Найдем корреляционную функцию1 AT, = M [hti)Y(t2)] = М[Х{ц)ХШ = Кх. Итак, л:у = а:х. 765. Известна корреляционная функция Кх случайной функции X (t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y (0 = X(t) + г2. 766. Доказать, что при умножении случайной функции X(t) на неслучайный множитель ф (0 корреляционная функция умножается на произведение ф (^) • ф (t2). 767. Известна корреляционная функция Кх случайной функции X (t). Найти корреляционную функцию случайной функции: a) Y(t) = X(t)(t + 1); б) Z(t) = CX(t\ где С - постоянная. 768. Пусть X (0 — случайная функция, ф it) — неслучайная функция. Доказать: если Y (/) = X (t) + ф (f), то D^ (/) = 1В этой задаче и в ряде последующих задач для простоты записи скобки U1, Ъ) опущены.
402 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций Решение. Первый способ. При любом фиксированном значении аргумента сечение X(t) — случайная величина, ф(г) — постоянное число. Известно, что прибавление к случайной величине постоянного числа не изменяет ее дисперсии, поэтому Dy (/) = D [X (г) + Второй способ. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого не изменяет корреляционной функции: Ку (t\, t{) = = Кх (t\, /2)- При равных значениях аргументов получим Ку (/, t) = = Кх (г, г), или окончательно Dy (/) = Dx (t). 769. Известна дисперсия Dx (t) случайной функции X (t). Найти дисперсию случайной функции Y(t) = X(t) + 2. 770. Дано: X(t) — случайная функция, ф(г) — неслучайная функция. Доказать: если Y (t) = X (t) • ф (/), то Dy (r) = = Ф2(/)-АгЮ- 771 • Известна дисперсия случайной функции X (t). Найти дисперсию случайной функции Y (t) = (t + 3)X (t). 772. На вход усилительного звена подается случайная функция X(t)y математическое ожидание и корреляционная функция которой известны: mx(t) = t, Kx(t\,ti) = e~a(t2~tl)2 (a > 0). Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию выходной случайной функции Y (t\ если коэффициент усиления к = 5. Указание. Учесть, что выходная функция Y{t) = 5X(t). 773. Доказать, что корреляционная функция произведения двух центрированных некоррелированных случайных функций равна произведению корреляционных функций сомножителей. о о Решение. Пусть Z (/) = X (t) Y (t). Математическое ожидание произведения некоррелированных функций равно произведению математических ожиданий сомножителей, поэтому mz (/) = т°х (г) х х /л» (г). Математическое ожидание любой центрированной функ- о ции равно нулю, поэтому mz(i) = 0 • 0 = 0 и, следовательно, Z (г) = = X(t)Y(0. Искомая корреляционная функция Kz = Af [Z(r!)Z(f2)] = Л/{[Х(Г,ШШХ('2)П'2)]}. Перегруппируем сомножители под знаком математического ожидания:
16.1. Основные понятия. Характеристики случайных функций 403 Учитывая, что заданные функции не коррелированы, получим Kz = М [X (г,) X (t2)] • М [Y (h) Y Ш Или Kz = КХКУ. Корреляционная функция случайной функции равна корреляционной функции центрированной функции (см. задачу 762), поэтому окончательно имеем Kz = K°xK°. 774. Доказать, что корреляционная функция произведения трех центрированных независимых случайных функций равна произведению корреляционных функций сомножителей. 775. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции X (t) = = [/cos2/, где U — случайная величина, причем М([/) = 5, D(U) = 6. Решение, а) Найдем искомое математическое ожидание (неслучайный множитель cos 2t вынесем за знак математического ожидания) М [X (/)] = М [U cos 2/] = cos 2tM (U) = 5 cos It. б) Найдем центрированную функцию X{t) = X(t) -mx(t) = Ucos2t - 5cos2/ = (U - 5)cos2f. Найдем искомую корреляционную функцию KAtuti) = M[X(ti)X(t2)] = M{[(U - 5)cos2ri][(l/ - 5)cos2r2]} = = cos2f,cos2/2A/a/-5)2. Учитывая, что М (V - 5)2 = D(U) = 6, окончательно имеем Kx (h, t2) = 6 cos 2fi cos 2f2. в) Найдем искомую дисперсию, для чего положим t\ = г2 = г. 776. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции X (t) = = Usinity где U — случайная величина, причем М(U) = 10, D(U) = 0,2. 777. Известна корреляционная функция A^(fi, f2) = t\h + ф2 случайной функции X (f). а) Убедиться на примере
404 Глава 16, Корреляционная теория случайных функций при /i = 1, *2 ='2, что абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений; б) найти нормированную корреляционную функцию и вычислить коэффициент корреляции сечений, соответствующих значениям аргументов t\ = 1,*2 = 4. 778. Задана корреляционная функция Kx{t\yti) = fi^x х e-"2-'il случайной функции X(t). Найти нормированную корреляционную функцию. 779. Найти взаимную корреляционную функцию двух случайных функций: X(t) = t2U и Y(t) = /2t/, где U — случайная величина, причем D(U) = 5. Решение. Найдем математические ожидания: тх (г) = M(t2U) = t2muy ту (г) = М (f3f/) = ?ти. Найдем центрированные функции: X(t) = *(/)- тх (/) = P-U - /2mu Y(t) = Y(t)- my (t) = t*U- Pmu = t*(U - mu). Найдем взаимную корреляционную функцию: Rv = M[X(ti)ht2)] = M{[i\{U-mu)][t\{U-muy\} = = t]?2M [(U - mu)2] = i\?2D(U) = 5if ф Итак, /?^. ^ф 780. Доказать, что взаимная корреляционная функция случайных функций X (t) и Y (t) равна взаимной корреляци- о о онной функции центрированных функций X(t) и Y(t). 781. Доказать, что при одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция двух случайных функций не изменяется: Rxy (t\, t2) = Ryx {t2, t\). 782. Задана взаимная корреляционная функция Rxy (t\Ji) = cos(a/i + (3*2)- Написать взаимную корреляционную функцию Ryx (t\, t2). 783. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию случайных функций X (t) = tUuY(t) = (t+ 1)[/, где U — случайная величина, причем дисперсия D(U) = 10.
16.2. Характеристики суммы случайных функций 405 16.2. Характеристики суммы случайных функций Теорема 1. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых. Следствие. Математическое ожидание суммы случайной функции и случайной величины равно сумме их математических ожиданий. Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух коррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды (с разным порядком следования аргументов): если Y(t\mo Kz(tu h) = Kx(tut2) + Ky (tut2) + Rxy (tut2) + Rxy (h, h). Теорема обобщается на п попарно коррелированных функций: я если Y(t) = ^Xi(t),то (Г,, /2) = где пары индексов (/, j) второго слагаемого есть размещения из чисел 1,2,..., л, взятых по два. Следствие 1. Корреляционная функция суммы некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых. Следствие 2. Корреляционная функция случайной функции и некоррелированной с ней случайной величины равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины. 784. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X (t) и Y (t). Найти корреляционную функцию случайной функции Z{t) = X{t) + + У (0, если рассматриваемые функции: а) коррелированы; б) не коррелированы. 785. Известны математические ожидания тх (t) = It + + 1, my(t) = f- 1 и корреляционные функции Кх = t\t2', Ку = е"^2~^2 некоррелированных случайных функции X(f) и Y (t). Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию случайной функции Z (/) = X(t) + Y (t).
406 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций 786. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X (t) и Y{t). Найти взаимную корреляционную функцию случайных функций U(i) = = аХ (t) + by(t) и V(t) = cX (t)+dY (t), где a, byc,d— постоянные действительные числа. 787. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X(t)y Y(t), Z(t). Найти корреляционную функцию случайной функции U(t) = X(t)+ + Y(t) + Z(t), если рассматриваемые функции: а) попарно коррелированы; б) попарно не коррелированы. я 788. Доказать, что формулу Ку = /\кх. + /\^х) для отыскания корреляционной функции суммы Y(t) = коррелированных случайных функций можно записать в ви- 2 7=1 789. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X(t) = Ut + V/2, где U и V — некоррелированные случайные величины, причем M(U) = 4, А/(V) = 7, D(U) = 0,1, D(V) = 2. Указание. Принять во внимание, что величины U и V не коррелированы, поэтому их корреляционный момент Л/ [(£/ - mu){V - т„)] = 0. 790. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X(t) = U sin t + + Vcos /, где U hV — некоррелированные случайные величины, причем M(U) = 1, M(V) = 8, D(U) = D(V) = 4. 791. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X(t) = U cos 2t + + V sin r + г, где С/ и V — некоррелированные случайные величины, причем M(U) = 1, M(V) = 2, £>([/) = 3, Z)(V) = 4. Указание. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого / не изменяет ее корреляционной функции, поэтому достаточно найти корреляционную функцию случайной функции Y(t) = U cos It + V sin /. 792. Заданы случайные функции X(t) = Ucost + Vsin/, Y(t) = Ucos3t + У^тЗ/, где f/ и V — некоррелированные случайные величины, причем M{U) = М(V) = 0, D(U) = = D(V) = 5. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию рху (t\, /2)- • 793. Найти корреляционную функцию случайной функции X(t) = U\ cos(iV+ V\
16.3. Характеристики производной от случайной функции 407 о)2 — постоянные числа; Uu Ui> V\, Уг — попарно коррелированные случайные величины, причем их математические ожидания равны нулю, дисперсии величин U\ и V\ равны D\, дисперсии величин Ui и У г равны Di. 16.3. Характеристики производной от случайной функции Говорят, что последовательность случайных величин Xi, Х2,..., Хп сходится в среднеквадратичном к случайной величине X, если математическое ожидание квадрата разности Хп - X стремится к нулю при п -* оо: М [(Х„ - X)2] = 0. Случайную величину X называют пределом в среднеквадратичном последовательности случайных величин Х\, Х2,..., Хп и пишут X = lim Xn. Случайную функцию X (г) называют дифференцируемой, если существует такая функция Х'(0 (ее называют производной), что Таким образом, производной случайной функции Х'(0 называют среднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента At при At -♦ 0: д/-»о At Теорема i. Математическое ожидание производной X (г) = х от случайной функции X (t) равно производной от ее математического ожидания: т-х (г) = тх (г). Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п от случайной функции равно производной этого же порядка от ее математического ожидания. Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайной функции X(i) равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции:
408 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по соответствующему аргументу [если индекс х записан на первом (втором) месте, то дифференцируют по первому (второму) аргументу]: 794. Задано математическое ожидание mx (t) = P + 2/ + 1 случайной функции X (t). Найти математическое ожидание ее производной. 795. Задано математическое ожидание тх (г) = г1 + 4 случайной функции X (г). Найти математическое ожидание случайной функции У (0 = tX'(t) + t2. 796. Доказать, что математическое ожидание второй производной от дважды дифференцируемой случайной функции X (г) равно второй производной от ее математического ожидания. 797. Задана корреляционная функция Кх = 5e'(t2~h)2 случайной функции X{i). Найти корреляционную функцию ее производной. 798*. Задана случайная функция X(t) = Ue3tcos2t, где U — случайная величина, причем M(U) = 4, D(U) = 1. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию ее производной. 799. На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X(t), корреляционная функция которой Кх - [Dx cos o)(/2 - h )]/(t\ +12). Найти корреляционную функцию выходной функции Y(t) = X'(t). 800. На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X (0 с математическим ожиданием тх (t) = = 5 sin t и корреляционной функцией Кх = Зе~°'5('2~/|)2". Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию выходной функции Y (t) = X'(t). 801. Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует» производной [если индекс х стоит на первом (втором) месте, то надо дифференцировать по первому (второму) аргументу]:
16.3. Характеристики производной от случайной функции 409 Решение, а) По определению взаимной корреляционной функции, Произведение под знаком математического ожидания можно представить в виде частной производной по аргументу г2: X(t Wit Л - X(t A dt2 ot2 поэтому ^ = | j. Учитывая, что операции дифференцирования и нахождения математического ожидания можно переставлять, окончательно получим х'х dt2 dt2 ' б) Рекомендуем доказать самостоятельно. 802. Заданы корреляционные функции: а) Кх = е~^2~и) ; б) Кх = t\t2etl+h. Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X (t) и ее производной. 803. Известна взаимная корреляционная функция Rxx случайной функции X (t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной. 804. Известна взаимная корреляционная функция Rxx = = t\(t2 + l)etl+t2 случайной функции X(t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной. 805. Найти корреляционную функцию случайной функции Z(t)-X (t) + X'(t), зная корреляционную функцию Кх. Решение. В силу теоремы 2 (16.2), Кг = Кх + Кх + Rxi + Rxx. Учитывая, что корреляционная функция производной (теорема 2) д2Кх * dt2dt2 и взаимные корреляционные функции (теорема 3) _дКж _дКх окончательно получим искомую корреляционную функцию:
410 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций 806. Найти корреляционную функцию случайной функции Z (г) = X(t) + X'(t)} зная корреляционную функцию Кх = 2 Указание. Использовать задачи 797 и 805. 807. Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции и ее второй производной равна частной производной второго порядка от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует» производной [если индекс на первом (втором) месте, то дифференцируют корреляционную функцию по первому (второму) аргументу]: 808. Задана корреляционная функция Кх = e~(t2~tl)2. Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее второй производной. 809*. Найти корреляционную функцию случайной функции Y (/) = U(t)X(t) + V(t)X'(t), тдеХ(0 — дифференцируемая случайная функция, корреляционная функция которой известна; U{t) и V(t) — неслучайные функции. 810*. Задана корреляционная функция случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию Rxy случайных функций Y(t) = aX(i) + bX'if) и Z(/) = cX'(t) + + dX (г), где a, btc,d — постоянные действительные числа. 16.4. Характеристики интеграла от случайной функции Интегралом от случайной функции X (/) по отрезку [О, t) называют предел в среднеквадратичном интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интервала As, максимальной длины (переменная интегрирования обозначена через s, чтобы отличить ее от предела интегрирования t): = lim Yx(sdbSi= [X(s)ds.
16.4. Характеристики интеграла от случайной функции 411 Теорема 1. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания: t t если Y(i)-\x(s) ds, то ту = J mx(s) ds. о о Теорема 2. Корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от ее корреляционной функции: если Y(t) = J X (s)ds, to Ky = \ \Kx(si,si)ds\ ds2. 0 0 0 Теорема З. Взаимная корреляционная функция случайной функ- t цииХ(0 и интеграла Y(t) = \ X(s) ds равна интегралу от корреля- о ционной функции случайной функции X (г): Rxyih* h) = J Kx (t\, s) ds. о 811. Зная математическое ожидание mx{t) = 3^+1 случайной функции X (i)y найти математическое ожидание ин- теграла Y(t) = Г X(s) ds. о Решение. Искомое математическое ожидание ту (г) = J mx (s) ds = j(3s2 + 1) ds = г3 + t. о о 812. Найти математическое ожидание интеграла Y(t) = t = j X (s) ds, зная математическое ожидание случайной функ- о ции X(t): а) тх {г) - cos t; б) тх (t) = 4cos21\ в) тх (t) = r-cos It. 813. Задана случайная функция X{t) = Ueatcos$ty где U — случайная величина, причем М (U) = 5. Найти математическое ожидание интеграла Y (t) = j X (s) ds. о Указание. Найти сначала тх (г).
412 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций 814. Найти математическое ожидание случайной функ- t ции Y (0 = I X (s) ds, зная случайную функцию X (t): a) X (/) = о = Ueat sin /; б) X (t) = U sin21, где U — случайная величина, причем M(U) = 2. 815. Задана случайная функция X(t) = I/cos21} где [/ — случайная величина, причем M(U) = 2. Найти математическое ожидание случайной функции 816. Задана корреляционная функция Кх (t\, /2) = cos Ш\ х х cos(or2, случайной функции X (t). Найти: а) корреляцион- ную функцию; б) дисперсию интеграла Y (t) = I X (s) ds. Решение, а) Корреляционная функция интеграла Y (/) = Г X (5) <i5 о равна двойному интегралу от заданной корреляционной функции: Kx(S\>S2) dS\ dS2 = J J COS0)5j COS 0)52 dS\ dS2 = 0 0 0 0 t\ tl JP 2 coso)5i ds\ J cos 0)52 ^2 = (sin (ot\ sin o)/2)/co . о о б) Найдем искомую дисперсию, для чего в найденной корреляционной функции положим г 1 = /2 = '• £>у (г) = АГУ (/, г) = sin2 (or/a)2. 817. Задана корреляционная функция Кх = sin Ш\ sin (0/2 случайной функции X(t). Найти: а) корреляционную функ- t цию; 6) дисперсию интеграла Y (t) = I X (5) ds. о 818. На вход интегрирующего устройства поступает случайная функция X(t)y корреляционная функция которой Кх = t\t2. Найти дисперсию на выходе интегратора.
16.4. Характеристики интеграла от случайной функции 413 Указание. Вычислить сначала корреляционную функцию выходной t функции Г (г) = jx(s)ds. о 819. Найти дисперсию интеграла Y{i) = I X(s) ds, зная о корреляционную функцию случайной функции X (t): а) Кх - = 2t\t\ + 3ri/2; б) кх = ^'1+'2; в) кх = l/i + (t2 - tx)2-} г) кх = = eW\ +t2) cos 2fi cos 2/2 820. На вход интегрирующего устройства поступает случайная функция X (г), математическое ожидание и корреляционная функция которой известны: mx(t) = cos2/, Kx = = cos oofi cos (0*2- Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию на выходе интегратора. 821*. Задана случайная функция X(t) = Ue3t cos 2t> где С/ — случайная величина, причем М ([/) = 5, £>(£/) = 1. Найти: а) математическое ожидание, б) корреляционную функ- цию; в) дисперсию интеграла Y(t) = I X(s) ds. о Решение, а) Вычислим предварительно математическое ожидание заданной функции, учитывая, что М (U) = 5: тх (0 = М [Ue3t cos It] = С/е3/ cos 2t-M(U) = 53' cos 2/. Найдем искомое математическое ожидание: ту (г) = Г mx (^) <fa = 5 Г ^3j cos 2^ Jj. о о Интегрируя дважды по частям, окончательно получим б) Вычислим предварительно корреляционную функцию заданной функции. Приняв во внимание, что центрированная функция X(t) = X 0) ~ тх (0 = e3t cos It - 5e3t cos It = e3t cos 2t(U - 5), имеем Kx = M{[^3/cos2ri((/ - 5)][^3r2cos2r2(f/ - 5)]} = = e*>+^ cos 2/i cos 2r2 -M(U- 5)2.
414 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций По условию D(U) = M(U - 5)2 = 1, следовательно, Кх = e3(hH2)cos2t]cos2t2. Найдем искомую корреляционную функцию: Ку (г, Ji) = J je3iSl+S2) cos2л cos2s2 dsx ds2. о о Выполнив интегрирование, окончательно имеем Ky(tut2) = (1/169)[^ (2sin2/! +3cos2ri)-3][63/2(2sin2r2+ +3cos2r2)-3]. в) Найдем искомую дисперсию: Dy(t) = Ky(t,t) = 822. Найти дисперсию интеграла Y(t) = f X(s) ds, зная о случайную функцию: a) X(t) = (/cos2/, где U — случайная величина, причем M(U) = 5, D(U) = 6; 6) X(t)U sin t, причем 823. Задана корреляционная функция Кх = e"^tl+t2\ Найти корреляционную функцию случайной функции Указание. Найти сначала корреляционную функцию интеграла, а затем использовать свойство 3 корреляционной функции (16.1). 824. Задана случайная функция X(t) = C/cos3/, где U — случайная величина, причем M(U) = 1, D(U) = 1. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции =^ \x(s)ds.
16.4. Характеристики интеграла от случайной функции 415 825*. Задана корреляционная функция Кх = ea{h+t2) x xcos P*i cos Р*2. Найти дисперсию случайной функции Y(t) = о 826*. Задана корреляционная функция Кх = Zte~"2~4 Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию инте- t гралаУ(0 = jx(s)ds. о Решение. Используем формулу Ky = f jKx(s\,S2)dSl ds2 = DJ dsx Je-fe-'il ds2. (*) 0 0 0 0 1. Пусть t\ < t2. Тогда внутренний интеграл h s\ h JYl*2-*.l dsi = fe-l4-n) ds2 + JY(*2-5l) ds2. 0 0 51 Выполнив интегрирование, найдем '2 J 2 J <Г'*-511 ds2 = 2 - о J о Подставив (**) в (*), получим: После интегрирования получим корреляционную функцию при t\ < t2: Ку (tut2) = D[2r, + e'h + e~h - e-{tl~h) - 1]. (***) 2. Пусть t2 < t\. Используя свойство симметрии (при перестановке аргументов корреляционная функция не изменится), сразу получим корреляционную функцию интеграла при t2 < t\: Ку (f2, h) = D[2t2 + e~h + ^fl - e-(ri"'2) - 1].
416 Глава 16. Корреляционная теория случайных функций 3. Объединив эту формулу с формулой (***), окончательно имеем для любых t\ и /2 Ку (гь/2) = D [2min(rbf2) + <Г" + e~h - <Г("-'2) - 1]. где min (/], /2) — наименьшее из чисел t\ и f2. Найдем искомую дисперсию: Dy (t) = Ку (г, t) = 2D(t + е"г - 1). 827*. Заданы математическое ожидание mx{t) = 3 + 4/, корреляционная функция Кх = 10е~2"2~Ч Найти: а) математическое ожидание; 6) дисперсию интеграла 828. Доказать, что если известна корреляционная функция случайной функции X (i)y то взаимные корреляционные функции случайных функций X(t) и У(0 = $X(s) ds выра- о жаются интегралами: а) Rxy = J **(/ь J) ds; ^ Ry*= J Кх (5> Г2) d<y- о о Решение. По определению взаимной корреляционной функ- о о ции Rxy = М [X (t]) Y (t2)]. Найдем центрированную функцию: У (г) = Y (г) - /Ну (г) = J X(s) ds - J mx (s) ds = о о r / = j[X (s) - mx (s)] ds = J X {s) ds. о о Следовательно, = M[X(tx)Y{t2)] = Л/ХЙ) Ji(j) ds\ = L J
16.4. Характеристики интеграла от случайной функции 417 Операции нахождения математического ожидания и интегрирования можно менять местами, поэтому '2 о о '2 Rv = J М [X (г,) X(s)] ds = J Kx(h, s) ds. о о б) Доказать самостоятельно. 829. Найти взаимные корреляционные функции слу- чайных функций X (t) и У (0 = J X(s) dsyecnn известна кор- о реляционная функция Кх случайной функции X(t): а) Кх = = 2t\ t2 + 1; X (г); б) Кх = cos t\ cos t2\ в) АГЛ = 14 3ак. 12%
Глава 17 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 17.1. Характеристики стационарной случайной функции Стационарной называют случайную функцию X (/), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента г и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов r2 -1\. Отсюда вытекает следующее. 1. Корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента х = r2 - h- 2. Дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях аргумента t и равна значению корреляционной функции в начале координат (т = 0): Dx (г) = кх (0). Корреляционная функция стационарной функции обладает следующими свойствами. Свойство 1. Корреляционная функция стационарной случайной функции — четная функция: кх (х) = кх (-т). Свойство 2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: \ кх (х) | ^ кх (0). Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента х:
17.1. Характеристики стационарной случайной функции 419 Абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает единицы: | рх (т) | < 1. 830. Задана случайная функция X (/) = cos (t + ф), где ср — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2 я). Доказать, что X (t) — стационарная функция. Решение. Найдем математическое ожидание X (О- тх (/) = Л/ [cos (t + ф)] = М [cos t cos ф - sin t sin ф] = = cos t • M [cos ф] - sin t • M [sin ф]. Учитывая, что (см. 6.3) 2л 2л M[coscp] = (1/2л) f cosydy = 0, M[sincp] = (1/2л) Гsinydcp = 0 о о окончательно получим тх (t) - 0. Найдем корреляционную функцию случайной функции X(t). о Приняв во внимание, что центрированная функция X = X(t) - тх (г) = X (i) - cos (/ + ф), имеем Кх = M[X(tx)X(t2)] = M[cos(h + ф)со5(г2 + ф)]. Выполнив элементарные выкладки, найдем Кх = (l/2)cos(r2 - ti) + (l/2)M[cos(/2 + г, + 2ф)]. Легко убедиться, что математическое ожидание второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно получим Кх = (1 /2) cos (r2- Итак, математическое ожидание функции X(t) постоянно при всех значениях аргумента и корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно, X(t) — стационарная случайная функция. 831. Задана случайная функция X (t) = sin (t + ф), где ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2л). Доказать, что X (г) — стационарная функция. 832. Доказать, что если X(t) — стационарная случайная функция, Y — случайная величина, не связанная с X (i)y то случайная функция Z(t) = X(i) + Y стационарна. 833. Доказать, что если X it) — стационарная случайная функция, Y = X(to) — случайная величина, то случайная функция Z (t) = X(i) + Y нестационарна.
420 Глава 17. Стационарные случайные функции 834. Стационарна ли случайная функция X(t) = U cos 2t, где U — случайная величина? 835. Является ли стационарной случайная функция X{t) = Usint + Vcost, где U и V — некоррелированные случайные величины, причем ти = mv = О, Du = Dv = D? 836. Задана случайная функция X (t) = t2 + £/ sin f+Vcos f, где [/иК- случайные величины, причем M(U) = M (V) = = 0; M(UV) = 0; £>([/) = D(V) = 10. Доказать, что: a) X(t) - о нестационарная функция; б) Х(0 — стационарная функция. 837. Будет ли стационарной случайная функция X{t) = = a sin (otf + ф), где а, со — положительные постоянные числа: Ф — случайная величина, плотность распределения которой /(ф) = cos ф в интервале (0, я/2)? 838*. Доказать нестационарность случайной функции X(t) = я sin (otf + ф), где а, со — положительные числа; ф — нормально распределенная случайная величина, плотность вероятности которой /(ф) = (1/ л/2я)е(-ф2/2). Решение. Найдем математическое ожидание заданной функции: тх (Г) = М[а sin (Ш + ф)] = a sincof • М (cos ф)+ + a cos ш • М (sin ф). Математическое ожидание 1 °° М (sin ф) = —= J sin Ф<Г(<Р2/2) </Ф = 0, (**) так как пределы интегрирования симметричны относительно начала координат и подынтегральная функция — нечетная. Найдем математическое ожидание: 1 °° = —т= Г cos фе(*"ф2/2) dtp. V2S.Joo Введем в рассмотрение интеграл, зависящий от параметра а: оо /(а)= J cos (аф)*Г(<р2/2) Лср.
17 Л. Характеристики стационарной случайной функции 421 Заметим, что при а = 0 получим интеграл Пуассона /(0) = 00 00 = J *T(q)2/2) dy = >/2л. При а = 1 имеем /(1) = J cosqxT(<p2/2) dy. -ОО -00 Следовательно, Af(cosq>) = /(1)/V2ji. (***) Продифференцируем /(а) по параметру а: ОО /'(а) = - J q)sin(aq))e-(<p2/2) dtp. —00 Интегрируя по частям, приняв и = sin(aqp), получим /'(а) = = -а/(а). Общее решение этого дифференциального уравнения /(а) = Се~(а2/2). Положив а = 0, учитывая, что /(0) = V2it, имеем С = V2ji; следовательно, /(a)= V2jUT(a2/2), Всилу(***) М(С08ф) = /(1)/\^1= 1/V? (****) Подставив (**) и (****) в (*), окончательно получим тх (0 = (а/ V*) sin or. Таким образом, тх (t) зависит от аргумента г, поэтому X (г) — нестационарная функция, что и требовалось доказать. 839*. Найти дисперсию случайной функции X(t) = ах х sin (car + ф), где а и со — положительные числа, ф — нормально распределенная случайная величина с плотностью вероятности /(<р) = (1/ ^2п)е~(^2/2\ Указание. Использовать задачу 838. Принять во внимание, что J cos2q><T(<p2/2)</(p = /(2). —ОО 840. Доказать, что корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция. Решение. Корреляционная функция любой случайной функции при перестановке аргументов не изменяется. В частности, для
422 Глава 17. Стационарные случайные функции стационарной функции, корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов, поменяв местами аргументы, получим кх (t2 -t\) - kx (t\ - t2). Положив т = r2 - t\t окончательно имеем кх (т) = кх (-т). 841. Известна корреляционная функция кх(т) стационарной функции X(t). Доказать, что если Y(t) = aX(t\ то ку(т) = а2кх(т). 842. Известна корреляционная функция кх (х) = De~a2%2 стационарной случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t) = 4X(t). 843. Доказать, что дисперсия стационарной случайной функции X (0 постоянна и равна значению корреляционной функции в начале координат: Dx (t) = kx (0). Решение. Дисперсия любой случайной функции равна значению ее корреляционной функции при равных значениях аргументов. В частности, для стационарной функции, корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов, получим 844. Доказать, что абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат: | кх (т) | < кх (0). Указание. Использовать задачу 843 и свойство 4 корреляционной функции (см. 16.1). 845. Найти нормированную корреляционную функцию, зная корреляционную функцию стационарной случайной функции X (/): а) кх (х) = Зе^; б) кх (т) = Dxe^ • (1 + I т |). 17.2. Стационарно связанные случайные функции Стационарно связанными называют две случайные функции X(t) и Y(t)y взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов т = ti -1\: Rxy = г(т). Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.
17.2. Стационарно связанные случайные функции 423 846. Доказать, что взаимные корреляционные функции двух стационарно связанных случайных функций X (/) и Y (/), взятых в различных порядках, связаны равенством г^ (т) = = гух 00- Указание. Использовать задачу 781. 847. Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X (t) и У (/) абсолютная величина взаимной корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий этих функций: Указание. Использовать свойство 4 взаимной корреляционной функции (см. 16.1). 848. Заданы две стационарные случайные функции: X(i) = cos(r + ф) и Y(t) = sin (t + ф), где ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2л). Доказать, что заданные стационарные функции стационарно связаны. Указание. Использовать задачи 830,831; Яду = 0,5 sin fo - fi). 849. Заданы случайные функции X(t) = V cos t - i/sinf, Y(t) = Ucost + Vsin/, где U и V — некоррелированные случайные величины, причем их математические ожидания равны нулю, а дисперсии равны 5. Доказать, что заданные функции стационарны и стационарно связаны. 850. Заданы стационарные случайные функции: а) X (t) = = Usint + Vcos/, Y(t) = Wsint + Vcosf, где £/, V, W - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными 6; б)Х(г) = £/cosf+ Vsinr, Y(t) = £/cos2f+ У sin 2/, где Un V- некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными 3. Являются ли заданные функции стационарно связанными? 851. Заданы стационарные и стационарно связанные случайные функции X (г) = -U sin f + Vcos r, Y(t) = U cos f+Vsin r, где U и V — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными единице. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию заданных функций.
424 Глава 17. Стационарные случайные функции 17.3. Корреляционная функция производной от стационарной случайной функции Корреляционная функция производной X'(i) = х дифференцируемой стационарной случайной функции X (t) равна второй производной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус: 852. Доказать, что если известна корреляционная функция кх (т) дифференцируемой стационарной случайной функции X (0, то корреляционная функция ее производной кх (т) = = -*"(т). Решение. Известно, что корреляционная функция производной любой дифференцируемой случайной функции равна второй смешанной производной от ее корреляционной функции: По условию, X(t) — стационарная функция, поэтому ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов: Кх ('i, t2) = кх (т). Из соотношения т = t2 - t\ находим дх dh Учитывая равенства (*), K*{tlyh)dtxdt2 ~ <Ркх (т) дх dx2 dtx _ i дх at2 ползаем д -1 дкЛ_ г" /j\ . / _ 1 д dh -1) \dkx U - к дх dt2 Видим, что искомая корреляционная функция зависит только от т, поэтому К- (txj2) = ki (т). Итак, к» (т) = -к?х' (т). 853. Доказать, что производные любого порядка (если они существуют) от стационарной случайной функции также стационарны. Решение. 1. Докажем, что первая производная стационарна. Из задачи 852 следует, что корреляционная функция первой производной стационарной случайной функции зависит только от разности аргументов.
17.3. Корреляционная функция производной ... 425 Остается показать, что математическое ожидание производной есть постоянная величина. Учитывая, что математическое ожидание тх стационарной функции постоянно и что операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно менять местами, получим Таким образом, математическое ожидание производной есть постоянная величина. Итак, первая производная X'(t) — стационарная функция. 2. Докажем, что вторая производная стационарна. Функция Х'(0 стационарна, поэтому по доказанному в п.1 ее производная X"(t) также стационарна. 3. Рекомендуем методом математической индукции доказать стационарность производной любого порядка от стационарной функции в предположении, что рассматриваемые производные существуют. 854. Задана корреляционная функция кх(х) = 2е~Ог5х2 стационарной случайной функции X(i). Найти: а) корреляционную функцию и дисперсию производной X'{t) = х; б) отношение дисперсий функции X (/) и ее производной. 855. Задана корреляционная функция кк = De~a|T|(l + + a| x |), (a > 0) стационарной случайной функции X (t). Найти: а) корреляционную функцию производной X'(t)\ б) доказать, что дисперсия производной пропорциональна параметру D и квадрату параметра а. Решение, а) Используем для отыскания корреляционной функции производной формулу (см. задачу 852) кх(х) = -£"(*)• Допустим, что х > 0 и, следовательно, | х | = х; выполнив дифференцирование, получим -% (х) = De~axa2(\ - ax). (*) Допустив, что х < 0 и, следовательно, | х | = -х, аналогично найдем -*;'(x) = DaVT(l+ax). (*•) Объединив (*)и(**), окончательно получим искомую корреляционную функцию: к% - Da2e"a|x| (1 - a| x |). б) Найдем дисперсию производной: D[X'(t)] = к- (0) = Da2. Таким образом, дисперсия производной пропорциональна D и а2, что и требовалось доказать. 856. На вход дифференцирующего устройства подается стационарный случайный сигнал X(t), корреляционная
426 Глава 17. Стационарные случайные функции функция которого кх (т) = е~2|т| (ch т+2 sh т). Найти: а) корреляционную функцию на выходе устройства; б) наибольшее ее значение. 857. Известна корреляционная функция кх(т) стационарной случайной функции X (/). Доказать, что корреляционная функция второй производной к% (т) = к™ (т). Указание. Рассмотреть вторую производную как производную от первой производной и использовать задачу 852. 858*. Заданы математическое ожидание гпх (/) ■= 8 и корреляционная функция кх (т) = 5e~lT '[cos 2т + 0,5 sin 2| x |] нормальной стационарной случайной функции X (t). Найти вероятность того, что производная Y(t) = X'{i) заключена в интервале (0,10). Решение. По условию, функция X (t) распределена нормально, поэтому ее производная Y{t) - X'(t), как известно, также распределена нормально. Вероятность попадания нормальной величины Y в интервал (а, Р) (см. 6.5) Р (а < Y < Р) = Ф [ф - а)/о] - [Ф (а - д)/а], (*) где а — математическое ожидание У, о — среднее квадратическое отклонение У, Ф (/) — функция Лапласа. Таким образом, задача сводится к отысканию параметров аио нормально распределенной случайной величины Y. 1. Найдем математическое ожидание производной: my(t) = = mx (t) = (8/ = 0. Следовательно, параметр a~my (t) = О. 2. Используем для отыскания корреляционной функции производной формулу (см. задачу 852) ку (т) = -Д£ (т). Допустив, что т > 0, найдем -к'х' (т) = 25<TT[cos 2т - 0,5 sin 2т]. (**) При т < 0 -К'х (т) = 25<TT[cos 2т + 0,5 sin 2т]. (***) Объединив (**) и (***), получим корреляционную функцию производной: ку (т) (т) = 25*T|T|[cos 2т - 0,5 sin 2| т |]. 3. Найдем дисперсию производной: Dy - ку (0) = 25. Отсюда среднее квадратическое отклонение оу = 5.
17.4. Корреляционная функция интеграла ... 427 4. Найдем по формуле (*) искомую вероятность того, что производная заключена в интервале (0,10), учитывая, что а = 0, оу = 5, а = 0,(3= 10: Р(0 < Y < 10) = Ф[(10 -0)/5] -Ф[(0-0)/5] = Ф(2) = 0,4772. 859. Заданы математическое ожидание тх = 12 и корреляционная функция кх (т) = 4£~|x|[cos 2т + 0,5 sin 2| т |] нормальной стационарной случайной функции X (t). Найти вероятность того, что производная Y (t) - X'it) принимает значения, большие, чем V5. 860*. Заданы математическое ожидание тх = 6 и корреляционная функция кх(х) = 10e~T|[cos3x + (1/3)sin3|т|] нормальной стационарной случайной функции X(t). Найти плотность вероятности производной Y(t) = X'(i). 17.4. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции Корреляционную функцию и дисперсию интеграла Y(i) - t = JX(s) ds от стационарной случайной функции находят соот- о ветственно по формулам: Ку {tub) = J(h -x)kx(т) dx - J (t2 - fi - x)kx(т) </т+ о о 'l t + J Ci - Wx W ^, D, (0 = 2 J (* - x)kx (t) A. 861*. Задана корреляционная функция кх (х) стационарной случайной функции X (t). Доказать, что корреляционная t функция интеграла Y (t) = j X (s) ds равна
428 Глава 17. Стационарные случайные функции -J Указание. При отыскании двойного интеграла А'уС/ь'г) = bte ~ перейти ftrc. к новым переменным х = s2 - s\} % = s2 + s\. Начертить новую область интегрирования, ограниченную прямыми т = |, т = -|, т = = ! - 2/ь х = -§ + 2/2, и выполнить интегрирование по £ Двойной интеграл по области OABD вычислить как разность двойных интегралов по областям ОАС и BDC. При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования по х и перейти к новой переменной интегрирования х/ = = -х (рис. 19). 862*. Известна корреляционная функция кх(х) стационарной случайной функции X(t). Доказать, что дисперсия интеграла Y(t) = t t = J X (s) ds равна Dy (t) = 2 J (t - x)^ (x) dx. о о Первый способ. Положив t} = t2 = т в формуле для вычисления корреляционной функции, приведенной в задаче 861, получим требуемую формулу. Второй способ. Известно, что корреляционная функция инте- l h h грала Y (t) = \ X (s) ds определяется формулой Ку (t\ ,t2) = J Jkx (s2- o 00 /1 /2 s\) ds\ ds2. При t\ = t2 - t получим дисперсию Dy (t) - Г J kx (s2 - о о si)ds\ ds2. Введем новые переменные: т = s2 - s\,% - s2 + s\. Отсюда 5i(? - x)/2,52 = (§ + т)/2. Легко найти, что модуль якобиана
17.5. Взаимная корреляционная функция ... 429 равен -. Учитывая, что новая область интегрирования (рекомендуем начертить ее для определения новых пределов интегрирования) ограничена прямыми х = £,х = -!=, t = §-2r,x = -§+2f, 2 Ъ~х 0 2/+т j О О t 2/-т 0 2г+ jkx(T)dz J ^ + /Мт)Лх J Выполнив интегрирование по £ и сделав во втором интеграле замену х = -х', переставив в нем пределы интегрирования и вновь обозначив переменную интегрирования через х, приняв во внимание, что кх (—т) = кх (х), окончательно получим о 863. Найти дисперсию интеграла Y(t) = J x(s) dsy зная о корреляционную функцию стационарной случайной функции X(t): а) кх(х) = 1/(1 + т2); б) кх(т) = De~a^ (a > 0); в) Мт) = 1>еа'х|(1+а|т|). Указание. Использовать задачу 862. 864. Задана корреляционная функция кх (т) = 10е~0'051 т' (1+ + 0,05|т|). Найти отношение дисперсии случайной величи- 20 ны Y = J X (s) ds к дисперсии случайной функции X (t). 17.5. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции и ее производных Ниже предполагается, что т = t2-t\. Взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции Х(0 и ее производных выражаются формулами: гхк (т) = к'х (х), т.хх (х) = -*; (х); rxj (х) = г~хх (х) = к'х' (х),
430 Глава 17. Стационарные случайные функции г.~х (х) = -к'х" (т); тп (х) = -*;" (х), гхх (х) = к'х" (т). 865. Доказать, что взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции X(t) и ее производной X'{t) = д: равна первой производной от корреляционной функции кх(т), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс к стоит на втором (первом) по порядку месте: а) гхх (т) = кх (т); б) гхх (х) = -к!х (т). Решение, а) По определению взаимной корреляционной функции Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить, поэтому _дМ[Х(ь)ХЩ _dKx(tut2) **~ dt2 ~ дгг ' Так как X(t) — стационарная функция, то Кх (Гь /2) = кх (х), где = /2-/ьи следовательно, — = 1. Таким образом, dt2 Правая часть равенства зависит только от х; следовательно, и левая часть есть функция от х; обозначив ее через гхх (х), получим Подчеркнем, что поскольку взаимная корреляционная функция зависит только от х, то стационарная случайная функция и ее производная стационарно связаны. 866. Найти взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции X(t) и ее производной, зная корреляционную функцию кх (т) = е~|т| (1 + | т |). 867. Доказать, что взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции X (i) и ее производной изменяет знак при перемене местами аргументов t\ и t2. Решение. Используем задачу 865:
17.5. Взаимная корреляционная функция ... 431 Изменив порядок следования аргументов во взаимной корреляционной функции, получим Rxi (r2, fi). Индекс х стоит на втором месте; следовательно, кх (х) надо дифференцировать по аргументу t\, который расположен на втором месте. Учитывая, что т = ti -1\, — = -1, найдем K**itut2) dtx dx fti "~ x{)' { } Сравнивая (*) и (**), окончательно получим Rxx = (t\,ti) = = Rxi(tbh). 868. Известна корреляционная функция кх(х) стационарной функции X(t). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X (t) и ее второй производной. Указание. Использовать задачу 807. 869. Задана корреляционная функция Мт) = #е~а|т|[1 + а|т| + (а2/3)т2], а > 0, стационарной случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию случайной функции X(t) и ее второй производной. Решение. Использовать задачу 868. Рассмотреть два случая: х > > 0 и т < 0. 870. Найти корреляционную функцию случайной функции Y(f) - X (t) + Х'(0> зная корреляционную функцию kx (x) стационарной функции X (t). Решение. Искомая корреляционная функция (17.2, теорема 2) Ky{t\yti) = кх(т) + кх(т) + гх-(т) + гхх(х). Второе слагаемое равно -Wx (x), а сумма третьего и четвертого слагаемых равна нулю (см. задачи 852,865). Итак, Ку (tuh) = kx (т)-кх (х). Правая часть равенства зависит только от х; следовательно, и левая часть есть функция аргумента х: ку (х) = кх (х) - Wx (x). 871. Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t) = X(t) + X'(t\ зная корреляционную функцию кх (х) = е~%1 стационарной функции X (t). Указание. Использовать задачу 870. 872. Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X (t). Найти корреляционную функцию
432 Глава 17. Стационарные случайные функции случайной функции У (/), если: a) Y(t) = X(t)+X"(t); б) Y{t) = = *'(*)+ *"(*). 873. Известна корреляционная функция кх (т) = е~|т|[1 + + |т| + 1/Зт2] стационарной случайной функции X(i). Найти корреляционную функцию случайной функции Y (г) = X (/)+ + *"(*). 874*. Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X (/). Найти корреляционную функцию случайной функции У (/) = X{t) + Х'(0 + -Х"(0- 875. Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X (/)• Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее третьей производной. 876. Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X (/). Найти взаимную корреляционную функцию первой и второй производных. Указание. Использовать задачи 852, 853 и 865. 17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называют функцию sx (со), которая связана с корреляционной функцией кх (т) взаимно-обратными преобразованиями Фурье: - оо оо sx (со) = — J кх (х)е'ш dxy кх (т) = | sx Эти формулы называют формулами Винера-Хитина. В действительной форме они представляют взаимнообратные косинус- преобразования Фурье: I оо оо Sx (ю) = — I кх (т) cos сот dxy кх (т) = 2 I sx (со) cos сот Jco. Нормированной спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называют отношение спектральной плотно-
17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции 433 сти к дисперсии случайной функции: Sx норм со (<0) = Sx (O))/Dx = Sx (СО) I J Sx (CO) dO). Взаимной спектральной плотностью двух стационарных и стационарно связанных случайных функций X(t) и Y(t) называют функцию Sxy (со), определяемую преобразованием Фурье: 1 °° v (и) = — Г rv (т)е-/ш А. Взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье: гху(х)= f sxyinye^dw. -00 877. Доказать, что спектральная плотность стационарной случайной функции — четная функция. Указание. Использовать формулу 1 °° sx (ш) = —- \ kx (x) cos cox dz. -оо 878. Доказать, что, зная спектральную плотность стационарной случайной функции X (г), можно найти дисперсию оо этой функции по формуле Dx = \ sx (со) Ло. —оо Указание. Принять во внимание, что 879. Найти дисперсию стационарной случайной функции X(t), зная ее спектральную плотность $х(а>) = 10/л(1 + + ш2). 880. Доказать, что, зная спектральную плотность дифференцируемой стационарной случайной функции, можно найти спектральную плотность ее производной по формуле s. (со) = (u2sx (со).
434 Глава 17. Стационарные случайные функции Решение. Производная стационарной функции также стационарна (см. задачу 853), поэтому спектральная плотность производной Учитывая, что к* (х) = -к" (т), У (**) и предполагая допустимость дифференцирования под знаком интеграла (**) по параметру т, имеем оо кк (т) = -*£ (т) = to2 J sx (ш)Л dx = со2*, (т). (•••) —оо Подставив (***) в (*), окончательно получим s. (ш) = о>2 • — Г кх (х)е~1шх dx = (o2sx (ш). 2л J —оо 881. Задана спектральная плотность sx(w) = а2/(о>2 + + а2)2 (а > 0) дифференцируемой стационарной случайной функции X (г). Найти дисперсию производной X'(i). 882. Доказать, что, зная спектральную плотность дважды дифференцируемой стационарной случайной функции X{i)> можно найти спектральную плотность второй производной X"(t) по формуле 5- (о) = о)4^ (со). Указание. Использовать задачи 853,880. 883. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t\ зная ее корреляционную функцию kx(x) = 1 - |х| при |т| < 1; корреляционная функция равна нулю при |х| > 1. Решение. Используя формулу 1 (со) = - Г kx (т) cos сот dx 1 о и учитывая, что | т | = т в интервале (0,1), имеем 1 1 1С х(со) = — (1 -x)cosuyzdx.
17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции 435 Интегрируя по частям, окончательно получим sx (со) = 2 sin2 (со/2)/лсо2. 884. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t), зная ее корреляционную функцию ^(т) = 1 - (1 /5)|х| при |х| ^ 5; корреляционная функция равна нулю при | т | > 5. 885. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию кх (х) = 1 °° Решение. Используем формулу sx (со) = — Г кх (х)е~тх di. 2л J -оо Учитывая, что | т | = -т при х < 0, | х | = х при х > О, получаем kx (х) = ех при х < 0; при х ^ 0 кх (х) = е~х. Следовательно, J e Выполнив выкладки, окончательно получим 5х(со) = 1/л(1 + + со2). 886. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию кх (х) = = D<ra|x|(a>0). 887. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию кх (х) = = e~|T|cosx. Решение. Учитывая, что | х | = -х при х < 0, при г > 0 | х | = х и используя формулу Эйлера cosx = (eix + e~h\ имеем кх (х) = (l/2)[e(1+/)T + e(l~iyi] при х < 0; кх (х) = (\/2)[е-«-* + е-"-*1] при х > 0, Следовательно, sx (со) = -!- f fc (х)€"|шт А = -^ f l^ 2л ^ 4л J —ОО —00 1 °° 4ЛЙ Выполнив выкладки, получим искомую спектральную плотность: sx (со) = (2 + со2)/л[1 + (1 - со)2][1 + (1 + со)2].
436 Глава 17. Стационарные случайные функции 888*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию кх (т) = De~a|x| cos |3т (a > 0). 889*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию кх (т) = £>~a|T|[cos |3т+ + (a/P)sinp|T|](a>0). Указание. Раскрыть скобки и использовать задачу 888; выразить тригонометрические функции через показательные по формулам Эйлера. 890*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию кх (т) = De'^2'. Указание. Использовать формулу дополнить показатель степени до полного квадрата и учесть, что интеграл Пуассона J <r(z2)/2 dz = >/2я. -оо 891*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию kx(x) = De~a|T|(l + + a|x|)(a>0). Решение. Используем формулу ~1шх dx. Подставив заданную корреляционную функцию, представим правую часть равенства в виде суммы двух интегралов: 5, (ш) = £ Г е-^]е-ш dx + ^ Г | х \e-a"e-iu» Л. 2л ^ 2л J -00 -ОО Обозначим первое слагаемое через /; производная этого интеграла по параметру a Следовательно, да
17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции 437 Учитывая, что (см. задачу 886) I = £>а/л(а2 + со2), — = ф/л)[(ш2 - а2)/(а2 + со2)2], (**) до. и подставив (**)в(*), окончательно получим sx (ш) = 2Оа3/л(а2 + + а>2)2. 892. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию кх (т) = 100^"°'1|т| (1 + Указание. Использовать задачу 891. 893*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию кх(х) = Г>е~а|т|(1 + + а|х| + (1/3)а2т2)(а>0). Решение. Первый способ. Используем формулу **(со)=^ ] ЬхЮе-**1 dx. —оо Подставив заданную корреляционн}гю функцию, получим D °° 1 sx(w) = — Г е~аЫ (1 + а|х| + -а\2)е-1ш dx. 2л J 3 —оо Представим этот интеграл в виде суммы трех интегралов и выполним выкладки; окончательно имеем Второй способ. Введем обозначение 2л J -00 Найдем производную этого интеграла по параметру а: Отсюда
438 Глава 17. Стационарные случайные функции Аналогично найдем 3 до? 2 —оо Следовательно, Учитывая (см. задачу 886), что / = Da/ii(a2+co2), найдя частные Ы д21 производные —, —■-г и подставив их в соотношение (*), оконча- да да1 тельно получим искомую спектральную плотность: sx (со) = 8Da5 -f -г Зя(а2 + со2)3. Достоинство этого способа состоит в том, что вместо трех интегралов достаточно вычислить только один, причем самый простой. 894*. Найти спектральную плотность случайной функции Y(t) = X{t) + X'(i)y зная корреляционную функцию кх(х) = De~a|T|(l + a|x|) (a > 0) стационарной дифференцируемой случайной функции X (t). Указание. Найдя ку (х) = кх(т) - Ц (т) = De~^[(\ + a2) + a(l - a2)|11], использовать второй способ решения задачи 893: где О г -п\т\ _»rtT . Da 2л j^ л(а2 + со2)* 895*. Может ли функция кх (т) = е~|т| (1 + | т | + т2) быть корреляционной функцией стационарной случайной функции X (О? Решение. Проверим, выполняются ли все свойства корреляционной функции кх (т). 1. Свойство кх(х) — четная функция — выполняется: кх(-т) = 2. Свойство кх (0) > 0 выполняется: кх (0) = 1 > 0. 3. Свойство \кх(х)\ ^ кх(0) не выполняется: например, кх(\) = = 3/е>кх(0)=\.
17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции 439 4. Свойство 1 °° -оо при всех значениях со не выполняется. Действительно, допустив, что заданная функция кх (т) является корреляционной функцией некоторой стационарной случайной функции X (0, и выполнив выкладки, найдем функцию $х(со) = 4(1 - со2)/л(1 + со2); при |со| > 1 функция sx (со) < 0. Итак, заданная функция кх(х) не является корреляционной функцией никакой стационарной случайной функции. Разумеется, это заключение можно было сделать, убедившись, что не выполняется хотя бы одно свойство корреляционной функции. 896. а) Доказать, что функция кх (х) = 5е~2х2 может быть корреляционной функцией стационарной случайной функции X(t). б) Доказать методом от противного, что не существует такой стационарной функции, корреляционная функция которой сохраняет постоянное значение в интервале (-xbxi), симметричном относительно начала координат, и которая равна нулю вне этого интервала. 897. Задана спектральная плотность .у* (со) = 10а/л(а2 + + со2) (а > 0) стационарной случайной функции. Найти нормированную спектральную плотность. Указание. Использовать задачу 878. 898. Задана спектральная плотность sx (со) = Da/n(a2 + + со2) (а > 0) стационарной случайной функции. Найти спек- тральную функцию S* (со) = J sx (со) dco. —оо 899. Доказать, что спектральная плотность равна производной от спектральной функции: sx (со) = Sx (to). 900. Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X(t) и Y(t) справедливо соотношение, связывающее взаимные спектральные плотности: Sxy (-co) = Решение. По определению взаимной спектральной плотности,
440 Глава 17. Стационарные случайные функции Следовательно, *ху (-со) = ^]rv (т)<Г'(-»* А = i- J rv We'**-* dx. —oo —oo Поскольку Гху (х) = гУх (-т) (см. задачу 846), то Сделаем замену переменной интегрирования, положив Ti = -т и, следовательно, d%\ = - Jx. Новый нижний предел интегрирования равен оо, а верхний -оо. Таким образом, -ю) = "^ J 901. Доказать, что взаимные спектральные плотности дифференцируемой стационарной случайной функции и ее производной связаны равенством sx» (со) = -six (ш). Указание. Использовать соотношение гх% (т) = -г-х (т). 902. Доказать, что, зная спектральную плотность sx (ш) дифференцируемой стационарной сл)гчайной функции X (г), можно найти взаимную спектральную плотность функции X{t) и ее производной по формуле sxx (о) = msx((o). Решение. По определению взаимной спектральной плотности, dkx(x) dx Известно (см. задачу 865), что гхх(т) = —^—. Учитывая, что kx (т) = J sx (а)УХ0) Jo), получаем —oo A °° °° rxi (т) = — J 5Л (о))€"ш Jo) = ico J 5Д (o)^rta) dio = /a)itx (x).
17.6. Спектральная плотность стационарной случайной функции 441 Следовательно, i (J)e-™ dx = iw±] kx (tV-*« A. Отсюда окончательно имеем sxx (со) = /со • sx (со). 903. Известна спектральная плотность sx (со) = 2Da3 -f ■г л(а2 + со2)2 дифференцируемой стационарной случайной функции X(t). Найти взаимную спектральную плотность функции X (г) и ее производной. Указание. Использовать задачу 902. 904. Найти взаимную спектральную плотность дифференцируемой стационарной случайной функции X(t) и ее производной, зная корреляционную функцию кх (т) = 2е~х . Указание. Найти сначала взаимную корреляционную функцию rxx (т) = = Wx (x), а затем искомую взаимную спектральную плотность. Можно поступить иначе: найти спектральную плотность (см. задачу 890), а затем умножить ее на /со (см. задачу 902). 905. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции X(t), зная ее спектральную плотность sx (со) = so в интервале -со0 < со < соо; вне этого интервала sx((o) = 0. Решение. Используем формулу кх (х) = 2 Г sx (со) cos cox dm. о Учитывая, что sx (со) = so в интервале (0; соо), получаем О) кх (х) = 2$о J cos cox do) = 25o(sincoox)/x. о 906. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность: sx (со) = = so в интервалах (-2со0, -со0) и (соо» 2со0); вне этих интервалов sx (со) = 0. 907. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность sx (со) = = Da/n(a2 + со2).
442 Глава 17. Стационарные случайные функции Решение. Первый способ. Из задачи 886 следует, что корреляционной функции кх (т) = De~a|T| соответствует заданная спектральная плотность. Поскольку кх (х) и sx (со) связаны взаимно-обратными преобразованиями Фурье, то искомая корреляционная функция кх(х) = ZV"a|x|. Второй способ. Используем формулу п 1 кх (Т) = Г SX (CDV~ </о> = — Г ~2 -J™ *D. J п J а2 + о2 оо о Известно, что Следовательно, искомая корреляционная функция кх (х) = 908. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность sx (со) = = 2/л(4 + о2). 909. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума — стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью sx (a>) = so- Решение. Используем формулу кх (х) = J », (соУ™ da = s0 J e1№ Ло. (*) 1 °° Примем во внимание, что — Г е™ dm = 6(х), где б(х) — дельта- 2л J 2л функция. Отсюда J €ha) Жо = 2л6(х). (**) Подставив (**)в(*), окончательно получим искомую корреляционную функцию кх (х) = 2nso6(x).
17.7. Преобразование стационарной случайной функции ... 443 17.7. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида \t)+ ...+bm]X(t)y (*) где X(t) — входная стационарная случайная функция (воздействие, возмущение); Y(t) — выходная случайная функция (реакция, отклик). Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях г, т.е. по окончании переходного процесса, функцию Y (0 можно считать стационарной. Математическое ожидание выходной функции Y (t) находят по формуле ту = (Ьт/ап)тх, где тх — математическое ожидание входной функции X (г). В операторной форме уравнение (*) имеет вид (аорп + alPn~l + ... + an)Y(t) = (bopm + Ъхрт~х + ... + bm)X{t). (••) Передаточной функцией линейной динамической системы называют отношение многочлена относительно р при X{t) к многочлену при Y (0 в операторном уравнении (**): Ф (р) = Форт + Ьхрт-Х + ... + bm)/(aopn + aipn~l + ... + ап). Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент /о (о — действительное число): ФО'со) = ШтГ + Ьг(т)т-1 + ... +bm]/[a0(ia>)n + al(i<x>)n-* + ... +«J. Спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством sy (со) = sx (со) • |Ф (ко)|2, т.е., чтобы найти спектральную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики. Зная же спектральную плотность выходной функции,
444 Глава 17. Стационарные случайные функции можно найти ее корреляционную функцию оо ку (т) = J sy (саУ™ Ло, —оо а следовательно, и дисперсию оо Dy - ку (0) - \ sy (to) Жо. —оо 910. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'(f) + 2Y(t) = 5X'(t) + 6X(t)9 подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием тх = 5. Найти математическое ожидание случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса). Решение. Приравняем математические ожидания левой и правой частей заданного дифференциального уравнения: М [Г (0 + 2Y (t)] = М [5Г (0 + 6Х (*)], или М [Г (01 + 2ту = 5М [Г (г)] + 6тх. По условию X (t) и Y (0 — стационарные функции, а математическое ожидание производной стационарной функции равно нулю, поэтому 2ту = 6тх. Отсюда искомое математическое ожидание ту = Ътх = 3-5 = 15. 911. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y"{t) + ЗУ(/)5 + Y(f) = = 4Х'(0 + ЮХ (t\ подается стационарная случайная функция X(t) с математическим ожиданием тх = 2. Найти математическое ожидание случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме. 912. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением 3Y (t) + Y(t) = 4-X'(t) + X{t), подается стационарная случайная функция X (/) с корреляционной функцией кх(х) = 6е~2|т|. Найти дисперсию случайной функции Y (0 на выходе системы в установившемся режиме. Решение. 1. Найти спектральную плотность 5х(ш). Используя решение задачи 886, при Dx = кх (0) = 6 и а = 2, получим sx (со) = Оа/л(а2 + со2) = 12/я(о>2 + 4).
17.7. Преобразование стационарной случайной функции ... 445 2. Найдем передаточную функцию системы. Для этого запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: (Ър + \)Y(t) = (Ар + \)X(t). Отсюда Y(t) = [(Ар + \)/(Зр + \)]X(t). Следовательно, передаточная функция Ф (р) = (Ар + 1)/(Зр + 1). 3. Найдем частотную характеристику системы, для чего положим р = ом: Ф () = (4(ш+ 1)/(Зю1+ 1). 4. Найдем спектральную плотность sy (ш) на выходе системы, для чего умножим спектральную плотность sx (со) на квадрат модуля частотной характеристики: sy (со) = sx (со)|Ф ((ш)|2 = (12/я(со2 + 4)[|4со/ + 1|2/|Зсш + 1|2] = = [12/(я(ш2 + 4))[(16ш2 + 1)/(9со2 + 1)]. 5. Найдем искомую дисперсию: (16(О2 J12 г sy (ш) Jo = I о2 + 4Х9(о2+1) 24 г (16о>2 + Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей: П - 24[63 f di0 7 Г f/Q) 1 у" я [35 J со2+4 15 J 9o)2 + lj* Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию Dy = = (24/я)(5я/12)= 10. 913. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'(t) + ЗУ (t) = Х'(0 + 4Х(0, подается стационарная случайная функция X(t) с математическим ожиданием тх = 6 и корреляционной функцией £х(т) = 5£~2|т|. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме. 914. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y"(t)+5Y'(t)+6Y (t) = X'(0+ + Х(г), подается стационарная случайная функция с математическим ожиданием тх = 4 и корреляционной функцией Jkx(t) = £~|т|. Найти: а) математическое ожидание; б) спектральную плотность случайной функции Y (i) на выходе системы в установившемся режиме.
446 Глава 17. Стационарные случайные функции 915*. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y'"(t) + 6У"(0 + 11 Y'(t) + + 6Y(t) = IX"(i) + 5Х(0, подается стационарная случайная функция X(t) с известной корреляционной функцией: а) кх(т) = 4<г|т|; б) кх(т) = 2<г|т|(1 + |т|). Найти спектральную плотность случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме. Указание. Использовать задачи 886 и 891. Разложить на линейные множители знаменатель передаточной функции: (р + 1)(р +- 2)(р + 3). 916. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У(0 + Y(t) = %(*)> поступает стационарная слз^чайная функция X(t) с постоянной спектральной плотностью so (белый шум). Найти дисперсию случайной функции У (t) на выходе системы в установившемся режиме. 917. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y"(t)+2hY'(t)+l&Y(t) = X(t) (А > 0, к > А), поступает стационарная случайная функция X(t) с постоянной спектральной плотностью so (белый шум). Найти спектральную плотность случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме. 918*. Спроектированы две линейные стационарные динамические системы, на вход которых поступает стационарная случайная функция X(t). Передаточные функции систем соответственно равны: Ф\(р) = (4р + 1)/(Зр ч-1), Фг(р) = = (р + 1)/(3/? + 1). Спектральная плотность выходной функции известна: ^(со) = 12/л(а)2 + 4). Какая из систем обеспечивает наименьшую дисперсию выходной функции?
ОТВЕТЫ Глава 1 3. а) Р = 1/90; б) Р = 1/81. 5. а) Р = 1/6; б) Р = 1/18; в) Р = 1/2; г) /> = 1/18. 6. а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008. 7. Р = 3/4. 8. Р = 1/720. 10. Р = = 1/С|0 = 1/190. 12. Р = С3О/С35 = 24/91. 13. Р = С^/С^ = 0,1. 14. а) Р = = CVCtoo - °>65; б) р = ^о/^оо s 0*00005. 15. Р = С|/С| = 0,3. 16. Р = = 1/А]0 = 1/720. 18. Р = С\ C*/C]Q = 0,5. 19. Р = C\Q- СЦс\5 « 0,4. 20. Р = С* • С\1<?п = Н/55. 21. а) Р = С] • С\/С25 = 0,6; 6) Р = С2/С2 = 0,3; в) Р = 0,9. 22. Р = 1/54. 24. W = 0,9. 25. 180 приборов. 26. Р = 1/2. 27. Р = = 1/3. 28. Р = г2//?2. 29. Р = (2д - 2г)/(2д) = (а - г)/д. 30. Р = (а - 2г)2/а2. 31. Р = (6 - 2)/6 = 2/3. 32. Р = (102 - 52)/102 = 0,75. 33. а) Р = 2/я; б) Р = 3 >/3/(4л). 34. Р = 0,5лЯ2/(лЯ2) = 0^. 36. Возможные значения координат: 0 < х ^ L, 0 < у < L; благоприятствующие значения: у - х < < х, у > х; х - у < у, у < х; р = 1/2. 37. Возможные значения координат: 0 ^ х < L;0 < у < U У > х> благоприятствующие значения координат: у-х < < L/2; р = 0,75. 38. Возможные значения координат: 0<jc<L, 0<;y<L; благоприятствующие значения координат: у-х < L/2,y > х; х-у < L/2,y < < х; р = 0,75. 42. Р = 7/16. 43. Возможные значения координат: 0 < х < L, 0 < у < L,0 < z < L; благоприятствующие значения координат: х < у + z, y<z + x;z<x + y;P= 1/2. 44. Возможные значения координат 0 < д: < 2, 0 < у < 2; благоприятствующие значения координат: 0 < х < V5/2,0 < у < < V5 и V2/2 < х < 2,1/2 ^ у < V2; Р = (1 + 31п2)/8 « 0,38. 45. Возможные значения координат: 0<jc< 1, 0 < у < 1; благоприятствующие значения координат: 0,1 < х < 0,9,0,1 < у ^ 0,9; Р * 0,2. Глава 2 47. Р = 1 - Cl/C]Q = 5/6. 50. Р = 0,14. 51. Р = 0,38. 52. Р = 0,7. 53. Р = 0,18. 54. Р = 0,432. 55. Р = 0,384. 56. а) Р = 0,188; б) Р = 0,452; в) Р = 0,336. 57. а) Р = 0,6976; 6) Р = 0,9572. 58. а) Р = 1/63; 6) Р = = 6 • (1/63) = 1/36. 59. а) Р = С] (1/62 • 5/6) = 5/72; б) Р = 5/12; в) Р = = 3!(1/3)3. 65. Р = 5/100 • 4/99 = 1/495. 67. Р = 6/10 • 5/9 • 4/8 • 3/7 = 1/14. 68. а) Р = 1/5 • 1/4 . 1/3 = 1/60; 6) Р = 0,1. 69. Р = 20/25 • 19/24 • 18/23 = = 57/115. 70. а) Р = 1/10 • 1/9 • 1/8 = 1/720; б) Р = 0,001. 81. Р = 0,126.
448 Ответы 82. Р а 0,95. 83. Р = 0,388. 85. Р * 0,76. 87. р = 0,8. 88. Е [ }Og^ ~ *\ 1 + 1, llog(l-p)J где Е [N] - целая часть числа N. 90. Р = П + 2 . 91. Р = 0,89. 92. Р = 0,85. 2(л + 1) 93. Р = 0,78. 94. Р = 0,5. 95. Р = 0,4. 96. Р = 0,87. 98. Вероятнее, что винтовка без оптического прицела (вероятность того, что винтовка была без оптического прицела, равна 24/43; с оптическим прицелом — 19/43). 99. Р = 3/7. 100. Р = 1/3. 101. Р = 5/11. 102. Р * 0,47. 104. РА{ВЪ) = = 1 - (0,6 + 0,3) = 0,1. 107. Р = 10/19. 109*. Р = 0,039. Глава 3 111. а) Вероятнее выиграть одну партию из двух: Р2(1) = 1/2; Р4(2) = = 3/8; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех: Р4(2) + + Р4(3) + Р4(4) = 1 - [Р4(0) + Р4(1)] = 11/16; Р5(3) + Р5(4) + Р5(5) = 8/16. 112. а)Р = Р5(0)+Р5(1) = 3/16;б)<2= 1-[Р5(0)+Р5(1)] = 13/16. 113. а)Р = = Р4(3) + Р4(4) = 0,1792; 6) Р5(4) + Р5(5) = 0,74. 114. а) ръ = 0,729; 6) C34pzq + + С*р4 = 0,95; в) C*pV + C\p*q + С^р5 = 0,99. 115. Искомые вероятности таковы: а) 0,31; 6) 0,48; в) 0,52; г) 0,62. 116. Р4(2) = С|(2/3)2(1/3)2 = = 8/27. 117. Р5(2) = С25(х/а)2[(а - х)/а]\ 118. Р = С\ • С\ • С\С\ - (1/4)8. 121. Рюо(75) = 0,04565. 122. Рюо(50) = 0,0782. 123. РМЮ = 0,5642/VjV. 124. P2N(N + m) = y/2/Nq>(yfI7N/m). 126. a) P2ioo0470; 1500) = 0,4236; б) P2ioo(147O;21OO) = 0,5; в) P2ioo(O; 1469) = 0,5. 127. />2,(11; 21) = 0,95945. 128. Р = Ф(1) - Ф(-1) = 2Ф(1) = 0,6826. 130. п = 177 г); 132. Р = 2Ф(1,2) = = 0,7698. 133. Р = 2Ф(2,31) = 0,979. 134. Р = 2Ф(0,877) = 0,6196. 137. п = = 661. 138. п = 6146. 140. е = 0,02. 141. е = 0,01. 143. 15 < т < 33. 144. 5 < < т < 22. 146. ко = 8. 148. ко = 17, *о + 1 = 18. 151. ко = 7. 153. 100 < п < < 102. 154. 26 < п <к 29. 156. 0,625 < р < 0,65. 158. а) ко = 1; б) Р5(1) = = 0,41; в) Р = 0,0067. 160. а) Р2(2) = 0,72; б) Р2(1) = 0,26; в) Р2(0) = 0,02; г) Р2(1) + Р2(2) = 0,98. 161. а) Р3(3) = 0,612; б) Р3(2) = 0,329; в) Р3(1) = = 0,056; г) Р3(0) = 0,003; д) Р = 1 - qxq1q-b = 0,997. 162. а) Р4(4) = 0,006; б) Р4(3) = 0,065; в) Р4(2) = 0,254; г) Р4(1) = 0,423; д) Р4(0) = 0,252; е) Р4(0) + + Р4(1) + Р4(2) = 0,929. 163. 0,325. Глава 4 167. 169. 173. 175' р 0,7 0,24 0,042 0,0144' 177' Plooo(3) = 0'18* 178' 180. а) Рюоо(2) = 0,224; б) Piooo(0)+PioooU) = 0,1992; в) Р1Ооо(* > 2) = 0,5768; г) Р = 1 -Рюоо(О) = 0,95. 181. б) \ = 3. 186. а) Р4(3) = 0,0256; 6) Р4(* < 3) = = 0,0123; в) Р4(* > 3) = 0,9877. 188. б) М(Х) = 0,535. 189. 6) M(Z) = 30. X р 0 0,6561 X Р а) 1 0,2916 0 2 3 0,0486 0,0036 1 2 9/16 6/16 1/16* X 1 р 0,2 2 3 ... 0,16 0,128 ... 4 0,000Г к 4 £Q loo. х ' р X Р 0 0 0 1/4 1 1/5 1 1/2 2 3/5 6)* 2 1/4 3 1/5 > = 1
Ответы 449 191. jc3 = 21; ръ = 0,2. 193. рх = 0,2; р2 = 0,3; Ръ = 0,5. 194. М{Х) = = 3/5. 198. Af(X) = NCZ(l/6)m(5/6)n-m. 200. М(Х) = 50 • С* • 0,9* • 0,1 ^ 16. 209. D(Z) = 61. 211. a) D(X) = 8,545; о(Х) = 2,923; б) D(X) s 248,95; а(Х) s 15,78. 214. D(X) = 0,9. 216. D(X) = 0,495. 217. Pl = 0,3; p2 = 0Д o!8 ' 220' p 03 ад 229. vi =3,9;v2 = 16,5; v3 = 74,1. 231. щ = 0; ц2 = 0,64; ц3 = -0,77; \ц = 1,33. 219' 223' = 90. Глава 5 236. Р(|Х - М(Х)| < За) > 1 - о2/(9о2) = 8/9. 238. Р(|Х - М(Х)\ > 2о) < < а2/(4а2) = 1/4. 239. Р(\Х-М(Х)\ < 0,2) > 1 -0,004/0,04 = 0,9. 240. е > 0,3. 242. а) Р(\Х - 16| < 3) > 0,64; 6) Р(\Х - 16| ^ 3) < 0,36. 244. Р(\Х - 200| < < 50) > 1 - 150/502 = 0,94. 246. Р(\Х - 0,44| < VP) ^ 1 - 0,0364/0,4 = = 0,909. 248. Применима. Математические ожидания Хп конечны и равны -а/(2п + 1); дисперсии равномерно ограничены числом а2. 249. а) С возрастанием п дисперсии D(Xn) = (2л3 + Зл2 + л)/(2и + 1) неограниченно возрастают; 6) нельзя, так как требование равномерной ограниченности дисперсий лишь достаточно, но не необходимо. 251. Применима: М(Хп) = = 0; D(Xn) = 2. Глава 6 253. Р(0<Х<1)=1/4. 254. Р(-1 < X < 1) = 1/3. 255. Р(Х > Т) = = 1 - Р(Х < Т) = 1 - Р(0 < X < Т) = 1/е. 257. р = />(0,25 < X < 0,75) = 0,5; 0 при jc «$ 3, Р4(3) = С\ръд = 0,25. 259. jcj = 2 V5. 261. F{x) = 0,2 при 3 < х < 4, 0,3 при 4<д:<7, 0,7 при 7 < jc < 10, 0,2 при jc> 10. 263. f(x) = 2 cos 2дг в интервале (0; л/4); вне этого интервала /(*) = 0. 265. Р(1 < X < 2) = (еа - I)/*2». 266. /? = Р(0 < X < л/4) = (л + 2)/4; при jc < 0, Р3(2) = \ 4 0 4л . 268. F(x) = 1 при0<*<л/2, при jc > л/2. при дг ^ 1, 269. F(x) = (1/2Х*2 - х) при 1 1 при х > 2. 10 при jc < л/6, ~cos3jc при л/6 < х < л/3, 1 при х > л/3. 274. С = 4/(л - In 4). 276. М(Х) = 4/3.278. ЩХ) = 0. 279. а) с = 3/4; л/2 б)М(Х)= 11/16. 281. М(Х)= 1/а. 283. М(Х2) = J x2 cos x dx = (л2 - 8)/4. 15 3ак. 1296 ° 272. С = 1/2. 273. С = 1.
450 Ответы 284. М(Хг) = 13/40. 287. М0(Х) = М(Х) = Ме(Х) = 4. 288. а) Моды X не имеет (плотность распределения не имеет максимума); б) М(Х) = = 0 (кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0). 289. Мо(Х) = (л- . 293. a) D(X) = 4,5; б) Я(-3 < X < 1) = 0,5 п + (1/л)агсш(1/3); Р(\ < X < 3) = 0,5 - (lM)arcsin(l/3). 296. D(X) = 25/18. 298. М(Х) = 3jcg/2; D(x) = 3*2/4; o(X) = V3*o/2. 300. D(X2) = 20 - 2л2. 302. M(X) = (a + l)p; 6) D(X) = (a + l)/p2. 306. V! = 2/3, v2 = 1/2, v3 = 2/5, v4 = 1/3, m = 0, ц2 = 1/18, ц3 = -1/135, \ц = 1/135. 307. С = l/(fc - a). 309. a) P(0 < X < 0,04) + P(0,16 < X < 20) = 0,4; 6) />(0,05 < * < 0,15) = 0,5. 310. P(2 < X < 5) = 0,6. 311. P(0 < X < 1/3) + />(2/3) < X < 1) = 2/3. 10 при jc ^ a, (x-a)/(b-а) при a < x< fc, 314. M(X) = 5. 316. D(X) = 1 при x > b. = 3; o(X) = V3. 317. M(X) = a («кривая» распределения симметрична относительно прямой х = a); D(X) = /2/3. 319. М(Хг) = (fc + a)(b2 + a2)/4; f 320. М(ХУ) = {а + «/2 • (с + d)/2. 322. /(*) = -l—e-t*-3?'*. 323. /U) = ^=e"<jr-3)2/32. 324. M(X) = 2У2л 4/2 ; D(X) = 25. 325. /(*) = -^e"'2^. 329. P(15 < X < 25) = 0,6826. У2л 330. а) Р(55 < X < 68) = 0,0823; 6) />(32 < X < 40) = 0,0027. 332. P(\X\ < < 10) = 2Ф(0,5) = 0,383. 333. P а 0,41. 335. Примерно 95%. 336. а) Р(\Х\ < < 15) • P(\ Y | < 4) = 2Ф(2,5) • 2Ф(1) = 0,6741; б) Р = 1 - (1 - 0,6741)2 = 0,8938. 338. Я(35 < X < 40) = P(10 < X < 15) = 0,2 341. (д-3о,а н- За) = (-5,25). 342. 6a = 30 мм. 343. (9,7; 10,3). 345. a = J—EllJjL- 347. /(*) = бе"6* у 2(ln p — In a) в интервале (0, oo), вне этого интервала f(x) = 0; F(x) = 1 - е~Ьх в интервале (О, оо), вне этого интервала F{x) = 0. 348. а) \ = 2; б) \ = 0,4. 351. />(1 < X < < 2) = 0,038. 352. Р{2 < X < 5) = 0,251. 354. а) М(Х) = 0,2; 6) М(Х) = .J. 357. D(X) = 0,01; о(Х) = 0,1. 358. £>W = 6,25; а(Х) = 2,5. 359. С = X. 360. цз = 2Д3. 361. As = 2. 362. \ц = 9Д4. 363. £* = 6. 365. а) М(Т) = = 0,2; б) D(T) = 0,04; в) а(Т) = 0,2. 366. М(Т) = а(Г) = 0,2 ч. Контролер в среднем будет ждать очередную машину 12 мин. 368. а) F(100) = 0,95; 6) Я(100) = 0,05. 370. а) 0,292; 6) 0,466; в) 0,19. 371. а) 0,9975; б) 0,656. Глава 7 Ш- I ОД "l 0.Г 376- I б? ОГ 378- а> *"> = ('/3)/[-у/3], (-ЗЬ < у < -За); б) ^Су) = гг;/[~П"1 (Аа + В < у < АЬ •*- В) при А > О, |Л J L Л J (ЛЬ + В < у < Аа + В) при Л < 0. 379. g(y) = 380. a) g(y) = (1Л0/[1п(1Л0], (0 < у < 1); б) *(у) = <?[еу] (-» < у <
Ответы 451 0; в) giy) = rlf=f[M Ф<у< ~); г) g(y) = ^—f , (0 < у < со). 381. a) g(y) = — [/(у/у) + /(- (О < у < оо); 6) < 1); в) g{y) = /<y) + /(-у) (0 < у < оо); г) g(y) = £ -JL=[/(2jt* + + arccosy) + /(2лЛ - arccosy)] (-1 < у < 1); д) ( < у < л/2); е) g(y) = - cos2 у AtgyX-n/2 < < у < < 1). 384. g(y) = 2/(д V1 -У2) в интервале (0,1), вне этого интервала g(y) = = 0. 385. *О0 = \/(л(1+у2)) (-оо < у < оо). 387. g(y) = 2/(л V^T) в интервале (0,1), вне этого интервала g(y) = 0. 390. g(y) = —=е~у у/лу в интервале (О,оо); вне этого интервала g(y) = 0. 391. g(y) = в интервале (О, оо); вне вне этого интервала g(y) = 0. 393. М(У) = (л2 - 8)/4. 395. D(X2) = 20 - 2л2. 396. M(Y) = № + fl№ +fl); О(У) = 4 Г(£ + д)(£2 -н д2)]2 „ - : . 399. a) G(y) = F[(y - 6)/4]; о) G(y) = 1 - L 4 J в) G(y) = F[(y - b)/a] при д > 0, GCy) = 1 - F[(y - b)/a] при д < 0. Z 11 12 13 14 17 18 , Z 5 11 17 oq 4U1' *' P 0,08 0,32 0,02 0,08 0,10 0,40; °^ P 0,56 0,38 0,06' d* 8{z) " _ | (1/2)е"г/5(1 - ^~2z/15) при z > 0, 10 при z < 0. ( 0 при z < 0, z2/2 при 0<z< 1, l-(2-z)2/2 при 1 <z<2, 1 при z > 2. 0 при z < 3, (z-3)2/16 при 3<z<5, (z/4) - 1 при 5 < z < 7, g(z) = l-(9-z)2/16 при 7<z<9. 1 при z > 9. 406. G(z) = 407. G(z) 0 при z < 0, z при 0 < z < 1, 2 - z при 1 < z < 2, 1 при z>2. 0 при z < 3, (z - 3)/8 при 3 < z < 5, 1/4 при 5 < z< 7, (9 - z)/8 при 7 < z < 9. 0 при z > 9.
452 Ответы 409. X 26 30 41 50 Глава 8 Y 2,3 2,7 .411. Я = 3/128. 413. /Ос,у) = р 0,14 0,42 0,19 0,25' р 0,29 0,71 = Se~4x~2y при х > 0, у > 0; fix, у) = 0 при х < 0 или у < 0. 414. l-arctg- + -if- arctg- + -I. 415. F(x,y) = (l/2)[sin;c + siny - \я 4 2/\я 5 2/ sin(jc + у)]. 417. f(x,y) = (3/л/?3)[/?- -у/-*2 + у2] внутри круга радиуса Я с центром в начале координат; вне этого круга /U,y) = О. 418. С = = 12/л2. 419. С = 2/л. 420. а) /(*,у) = In2 2 • 2~х~у в первом квадранте; вне квадранта f(x,y) = 0; б) Р = 5/3 • 212. 422. a) ,Jfim А А; Р\л I IU^ Э/ / .Z/ / У 10 14 18 р(Г|6) 5/14 5/28 13/28" tye'V; в) ф(*|у) = (l/ yft)e{x+y)\ y{y\x) = (2/ 426. f(x,y) = \/(4ab) внутри заданного прямоугольника; вне его/(*,у) = = 0; 6) /j(jc) = l/(2fl) при |*| ^ а, при |*| > а /{(х) = 0; при \у\ < при \у\ > Ь fz(y) = 0. 427. а)/(*,у) = 1/18 внутри О при х < О, б) Г424. а)С= VS/я; б)/,(*) = трапеции; вне ее /Осу) = 0; б) f\{x) = 2/9 при 0 < х < 3, (-2/27)*+ 4/9 при 3<*<6, О при * > 6. 10 при у < О, (-1/24)у+1/3 при 0<у<4, О при у > 4. О */27 + 2/9 429*. а)/(*,>>)= 1/36, внутри трапеции; вне eef(x,y) = 0; б) /i(jc) = 1/9 при * < -6, при - 6 < * < -3, при - 3 < * < 3, - jc/27 + 2/9 при 3 < jc < 6. О при х > 6; 431. М(Х) = М(У) = л/Зл/6; 10 при у < О, -у/24+1/3 при 0<у <4, О при у > 4. D(X) = D(Y) = (4 - я)/12. 432. М{Х) = M(Y) = (я + 4 - 4 V5)/4. 433. М(Х) = = M(Y) = я/4; D(X) = D(Y) = (я2 + 8л - 32)/16. 434. а) М(Х) = M(Y) = я/2; D(X) = D(Y) = я2 - 4; б) ^ = 0. при х < 0 или у < О, +2>) при * > 0, у > 0; при д: < 0 или у < О, б>** = \„ .-*.„. .-ъ. у>0 436- /'W = 435. a)/(jt,j>) = . Id-e-^Kl-e"*') при л>0,
Ответы 453 Глава 9 440. X; 8 12 Z 0,25 0,10 0,15 0,50 б)Г(х) = 0 при jc < 4, 0,5 при 4 < jc ^ 7, 0,7 при 7 < jc < 8, 1 при х > 8. ' а> 0 при jc<2, 0,1 при 2 < дг < 5, 0,4 при 5 < х < 7, 0,6 при 7 < л: *$ 8. 1 при х > 8. Глава 10 451. хв = 4. 454. хв = 2621. 456. s2 = 5,1. 458. а) I, = 10; б) DB = = 2,5, s2 = 10/3. 459. JcB = 166; DB = 33,44. 461. DB(X) = DB(u) = 167,29. 462. DB(X) = Db(m) = 12603. 464. DB(X) = DB(w)/102 = 3,44/100 = 0,0344. 465. DB(X) = DB(u)/\02 = 13,36/100 = 0,1336. 467. sj = j2 = 168,88. 469. s2x = si = 5,25/100 = 0,0525. 470. s2 = s2j№ = 488/100 = 4,89. 472. X* = хъ = 0,9. 473. X* = xB = 0,5. 474. p = Q]*,)/™. 475. /? = = (^riiXi)/(10 5) = 0,22. 476. X* = l/JcB. 477. X* = 1/*B = 1/5 = 0,2. 478. p = 1Дв. 479. p* = 0,2. 482. a* = (jc)2/^2 - 1 = 1602/12062,5- 1 = 1,12; P* = s2/x = 12062,5/160 = 75,4. 483. a* = xB, a* = yfUl. 484. a* = 1,26, a* = 0,5. 485. a* = jcb - V5DI, b* = xB + ylbUl. 486. a* = 2,24, b* = = 22,38. 488. X; = 2,11, XJ = 2,57. 490. p* = (J^mx^/lOOO = 0,4. 491. X* = 495. p* = JcB/(a+ 1). 496. p* = xB/(a + 1) = 75,47. 497. p = 1/IB. 498. сГ = - a]2/n. 500. a* = IB, a* = V^T- 502.' a) 7,63 < a < 12,77; 6) 14,23'< a < 19,37. 503. 1964,94 < a < 2035,06. 504. 992,16 < a < 1007,84. 505. Ь = t-^= = 1,96—L= = 0,392 мм. 507. n = yfn VlOO = 179. 509. -0,04 < a < 0,88. 511. 34,66 < a < 50,94. 513. a) 0 < a < 14,28; 6) 7,98 < a < 20,02. 515. 0,28 < a < 1,32. 517. 0,47 < p < 0,71. 519. 0,78 < < p < 0,87. 520. 0,705 < p < 0,795. 521. 0,07 <p< 0,18. 522. a) 0,083 < p < <0,119;6)0,076<p< 0,124. Глава 11 524. a) xB = 19,672, DB = 0,169; 6) xB = 76,2, DB = 18,56. 526. L/B = = 40,4. 527. a) yB = 15,68, DB = 32; 6) D'B = 3o|. 528. a) JB = 23,85, DB = 38,43; 6) D; = 36,35. 530. a) xB = 51,1, DB = 101,29; 6) xB = 147,62,
454 Ответы DB = 212,3; в) лв = 16,46, DB = 4,87; г) лв = 11,114; DB = 0,14. 532. a) as = = 0,135, ek = 2,669; 6) as = 0,18, ек = -0,45. 534. a) as = -0,01, ek = -0,21; Глава 12 536. a) yx = 1,92л: + 100,9, xy = 0,42y - 38,3; 6) yx = 3,69л + 66, xy = = 0,19>> - 3,1; в) yx = -2,15* + 181,8, лу = ~0,33;y + 65,7. 538. a) yx = = 0,66л2 + 1,23л + 1,07, r\yx = 0,96; 6) yx = 3,20л2 - 13,00* + 9,07, r\yx = 0,99; в) yx = 1,48л2 + 2,4U v = 0,93; r) yx = 1,59л2 + 3,33л + 9,4, V = 0,93; д) уЛ = -1,52л2 + 121,94л - 576,61, г\ух = 0,91. 539. ху = 2,8/ + 0,02> + + 3,18, ч*у = 0,96; 6) ху = 2,29/ - 1,25у + 1, Лху = 0,92. 541. рв = 0,92. 542. рв = 0,75. 543. рв = 0,73. 544. рв = 0,82. Мнения специалистов достаточно хорошо согласуются. 545. рАв = -0,21, рАс = 0,64, рдс = -0,3. Наиболее согласуются оценки арбитров А и С. 547. рв = 0,89. 549. хв = = 0,78. Оценки контролеров согласуются. 550. тв = 0,54. 551. тв = 0,67. Мнения специалистов согласуются удовлетворительно. 552. хав = -0,16, т>ас = 0,51, хвс = 0,51. Наиболее совпадают оценки арбитров Л и С, В и С. 553. тв = 0,79. Глава 13 555. Г„абл = 2,8; FKp(0,01;8; 15) = 4. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. 557. FH4^ = 1,52; FKp(0,05;5;8) = 3,69. Таким образом, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. 559. s2u = 188,67; $ = 124,84; FHa6jl = 1,51; FKp(0,05;9;7) = = 3,68. Таким образом, нет оснований считать точность станков различной. 561. х^л = 21»33' Хкр(°.05; 16) = 26,3. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. 562. s\ = 0,27; х*абл = 45,0; ХкР(0,05;30) = 43,8. Нулевая гипотеза отвергается. Исправленная выборочная дисперсия значимо отличается от гипотетической. 564. sj; = s\ = 4; Хлев. кР(0,975; 19) = 8,91; Хправ. Кр(0,025; 19) = 32,9; Хнабл = ^%- Нулевая гипотеза отвергается; новичок работает неритмично. 566. годе = 1,645; ХкР(0,05; 120) = 146,16. Партия бракуется. 568. ZH^ = 2,5; zKp = 1,96. Нулевая гипотеза отвергается. Средний вес изделий различается значимо. 569. ZH&6jl = 1,2; zKp = 1,96. Данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой; выборочные средние различаются незначимо. 571. F„aбл = 1,19; FKp(0,01;7;9) = 5,62. Нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий. Имеем | Гнабл I = = 3,7;гдвуст. Кр(0,01; 16) = 2,92. Нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается. 573. л = 12,8; у = 12,35; 4 = 0,11; 4 = О»0?; ^набл = 1,57; FKp(P,05;9;\5) = 2,59; Гнабл = 3,83; /правОст. кр(0,05;24) = U71. Нулевая гипотеза отвергается. 575. а) £/Набл = 1,3, мкр = 2,57 Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, б) мкр = 2,33. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, в) 6/„абл = 3, мкр = 2,33. Средний вес таблетки значимо отличается от допустимого; давать лекарство больным нельзя. 576. в) 1) 1 - р = 0,5 - Ф(0,15) = 0,4404; 2) щ = 25. 577. в) 1 - р = 0,6664. 578. а) язЫ = l-WwKp-bO+^Kp+WLrceb, = (^ -до)/[(о/^уЩЦ мкр находят из равенства Ф(мкр) = (1 - а)/2; 6) При проверке нулевой
Ответы 455 гипотезы по выборочной средней мощность лг(20) = 0,8078; при проверке нулевой гипотезы по выборочной медиане мощность яз(20) = 0,6103. При уменьшении | X | мощность уменьшается; так как | \{ | = а/у/п = |Х| • < |Х|, то мощность критерия проверки нулевой гипотезы по а\ - 1 выборочной медиане меньше мощности критерия по выборочной средней. 579. 6) Т„абл = -2; — *правост. кР = -1,75. Нулевую гипотезу отвергаем. 582. d = -0,9; £<£ = 65; sd = 2,51; 7набл = -1,13; /двуст. кр(0,01;9) = 3,25. Результаты взвешиваний различаются незначимо. 583. Нет оснований считать, что физическая подготовка улучшилась. 584. d = -2; ^ df = = 66; sd = V34/7; Гнабл = -2,57; гдвуст. кр(0,05;7) = 2,36. Результаты анализов различаются значимо. 585. d = 0,018; ^df = 0,0177; sd = = 0,034; 7набл = 1,91; Wcr. кР(0,05; 12) = 2,18. Результаты анализа различаются незначимо. 589. £/„абл = 1,76; мкр = 1,645. Партию принять нельзя. 590. £/набл = 2,33; мкр = 1,645. Нулевая гипотеза отвергается. Новая форма рекламы значимо эффективнее прежней 591. UHa6jI = 1,77; Икр = 1,96. Нет оснований считать новое лекарство значимо эффективнее прежней. 594. Нельзя (объем каждой выборки не должен быть меньше 4). 595. а) к = 64; £fcs? = 252,84; £*,lgj? = 36,9663; V = 2,8; Внабл < < 2,8; ХкР(0»О5;3) = 7,8. Нет оснований отвергнуть гипотезу об однородности дисперсий; б) DT = 3,95. 596. к = 116; £*,/? = 7016; 7* = 60,48; £4,lg/f = 201,4344; V = 12,0475; С = 1,0146; Днабл = 11,87; хкр(0,01;3) = = 11,3. Гипотеза об однородности дисперсий отвергается. 597. к = 65; г2 = = 74,68; YjЪ lg>? = 121,0550; V = 1,62; В„абл < 1,62; х^р(О,О5;3) = 7,8. Нет оснований предпочесть один из способов остальным. 598. a) s\ = 7,12; s\ = 7,92; s\ = 13,92; ? = 9,902; £ krf = 673,36; £ *, lg sf = 66,36; V = 3,11; #набл = 7,76; ХкР(0,05;2) = 6,0. Гипотеза об однородности дисперсий принимается. Станки обеспечивают одинаковую точность; б) FHS^ = 2; FKp(0,05; 24,19) = 2,11. 600. it = 36; / = 6; Снабл = 0,2270. a) GKp(0,01; 36; 6) = = 0,2858; 6) GKp(0,05;36;6) = 0,2612. В обоих случаях нет оснований отвергнуть гипотезу об однородности дисперсий. 602. к = 36: / = 5; GH&en = = 0,5036; GKp(0,05;36;5) = 0,3066. Гипотеза об однородности дисперсий отвергается. 603. a) it = 9; / = 4; Снабл = 0,3556; GKp(0,05;9;4) = 0,5017. Автоматы обеспечивают одинаковую точность взвешивания, б) ГГТ = 0,0225. 604. а) к = 9; / = 3; Снабл = 0,465; GKp(0,01;9;3) = 0,6912 Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий; б) D*T = 0,067. 605. it = 19; / = 15; Снабл = 0,089; GKp(0,05; 19; 15) = 0,1386. Станок работает устойчиво. 607. t/набл = 2,85, икр = 2,57. Нулевая гипотеза отвергается. Относительные частоты изготовленных станками нестандартных деталей различаются значимо. 608. £/„абл = 2,15; мкр = 1,65. Нулевая гипотеза отвергается. Вероятность изготовления бракованного изделия первым заводом больше, чем вторым. 609. 6/„абл = 0,94; мкр = 1,96. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. 611. it = 60; Тн&вл = 2,44; /кр(0,01;60) = 2,66.
456 Ответы Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; X и Y — некоррелированные случайные величины. 612. к = 118; Гнабл = 4,74; гкр(0,05; 118) = 1,98. Нулевая гипотеза отвергается; X и Y — коррелированные случайные величины. 614. а) п = -0,11; аи = 0,948, v = 0,25, а, = 0,994, ^]nw = 73, гъ = 0,8; б) Гнабл = 13,2; /кр(0,01;98) = 2,64. Нулевая гипотеза отвергается: X и Y коррелированы. 615. а) и = -0,03, ои = 1,321, v = -0,09, ав = 1,877: YjHuvW = -206, гв = -0,83; 6) Г„абл = -14,73, гкр(0,001;98) = 3,43. Нулевая гипотеза отвергается: X и Y коррелированы. 616. а) м = -0,84, ои = 1,567, v = 0,69, а„ = 1,419; £ nnvuv = -94, гв = -0,16; б) 7набл = -1,3, гкр(0,05; 98) = = 1,99. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу: X и Y некоррелирова- ны. 618. Ткр = 0,28. Нулевая гипотеза отвергается. Ранговая корреляционная связь между оценками двух преподавателей значимая. 619. Ткр = = 0,54. Ранговая корреляционная связь значима. 620. Ткр = 0,61. Нулевая гипотеза отвергается. Ранговая корреляционная связь значима. 621. Ткр = = 0,62. Ранговая корреляционная связь значима. 622. Ткр = 0,31. Выборочный коэффициент ранговой корреляции значим. 624. Ткр = 0,64. Ранговая корреляционная связь значимая. 625. Ткр = 0,41. Ранговая корреляционная связь значимая. 626. Ткр = 0,42. Ранговая корреляционная связь незначимая. 628. 1Унабл = 39, сонижн. кр(0,025;6,9) = 31, соверх„. кр = = 65. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об одинаковой эффективности методов А и В. 629. \¥набл = 73, ш„ижн. кр(О,О5;9,10) = 69, Юверхн. кр = П1. Нет оснований отвергнуть гипотезу об одинаковой производительности труда смен. 630. И'набл = 156,о)НИжн. кР(0,05;10,12) = 89, соверхн. кр = 141. Нулевая гипотеза отвергается: рацион А эффективнее рациона В. 632. сонижн. кр(0,005;40,60) = 1654, (оверхн. кР = 2386. Нулевая гипотеза отвергается. 633. WH^ = 736,5, (ониж„. кр(0,О25;25,30) = = 584, соверХн. кр = 816. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок. 636. к = 8, х^абл = 7,71, ХкР(О,О5;8) = 15,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. 638. а) Случайно; it = 2, х^абл = 2,47, ХкР(0,05;2) = 6,0; б) случайно; к = 6, Х2набл = 1,52, х2кр(0,05; 6) = 12,6; в) значимо; к = 4, Х2набл = = 13,93, х2кр(0,05;4) = 9,5; г) случайно; к = 6, Х2набл = 0,83,5С2кр(О,О5;6) = = 12,6. 640. а) Согласуется; Т = 10,4; а* = 13,67; к = 4; х2абл = 5,4; Х2р(0,05;4) = 9,5; 6) Согласуется; F = 12,04; а* = 4,261; к = 9 - 3 = = 6; Хнабл = 1»3: ХкР(°'05'6) = 12,6; в) не согласуется; х* = 42,5; о* = = 17,17, к = 5; Х2набл = 14; х2р(0,05;5) = 11,1; г) согласуется; Т = 27,54; о* = 10,44; к = 6; х2абл = 5,4; х2р(0,05;6) = 12,6. 643. а) Гипотеза о нормальном распределении X согласуется с выборкой; б) a = 27,5, о = 10,4. 644. Гипотеза о нормальном распределении X не согласуется с выборкой. 646. а) Нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х\ б) а* = 4,16, а* = 9,8. 649. к = 5; хв = 1000; X = 0,001; теоретические частоты 148,36; 99,45; 66,64; 44,68; 29,97; 20,07; 13,46; х2абл = 33,84; ХкР(0,01;5) = 15,1. Гипотеза о показательном распределении отвергается. 650. к = 5; Зсв = 20; \ = 0,05; теоретические частоты: 393,47; 238,65; 144,75; 87,79; 53,26; 32,29; 19,59; х2абл = 15,88, £кР(0,01;5) = = 15,1. Гипотеза о показательном распределении времени безотказной ра-
Ответы 457 боты элементов отвергается. 651. к = 6; хъ = 2,5; X = 0,4; теоретические частоты; 263,76; 176,80; 118,48; 79,44; 53,28; 35,68; 23,92; 16,00; х*абл = 41>66' ХкР(0,01;6) = 16,8. Гипотеза о показательном распределении отвергается. 653. к = 4; теоретические частоты: 6,25; 25,00; 37,50; 25,00; 6,25; х*абл = = 2,88; ХкР(О,О5;4) = 9,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу о биномиальном распределении X. 654. р* = 0,4; к = 5; теоретические частоты: 0,60; 4,04; 12,24; 21,50; 25,05; 20,05; 11,15; 4,25; Хнабл = 0,68; ХкР(0,01;5) = 15,1. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по биномиальному закону. 655. р* = 0,2; к = 2; теоретические частоты: 65,54; 81,92; 40,96; 10,24; 1,28; 0,06; х*абл = 4,65: ХкР(0,05;2) = 6,0. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по биномиальному закону. 659. ~хв = 22,47; ов = 1,44; а* = 19,98; Ь* = 24,96; /(*) = 0,2; к = 7; Х2набл = 4,39; х£р(0,01;7) = = 18,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу о равномерном распределении X. 660. *в = 1,5; ав = 21,31; я* = -35,37; Ь* = 38,37; f(x) = 0,014; к = = 5; Х^абл = 7,71; ХкР(0,05;5) = 11,1. Нет оснований отвергнуть гипотезу о равномерном распределении температуры. 661. хв = 12,71; ав = 2,86; а* = 7J&,b* = 17,66; Дх) = 0,101; А: = 7; х^абл = 53,43; Х^р(0,01;7) = = 18,5. Гипотеза о равномерном распределении времени отвергается. Данные наблюдений не согласуются с этой гипотезой. 663. к = 2; X = jcb = = 0,5; теоретические частоты: 122,30; 60,66; 15,16; 2,52; 0,32; %2набл = 9,27; ХкР(0,05;2) = 6,0. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по закону Пуассона. 664. к = 4; X = хв = 0,9; теоретические частоты: 406,6; 365,9; 164,7; 49,4; 11,1; 2,3; х^абл = 9,26; Хкр(0>01;4) = 13,3. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по закону Пуассона. 665. к - 3; \ = хъ = 0,7; теоретические частоты: 496,6; 347,6; 121,7; 28,4; 5,0; 0,7; х^абл = = 4,5; ХкР(0,О5;4) = 9,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по закону Пуассона. 666. к = 4; X = jcb = 1; теоретические частоты: 183,95; 183,95; 92,00; 30,65; 7,65; 1,55; 0,25; 0,05; х^абл = 8,32; х£р(0,01;4) = = 13,3. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по закону Пуассона. 667. к = 2; X = хв = 0,61; теоретические частоты: 108,7; 66,3; 20,2; 4,1; 0,7; Х^абЛ = 0>32; ХкР(0,05;2) = 6,0. Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по закону Пуассона. Глава 14 669. 5общ = 1851; 5факт = 360,55; Socr = 1490,45; 5^акт = 120; ^ост = 93; ^набл = 1,29; FKp(0,05;3;16) = 3,24. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. 670. 5общ = 22426; Чакт = 12960; 5ОСТ = 9466; *2флкт = 2592; s2OCT = 225; FHa6jl = 11,5; FKp(0,01;5;42) = 3,49. Нулевая гипотеза о равенстве групповых средних отвергается. 671. So6m = 296; £факт = Ю4; 5ОСТ = 192; ^акт = 52; slcr = 21,3; FHa6jI = 2,44; FKp(0,05;2;9) = 4,26. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. 672. 5Общ = 1541; ^факт = 95; 5ОСТ = 1446; 5^акт = 31,67; 4СТ = 60>25- Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. 673. 5Общ = = 334; 5факт = 32; SOCT = 302; з2факт = 16; ^ст = 33,56. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. 675. 5общ =
458 Ответы = 1619,43; 5факт = 961,46; SOCT = 657,97; ^акт = 240,36; 5^ст = 73,11; ^набл = 3,29; FKp(0,05;4;9) = 3,63. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. 676. S общ = 6444; S факт = 4284; 5ОСТ = 2160; 5^акт = 2142; s2ocr = 216; FHa6jT = 9,92; FKp(0,01;2; 10) = 7,56. Нулевая гипотеза отвергается. Групповые средние различаются значимо. 677. 5общ = 5533442; 5факт = 3399392; SOCT = 2134050; ^акт = -1699696; 52СТ = 194004; Г„абл = 8,76; FKp(0,01;2; И) = 7,20. Нулевая гипотеза отвергается. Групповые средние различаются значимо. 678. So6m = 192788; 5факт = 42695; Socr = 150093; ^акт = 14232; JocT = 6822; Гнабл = 2,09; FKp(0,05;3;22) = 3,05. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Глава 15 680. 8, 3, 12, 12, 8, 12, 23, 3. 681. * ^ J32 oj88 0,^64 ' 6> 3' >• 2, 1, 2. 682. 1, 3, 2, 2, 2, 2. 684. A2, A2t Аъ Аи А2, Аа, А2, А2, Ал. 686. Аз, AuA2fAuAu 687. A5l A7f А5, A3, А*. 688. Аз, Аи Аъ, А2, Аи 690. 11,4; 4,2; 13,4; 7,6. 691. jc, = (-1пг,)Я 693. 0,019; 0,036; 0,027; 0,095; 0,015. 694. jc, = = 0,5г,. 695. 6,90;7,49;4,13;8,87;6,37. 696. х, = (-Inг,)Д. 697. 2,232; 11,087; 3,711; 7,985; 0,202. 698. jc, = >/-•*& In г,- 699. jc, = oV-21nr,. 700. Xi = = 2(1- y/n)/h 701. 0,388; 1,600; 0,338; 0,628. 702. jc, = arccos(l-2r,). 703. jc, = = -(l/c)ln[l - r,(l - e-4*)]; Xi = -(l/c)ln[r, + (1 - r,>-*]. 705. x = (- lnr2)/2, если r, < 0,25, jc = (-lnr2), если r, > 0,25. 706. jc = (-In r2)/3, если rx < < 2/5, jc = (-lnr2)/4, если r, > 2/5. 707. jc = -lnr2, если rx < 1/7, jc = = (-lnr2)/2, если 1/7 < rx < 3/1, x =*(-lnr2)/3, если r, ^ 3/7. 708. jc = = (9r2)/4, если rx < 1/3, jc = <У18г2 + 1 + 1, если n 2> 1/3. 709. jc = 2r2, если г, < 5/6, jc = 1 + ^2r2 - 1, если rx > 5/6. 711. a) 0,84; -0,14; 0,31; -1,27; 0,21; 6) 11,68; 9,72; 10,62; 7,46; 10,42. 712. a) 0,316; 0,045; - 1,232; 0,357; -0,930; 6) 4,0316; 4,0045; 3,8768; 4,0357; 3,9070. 713. a* = xB = -0,1; a* = = V5T= 1,3. 715. (хг,ух)ЛхъУ2)Лхиу2)Лхъ,у2)ЛхъУ\)- 716. {х^ух)Лхъу2\ 722. yt = i/FhXi = уг/г 723. jc, = ЦгьУ1 = jcfr. 725. a)/>* = 0,95; 6)Jp-P* \ = = 0,07. 726. а) Г = 0^5; 6) | P - Г | = 0,079. 728. a) />* = 0,5; 6) F = 10,17. 729. a) /* = 0,46; 6) Г = 66. 731. jc, = 9, jc2 = jc3 = jc4 = jc5 = 10, jc6 = 11; a* = jc = 10. 733. a) 8,5; 6) 4,96; в) 0,85; г) 0,15. 737. 0,23. 73*. a) 38,63; 6) 335. 739. a) 1,711; 6) o2 = (l/2)(e2 - 1) - (e - I)2 = 0,242. 740. a) 0,164; 6) 0,479. 744. a) 0,253; 6) 0,491; в) 0,413; г) 0,658; д) 0,104. 474. a) 5,988; б) 3,173; в) 1,001; г) 0,477. 750. 5,2. 751. 1,903. 754. 1,719. 755. 0,857. Глава 16 756. a) xx(t) = 2(^ + 1); 6) x2(t) = 3,5(/2 + 1). 757. а) Хх = U/2; б) Х2 = U. 759. mx{t) = 5е*. 761. a) mx(t) = (t + I)2; б) mx(Q = sin4f + + cos4*. 765. Ky = Kx. 767. a) Ky = (tx + l)(r2 + l)Kx; 6) Kz = C2KX. 769. Dy(0 = Dx(t). 771. Dy(r) = (r + 3)2D^(r). 772. a) my(t) = 5r, /Ty = = 25e-a(rjWl)2; 6) Dx(t) = 0,2sin2 3t. 776. a) mx(/) = 10sin3.r, 6) Kx = = 0,2sin3fi sin3/2; в) Dx(t) = 0,2sin2 3u 777. a) Kx{\y2) = 22, Dx{\) = 6,
Ответы 459^ Dx(2) = 84; 6) px(fi,r2) = (1 + 5^)/[^п^фТЩ, p(*)(l,4) = (7 V5)/18. {e-\h-t\ l^ -е "2 м, P {e ^ если аргументы одного знака, Ч1 ., 782. { если аргументы разных знаков. = Rxy(t2,h) = cos(az2 + P'i). 783. р^ = 1, если t\ и /2 + 1 одного знака; р^ = = -1, если t\ и /2 + 1 разных знаков. 784. а) /Гг(/ь/2) = К*(*1»*2) + Ky{t\,t2) + + *М'ь '2) + Ryx(h,tx)\ 6) tf2 = Kx + Ку. 785. а) mz(t) = 3z; Кг = txt2 + е"4^-"*2. 787. а) К„ = tfx + Ку + tfz + Я^ + Ryx + Rxz + Ryz + Rzy; 6) Kv = Kx + Ky + Kz. 789. mx(r) = 4r + 7r2; Kx = O,Uir2 + 2rfr|; Dx(t) = O.l^2 + 2Г4. 790. mx(t) = = sinr + 8cosr; Kx = 4cos(^ - h)\ Dx{t) = 4. 791. mx(t) = cos2r + 2sin/ + + t\ Kx = 3cos2/i cos2/2 + 4sin/i sin/2; Dx(/) = 3cos22r + 4sin2/. 792. p^ = = cos(3/2 - t\). 793. Kx = D{ coso)i(/2 - /i) + D2cosa)2(/2 - *i). 794. mx(t) = = 3/2 + 2. 795. my(t) = 3/2. 797. /:• = lOe^^'^tl -2(/2-/!)2]. 798. a)mx(t) = = 4e3'(3 cos 2t-2 sin 2/); 6) Kx = e*' +/2)(3 cos 2/j - 2 sin 2t{ )(3 cos 2/2 - 2 sin 2/2). 802. a) /?xi = -2(/2 - 799. ^ = Dx** (/1+Г2) +2cosco(/2 - /i). 800. a) my(t) = 5cos/; б) 6) Rxi = ri^^ft2 + 1), Rxi = fi^^fri + 1). 803. Kx = ^. 804. Kx = = (ri + l)ta + 1У1+Г2. 806. /Tz = 5[3 - 4(/2 - /OV^-'^. 808. Rxx> = = R;x = 2[2(r2 - /,)2 - 1]<Г<"-'>>\ 809*. /^ = U{tx)U{t2)Kx + m)m»k + ^v,,)^. 810*. ^ = «£ + ,c| ^ + bd 0 x . 812. a) my(/) = sin /, 6) my(/) = 2/ + sin 2/, в) my(/) = 0,5c/2 - sin 2/). д/уд/ 813. my(t) = [5/(a2 + p^lf^psinpr + acosp/) - a]. 814. a) my(i) = 2/(1 + + a2)[ea/(asin/ - cos/) + 1]; 6) my{t) = / - 0,5 sin2/. 815. my(t) = (z2 + 1)(/ + +0,5 sin It). 817. a) tfy = (cos o/i-l)(cosc0/2-l)/co2; 6) Dy(z) = (coso)/-l)2/(o2. 818. Dy(/) = /4/4. 819. a) D//) = ^[{2^19) + (3/4)]; 6) Dy{t) = И/ - 1) + I]2; в) Dy(t) = 2/arctg/ - ln(l + z2); r) Dy(/) = (1/169)[2*3' sin2/ + 3(2^3/cos2/ - 1)]. 820. a) my(t) = 0,5[z + (sin2//2)]; 6) Ky = (sincoZi sincoz2)/o)2; в) Dy(z) = = (sin2o)Z)/co2. 822. a) Dy(i) = 1,5 sin2 2z; 6) Dy(t) = 3(1 - cosz)2. 823. Ky - Ше~'* - \)(е~* - 1). 824. a) my{t) = (sin3z)/3z; 6) Ky = (sin3zi sin3z2)/9Zi/2; в) Dy(t) = (sin2 3ZV9Z2. 825*. D^(z) = е^ф sin pz + a cos pz - а)2/4^(а2 + p2)2. 827*. a)my(r) = 3z + 2Z2; 6) O/z) = 5(2z + e~b - 1). 829. a) R^ = ZiZ2 + z2; 6) R^ = sinz2 cos/ь в)Л^ = zie"[('2 - IV2 + 1], Ryx = z2e/2[(z, - ly1 + 1]. Глава 17 831. m^Cz) = 0, Kx - (l/2)cos(z2 - t\). 834. X(t) — нестационарная функция: mx(z) = mucos2z Ф const. 835. X(t) — стационарная функция: mx(z) = 0, Kx = Dcos(z2 - Zi). 837. X(z) — нестационарная функция: mx(t) = я/2 = a J sin((oz + q>)cos<p ^ф. 839*. Dx(z) = a2[0,5 - (l/2e2)2]cos2o)Z + fl2[0,5 - о (i/e) - (l/2e2)]sin2coz. 842. ky(x) = \6De-a2x\ 845. a) px(x) = e~x2; 6) px(x) = = e-|T|(l+|x|). 849. mx(t) = my(t) = 0,^ = JPy = 5cos(z2-Zi);/?^ = 5sin(z2-/i).
460 Ответы 850. Нет. a) R^. = 6cos*i cost2; б) Rxy = 3cos(2/2 - /1). 851. p^Cx) = sinx. 854. a) kx(x) = 2e-°'5x\\ - x2), Dx = kx(0) = 2; 6) Dx/Dx = 1. 856. a) J^(x) = = 3e~w(chx -2sh\x\y,6)kx(0) = 3. 859. P(V5 < Y < oo) = 0,5 - P(0 < Y < < V5) = 0,5-0,1915 = 0,3085. 860*. f(y) = (1/10 у/2л)е~^/m\ 863. a)Dy(t) = = It arctgr - ln(l + r2); 6) Dy(0 = 2D(a/ + ^"ш - l)/a2; в) D,(i) = (2D/a2)[(a/ + +3)<ra/+(2a/-3)]. 864. Dy/fc(0) = 1360/10 = 136. 866. rxx\x) = -|x|<T|T|signx, - 1 при x < 0, 0 при х = 0, 868. rx-{x) = r-x(x) = 1 при x > 0. = *?(т). 869. rxJ(x) - (DaVa|T|/3)(a2x2 - a|x| - 1). 871. ky(x) - (3 - 4xVT\ 872. a) ^(x) = кх(т) + 2к?х(х) + /:^У(х); 6) ^.(х) = -kfx{x) + ^v(x). 873. ку(х) = = (4/3V"|T|(x2 - |х| + 1). 874*. ^.(х) = кх(х) + к'х'(х) + ^v(x). 875. rxY(x) = = к!х"{х), гхх(х) = -*;"(х). 876. г'хх(х) = -Ц'(х)- 879. Dx = 10. 881. Dx = = лл2/2. 884. sAu>) = 25Ш2(5о)/2)/5лсо2. 886. Jjr((o) = £а/л(а2 + ш2). 888*. 5л(ш) = (Оа/л)(со2+ а2+ р2)/[(со —р)2+ а2][(а) + р)2+ а2]. S89*. sx((o) = = (2Оа/л) • (а2 + р2)/[(а)2а2 + р2)2 - 4р2со2]. 890. sx(u)De-io>2/Aa2)/a у/2л. 892. sx(w) = (1/5)/(ш2 + 0,01)2л. 894*. 5>(ш) = 2£>а2(1 + со2)/л(а2 + ш2)2. 897. sXHopM((o) = а/л(а2 + со2). 898. S - л(со) = D[(lM)arctg(a)/a) + 0,5]. 903. ^((о) = /co2Da3Ma)2 + а2)2. 904. 5^(со) = (/со/ V^)<r(u)2/4). 906. ^(х) = = (250sina)ox)(2cosa)ox- 1)/х. 908. Jtx(x)'= е"2|т|. 911. ту = 4. 913. а) т^ = = 8; б) Dy = 22/3. 914. а) гпу = 2/3; б) sy((o) = (1/л)[1/25со2 + (6 - со2)2]. 915. а) jy(co) = 4(5-7со2)2/л(со2+1)2(со2+4Хш2+9); б) ^(со) = 4(5-7со2)2/л(со2+ + 1)3(со2 + 4)(со2 + 9). 916. Dy = Jo*. 917. sy(<o) = so/(k2 - (о2)2 + 4Л2со2. 918*. Вторая система: Dyx = \0,D>2 = 10/7.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Таблица значений функции ср (х) = 0,0 од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 0 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 2 3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 3 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 4 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 5 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 ЗОН 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 6 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 7 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2254 2012 1781 1561 1354 1163 8 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1569 1334 1145 9 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127
Приложения Окончание прилож. 1 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 1 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 2 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 ООН 0008 0005 0004 0003. 0002 4 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 ООН 0008 0005 0004 -0003 0002 5 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 6 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 7 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 8 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 ОНО €084 ©063 О047 О035 О025 О018 О013 0009 О007 О005 О003 0О02 04)01 9 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0043 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001
Приложения 463 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 1 Таблица значений функции Ф (х) = —— Г e~z2/2 dz X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 -Ф(х) 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 X 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 Ф(*) 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 X 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 Ф(х) 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 X 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1Д2 1,13 Ф(*) 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 03315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708
464 Приложения Окончание прилож. 2 X 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 Ф(дг) 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 X 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 ,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 Ф(х) 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 х 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 X 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,7& 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 Ф(х) 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499999
Приложения 465 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Таблица значений и{ = i п 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 Y 0,95 2,78 2,58 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 0,99 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 0,999 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92 п 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 оо Y 0,95 2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,991 1,987 1,984 1,980 1,960 0,99 2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2,640 2,633 2,627 2,617 2,576 0,999 3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 3,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Таблица значений q = q(y,n) п 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 Y 0,95 1,37 1,09 0,92 0,80 0,71 0,65 0,59 0,55 0,52 0,48 0,46 0,44 0,42 0,40 0,39 0,99 2,67 2,01 1,62 1,38 1,20 1,08 0,98 0,90 0,83 0,78 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 0,999 5,64 3,88 2,98 2,42 2,06 1,80 1,60 1,45 1,33 1,23 1,15 1,07 1,01 0,96 0,92 п 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 250 Y 0,95 0,37 0,32 0,28 0,26 0,24 0,22 0,21 0,188 0,174 0,161 0,151 0,143 0,115 0,099 0,089 0,99 0,58 0,49 0,43 0,38 0,35 0,32 0,30 0,269 0,245 0,226 0,211 0,198 0,160 0,136 0,120 0,999 0,88 0,73 0,63 0,56 0,50 0,46 0,43 0,38 0,34 0,31 0,29 0,27 0,211 0,185 0,162
466 Приложения ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Критические точки распределения х2 Число степеней свободы к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Уровень значимости а 0,01 6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 43 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 0,025 5,0 7,4 9,4 ИД 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40,6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0 0,05 3,8 6,0 7,8 9,5 1U 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8 0,95 0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5 0,975 0,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 103 11,0 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0 16,8 0,99 0,00016 0,020 0,115 0,297 0,554 1,872 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0
Приложения 467 ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Критические точки распределения Стьюдента ЧИСЛО степеней свободы к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 оо Уровень значимости а (двусторонняя критическая область) 0,10 631 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1Л 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64 0,05 0,05 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 0,025 0,02 31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,54 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,46 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33 0,01 0,01 63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 5,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 0,005 0,002 318,3 22,33 10,22 7,17 5,89 5,21 4,79 4,50 4,30 4,14 4,03 3,93 3,85 2,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,40 3,40 3,39 3,31 3,23 3,17 3,09 0,001 0,001 637,0 31,6 12,9 8,61 5,86 5,96 5,40 5.04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29 0,0005 Уровень значимости а (односторонняя критическая область)
468 Приложения ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Критические точки распределения F Фишера—Снедекора (к\ — число степеней свободы большей дисперсии\ кг — число степеней свободы меньшей дисперсии/ Уровень значимости а = 0,01 к2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 4052 98,49 34,12 21,20 16,26 13,74 12,25 11,26 10,56 10,04 9,86 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 2 4999 99,01 30,81 18,00 13,27 10,92 0,55 8,65 8,02 7,56 7,20 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 3 5403 99,17 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,18 4 5625 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,20 5,03 4,89 4,77 4,67 5 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 к 6 5889 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 1 7 5928 99,34 27,67 14,98 10,45 8,26 7,00 6,19 5,62 5,21 4,88 4,65 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 8 5981 99,36 27,49 14,80 10,27 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 9 6022 99,38 27,34 14,66 10,15 7,98 6,71 5,91 5,35 4,95 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 10 6056 99,40 27,23 14,54 10,05 7,87 6,62 5,82 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 11 6082 99,41 27,13 14,45 9,96 7,79 6,54 5,74 5,18 4,78 4,46 4,22 4,02 3,86 3,73 3,61 3,52 12 6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,69 3,55 3,45 Уровень значимости а = 0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 \ 161 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 2 200 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,88 3,80 3,74 3,68 3,63 3,59 216 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 225 19,25 9,21 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 230 19,30 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,02 2,96 2,90 2,85 2,81 к 234 19,33 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 1 237 19,36 8,88 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,92 2,84 2,77 2,70 2,66 2,62 239 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 Q j 241 19,38 8,81 6,00 4,78 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,72 2,65 2,59 2,54 2,50 1П 242 19,39 8,78 5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,67 2,60 2,55 2,49 2,45 11 243 19,40 8,76 5,93 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,56 2,51 2,45 2,41 12 244 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38
Приложения 469 ПРИЛОЖЕНИЕ 8 Критические точки распределения Кочрена (к — число степеней свободы, / — количество выборок) Уровень значимости а = 0,01 / 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 со к 1 0,9999 9933 9676 0,9279 8828 8376 0,7945 7544 7175 0,6528 5747 4799 0,4247 3632 2940 0,2151 1225 0000 2 0,9950 9423 8643 0,7885 7218 6644 0,6152 5727 5358 0,4751 4069 3297 0,2871 2412 1915 0,1371 0759 0000 3 0,9794 8831 7814 0,6957 6258 5685 0,5209 4810 4469 0,3919 3317 2654 0,2295 1913 1508 0,1069 0585 0000 4 0,9586 8335 7212 0,6329 5635 5080 0,4627 4251 3934 0,3428 2882 2288 0,1970 1635 1281 0,0902 0489 0000 5 0,9373 7933 6761 0,5875 5195 4659 0,4226 3870 3572 0,3099 2593 2048 0,1759 1454 1135 0,0796 0429 0000 6 0,9172 7606 6410 0,5531 4866 4347 0,3932 3592 3308 0,2861 2386 1877 0,1608 1327 1033 0,0722 0387 0000 7 0,8988 7335 6129 0,5259 4608 4105 0,3704 3378 3106 0,2680 2228 1748 0,1495 1232 0957 0,0668 0357 0000 Уровень значимости а = 0,01 / 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо к 8 0,8823 7107 5897 0,5037 4401 3911 0,3522 3207 2945 0,2535 2104 1646 0,1406 1157 0898 0,0625 0334 0000 9 0,8674 6912 5707 0,4854 4229 3751 0,3373 3067 2813 0,2419 2002 1567 0,1338 1100 0853 0,0594 0316 0000 10 0,8539 6743 5536 0,4697 4084 3616 0,3248 2950 2704 0,2320 1918 1501 0,1283 1054 0816 0,0567 0302 0000 16 0,7949 6059 4884 0,4094 3529 3105 0,2779 2514 2297 0,1961 1612 1248 0,1060 0867 0668 0,0461 0242 0000 36 0,7067 5153 4057 0,3351 2858 2494 0,2214 1992 1811 0,1535 1251 0960 0,0810 0658 0503 0,0344 0178 0000 144 0,6062 4230 3251 0,2644 2229 1929 0,1700 1521 1376 0,1157 0934 0709 0,0595 0480 0363 0,0245 0125 0000 оо 0,5000 3333 2500 0,2000 1667 1429 0,1250 1111 1000 0,0833 0667 0500 0,0417 0333 0250 0,0167 0083 0000
470 Приложения Окончание прилож. 8 Уровень значимости а = 0,01 / 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 00 k 1 0,9985 9669 9065 0,8412 7808 7271 0,6798 6385 6020 0,5410 4709 3894 0,3434 2929 2370 0,1737 0998 0000 2 0,9750 8709 7679 0,6338 6161 5612 0,5157 4775 4450 0,3924 3346 2705 0,2354 1980 1576 0,1131 0632 0000 3 0,9392 7977 6841 0,5981 5321 4800 0,4377 4027 3733 0,3624 2758 2205 0,1907 1593 1259 0,0895 0495 0000 4 0,9057 7457 6841 0,5981 5321 4800 0,4377 4027 3733 0,3624 2758 2205 0,1907 1593 1259 0,0895 0495 0000 5 0,8772 7071 5895 0,5063 4447 3974 0,3595 3286 3029 0,2624 2195 1735 0,1493 1237 0968 0,0682 0371 0000 6 0,8534 6771 5598 0,4783 4184 3726 0,3362 3067 2823 0,2439 2034 1602 0,1374 1137 0837 0,0623 0337 оооо 7 0,8332 6530 5365 0,4564 3980 3535 0,3185 2901 2666 0,2299 1911 1501 0,1286 1061 0827 0,0583 0312 0000 Уровень значимости а = 0,01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо к 8 0,8159 6333 5175 0,4387 3817 3384 0,3043 2768 2541 0,2187 1815 1422 0,1216 1002 0780 0,0552 0292 0000 9 0,8010 6167 5017 0,4241 3682 3259 0,2926 2659 2439 0,2098 1736 1357 0,1160 0958 0745 0,0520 0279 0000 10 0,7880 6025 4884 0,4118 3568 3154 0,2829 2568 2353 0,2020 1671 1303 0,1113 0921 0713 0,0497 0266 0000 16 0,7341 5466 4366 0,3645 3135 2756 0,2462 2226 2032 0,1737 1429 1108 0,0942 0771 0595 0,0411 0218 0000 36 0,6602 4748 3720 0,3066 2612 2278 0,2022 1820 1655 0,1403 1144 0879 0,0743 0604 0462 0,0316 0165 0000 144 0,5813 4031 3093 0,2013 2119 1833 0,1616 1446 1308 0,1100 0839 0675 0,05S7 0457 0347 0,0254 0120 ОООО оо 0,5000 3333 2500 0,2000 1667 1429 0,1250 1111 1000 0,0833 0667 0500 0,0417 0333 0250 0,0167 0083 0000
471 ПРИЛОЖЕНИЕ 9 Равномерно распределенные случайные числа 10 37 08 99 12 66 31 85 63 73 98 11 83 88 99 65 80 74 69 09 91 80 44 12 63 61 15 94 42 23 04 00 85 59 46 32 69 19 45 94 09 54 42 01 80 06 06 26 57 79 52 80 45 68 59 48 12 35 91 89 49 33 10 55 60 19 47 55 48 52 49 54 96 80 05 17 23 56 15 86 73 20 26 90 79 57 01 97 33 64 01 50 29 54 46 И 43 09 62 32 91 69 48 07 64 69 44 72 И 37 35 99 31 80 88 90 46 54 51 43 25 48 89 25 99 47 08 76 21 57 77 54 96 02 73 76 56 98 68 05 45 45 19 37 93 04 52 85 62 83 24 76 53 83 52 05 14 14 49 19 33 05 53 29 70 17 05 02 35 53 67 31 34 00 48 74 35 17 03 05 23 98 49 42 29 46 66 73 13 17 94 54 07 91 36 97 06 30 38 94 76 64 19 09 80 34 45 02 05 03 14 39 06 86 87 17 17 77 66 14 68 26 85 11 16 26 95 67 97 73 75 64 26 45 01 87 20 01 19 36 52 89 64 37 15 07 57 05 32 52 90 80 28 50 51 46 72 40 25 22 47 94 15 10 50 45 27 89 34 20 24 05 89 42 39 37 И 75 47 16 01 47 50 67 73 27 18 16 54 96 56 82 89 75 76 85 70 27 22 56 92 03 74 00 53 74 07 75 40 88 63 18 80 72 09 92 74 87 60 81 35 42 93 07 61 68 24 56 70 47 86 77 80 84 49 09 80 72 91 85 76 68 79 20 44 77 99 43 87 98 38 81 93 68 22 52 52 53 72 08 $6 96 03 15 47 50 06 92 48 78 07 32 83 01 69 50 15 14 48 14 86 58 54 40 84 74 53 87 21 37 24 59 54 42 86 41 04 79 46 51 34 24 23 38 64 36 35 68 90 35 22 50 13 36 91 58 45 43 36 46 46 70 32 12 40 51 59 54 16 68 45 96 33 83 77 05 15 40 43 34 67 80 20 31 03 69 30 66 55 80 10 72 74 76 82 04 31 23 93 42 16 29 97 86 21 92 36 62 86 93 86 11 35 60 28 56 95 41 66 88 35 52 90 13 23 73 34 57 35 83 94 56 67 66 60 77 82 60 68 75 28 73 92 07 95 43 78 24 84 59 25 % 13 94 14 70 66 92 79 88 48 40 25 11 66 61 26 48 75 42 05 82 00 79 89 69 23 02 72 67 35 41 65 46 25 37 38 44 87 14 10 38 54 97 40 70 00 15 45 15 76 37 60 65 53 70 14 18 48 82 58 48 78 51 28 74 74 10 03 88 54 35 75 97 63 29 48 31 67 16 25 96 62 00 77 07 00 85 43 53 80 20 15 88 98 65 86 73 28 60 60 29 18 90 93 73 21 45 76 96 94 53 57 96 43 65 82 91 03 26 61 54 77 13 93 86 18 66 59 01 95 63 95 67 95 81 79 05 46 93 97 40 47 36 78 03 И 52 62 29 75 14 60 64 65 39 39 19 07 25 96 69 97 02 91 74 74 67 04 54 90 61 33 67 И 33 90 38 82 52 09 52 54 47 56 95 57 16 И 77 08 03 04 48 17 45 61 04 11 22 27 28 45 12 08 31 39 43 79 03 91 04 47 43 68 98 74 52 87 03 34 42 06 64 13 71 82 42 39 88 99 33 08 94 70 95 01 25 20 96 93 23 00 48 36 71 24 68 00 54 17 02 64 97 77 85 39 47 09 44 33 01 10 93 68 86 53 37 90 22 23 40 81 39 82 93 18 92 59 63 35 91 24 92 47 57 23 06 33 56
472 Приложения Окончание прилож. 9 98 33 80 79 18 74 54 И 48 69 08 18 95 75 63 02 17 66 32 07 62 51 10 24 33 94 84 44 47 49 48 62 04 91 25 39 56 98 79 41 26 32 06 40 37 02 И 83 28 38 45 41 96 71 98 77 80 52 31 87 24 94 38 96 14 55 99 07 24 63 02 15 27 12 50 73 33 98 96 79 84 09 07 82 65 22 71 48 47 19 04 49 74 96 71 70 43 27 10 76 44 89 20 69 31 97 05 59 02 35 99 43 15 86 01 79 33 38 29 58 90 54 12 10 02 01 51 17 53 40 88 85 33 25 46 71 29 15 68 44 96 81 87 91 74 19 69 39 70 01 39 88 25 74 05 52 56 09 32 10 09 69 01 85 45 52 12 97 30 51 47 54 62 22 56 75 71 33 75 82 34 19 52 05 14 80 92 34 75 16 07 94 98 39 27 21 55 40 46 15 ПРИЛОЖЕНИЕ 10 Квантили нормального распределения ир (перед всеми значениями квантилей в этой части таблицы нужно поставить знак минус) 100 Л, % 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0,0 _ 2,326 2,054 1,881 1,751 1,645 1,555 1,476 1,405 1,341 1,282 1,227 1,175 1,126 1,080 1,036 0,994 0,954 0,915 0,878 0,842 806 772 739 706 674 643 613 583 553 0,1 3,090 2,290 2,034 1,866 1,739 1,635 1,546 1,468 1,398 1,335 1,276 1,221 1,170 1,122 1,076 1,032 0,990 0,950 0,912 0,874 0,838 803 769 736 703 671 640 610 580 550 0,2 2,878 2,257 2,014 1,852 1,728 1,626 1,538 1,461 1,392 1,329 1,270 1,216 1,165 1,117 1,071 1,028 0,986 0,946 0,908 0,871 0,834 800 765 732 700 668 637 607 577 548 0,3 2,748 2,226 1,995 1,838 1,717 1,616 1,530 1,454 1,385 1,323 1,265 1,211 1,160 1,112 1,067 1,024 0,982 0,942 0,904 0,867 0,831 796 762 729 697 665 634 607 574 545 0,4 2,652 2,197 1,977 1,825 1,706 1,607 1,522 1,447 1,379 1,317 1,259 1,206 1,155 1,108 1,063 1,019 0,978 0,938 0,900 0,863 0,827 793 759 726 693 662 631 601 571 542 0,5 2,576 2,170 1,960 1,812 1,695 1,598 1,514 1,440 1,372 1,311 1,254 1,200 1,150 1,103 1,058 1,015 0,974 0,935 0,896 0,860 0,824 789 755 722 690 659 628 598 568 539 0,6 2,512 2,144 1,943 1,799 1,685 1,589 1,506 1,433 1,366 1,305 1,248 1,195 1,146 1,098 1,054 1,011 0,970 0,931 0,893 0,856 0,820 786 752 719 687 656 625 595 565 536 0,7 2,457 2,120 1,927 1,787 1,675 1,580 1,499 1,426 1,359 1,299 1,243 1,190 1,141 1,094 1,049 1,007 0,966 0,927 0,889 0,852 0,817 782 749 716 684 653 622 592 562 533 0,8 2,409 2,097 1,911 1,774 1,665 1,572 1,491 1,419 1,353 1,293 1,237 1,185 1,136 0,089 1,045 1,003 0,962 0,923 0,885 0,849 0,813 779 745 713 681 650 619 589 559 530 0,9 2,360 2,075 1,896 1,762 1,655 1,563 1,483 1,412 1,347 1,287 1,232 1,180 1,131 1,085 1,041 0,999 0,958 0,919 0,882 0,846 0,810 776 742 710 678 646 616 586 556 527
Приложения 473 Окончание прилож. 10 100 Ph% 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 0,0 0,524 496 468 440 412 385 358 332 305 279 0,253 228 202 176 151 126 100 075 050 025 0,1 0,522 493 465 437 410 383 356 329 303 277 0,251 225 199 174 148 123 098 073 048 023 0,2 0,519 490 462 434 407 380 353 327 300 274 0,248 222 197 171 146 121 095 070 045 020 0,3 0,516 487 459 432 404 377 350 324 298 272 0,246 220 194 169 143 118 093 068 043 018 0,4 0,513 485 457 429 402 375 348 321 295 269 0,243 217 192 166 141 116 090 065 040 015 0,5 0,510 482 454 426 399 372 345 319 292 266 0,240 215 189 164 138 ИЗ 088 063 038 013 0,6 0,507 479 451 423 396 369 342 316 290 264 0,238 212 187 161 136 111 085 060 035 010 0,7 0,504 476 448 421 393 366 340 313 287 261 0,235 210 184 159 133 108 083 058 033 008 0,8 0,502 473 445 418 391 364 337 311 285 259 0,233 207 181 156 131 105 080 055 030 005 0,9 0,499 470 443 415 388 361 335 308 282 256 0,230 204 179 154 128 103 078 053 028 003 Квантили нормального распределения ир (все значения квинтелей в этой части таблицы — положительные) 100 л,% 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0,0 0,025 050 075 100 126 151 176 202 228 0,253 279 305 332 358 385 412 440 468 496 0,1 0,003 028 053 078 103 128 154 179 204 230 0,256 282 308 335 361 388 415 443 470 499 0,2 0,005 030 055 080 105 131 156 181 207 233 0,259 285 311 337 364 391 418 445 473 502 0,3 0,008 033 058 083 108 133 159 184 210 235 0,261 287 313 340 366 393 421 448 476 504 0,4 0,010 035 060 085 111 136 161 187 212 238 0,264 290 316 342 369 396 423 451 479 507 0,5 0,013 038 063 088 ИЗ 138 164 189 215 240 0,266 292 319 345 372 399 426 454 482 510 0,6 0,015 040 065 090 116 141 166 192 217 243 0,269 295 321 348 375 402 429 457 485 513 0,7 0,018 043 068 093 118 143 169 194 220 246 0,272 298 324 350 377 404 432 459 487 516 0,8 0,020 045 070 095 121 146 171 197 222 248 0,274 300 327 353 380 407 434 462 490 519 0,9 0,023 048 073 098 123 148 174 199 225 251 0,277 303 329 356 383 410 437 465 493 522
474 Приложения Окончание прилож. 10 100 Pi,% 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0,0 0,524 553 583 613 643 674 706 739 772 806 0,842 0,878 0,915 0,954 0,994 1,036 1,080 1,126 1,175 1,227 1,282 1,341 1,405 1,476 1,555 1,645 1,751 1,881 0,054 2,326 0,1 0,527 556 586 616 646 678 710 742 776 810 0,845 0,882 0,919 0,958 0,999 1,041 1,085 1,131 1,180 1,232 1,287 1,347 1,412 1,483 1,563 1,655 1,762 1,896 2,075 2,366 0,2 0,530 559 589 619 650 681 713 745 779 813 0,849 0,885 0,923 0,962 1,003 1,045 1,089 1,136 1,185 1,237 1,293 1,353 1,419 1,491 1,572 1,665 1,774 1,911 2,097 2,409 0,3 0,533 562 592 622 653 684 716 749 782 817 0,852 0,889 0,927 0,966 1,007 1,049 1,094 1,141 1,190 1,243 1,299 1,359 1,426 1,499 1,580 1,675 1,787 1,927 2,120 2,457 0,4 0,536 565 595 625 656 687 719 752 786 820 0,856 0,893 0,931 0,970 1,011 1,054 1,098 1,146 1,195 1,248 1,305 1,366 1,433 1,506 1,589 1,685 1,799 1,943 2,144 2,512 0,5 0,539 568 598 628 659 690 722 755 789 824 0,860 0,896 0,935 0,974 1,015 1,058 1,103 1,150 1,200 1,254 1,311 1,372 1,440 1,514 1,598 1,695 1,812 1,960 2,170 2,576 0,6 0,542 571 601 631 662 693 726 759 793 827 0,863 0,900 0,938 0,978 1,019 1,063 1,108 1,155 1,206 1,259 1,317 1,379 1,447 1,522 1,607 1,706 1,825 1,977 2,197 2,652 0,7 0,545 574 607 634 665 697 729 762 796 831 0,867 0,904 0,942 0,982 1,024 1,067 1,112 1,160 1,211 1,265 1,323 1,385 1,454 1,530 1,616 1,717 1,838 1,995 2,226 2,748 0,8 0,548 577 607 637 668 700 732 765 800 834 0,871 0,908 0,946 0,986 1,028 1,071 1,117 1,165 1,216 1,270 1,329 1,392 1,464 1,538 1,626 1,728 1,852 2,014 2,257 2,878 0,9 0,550 580 610 640 671 703 736 769 803 838 0,874 0,912 0,950 0,990 1,032 1,076 1,122 1,170 1,221 1,276 1,335 1,398 1,468 1,546 1,635 1,739 1,866 2,034 2,290 3,090 ПРИЛОЖЕНИЕ 11 Критические точки распределения Вилкоксона Объемы выбо 6 рок п2 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 0,005 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 Q 0,01 24 25 27 28 29 30 32 33 34 36 0,025 26 27 29 31 32 34 35 37 38 40 0,05 28 30 31 33 35 37 38 40 42 44 Объемы выбо рок Л2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,005 34 36 37 38 39 40 42 43 44 45 0,01 37 39 40 41 43 44 45 47 48 50 0,025 42 43 45 46 48 50 51 53 54 56 0,05 46 47 49 51 53 55 57 58 60 62
Приложения 475^ Продолжение прилож. 11 Объемы выборок Щ 7 8 9 Л2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0,005 32 34 35 37 38 40 41 43 44 46 47 49 50 52 53 55 57 58 60 43 45 47 49 51 53 54 56 58 60 62 64 66 68 70 71 73 75 56 58 61 63 65 67 69 72 74 76 78 81 83 / s 0,01 34 35 37 39 40 42 44 45 47 49 51 52 54 56 58 59 61 63 64 45 47 49 51 53 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 81 59 61 63 66 68 71 73 76 78 81 83 85 88 г 0,025 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 49 51 53 55 58 60 62 65 67 70 72 74 77 79 81 84 86 89 62 65 68 71 73 76 79 82 84 87 90 93 95 0,05 39 41 43 45 47 49 52 54 56 58 61 63 65 67 69 72 74 76 78 51 54 56 59 62 64 67 69 72 75 77 80 83 85 88 90 93 96 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 Объемы выбо п\ 10 11 12 рок п2 22 23 24 25 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,005 85 88 90 92 71 73 76 79 81 84 86 89 92 94 97 99 102 105 107 ПО 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 105 109 112 115 119 122 125 129 132 136 139 142 146 149 и 0,01 90 93 95 98 74 77 79 82 85 88 91 93 96 99 102 105 108 НО ИЗ 116 91 94 97 100 103 107 ПО ИЗ 116 119 123 126 129 132 136 109 113 116 120 124 127 131 134 138 142 145 149 153 156 0,025 98 101 104 107 78 81 84 88 91 94 97 100 103 107 ПО 113 116 119 122 126 96 99 103 106 110 113 117 121 124 128 131 135 139 142 146 115 119 123 127 131 135 139 143 147 151 155 159 163 167 0,05 105 108 111 114 82 86 89 92 96 99 103 106 ПО 113 117 120 123 127 130 134 100 104 108 112 116 120 123 127 131 135 139 143 147 151 155 120 125 129 133 138 142 146 150 155 159 163 168 172 176
476 Приложения Окончание прилож. 11 Объемы выборок 13 14 15 16 17 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 18 0,005 125 129 133 136 140 144 148 151 155 159 163 166 170 147 151 155 159 163 168 172 176 180 184 188 192 171 175 180 184 189 193 198 202 207 211 216 196 201 206 210 -215 220 225 230 235 240 223 228 Q 0,01 130 134 138 142 146 150 154 158 162 166 170 174 178 152 156 161 165 170 174 178 183 187 192 196 200 176 181 186 190 195 200 205 210 214 219 224 202 207 212 218 223 228 233 238 244 249 230 235 0,025 136 141 145 150 154 158 163 167 171 176 180 185 189 160 164 169 174 179 183 188 193 198 203 207 212 184 190 195 200 205 210 216 221 226 231 237 211 217 222 228 234 239 245 251 256 262 240 246 0,05 142 147 152 156 161 166 171 175 180 185 189 194 199 166 171 176 182 187 192 197 202 207 212 218 223 192 197 203 208 214 220 225 231 236 242 248 219 225 231 237 243 249 255 261 267 273 249 255 Объемы выбо 18 19 20 21 22 23 24 25 рок "г 19 20 21 22 23 24 25 18 19 20 21 22 23 24 25 19 20 21 22 23 24 25 20 21 22 23 24 25 21 22 23 24 25 22 23 24 25 23 24 25 24 25 25 0,005 234 239 244 249 255 260 265 252 258 263 269 275 280 286 292 283 289 295 301 307 313 319 315 322 328 335 341 348 349 356 363 370 377 386 393 400 408 424 431 439 464 472 505 ( 0,01 241 246 252 258 263 269 275 259 265 271 277 283 289 295 301 291 297 303 310 316 323 329 324 331 337 344 351 358 359 366 373 381 388 396 403 411 419 434 443 451 475 484 517 2 0,025 252 258 264 270 276 282 288 270 277 283 290 296 303 309 316 303 309 316 323 330 337 344 337 344 351 359 366 373 373 381 388 396 404 411 419 427 435 451 459 468 492 501 536 0,05 262 268 274 261 287 294 300 280 287 294 301 307 314 321 328 313 320 328 335 342 350 357 348 356 364 371 379 387 385 393 401 410 418 424 432 441 450 465 474 483 507 517 552
Учебное издание Гмурман Владимир Ефимович Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Издательство «Высшее образование» 140004, Московская область, г. Люберцы, 1 -й Панковский проезд, дом 1. Тел.: (495) 744-00-12. E-mail: publish@urait.ru. www.urait.ru Подписано в печать 20.03.2006. Формат 84xlO8V32- Гарнитура «PetersburgC». Печать офсетная. Усл. печ. л. 25. Тираж 5000 экз. Заказ № 1296 Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Издательско- полиграфическое предприятие «Правда Севера». 163002, г. Архангельск, пр. Новгородский, 32. Тел./факс (8182) 64-14-54, тел.: (8182) 65-37-65, 65-38-78,29-20-81 wvvw.ippps.ru, e-mail: ippps@atnet.ru
Гмурман В.Е. — Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (Задачи по теории вероятностей с решениями)
Предмет: Химический факультет, Теория вероятностей
Добавлен 18.9.2022
пользователем admin